云南省大理州南涧县民族中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题

南涧县民族中学2016——2017学年上学期期中考高二文科数学试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.全集R U =，集合}02|{2>--=x x x A ，}30|{<<=x x B ，则B A C U ⋂)(=( ) A ． C ．（1，2hslx3y3h D ．（2，3）2 设11a b >>>-,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A b a 11< B ba 11> C 2a b > D 22a b >3．下列函数中，在区间(0,)+∞为增函数的是（ ）A．y =．2(1)y x =- C ．2x y -= D ．0.5log (1)y x =+4 在△ABC 中，若030,6,90===B a C ，则b c -等于（ ） A B 1- C 32 D 32- 5. 已知132a -=，21211log ,log 33b c ==，则（ ） A ．a b c >> B ．a c b >> C ．c a b >> D ．c b a >> 6.函数3log )(3-+=x x f x零点所在大致区间是（ ） A.)2,1( B. )3,2(C. )4,3(D. )5,4(7.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C. (1)2n n + D. (1)2n n -8.若)32lg(),12lg(,2lg +-xx成等差数列，则x 的值等于（ ）A B 0或32 C 32 D 5log 29. 在△ABC 中，若,3))((bc a c b c b a =-+++则A = ( ) A 090 B 060 C 0135 D 015010. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3πB ．4πC ．24π+D ．34π+11.等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log ...log a a a +++=（ ）A 12B 10C 31log 5+D 32log 5+12.直线1x y +=与圆2220(0)x y ay a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是( )A ．21)+B ．(221)-C ．(221)-+D ．21)-第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分） 13．若1||=a, 2||=b ,且a b a ⊥-)(,则a 与b 的夹角是 .14.设变量x y ，满足约束条件142x y x y y --⎧⎪+⎨⎪⎩≥≤≥，则目标函数z ＝2x +4y 的最大值为 .15．数列{}n a 的前n 项和为n S ，*N n ∈，且22n S n =，则=4a16. 若在△ABC 中，060,1,3,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_______三、解答题 (本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （Ⅰ）若a b =，求cos ;B （Ⅱ）若90B =，且2,a =求ABC ∆的面积.18．(本题满分12分）已知{n a }是等差数列，14,552==a a （I ）求{n a }的通项公式；（II ）设{n a }的前n 项和155=n S ，求n 的值.19. (本题满分12分）如图,在底面为平行四边形的四棱锥P －ABCD 中,AB ⊥AC,PA ⊥平面ABCD,点E 是PD 的中点. （I ）求证：AC ⊥PB ；（II ）求证：PB ∥平面AEC ；20. (本小题满分12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响了的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指结果如表所示．组号分组 频数 1 [4,5) 2 2 [5,6) 8 3 [6,7) 7 4[7,8]3（Ⅰ）现从融合指数在[4,5)和7,8内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[]7,8的概率；（Ⅱ）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．21. (本小题满分12分)设锐角三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，2sin a b A =．（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）求cos sin A C +的取值范围．22．(本题满分12分）设函数2()cos cos sin (02,0)f x a x x x b a ωωωω=++<<≠，6x π=是其函数图象的一条对称轴. （12分） （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若()f x 的定义域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-3,3ππ，值域为]5,1[-，求b a ,的值.高二文科数学试题参考答案与评分标准一、选择题：本大题共12小题。

云南省大理州南涧县民族中学2016-2017学年高二下学期期中考试（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}{}{}1,0,1,2,3,4,5,1,23,1,0,1,2U A B =-==-，，则=⋂)(B C A U A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}3 D ．{}2 2．已知为虚数单位，复数满足()z i z i =-，则复数z 所对应的点Z 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在区间[]1,3-上随机取一个数,x 若x 满足m x ≤的概率为21，则实数m 为A ． 0B ．1C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，已知43265,a a a a =是和的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为 A.15 B.20 C.25 D.1525或5． 已知是定义在R 上的偶函数，且()()+2f x f x =对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时，()2x f x =，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.12B. C.2D. 1 6.过抛物线24y x =的焦点F 且斜率为的直线交抛物线于,A B 两点(A B x x >)，则AF BF=A.32 B. 34 C. 3 D.2 7. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．223 B ．203 C ．163D ．6 i z8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为 (参考数据：)A ．2.598，3，3.1048 B. 2.598，3， 3.1056 C. 2.578，3，3.1069 D.2.588，3，3.11089．关于函数()[]()22cos0,2xf x x x π=∈下列结论正确的是 A.有最大值3，最小值1- B. 有最大值2，最小值2- C.有最大值3，最小值0 D. 有最大值2，最小值010．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上，，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为A ．2π B. 4π C. 8π D. 16π11．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上一点，其左，右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O 为圆心,a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则离心率的值为 A ．32 B ．43 C ．53 D ． 5412． 设函数()f x '是定义在（0，π）上的函数()f x 的导函数，有()f x sinx －()f x 'cosx ＜0，1()23a f π=，b=0，5()6c f π=，则 A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD 的边长为2，=60ABC ∠，点E 满足1=2BE BC，则=∙→→AD AE ．14．若，，且满足则的最大值等于 ．15．下列命题中，正确的命题序号是 ．①. 已知a R ∈，两直线1:1,l ax y += 2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件；②. 命题:p “0x ∀≥，22x x >”的否定是“00x ∃≥，0202x x <”；③.“1sin 2α=”是“2,6k k Z παπ=+∈”的必要条件； ④. 已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b>” ．16．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n a a a a a n n-+++⋅⋅⋅+=-≥，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程） 17．（本小题满分12分）x y R ∈1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩23z x y =+在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cosC c 2b a -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3 ，求a ．18．（本小题满分12分）某单位N 名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求正整数,,a b N 的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1,2,3组得员工人数分别是多少？（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.19．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD 的边长为12，∠BAD=60°，AC 交BD 于点O ．将菱形ABCD 沿对角线AC 折起，得到三棱锥B-ACD ，点M ，N 分别是棱BC ，AD 的中点，且．(Ⅰ)求证：OD ⊥平面ABC ； (Ⅱ)求三棱锥M -ABN 的体积.20．（本小题满分12分）已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E 于点Q ，32PQ QB =且ABP ∆是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数3()()xf x a bx e =-，ln ()xg x x=，且函数()f x 的图象在点(1,)e 处的切线与直线210ex y +-=平行． (Ⅰ)求,a b ；(Ⅱ)求证：当(0,1)x ∈时， ()()2f x g x ->．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (225223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极轴，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 52=.（I ）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为)5,3(，求PB PA +.参考答案一、选择题（每题5分，共60分） 1-12、CABDBDABCDCA二、填空题（每题5分，共20分）13．0 14．15 15. ①③④ 16．1n a n =+ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 12，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …………………………………………6分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD ＝ 22， ……………………………………8分∴ ∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理，a =BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ∙AC cos A ＝ 6. …………………12分18．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）总人数：28002.0528=⨯=N ，,28=a第3组的频率是：4.0)02.006.002.002.0(51=+++⨯-所以1124.0280=⨯=b …………………………………………………4分（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有1681122828=++（人）， 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为： 第1组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第2组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第3组抽取的人数为2816842112=⨯（人）， 所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.………………………………8分（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值240(141448) 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 查表得2( 6.635)0.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）证明：是菱形，∴AD DC =， 在中，， ∴又是中点，∴16,2OM AB MD === 222OD OM MD += ， ∴DO OM ⊥面，,OM AC O =∴OD ⊥面. ………………6分（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE.∵N 是棱AD 的中点，∴//12NE DO =.∵由（Ⅰ）得面,∴NE ⊥面 在中，∴11112223M ABN M ABD D ABM ABM V V V S OD ---==== ……………12分20．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）由题意知△ABP 是等腰直角三角形，a =2，B （2，0），设Q （x 0，y 0），由32PQ QB = ，则0064,55x y ==-，代入椭圆方程，解得b 2=1，∴椭圆方程为2214x y +=.……………5分ABCD OD AC ⊥ADC ∆12,120AD DC ADC ==∠=6OD =M BC ,OM AC ⊂ABC ABC OD ⊥ABC ABC ABM ∆12,6,120AB BM ABM ==∠=1sin 2ABM S AB BM ABM ∆∴=⋅⋅⋅∠11262=⋅⋅=（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y=kx ﹣2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=21614k k +，x 1x 2=21214k +，……………8分 由直线l 与E 有两个不同的交点，则△＞0，即（﹣16k ）2﹣4×12×（1+4k 2）＞0，解得：k 2＞34，………①……………9分 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0OM ON >，即x 1x 2+y 1y 2＞0，则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1﹣2）（kx 2﹣2）=（1+k 2）x 1x 2﹣2k×（x 1+x 2）+4 =（1+k 2）21214k +﹣2k×21614kk++4＞0， 解得：k 2＜4，………………………………………………②……………11分综合①②可知：34＜k 2＜4，解得2＜k ＜2或﹣2＜k＜﹣2， 直线l 斜率的取值范围（﹣2，2）．……………12分21.（本小题满分12分）【解析】：(Ⅰ)因为 (1)f e =，故(),a b e e -=故1a b -=……………………① 依题意，(1)2f e '=-；又23()(32)xf x x x e '=--+,故42a b -=-…………② 联立①②解得2,1a b == ………………………………………………5分（Ⅱ）证明：要证()()2f x g x ->，即证3ln 22x x xe e x x->+……………6分 令3()2x x h x e e x =-∴322()(32)(1)(22)xxh x e x x e x x x '=--+=-++- 故当(0,1)x ∈时，0,10;xe x -<+>令2()22p x x x =+-，因为()p x 的对称轴为-1x =，且(0)(1)0p p ⋅<故存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x =故当0(0,)x x ∈时，2()220p x x x =+-<，故2()(1)(22)0x h x e x x x '=-++->，即()h x 在0(0,)x 上单调递增 当0(,1)x x ∈时，2()220p x x x =+->，故2()(1)(22)0x h x e x x x '=-++-< 即()h x 在0(,1)x 上单调递减又因为(0)2,(1)h h e ==故当(0,1)x ∈时，()(0)2h x h >=………………10分又当(0,1)x ∈时，ln ln 0,22x x x x<∴+<………………11分 所以3ln 22x x x e e x x ->+，即()()2f x g x ->………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）解：圆C：(225x y +=，C ( 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223可得直线l 的方程为035=--+y x ， 所以圆C 的圆心到直线l 的距离为22323550=--+………………….5分 （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得5)22()223(22=+-t t ， 即04232=+-t t ，由于0244)23(2>=⨯-=∆， 故可设21,t t 是上述方程的两个实根， 所以⎩⎨⎧==+,4,232121t t t t 又直线l 过点)5,3(P ， 故由上式及其几何意义得232121=+=+=+t t t t PB PA …………………10分。

