线段、角的轴对称性
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线段、角的轴对称性—知识讲解
责编：陆海霞
【学习目标】
1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．
2. 理解角平分线的画法，掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质，熟练运用角的平分线
的性质解决问题．
【要点梳理】
要点一、线段的轴对称性
1.线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
2. 线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
3. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
要点诠释：
线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.
三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.
要点二、角的轴对称性
1.角的轴对称性
（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.
（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.
（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
要点诠释：
（1）用符号语言表示角平分线上的点到角两边的距离相等.
若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.
（2）用符号语言表示角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB
2.角平分线的画法
角平分线的尺规作图
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.
（2）分别以D、E为圆心，大于1
2
DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.
（3）画射线OC.
射线OC即为所求.
【典型例题】
类型一、线段的轴对称性
1、如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（）
A．13 B．15 C．17 D．19
【变式】（2015•黄岛区校级模拟）某旅游景区内有一块三角形绿地ABC，如图所示，现要在道路AB的边缘上建一个休息点M，使它到A，C两个点的距离相等．在图中确定休息点M的位置．
2、如图所示，如果将军从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q，
然后立即返回校场N．请为将军重新设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ＋QN最短．
【变式】如图所示，将军希望从马棚M出发，先赶到河OA上的某一位置P，再马上赶到河OB上的某一位置Q．请为将军设计一条路线(即选择点P和Q)，使得总路程MP＋PQ最短．
类型二、角的轴对称性
3、如图, △ABC中, ∠C ＝ 90 , AC ＝ BC, AD平分∠CAB, 交BC于D, DE⊥AB于E, 且AB＝6cm, 则△DEB的周长为( )
A. 4cm
B. 6cm
C.10cm
D. 以上都不对
AB AC ，则△ABD与△ACD的面积之比为（）【变式】已知：如图，AD是△ABC的角平分线，且:3:2
A．3：2 B．3:2 C．2：3 D.2:3
4、如图，OC是∠AOB的角平分线，P是OC上一点，PD⊥OA交于点D，PE⊥OB交于点E，F是OC上除点P、O外一点，连接DF、EF，则DF与EF的关系如何？证明你的结论．
5、如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM=PN．
【变式】如图，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，交AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC.求证：BE＝CF.。
