初中数学因式分解的应用培优练习题2（附答案详解）1．已知243m -m-10m -m -m 2=+，则计算：的结果为（ ）. A ．3B ．-3C ．5D ．-52．如果一个三角形的三边a 、b 、c ，满足2ab bc b ac +=+，那么这个三角形一定是（ ）A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．阅读材料:若22228160m mn n n -+-+=，求m 、n 的值. 解: 22228160m mn n n -+-+=Q ，222(2)(816)0m mn n n n ∴-++-+= 22()(4)0m n n ∴-+-=，0,40m n n ∴-=-=， 4,4n m ∴==.根据你的观察，探究下面的问题:（1）己知2222210x xy y y ++++=，求x y -的值.（2）已知△ABC 的三边长a 、b 、c 都是正整数，且满足2268250a b a b +--+=，求边c 的最大值.（3） 若己知24,6130a b ab c c -=+-+=，求a b c -+的值.4．若一个整数能表示成22a b +（a ，b 是整数）的形式，则称这个数为“完美数”.例如，5是“完美数”，因为22521=+.再如，()222222M x xy y x y y =++=++（x ，y 是整数），所以M 也是“完美数”.（1）请你再写一个小于10的“完美数”，并判断29是否为“完美数”；（2）已知224412S x y x y k =++-+（x ，y 是整数，是常数），要使S 为“完美数”，试求出符合条件的一个2200-0=值，并说明理由.（3）如果数m ，n 都是“完美数”，试说明mn 也是“完美数”．. 5．阅读理解：添项法是代数变形中非常重要的一种方法，在整式运算和因式分解中使用添项法往往会起到意想不到的作用，例如：例1：计算(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1)解：原式＝(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(32﹣1)(32+1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) ＝(34﹣1)(34+1)(38+1)(316+1)(332+1) …… ＝例2：因式分解：x 4+x 2+1 解：原式＝x 4+x 2+1＝x 4+2x 2+1﹣x 2 ＝(x 2+1)2﹣x 2 ＝(x 2+1+x)(x 2+1﹣x) 根据材料解决下列问题： (1)计算：；(2)小明在作业中遇到了这样一个问题，计算，通过思考，他发现计算式中的式子可以用代数式之x 4+4来表示，所以他决定先对x 4+4先进行因式分解，最后果然发现了规律；轻松解决了这个计算问题.请你根据小明的思路解答下列问题：①分解因式：x 4+4； ②计算：.6．已知xy 15=，满足()()22x y xyx y 28---=（1）利用因式分解求x y -的值；（2）求22x y ,x y ++的值7．用双十字相乘法分解因式 例：20x 2+9xy-18y 2-18x+33y-14。
因式分解培优训练试题一．选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分）温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！1.下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．()()y x y x y x +-=+22422B ．()2244aya ya -=-C ．()130132-+==-+x x x x D ．()222329124y x y xy x --=-+-2.多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2，则n m -的值是（ ） A ． 2 B ． ﹣2 C ． 4 D ． ﹣43.下列各式分解因式正确的是( )A. 22269(3)x xy y x y ++=+B. 222249(23)x xy y x y -+=- C. 22282(4)(4)x y x y x y -=+- D. ()()()()x x y y y x x y x y -+-=-+ 4．把a a 43-多项式分解因式，结果正确的是（ ）A. ()4-a aB.()()22-+a aC. ()()22-+a a aD. ()422--a5．已知0136422=+-++y x y x ，则代数式y x +的值为（ ） A ． ﹣1 B ． 1C ． 25D ． 366．要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，那么k 为（ ） A ．1，﹣1 B ．5，﹣5 C ．1，﹣1，5，﹣5 D ．以上答案都不对 7．要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，那么整数p 的取值可以有（ ） A ．2个 B ．4个 C ．6个D ．无数个8．已知a 为实数，且0223=+-+a a a ，则()()()1098111+++++a a a 的值是（ ）A ．﹣3B ．3C ．﹣1D ．19．把多项式22344x y xy x --分解因式的结果是（ ）A ．34()xy x y x -- B ．2(2)x x y -- C ．22(44)x xy y x -- D ．22(44)x xy y x --++ 10．已知正数b a ,满足87222233-=+-+ab ab b a ab b a 则=-22b a （ ） A ．1B ．3C ．5D ．不能确定二．填空题（本题共6小题，每题4分，共24分） 温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！