南涧县民族中学2016——2017学年上学期12月月考高二（文）数学试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。

）1．已知集合{}{}2|280,3,1,1,3,5A x x x B =-->=--，则AB =（ ）A ．{}1,1,3-B ．{}3,5-C ． {}3,1,1--D ．{}3,52．=300sin （ ）A ．23-B ．21- C ．21D ．233．已知命题:R p x ∀∈， sin 1x ≤，则 （ ） A ．:R p x ⌝∃∈，sin 1x ≥ B ．:R p x ⌝∀∈，sin 1x ≥ C ．:R p x ⌝∃∈，sin 1x > D ．:R p x ⌝∀∈，sin 1x > 4．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. 3x y -=B. x y 21log = C. x y = D. x y )21(=5．三棱锥D-ABC 及其三视图中的正视图和侧视图如图所示,则棱BD 的长为( )A. 2B. 24C.3D.46. 已知ABC ∆中，6,30,120AB A B ===，则ABC ∆的面积为（ ）A ．9B ．18 C． D ．7. 已知数列{}n a 满足*331log 1log ()n n a a n ++=∈N ，且2469a a a ++=，则15793log ()a a a ++的值是（ ）A.51-B.5 C .5- D .158．直线)0,0(022>>=-+b a by ax 平分圆064222=---+y x y x ，则ba 12+的最小值是（ ） A ．22-B.12-C.223-D.223+9．函数sin()(0,0,0)y A x A ϖϕϖϕπ=+>><<在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为（ ）A ．2sin(2)3y x π=+ B ． 22sin(2)3y x π=+C ．2sin()23x y π=-D ．2sin(2)3y x π=- 10．已知函数221,1(x),1xx f x ax x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，若[]2(0)4f f a =+，则实数a =（ ）A ．0B ．2C ．2-D ．0或211．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A. y x =±B.y x =C .y =D.2y x =± 12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆上，O 为坐标原点，若1212OP F F =，且212PF PF a ⋅=，则该椭圆的离心率为（ ）A.2C.34D.12第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。

2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．（5分）已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣43．（5分）数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．274．（5分）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．166．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题7．（5分）函数f（x）=﹣（）x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．38．（5分）某几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．28πB．37πC．30πD．148π9．（5分）两个相关变量满足如表关系：根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.510．（5分）已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数11．（5分）某程序框图如图所示，若输入的n=10，则输出结果为（）A．B．C．D．12．（5分）已知双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．3 B．C．D．2二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．（5分）若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为．14．（5分）在△ABC中，=．15．（5分）某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为．16．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=．三、解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分，写出证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．18．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求A1到平面AB1D的距离．19．（12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．20．（12分）已知数列{a n}中，a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．21．（12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．（1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），是否存在k的值，使得直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且EC⊥ED，并说明理由．2017-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}，B={x|y=ln（2﹣x）}，则A∩B=（）A．（1，3） B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【分析】化简集合A、B，求出A∩B即可．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}=[﹣1，3]，B={x|y=ln（2﹣x）}={x|2﹣x＞0}={x|x＜2}=（﹣∞，2）；∴A∩B=[﹣1，2）．故选：C．【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．2．（5分）已知x、y满足线性约束条件：，则目标函数z=x﹣2y的最小值是（）A．6 B．﹣6 C．4 D．﹣4【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可．【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分OAB）平移直线y=x﹣，由图象可知当直线y=x﹣，过点A时，直线y=x﹣的截距最大，此时z最小，由，解得，即A（2，3）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=2﹣6=﹣4∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣4．故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的基本应用，利用目标函数的几何意义是解决问题的关键，利用数形结合是解决问题的基本方法．3．（5分）数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，则a8等于（）A．﹣7 B．﹣8 C．﹣22 D．27【分析】数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，可得a n+1﹣a n=﹣3，利用递推式求出a8，从而求解；【解答】解：∵数列{a n}中，a1=﹣1，a n+1=a n﹣3，﹣a n=﹣3，∴a n+1∴a2﹣a1=﹣3，a3﹣a2=﹣3，…a8﹣a7=﹣3，进行叠加：a8﹣a1=﹣3×7，∴a8=﹣21+（﹣1）=﹣22，故选C；【点评】此题主要考查等差数列的递推公式及其应用，是一道基础题；4．（5分）先后抛掷硬币三次，则至少一次正面朝上的概率是（）A．B．C．D．【分析】至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，先做出三次反面都向上的概率，利用对立事件的概率做出结果．【解答】解：由题意知至少一次正面朝上的对立事件是没有正面向上的骰子，至少一次正面朝上的对立事件的概率为，1﹣=．故选D．【点评】本题考查对立事件的概率，正难则反是解题是要时刻注意的，我们尽量用简单的方法来解题，这样可以避免一些繁琐的运算，使得题目看起来更加清楚明了．5．（5分）已知点M（，0），椭圆+y2=1与直线y=k（x+）交于点A、B，则△ABM的周长为（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】直线过定点，由椭圆定义可得AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4，由△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM），求出结果．【解答】解：直线过定点，由题设知M、N是椭圆的焦点，由椭圆定义知：AN+AM=2a=4，BM+BN=2a=4．△ABM的周长为AB+BM+AM=（AN+BN）+BM+AM=（AN+AM）+（BN+BM）=8，故选：B．【点评】本题考查椭圆的定义，直线经过定点问题，直线和圆锥曲线的关系，利用椭圆的定义是解题的关键，属于中档题．6．（5分）下列有关命题的说法正确的是（）A．“x2=1”是“x=1”的充分不必要条件B．“x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为真命题C．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＜0”D．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题【分析】A，“x2=1”是“x=1”的必要条件；B，“由x=1时，x2﹣3x+2=0可判定；C，“＜0”的否定是：“≥0”；D，判定原命题真假，由命题的逆否命题与原命题同真假即可判定；【解答】解：对于A，“x2=1”是“x=1”的必要条件，故错；对于B，“x=2时，x2﹣3x+2=0”的否命题为“x≠2时，x2﹣3x+2≠0”，∵x=1时，x2﹣3x+2=0，故错；对于C，命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，故错；对于D，命题“若x=y，则sinx=siny”为真命题，故其逆否命题为真命题，故正确；故选：D【点评】本题考查了命题真假的判定，属于基础题．7．（5分）函数f（x）=﹣（）x的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【分析】令f（x）=0，即=（）x，画出函数y=与y=（）x的图象，观察两函数图象的交点个数即可．【解答】解：令f（x）=0，即=（）x，则函数f（x）=﹣（）x的零点个数等价于函数y=与y=（）x图象的交点个数．在同一坐标系中作出函数y=与y=（）x图象，如右图所示．由图知，两函数图象只有一个交点，所以函数的零点个数为1．故答案为：B．【点评】对于由两个函数构成的函数的零点个数问题，求解的一般步骤是：先转化为方程的实根问题，整理成两边各一个函数，再作出两函数的图象，从而将零点问题转化为两函数图象的交点个数问题．体现了函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想等．8．（5分）某几何体的三视图如图所示，其体积为（）A．28πB．37πC．30πD．148π【分析】几何体为大圆柱中挖去一个小圆柱，代入体积公式计算即可．【解答】解：由三视图可知几何体为大圆柱里面挖去一个小圆柱．大圆柱的底面半径为4，高为4，小圆柱的底面半径为3，高为3，∴几何体的体积V=π×42×4﹣π×32×3=37π．故选B．【点评】本题考查了常见几何体的三视图与体积计算，属于基础题．9．（5分）两个相关变量满足如表关系：根据表格已得回归方程：=9.4x+9.2，表中有一数据模糊不清，请推算该数据是（）A．37 B．38.5 C．39 D．40.5【分析】求出代入回归方程解出，从而得出答案．【解答】解：=，∴=9.4×4+9.2=46.8．设看不清的数据为a，则25+a+50+56+64=5=234．解得a=39．故选C．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心的特点，属于基础题．10．（5分）已知函数f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx），则下面结论中错误的是（）A．函数f（x）的最小正周期为πB．函数f（x）的图象关于直线对称C．函数f（x）的图象可由g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位得到D．函数f（x）在区间上是增函数【分析】将f（x）化简，结合三角函数的性质求解即可．【解答】解：函数，化简可得：f（x）=cos2x+3sinxcosx﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x+sin2x=2sin （2x+）最小正周期T=．∴A对．令x=，即f（）=2sin（）=2，∴关于直线对称，B对．函数g（x）=2sin2x的图象向右平移个单位，可得：2sin2（x﹣）=2sin（2x ﹣）≠f（x），∴C不对．令2x+≤上单调递增，可得：，∴函数f（x）在区间上是增函数，∴D对．故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．11．（5分）某程序框图如图所示，若输入的n=10，则输出结果为（）A．B．C．D．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=++…+的值，由于S=++…+=（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）=1﹣=．故选：C．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．12．（5分）已知双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点与抛物线y=x2的焦点重合，则此双曲线的离心率为（）A．3 B．C．D．2【分析】先求出抛物线y=x2的焦点坐标，由此得到双曲线3y2﹣mx2=3m（m＞0）的一个焦点，从而求出m的值，进而得到该双曲线的离心率．【解答】解：∵抛物线y=x2的焦点是（0，2），∴c=2，双曲线3y2﹣mx2=3m可化为﹣=1∴m+3=4，∴m=1，∴e==2．故选．D【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时利用抛物线的性质进行求解．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）．13．（5分）若非零向量，满足||=|+|=2，||=1，则向量与夹角的余弦值为﹣．【分析】运用向量的平方即为模的平方，计算可得•=﹣，再由向量夹角公式：cos＜，＞=，计算即可得到所求值．【解答】解：由非零向量，满足||=|+|=2，||=1，可得||2=|+|2=||2+||2+2•=4，则•=﹣，即有向量与夹角的余弦值为==﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查向量数量积的夹角公式的运用，考查向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于中档题．14．（5分）在△ABC中，=1．【分析】根据诱导公式与两角和的正弦公式，证出sinA=sinBcosC+cosBsinC，结合正弦定理证出a=bcosC+ccosB，即可得到所求式子的值．【解答】解：∵△ABC中，A+B+C=π，∴sinA=sin（π﹣A）=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC．根据正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，（R是△ABC外接圆半径），∵sinA=sinBcosC+cosBsinC，∴2RsinA=2RsinBcosC+2RcosBsinC，即a=bcosC+ccosB，由此可得=1．故答案为：1【点评】本题在△ABC中，求式子的值．着重考查了三角形内角和定理、三角恒等变换与正弦定理等知识，属于中档题．15．（5分）某校高三年级的学生共1000人，一次测验成绩的分布直方图如图所示，现要按如图所示的4个分数段进行分层抽样，抽取50人了解情况，则在80～90分数段应抽取人数为20．【分析】根据分层抽样知在各层抽取的比例是：，把条件代入，再由抽取人数，求出在80～90分数段应抽取人数．【解答】解：根据题意和分层抽样的定义知，在80～90分数段应抽取人数为×50=20．故答案为：20．【点评】本题考查了频率分布直方图，分层抽样方法的应用，即根根据题意求出抽取比例和在各层抽取的个体数．16．（5分）在数列{a n}中，a1=2，a n+1=2a n，S n为{a n}的前n项和，若S n=126，则n=6．=2a n，结合等比数列的定义可知数列{a n}是a1=2为首项，以2为【分析】由a n+1公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．=2a n，【解答】解：∵a n+1∴，∵a1=2，∴数列{a n}是a1=2为首项，以2为公比的等比数列，∴S n===2n+1﹣2=126，∴2n+1=128，∴n+1=7，∴n=6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．三、解答题：要求写出计算或证明步骤（本大题共6小题，共70分，写出证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，．（1）求a的值；（2）若角A为锐角，求b的值及△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角余弦公式求出sinA的值，再由正弦定理即可求出a的值；（2）由sinA的值求出cosA的值，再由余弦定理即可求出b的值及△ABC的面积．【解答】解：（1）∵，且0＜A＜π，∴．∵，由正弦定理，得．（2）由得．由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得b2﹣2b﹣15=0．解得b=5或b=﹣3（舍负）．∴．【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力，是中档题．18．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（1）求证：A1C∥平面AB1D；（2）求A1到平面AB1D的距离．【分析】（1）连接A1B交AB1于O，连接OD，证明OD∥A1C，然后证明A1C∥平面AB1D．（2）设A 1点到平面AB1D的距离为h，通过求解三角形，推出，过D作DH⊥AB于H利用，求解即可．【解答】（1）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，在△BA1C中，O为BA1中点，D为BC中点∴OD∥A1C（3分）OD⊂平面AB1D∴A1C∥平面AB1D．（6分）（2）解：设A1点到平面AB1D的距离为h在△ADB1中，AB1==2，AD=ABsin60=，DB1==，∵△ADB1为直角三角形，∵×=（8分）==2，过D作DH⊥AB于H又∵ABC﹣A1B1C1为直棱柱∴DH⊥BB1直三棱柱∴DH⊥平面A1B1BA且DH=ADsin30°=（10分）∵，即，解得h=（12分）【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，点线面距离的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．19．（12分）某市对大学生毕业后自主创业人员给予小额贷款补贴，贷款期限分为6个月、12个月、18个月、24个月、36个月五种，对于这五种期限的贷款政府分别补贴200元、300元、300元、400元、400元，从2016年享受此项政策的自主创业人员中抽取了100人进行调查统计，选取贷款期限的频数如表：（Ⅰ）若小王准备申请此项贷款，求其获得政府补贴不超过300元的概率（以上表中各项贷款期限的频率作为2017年自主创业人员选择各种贷款期限的概率）；（Ⅱ）若小王和小李同时申请此项贷款，求两人所获得政府补贴之和不超过600元的概率．【分析】（1）由题意，所求概率为P=．（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，得出其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有13种，即可得出所求概率．【解答】解：（1）由题意，所求概率为（4分）（2）记a，b，c，d，e分别为选择6个月、12个月、18个月、24个月、36个月贷款，（6分）由题意知小王和小李的所有选择有：aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，bd，be，ca，cb，cc，cd，ce，da，db，dc，dd，de，ea，eb，ec，ed，ee，共25种，（8分）其中使得小王和小李获补贴之和不超过600的有aa，ab，ac，ad，ae，ba，bb，bc，ca，cb，cc，da，ea，共13种，（10分）所以所求概率为．（12分）【点评】本题考查了学生对概率统计知识的理解、列表法、古典概率计算公式，同时考查学生的数据处理能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知数列{a n}中，a n2+2a n﹣n2+2n=0（n∈N+）（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和S n．【分析】（Ⅰ）由已知可得（a n+1）2=（n﹣1）2，进而得到数列{a n}的通项公式（Ⅱ）根据（I）中通项公式，求出首项和公差，可得数列{a n}的前n项和S n．【解答】解：（Ⅰ）∵a n2+2a n﹣n2+2n=0，∴a n2+2a n+1=n2﹣2n+1，即（a n+1）2=（n﹣1）2，即a n+1=n﹣1，或a n+1=﹣n+1，即a n=n﹣2，或a n=﹣n；（Ⅱ）当a n=n﹣2时，数列是以﹣1为首项，以1为公差的等差数列，S n=，当a n=﹣n时，数列是以﹣1为首项，以﹣1为公差的等差数列，S n=﹣．【点评】本题考查的知识点是数列的递推公式，考查计算能力，分析归纳能力，难度中档．21．（12分）某公司生产的商品A每件售价为5元时，年销售10万件．（1）据市场调查，若价格每提高一元，销量相应减少1万件，要使销售收入不低于原销售收入，该商品的销售价格最多提高多少元？（2）为了扩大该商品的影响力，公司决定对该商品的生产进行技术革新，将技术革新后生产的商品售价提高到每件x元，公司拟投入万元作为技改费用，投入万元作为宣传费用．试问：技术革新后生产的该商品销售量m至少应达到多少万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和？【分析】（1）根据条件建立函数关系即可；（2）结合基本不等式的性质即可求出函数的最值．【解答】解：（1）设商品的销售价格提高a元，则销售量减少10﹣a万件，则（10﹣a）（5+a）≥50，即a2﹣5a≤0，解得0≤a≤5，故商品的销售价格最多提高5元．（2）由题意知，改革后的销售收入为mx万元，若使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和，则只需要满足mx=（x2+x）++50，（x＞5）即可，即m=x++≥+2=10+=，当且仅当x=，即x=10时，取等号，答：销售量m至少应达到万件时，才可能使技术革新后的该商品销售收入等于原销售收入与总投入之和．【点评】本题主要考查函数的应用问题，根据条件建立函数关系，利用基本不等式的性质求最值是解决本题的关键．22．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率e=，过点A（0，﹣b）和B（a，0）的直线与原点的距离为．（1）求椭圆的方程．（2）已知定点E（﹣1，0），是否存在k的值，使得直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．且EC⊥ED，并说明理由．【分析】（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆的方程．（2）联立方程组，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，由此利用韦达定理、根的判别式、向量的数量积，能求出实数k的值．【解答】解：（1）直线AB方程为bx﹣ay﹣ab=0，依题意可得：，解得：a2=3，b=1，∴椭圆的方程为+y2=1．（2）联立，得（1+3k2）x2+12kx+9=0，∴△=（12k）2﹣36（1+3k2）＞0…①，设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，…②而y1•y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4，∵CE⊥DE，则y1x1+y2x2+1=﹣1，即y1y2+（x1+1）（x2+1）=0，∴（k2+1）x1x2+（2k+1）（x1+x1）+5=0…③将②代入③整理得k=，经验证k=使得①成立，综上可知，k=．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、根的判别式、向量的数量积、椭圆性质的合理运用．21。

南涧县民族中学2016——2017学年上学期期中考高二数学（理）试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分，考试用时90分钟。

注:所有题目在答题卡上做答Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={y|y=log 2x ，x ＞1}，B={y|y=（）x，x ＞1}，则A∩B=（ ） A.{x|0＜x ＜} B ．{y|0＜y ＜1}C ．{y|＜y ＜1} D.{ y|0＜y ＜}2. 已知函数⎩⎨⎧+=≥=）（），则2)2()()5(log 2(2)(4x ＜x f f x x f xA.52B.53C.54D.55 3. 函数f (x )对于任意实数x 满足条件 f (x +4) =)(1x f ，且当 x ∈[2,10 ) 时, f (x )= )1(log 2-x , 则f ( 2010 )+ f (2011 )=（ ）A. -2B. -1C. 1D. 24．某几何体的三视图如右上图所示，则此几何体的体积等于（ ） A ．30 B ．12 C ．24 D ．45.按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M 处条件为（ ） A ．16k ≥ B ．8k < C ．16k < D ．8k ≥6.△ABC 周长等于20，面积等于60,310=∠A ，则a 为（ ）A ． 5B ．7C ． 6D ．87．若直线3x ﹣4y+5=0与圆x 2+y 2=r 2（r ＞0）相交于A ，B 两点，且∠AOB=120°（O 为坐标原点），则r=（ ） A ．1 B ．2 C ． D ．38．若函数f （x ）=|2x ﹣2|﹣b 有两个零点，则实数b 的取值范围是（ ）A ．0＜b ＜1B ．1＜b ＜2C ．1＜b ≤2D ．0＜b ＜29．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列前100项和为（ ） A ．B ．C ．D ．10.若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A ．B ．C ．D ．π11. 设函数()cos (0)f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( ) A.13B.3C.6D.912．已知x 、y 取值如表：画散点图分析可知：y 与x 线性相关，且求得回归方程为=x+1，则m 的值（精确到0.1）为（ ） A ．1.5 B ．1.6 C ．1.7 D ．1.8Ⅰ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分.） 13．与直线013=-+y x 垂直的直线的倾斜角为________14．如图，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，分数以O 、B 为圆心，半径为画圆弧，点P 在两圆之外的概率为 ．15．若函数是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围是 ．16．已知α、β均为锐角，且cos （α+β）=sin （α﹣β），则tan α= ．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（本小题满分10分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，3cos()cos 2A CB -+=，2b ac =，求B 。

南涧县民族中学2017 ―― 2018学年上学期期中考高一数学试题分层班级 ____________ 姓名 __________________ 学号 _________________本试卷分第I 卷（选择题）和第H 卷（非选择题）两部分，共 150分，考试用时120分钟。

第I 卷（选择题 共60分）、选择题（本大题共 12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是最符合题目要求的。

）1•已知集合A={2 , 3}, B={2 , 3, 5}，则集合 4•下列函数中表示相同函数的是x y = log 2 2 D . y = 4 一 x , x A of (x) = * ，则f _f(5 2 %, x 兰 0 1 1B. -2C.—D.-- y =log 2 C . y = x ^与 5.已知函数 A. 2 2 2 •：丨的值为\ x - 42 2 x x与y 6.已知a =1 -,b = log 1 ,c=lo §3 ，则32 3 2 A. c b -a B. b > c -a C. b > a > c 7 .设 lg 2 二a , lg 3 二b , 则lo g 512等于（） ” 2 a ba 2b 、2 a b - 11 ) a 2b1 a 1 a 1 —a 1 1 7 D.2 . _ .=ln x - 1的图象大致是（1 —a&函数f x A U B=( )A • {2}B • {2 , 3}C . {2 , 3, 5}D • {2 , 3, 2,3, 5} 2.函数f x - • x _1 • lg 3 一 x 的定义域为（A. 0, 3B. 1, ：：C. 1,3D. 11,33.函数 g x =|x 的单调递增区间是 （ ）A. 1.0,+ :: C. D. 1-2,+：：曲x2.A .y =2log。

南涧县民族中学2016——2017学年上学期期中考高一数学试题班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答 第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是最符合题目要求的。

）1．已知集合{}31|≤≤=x x A ，{}Z x x x B ∈≤=,4|，则B A ⋂= ( ) A ．（1，3） B ．[1，3]C ．{1，3}D ．{1，2，3}2．已知函数||)(x x f -=，则)(x f 是 ( ) A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既是奇函数又是偶函数 D ．非奇非偶函数 3．已知函数x x f 2log 1)(+=，则)21(f 的值为 ( ) A ． B ．C ．0D ．﹣14．若指数函数xa x f )2()(-=在（﹣∞，+∞）上是减函数，那么 ( ) A ．32<<a B ．12<<-a C ．3>aD ．10<<a5．设x 取实数，则)(x f 与)(x g 表示同一个函数的是 ( )A ．2)(,)(x x g x x f == B ．22)()(,)()(x xx g x x x f == C ．0)1()(,1)(-==x x g x f D ．3)(,39)(2-=+-=x x g x x x f6．函数82ln )(-+=x x x f 的零点在区间( ) 内． A ．（1，2） B ．（2，3）C ．（3，4）D ．（4，5）7．若502⋅=a ，50log 2⋅=b ，51log 2⋅=c ，则 ( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．b a c >>D ．a c b >>8．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是 ( )A ．x y -=B ．21+-=xxy C ．122---=x x y D ．12+=x y 9．方程1log 21+-=x x 的根的个数是 ( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个10．设2log 3=a ，则6log 28log 33-用a 表示的形式是 ( ) A ．2-a B ．2)1(3a a +- C ．25-a D ．231a a -+ 11.若函数)(x f y =为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又0)3(=f ，则()()02f x f x x+-<的解集为 ( )A ．(－3, 3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－∞，－3)∪(0,3)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)12．设)0()(2>++=a c bx ax x f 满足)1()1(x f x f -=+，则)2(x f 与)3(xf 的大小关系为( ) A ．)2()3(xxf f ≥ B ．)2()3(xxf f ≤ C ．)2()3(xxf f < D ．不确定第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）。

2016-2017学年云南省大理州南涧县高二(下）期中数学试卷（文科）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合U=｛﹣1，0，1,2，3，4,5}，A={1，2，3｝，B={﹣1,0，1，2},则A∩（∁U B）=（）A．{1,2，3} B．｛1，2｝C．{3｝D．｛2｝2．已知i为虚数单位,复数z满足z=i（z﹣i）,则复数z所对应的点Z在( ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在区间上随机取一个数x,若x满足|x｜≤m的概率为,则实数m为（）A．0 B．1 C．2 D．34．在等差数列｛a n｝中，已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列｛a n}的前5项的和为（）A．15 B．20 C．25 D．15或255．已知f(x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）=f（x)对x∈R恒成立，当x∈时,f（x）=2x，则=（）A． B．C．D．16．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点(x A＞x B），则=（)A． B． C．3 D．27．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）A．B．C．D．68．公元263年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为(参考数据：≈1.732，sin15°≈0.2588，sin75°≈0。

1305)（)A．2.598，3,3.1048 B．2。

598，3，3。

1056C．2.578,3,3。

1069 D．2。

588，3,3。

11089．关于函数f（x)=2cos2+sinx（x∈)下列结论正确的是（）A．有最大值3，最小值﹣1 B．有最大值2，最小值﹣2C．有最大值3，最小值0 D．有最大值2，最小值010．点A,B，C，D在同一个球的球面上，AB=BC=，∠ABC=90°，若四面体ABCD体积的最大值为3，则这个球的表面积为（）A．2πB．4πC．8πD．16π11．点P是双曲线的右支上一点，其左，右焦点分别为F1，F2，直线PF1与以原点O为圆心，a为半径的圆相切于A点,线段PF1的垂直平分线恰好过点F2，则离心率的值为（）A． B． C． D．12．设函数f'(x）是定义在(0,π)上的函数f（x）的导函数，有f（x）sinx﹣f’（x）cosx ＜0,,b=0，，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．c＜b＜a D．c＜a＜b二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，点E满足,则= ．14．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于．15．下列命题中，正确的命题序号是．①已知a∈R，两直线l1：ax+y=1，l2:x+ay=2a,则“a=﹣1”是“l1∥l2"的充分条件；②命题p：“∀x≥0，2x＞x2”的否定是“∃x0≥0，2x0＜x02”；③“sinα="是“α=2kπ+，k∈Z"的必要条件;④已知a＞0,b＞0，则“ab＞1”的充要条件是“a＞”．16．已知数列｛a n}满足a1=2,且,则{a n}的通项公式为．三、解答题（6个大题共70分,写出必要的解答过程)17．（12分）在△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b,c，且2acosC﹣c=2b．（Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ)若c=，角B的平分线BD=，求a．18．（12分）某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组22．（10分)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数),在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为．（Ⅰ）求圆C的圆心到直线l的距离；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B．若点P的坐标为（3,），求｜PA｜+|PB｜．2016-2017学年云南省大理州南涧县民族中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题(本大题共12小题,每小题5分，共60分）1．设集合U=｛﹣1,0,1，2,3，4,5}，A={1，2，3}，B={﹣1,0，1，2｝，则A∩(∁U B）=（）A．{1，2,3} B．{1，2} C．{3｝D．{2}【考点】1H:交、并、补集的混合运算．【分析】利用集合的补集的定义求出集合B的补集；再利用集合的交集的定义求出A∩C U B 【解答】解:∵U={﹣1,0，1,2，3，4，5}，A={1,2，3｝,B={﹣1,0，1，2}，∴∁U B=｛3，4，5}A∩∁U B=｛1，2,3｝∩{3，4,5}=｛3}故选：C．【点评】本题考查集合的交集、并集、补集的定义并用定义解决简单的集合运算．2．已知i为虚数单位,复数z满足z=i（z﹣i）,则复数z所对应的点Z在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形,利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．【解答】解:∵z=i（z﹣i)=i•z+1，∴z=，∴复数z所对应的点Z的坐标为（），在第一象限．故选:A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．在区间上随机取一个数x，若x满足｜x|≤m的概率为,则实数m为( ）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】CF：几何概型．【分析】求解不等式｜x｜≤m,得到﹣m≤x≤m,得其区间长度，求出区间的长度，由两区间长度比列式得答案．【解答】解：区间的区间长度为4．不等式|x｜≤m的解集为，区间长度为2m，由，得m=1．故选：B．【点评】本题考查几何概型，是基础的计算题．4．在等差数列｛a n}中,已知a4=5，a3是a2和a6的等比中项，则数列{a n}的前5项的和为( ）A．15 B．20 C．25 D．15或25【考点】85：等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的通项公式和等比中项定义，列出方程组，求出a1=﹣1，d=2,由此能求出数列｛a n}的前5项的和．【解答】解:∵在等差数列｛a n｝中，a4=5，a3是a2和a6的等比中项，∴,解得a1=﹣1，d=2，∴数列｛a n}的前5项的和为：=5×（﹣1）+5×4=15．故选：A．【点评】本题考查等差数列的前五项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．5．已知f（x）是定义在R上的偶函数,且f（x+2)=f（x）对x∈R恒成立，当x∈时，f（x）=2x,则=（）A．B．C．D．1【考点】3L：函数奇偶性的性质．【分析】先确定函数f（x）的周期为2,再利用函数f（x)是定义在R上的偶函数,当x∈时，f（x）=2x，即可得出结论．【解答】解：∵f（x+2）=f(x）对x∈R恒成立，∴f（x)的周期为2，(x)是定义在R上的偶函数，∴=f（﹣）=f（）∵当x∈时，f（x）=2x，∴f(）=，故选：B．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查函数的周期性，属于中档题．6．过抛物线y2=4x的焦点F且斜率为的直线交抛物线于A，B两点（x A＞x B），则=（）A．B．C．3 D．2【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】设出A、B坐标，利用抛物线焦半径公式求出|AB|，结合抛物线的性质x1x2=2，求出x1=2，x2=，然后求比值即可．【解答】解:设A（x1，y1),B（x2,y2），则斜率为，sinα=｜AB|=x1+x2+p=,∴x1+x2==,又x1x2=2可得x1=2，x2=，∴==2．故选D．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线的简单性质，特别是焦点弦问题，解题时要善于运用抛物线的定义解决问题．7．将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．6【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，进而得到答案．【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体是一个正方体切去一个三棱锥所得的组合体，正方体的体积为：8，三棱锥的体积为：××2×2×1=，故组合体的体积V=8﹣=，故选：A．【点评】本题考查的知识点是棱锥的体积与表面积,棱柱的体积与表面积,简单几何体的三视图,难度中档．8．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术"．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3。

南涧县民族中学2016-2017学年下学期期中考高二数学试题（文科）班级 姓名 学号本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。

注:所有题目在答题卡上做答第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合{}{}{}1,0,1,2,3,4,5,1,23,1,0,1,2U A B =-==-，，则=⋂)(B C A U A ．{}1,2,3 B ．{}1,2 C ．{}3 D ．{}2 2．已知i 为虚数单位，复数z 满足()z i z i =-，则复数z 所对应的点Z 在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3．在区间[]1,3-上随机取一个数,x 若x 满足m x ≤的概率为21，则实数m 为A ． 0B ．1C ．2D ．34．在等差数列{}n a 中，已知43265,a a a a =是和的等比中项，则数列{}n a 的前5项的和为 A.15 B.20 C.25 D.1525或5． 已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且()()+2f x f x =对x R ∈恒成立，当[]0,1x ∈时，()2x f x =，则92f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭A.12B.D. 16.过抛物线24y x =的焦点F且斜率为,A B 两点(A B x x >)，则AFBF= A.32 B. 34 C. 3 D.2 7. 将正方体切去一个三棱锥得到几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 A ．223 B ．203 C ．163D ．68．公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形的面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值 3.14，这就是著名的“徽率”．如上图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，其中n 表示圆内接正多边形的边数，执行此算法输出的圆周率的近似值依次为( 1.732,sin150.2588,sin 7.50.1305≈≈≈) A ．2.598，3，3.1048 B. 2.598，3， 3.1056 C. 2.578，3，3.1069 D.2.588，3，3.11089．关于函数()[]()22cos 0,2xf x x x π=∈下列结论正确的是 A.有最大值3，最小值1- B. 有最大值2，最小值2- C.有最大值3，最小值0 D. 有最大值2，最小值010．点A ，B ，C ，D 在同一个球的球面上， ，∠ABC=90°，若四面体ABCD 体积的最大值为3，则这个球的表面积为A ．2π B. 4π C. 8π D. 16π11．点P 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右支上一点，其左，右焦点分别为12,F F ，直线1PF 与以原点O 为圆心,a 为半径的圆相切于A 点，线段1PF 的垂直平分线恰好过点2F ，则离心率的值为 A ．32 B ．43 C ．53 D ． 5412． 设函数()f x '是定义在（0，π）上的函数()f x 的导函数，有()f x sinx －()f x 'cosx ＜0，1()23a f π=，b=0，5()26c f π=-，则A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知菱形ABCD 的边长为2，=60ABC ∠，点E 满足1=2BE BC ，则=•→→AD AE ．14．若x ，y R ∈，且满足1,230,,x x y y x ≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩则23z x y =+的最大值等于 ．15．下列命题中，正确的命题序号是 ．①. 已知a R ∈，两直线1:1,l ax y += 2:2l x ay a +=，则“1a =-”是“12//l l ”的充分条件； ②. 命题:p “0x ∀≥，22x x >”的否定是“00x ∃≥，0202x x <”；③.“1sin 2α=”是“2,6k k Z παπ=+∈”的必要条件； ④. 已知0,0a b >>，则“1ab >”的充要条件是“1a b >” ．16．已知数列{}n a 满足12a =，且31122(2)234n n aa a a a n n-+++⋅⋅⋅+=-≥，则{}n a 的通项公式为__________．三、解答题（6个大题共70分，写出必要的解答过程） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cosC c 2b a -=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若c ＝2，角B 的平分线BD ＝3，求a ．B CAD18．（本小题满分12分）某单位N名员工参加“我爱阅读”活动，他们的年龄在25岁至50岁之间，按年龄分组：第1组[)25,30，第2组[)30,35，第3组[)35,40，第4组[)40,45，第5组[)45,50，得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求正整数,,a b N的值；（Ⅱ）现要从年龄低于40岁的员工用分层抽样的方法抽取42人，则年龄在第1,2,3组得员工人数分别是多少？（Ⅲ）为了估计该单位员工的阅读倾向，现对该单位所有员工中按性别比例抽查的40人是否喜欢阅读国学类书籍进行了调查，调查结果如下所示：（单位：人）根据表中数据，我们能否有99%的把握认为该位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.()2P K k≥0.05 0.025 0.010 0.005 0.001喜欢阅读国学类不喜欢阅读国学类合计男14 4 18女8 14 22合计22 18 40下面是年龄的分布表：区间hslx3y3h25，30）hslx3y3h30，35）hslx3y3h35，40）hslx3y3h40，45）hslx3人数28 a bk 3. 841 5.024 6.635 7.879 10.82819．（本小题满分12分）如图，菱形ABCD的边长为12，∠BAD=60°，AC交BD于点O．将菱形ABCD沿对角线AC 折起，得到三棱锥B-ACD，点M，N分别是棱BC，AD的中点，且DM=62．(Ⅰ)求证：OD ⊥平面ABC；(Ⅱ)求三棱锥M -ABN的体积.20．（本小题满分12分）已知点,A B 分别为椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左，右顶点，点()0,2P -，直线BP 交E于点Q ，32PQ QB =且ABP ∆是等腰直角三角形． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设过点P 的动直线l 与E 相交于M ，N 两点，当坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外时，求直线l 斜率的取值范围．21.（本小题满分12分）已知函数3()()xf x a bx e =-，ln ()xg x x=，且函数()f x 的图象在点(1,)e 处的切线与直线210ex y +-=平行．(Ⅰ)求,a b ；(Ⅱ)求证：当(0,1)x ∈时， ()()2f x g x ->．22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (225223⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=为参数)，在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极轴，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρsin 52=.（I ）求圆C 的圆心到直线l 的距离；（Ⅱ）设圆C 与直线l 交于点B A ,，若点P 的坐标为)5,3(，求PB PA +.南涧县民族中学2016-2017学年下学期期中考高二文科数学参考答案及评分标准一、选择题（每题5分，共60分）二、填空题（每题5分，共20分）13．0 14．15 15. ①③④ 16．1n a n =+ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）2a cos C －c ＝2b ，由正弦定理得 2sin A cos C －sin C ＝2sin B ， …2分2sin A cos C －sin C ＝2sin(A ＋C ) ＝2sin A cos C ＋2cos A sin C ， ∴－sin C ＝2cos A sinC ，∵sin C ≠0，∴cos A ＝－ 12，而A ∈(0, π)，∴A ＝2π3. …………………………………………6分（Ⅱ）在△ABD 中，由正弦定理得，AB sin ∠ADB ＝BDsin A∴ sin ∠ADB ＝AB sin A BD＝ 22， ……………………………………8分∴ ∠ADB ＝π4，∴∠ABC ＝π6，∠ACB ＝π6，AC ＝AB ＝ 2由余弦定理，a =BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ∙AC cos A ＝ 6. …………………12分18．（本小题满分12分） 【解析】：（Ⅰ）总人数：28002.0528=⨯=N ，,28=a第3组的频率是：4.0)02.006.002.002.0(51=+++⨯-所以1124.0280=⨯=b …………………………………………………4分（Ⅱ）因为年龄低于40岁的员工在第1，2，3组，共有1681122828=++（人）， 利用分层抽样在168人中抽取42人，每组抽取的人数分别为：第1组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第2组抽取的人数为71684228=⨯（人）， 第3组抽取的人数为2816842112=⨯（人），所以第1，2，3组分别抽7人、7人、28人.………………………………8分（Ⅲ）假设0H ：“是否喜欢看国学类书籍和性别无关系”，根据表中数据，求得2K 的观测值240(141448) 6.8605 6.63522182218k ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 查表得2( 6.635)0.01P K ≥=，从而能有99%的把握认为该单位员工是否喜欢阅读国学类书籍和性别有关系…………………………12分19．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）证明：ABCD 是菱形，∴AD DC =，OD AC ⊥在ADC ∆中，12,120AD DC ADC ==∠=， ∴6OD = 又M 是BC 中点， ∴16,622OM AB MD ===222OD OM MD +=， ∴DO OM ⊥ ,OM AC ⊂面ABC ，,OMAC O =∴OD ⊥面ABC . ………………6分（Ⅱ）解：取线段AO 的中点E ，连接NE.∵N 是棱AD 的中点，∴//12NE DO =.∵由（Ⅰ）得OD ⊥面ABC ,∴NE ⊥面ABC 在ABM ∆中，12,6,120AB BM ABM ==∠=1sin 2ABM S AB BM ABM ∆∴=⋅⋅⋅∠13126322=⋅⋅⋅=∴11111832223M ABN M ABD D ABM ABMV V V S OD ---====. ……………12分20．（本小题满分12分）【解析】：（Ⅰ）由题意知△ABP 是等腰直角三角形，a =2，B （2，0）， 设Q （x 0，y 0），由32PQ QB =，则0064,55x y ==-，代入椭圆方程，解得b 2=1， ∴椭圆方程为2214x y +=.……………5分（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在，方程为y=kx ﹣2，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则22214y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：（1+4k 2）x 2﹣16kx+12=0， 由韦达定理可知：x 1+x 2=21614k k +，x 1x 2=21214k+，……………8分 由直线l 与E 有两个不同的交点，则△＞0， 即（﹣16k ）2﹣4×12×（1+4k 2）＞0，解得：k 2＞34，………①……………9分 由坐标原点O 位于以MN 为直径的圆外，则0OM ON >，即x 1x 2+y 1y 2＞0， 则x 1x 2+y 1y 2=x 1x 2+（kx 1﹣2）（kx 2﹣2）=（1+k 2）x 1x 2﹣2k×（x 1+x 2）+4 =（1+k 2）21214k +﹣2k×21614kk++4＞0， 解得：k 2＜4，………………………………………………②……………11分 综合①②可知：34＜k 2＜4，解得2＜k ＜2或﹣2＜k＜﹣2， 直线l 斜率的取值范围（﹣2，﹣2）∪（2，2）．……………12分21.（本小题满分12分）【解析】：(Ⅰ)因为 (1)f e =，故(),a b e e -=故1a b -=……………………①依题意，(1)2f e '=-；又23()(32)xf x x x e '=--+,故42a b -=-…………②联立①②解得2,1a b == ………………………………………………5分 （Ⅱ）证明：要证()()2f x g x ->，即证3ln 22x x xe e x x->+……………6分 令3()2xx h x e e x =-∴322()(32)(1)(22)xxh x e x x e x x x '=--+=-++- 故当(0,1)x ∈时，0,10;xe x -<+>令2()22p x x x =+-，因为()p x 的对称轴为-1x =，且(0)(1)0p p ⋅< 故存在0(0,1)x ∈，使得0()0p x =故当0(0,)x x ∈时，2()220p x x x =+-<，故2()(1)(22)0x h x e x x x '=-++->，即()h x 在0(0,)x 上单调递增 当0(,1)x x ∈时，2()220p x x x =+->，故2()(1)(22)0x h x e x x x '=-++-< 即()h x 在0(,1)x 上单调递减又因为(0)2,(1)h h e ==故当(0,1)x ∈时，()(0)2h x h >=………………10分 又当(0,1)x ∈时，ln ln 0,22x x x x<∴+<………………11分 所以3ln 22x x x e e x x ->+，即()()2f x g x ->………………12分22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：（Ⅰ）解：圆C：(225x y +=，C ( 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 225223可得直线l 的方程为035=--+y x ， 所以圆C 的圆心到直线l 的距离为22323550=--+………………….5分 （Ⅱ）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得5)22()223(22=+-t t ， 即04232=+-t t ，由于0244)23(2>=⨯-=∆， 故可设21,t t 是上述方程的两个实根， 所以⎩⎨⎧==+,4,232121t t t t 又直线l 过点)5,3(P ， 故由上式及其几何意义得232121=+=+=+t t t t PB PA …………………10分。

2018-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件4．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．5．下列说法正确的是（）A．已知命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x≤0，2x≠3B．“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题D．命题“∀x∈R，sinx＜x”是真命题6．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．07．已知点P（x，y）满足，则的最大值为（）A．2 B．C．D．48．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+1210．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是（）A．8 B．6 C．4 D．211．在△ABC中，若a=2，，B=60°，则角A的大小为（）A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°12．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于．14．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是．=，且a1=2，则a n=．15．已知在数列{a n}中，a n+116．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．18．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=| |，求实数m的值．19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）求证：BE⊥面ABC；（2）设△ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[240，260）的用户中应抽取多少户？21．已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．22．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．2018-2018学年云南省大理州南涧县民族中学高二（上）12月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，则A∪B=（）A．{2，4}B．{﹣2，4}C．{﹣2，2，4}D．{﹣4，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】由A与B交集的元素为4，得到4属于A且属于B，得到a2=4，求出a 的值，确定出A与B，即可确定出两集合的并集．【解答】解：∵集合A={a，4}，B={2，a2}，且A∩B={4}，∴a2=4，解得：a=2或a=﹣2，当a=2时，A={2，4}，B={2，4}，不合题意，舍去；当a=﹣2时，A={﹣2，4}，B={2，4}，则A∪B={﹣2，2，4}．故选：C2．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【考点】函数的零点；函数奇偶性的判断．【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D3．若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．【解答】解：若函数f（x）的定义域是R，由“f（0）=0”推不出“f（x）为奇函数”．由奇函数的定义可知f（0）=﹣f（0）所以可得2f（0）=0所以f（0）=0．∴若函数f（x）的定义域是R，则“f（0）=0”是“f（x）为奇函数”的必要非充分条件．故选B．4．函数y=lncosx（）的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】利用函数的奇偶性可排除一些选项，利用函数的有界性可排除一些个选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos（﹣x）=cosx，∴是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选A．5．下列说法正确的是（）A．已知命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x≤0，2x≠3B．“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的充分不必要条件C．命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题D．命题“∀x∈R，sinx＜x”是真命题【考点】命题的真假判断与应用．【分析】写出特称命题的否定判断A；由复合命题的真假判断判断B；利用函数零点判定定理判断C；举例说明D错误．【解答】解：命题p：∃x0＞0，2x0=3，则￢p是∀x＞0，2x≠3，故A错误；由p∧q为假命题，可知p、q中至少一个为假命题，则p∨q可能为真命题；反之，p∨q为假命题，可知p、q均为假命题，则p∧q为假命题．∴“p∧q为假命题”是“p∨q为假命题”的必要不充分条件，故B错误；令f（x）=lnx+x2，f′（x）=＞0在（0，1）上恒成立，f（x）=lnx+x2在（0，1）上为增函数，又f（1）=1＞0，当x＞0且趋于0时，f（x）＜0．∴f（x）在（0，1）上有零点，即命题“∃x∈（0，1），lnx+x2=0”是真命题，故C 正确；当x=0时，sin0=0，∴命题“∀x∈R，sinx＜x”是假命题，故D错误．故选：C．6．函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴有且仅有一个交点，则实数m的值为（）A．﹣1或﹣2 B．﹣1 C．﹣2 D．0【考点】二次函数的性质．【分析】当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得即可．【解答】解：∵函数f（x）=（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣1的图象与x轴只有一个交点，当m=﹣1时，f（x）=﹣1，与x轴没有交点，当m≠﹣1时，△=4（m+1）2+4（m+1）=0，解得，m=﹣2，故选：C．7．已知点P（x，y）满足，则的最大值为（）A．2 B．C．D．4【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的几何意义，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：设k=，则k的几何意义是动点P（x，y）到定点D（﹣1，0）的斜率，作出不等式组对应的平面区域，由图象可知，AD的斜率最大，由，解得，即A（1，3），此时AD的斜率k=，故选：C8．若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（0，2） C．（1，+∞）D．（0，1）【考点】椭圆的定义．【分析】先把椭圆方程整理成标准方程，进而根据椭圆的定义可建立关于k 的不等式，求得k 的范围．【解答】解：∵方程x 2+ky 2=2，即表示焦点在y 轴上的椭圆∴故0＜k ＜1故选D ．9．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A ．28+6B ．30+6C ．56+12D ．60+12【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S 底==10，S 后=，S 右==10，S 左==6．几何体的表面积为：S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6．故选：B ．10．若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是（）A．8 B．6 C．4 D．2【考点】程序框图．【分析】因为n=50，由程序框图写出每次循环S，i的值，判断当S≥n时，退出循环，即可求得输出i的值．【解答】解：由程序框图知，n=50，S=0，i=1S=1，i=2，S＜n，继续执行循环；S=4，i=3，S＜n，继续执行循环；S=11，i=4，S＜n，继续执行循环；S=26，i=5，S＜n，继续执行循环；S=57，i=6，此时S＞n，退出循环，输出i的值为6；故答案为：B．11．在△ABC中，若a=2，，B=60°，则角A的大小为（）A．30°或150°B．60°或120°C．30°D．60°【考点】正弦定理．【分析】由B的度数求出sinB的值，再由a与b的值，利用正弦定理求出sinA 的值，由a小于b，根据大边对大角得到A小于B，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：∵a=2，b=2，B=60°，∴由正弦定理=得：sinA==，又a＜b，∴A＜B，则A=30°．故选C12．在△ABC中，若2cosB•sinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】在△ABC中，总有A+B+C=π，利用此关系式将题中：“2cosB•sinA=sinC，”化去角C，最后得到关系另外两个角的关系，从而解决问题．【解答】解析：∵2cosB•sinA=sinC=sin（A+B）⇒sin（A﹣B）=0，又B、A为三角形的内角，∴A=B．答案：C二、填空题（本大题共4个小题，每个小题5分，共20分）13．若锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，则BC等于7．【考点】余弦定理的应用．【分析】利用三角形的面积公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【解答】解：因为锐角△ABC的面积为，且AB=5，AC=8，所以，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC==7．故答案为：7．14．已知点G是△ABC的重心，若∠A=120°，•=﹣2，则||的最小值是．【考点】向量的模；三角形五心．【分析】根据点G是△ABC的重心，故=（+），又由∠A=120°，•=﹣2，我们可以求出||•||=4，进而根据基本不等式，求出|+|的取值范围，进而得到||的最小值．【解答】解：∵∠A=120°，•=﹣2，∴||•||=4，又∵点G是△ABC的重心，∴||=|+|==≥=故答案为：=，且a1=2，则a n=．15．已知在数列{a n}中，a n+1【考点】数列递推式．【分析】利用累积法进行求解．【解答】解：（1）∵a1=4，a n+1=，∴，则=，=，=，…=，两式相乘得==，则a n=×2=．故答案为：．16．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球，从袋中任取两球，求取得两球颜色为一白一黑的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】用列举法求得所有的情况共有15种，其中满足两球颜色为一白一黑的有6种，由此求得取得两球颜色为一白一黑的概率．【解答】解：1个红球，2个白球和3个黑球记为a1；b1，b2；c1，c2，c3 ，从袋中任取两球有（a1，b1），（a1，b2），（a1，c1），（a1，c2），（a1，c3），（b1，b2），（b1，c1），（b1，c2），（b1，c3），（b2，c1），（b2，c2），（b2，c3），（c1，c2），（c1，c3），（c2，c3）共15种情况，故满足两球颜色为一白一黑有6种，故所求事件的概率等于．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}是等差数列，{b n}是等比数列，且a1=b1=2，b4=54，a1+a2+a3=b2+b3．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）数列{c n}满足c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（1）利用等比数列的通项公式，可求确定公比，从而可求{b n}的通项公式，利用a1+a2+a3=b2+b3，可得数列的公差，从而可求数列{a n}的通项公式；（2）利用错位相减法可求数列{c n}的前n项和S n．【解答】解：（1）设{a n}的公差为d，{b n}的公比为q由=54，得，从而q=3因此又a1+a2+a3=3a2=b2+b3=6+18=24，∴a2=8从而d=a2﹣a1=6，故a n=a1+（n﹣1）•6=6n﹣4（2）令两式相减得=﹣（3n﹣2）•3n=∴，又．18．已知椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）设直线y=x+m与椭圆Γ交于不同两点A，B，若点P（0，1）满足||=| |，求实数m的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4，求出a，b，即可求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定AB的中点坐标，利用R（0，1），且|RA|=|RB|，可得斜率之间的关系，从而可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆Γ： +=1（a＞b＞0）的一个焦点为，且Γ上一点到其两焦点的距离之和为4，∴，a=2．…故b=1．…故椭圆方程为．…（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），由得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，由△＞0得．…，得，故AB的中点．…因为PM⊥AB，所以，…得满足条件．…19．如图，在四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC=2，CD=，AB=AC．（1）求证：BE⊥面ABC；（2）设△ABC为等边三角形，求直线CE与平面ABE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）利用底面是矩形得到BE⊥BC，结合侧面ABC⊥底面BCDE得到所证；（2）利用（1）的结论，取AB的中点H，连接EH利用△ABC为等边三角形得到∠CEH是直线CE与平面ABE所成角．【解答】（1）证明：∵底面BCDE为矩形，∴BE⊥BC．∵侧面ABC⊥底面BCDE，且交线为BC，BE⊂平面ABCD．∴BE⊥面ABC．（2）解：由（1）可知BE⊥面ABC．∵BE⊂平面ABE．∴平面ABE⊥底面ABC，且交线为AB．取AB的中点H，连接EH．∵△ABC为等边三角形，∴CH⊥AB，CH⊥平面ABE．∴∠CEH是直线CE与平面ABE所成角．在矩形BCDE中，．在正△ABC中，．∴．．20．某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，200），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．（1）求月平均用电量的众数和中位数；（2）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[240，260）的用户中应抽取多少户？【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．【分析】（1）根据累积频率为1，求出x，进而可得月平均用电量的众数和中位数；（2）根据分层抽样的等比例性质，计算出抽样比，可得答案．【解答】解：（1）①由（0.018+0.0185+0.011+0.0125+x+0.018+0.0185）×20=1得：x=0.0185，所以直方图中x的值是0.0185．…②月平均用电量的众数是．…③因为（0.018+0.0185+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.018+0.0185+0.011）×20+0.0125×（a﹣220=0.5）得a=224．所以月平均用电量的中位数是224．…（2）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0185×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.018×20×100=10户，月平均用电量为[280，300）的用户有0.0185×20×100=5户，…抽取比例：，…所以月平均用电量在[240，260）的用户应抽取户．…21．已知锐角三角形△ABC内角A、B、C对应边分别为a，b，c．．（Ⅰ）求A的大小；（Ⅱ）求cosB+cosC的取值范围．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦函数的定义域和值域．【分析】（Ⅰ）由余弦定理表示出b2+c2﹣a2=2bccosA，代入即可得到sinA的值，然后根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的大小；（Ⅱ）由三角形为锐角三角形且由（Ⅰ）得到A的度数可知B+C的度数，利用C 表示出B并求出B的范围，代入所求的式子中，利用两角差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，再利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数为sin（B+），然后根据求出的B的范围求出B+的范围，根据角的范围，利用正弦函数的图象即可求出sin（B+）的范围即为cosB+cosC的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理知，b2+c2﹣a2=2bccosA，∴，∵，∴；（Ⅱ）∵△ABC为锐角三角形，且，∴，∴===，∵，∴，即cosB+cosC的取值范围是．22．已知点P（2，2），圆C：x2+y2﹣8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A，B 两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点．（1）求M的轨迹方程；（2）当|OP|=|OM|时，求l的方程及△POM的面积．【考点】轨迹方程；三角形的面积公式．【分析】（1）由圆C的方程求出圆心坐标和半径，设出M坐标，由与数量积等于0列式得M的轨迹方程；（2）设M的轨迹的圆心为N，由|OP|=|OM|得到ON⊥PM．求出ON所在直线的斜率，由直线方程的点斜式得到PM所在直线方程，由点到直线的距离公式求出O到l的距离，再由弦心距、圆的半径及弦长间的关系求出PM的长度，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：（1）由圆C：x2+y2﹣8y=0，得x2+（y﹣4）2=16，∴圆C的圆心坐标为（0，4），半径为4．设M（x，y），则，．由题意可得：．即x（2﹣x）+（y﹣4）（2﹣y）=0．整理得：（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣3）2=2．（2）由（1）知M的轨迹是以点N（1，3）为圆心，为半径的圆，由于|OP|=|OM|，故O在线段PM的垂直平分线上，又P在圆N上，从而ON⊥PM．∵k ON=3，∴直线l的斜率为﹣．∴直线PM的方程为，即x+3y﹣8=0．则O到直线l的距离为．又N到l的距离为，∴|PM|==．∴．2018年1月18日。