11．若多项式b ax x ++2分解因式的结果为()()21-+x x ，则b a +的值为12.若4,1a b ab +==，则22a b ab +的值为____________________13.已知0.2,31x y x y +=+=，则代数式2243x xy y ++的值为________________ 14.若关于x 的二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，则b k +的值为__________15.已知()()520192018=--a a ，则()()_________2019201822=-+-a a16.若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数为“智慧数”（如22123-=，223516-=，则3和16是智慧数）.已知按从小到大的顺序构成如下数列：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，17，19，20，21，23，24，25，…则第2 019个“智慧数”是____________三．解答题（共6题，共66分）温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！17.（本题12分）因式分解下列各式：（1）()()x y b y x a -+-2249 （2）()()m m m 891+-+（3）411623++-x x x （4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy（5）2232y xy x +- （6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4.18.（本题8分）学习了分解因式的知识后，老师提出了这样一个问题：设n 为整数，则(n ＋7)2－(n－3)2的值一定能被20整除吗？若能，请说明理由；若不能，请举出一个反例．你能解答这个问题吗？19（本题8分）．商贸大楼共有四层，第一层有商品(a ＋b)2种，第二层有商品a(a ＋b)种，第三层有商品b(a ＋b)种，第四层有商品(b ＋a)2种．若a ＋b ＝10，则这座商贸大楼共有商品多少种？20.（本题8分）（1）对于任意自然数n ，(n ＋7)2－(n －5)2是否能被24整除？ （2）已知y x ,都是正实数，且满足012222=-++++y x y xy x ，求()y x -1的最小值21（本题10分）如果一个正整数能表示为两个不相等正整数的平方差，那么称这个正整数为“奇妙 数”．例如：5＝32﹣22，16＝52﹣32，则5，16都是奇妙数． （1）15和40是奇妙数吗？为什么？（2）如果两个连续奇数的平方差为奇特奇妙数，问奇特奇妙数是8的倍数吗？为什么？ （3）如果把所有的“奇妙数”从小到大排列后，请直接写出第12个奇妙数．22（本题10分）观察下列等式：12×231＝132×21， 13×341＝143×31， 23×352＝253×32，34×473＝374×43，62×286＝682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子成为“数字对称等式”：①52×_________＝__________×25；②__________×396＝693×_______________a ≤9，写出表示“数字对称(2)设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤ba,)，并证明．等式”一般规律的式子(含b23（本题10分）．先阅读下面的内容，再解决问题．如果一个整式A等于整式B与整式C之积，则称整式B和整式C为整式A的因式．如：①因为36=4×9，所以4和9是36的因数；因为x2﹣x﹣2=（x+1）（x﹣2），所以x+1和x+2是x2﹣x﹣2的因式．②若x+1是x2+ax﹣2的因式，则求常数a的值的过程如下：解：∵x+1是x2+ax﹣2的因式∴存在一个整式（mx+n），使得x2+ax﹣2=（x+1）（mx+n）∴当x=﹣1时，（x+1）（mx+n）=0∴当x=﹣1时，x2+ax﹣2=0∴1﹣a﹣2=0，∴a=﹣1（1）x+2是x2+x﹣6的因式吗？（填“是”或者“不是”）；（2）若整式x2﹣1是3x4﹣ax2+bx+1的因式，求常数a，b的值．因式分解培优训练试题答案三．选择题：1.答案：D解析：A选项不能因式分解，故A错误；B选项是计算，故B错误；C选项右边是多项式，不是因式分解，故C错误；D选项是因式分解，故选择D2.答案：C解析：∵多项式()()()2122+--+x x x 可以因式分解成()()n x m x ++2， ∴()()()()n x m x x x ++=-+2222∴2,2-==n m ，∴422=+=-n m ，故选择C3.答案：A解析：∵22269(3)x xy y x y ++=+ ，故A 选项正确； ∵222(23)4129x y x xy y -=-+，故B 选项错误；∵()()()22222824222x y x y x y x y -=-=-+ ，故C 选项错误； ∵2()()()x x y y y x x y -+-=-，故D 选项错误，故选择A4.答案：C解析：()()()224423+-=-=-a a a a a a a ，故选择C5.答案：B解析：∵0136422=+-++y x y x ∴()()03222=-++y x ，∴3,2=-=y x ，∴132=+-=+y x ，故选择B6.答案：C解析：∵要在二次三项式62-+kx x 分解成()()b x a x ++的形式，∴()616⨯-=-或()616-⨯=-或()326-⨯=-或()326⨯-=-， ∴5=k 或5-=k 或1-=k 或1=k ，故选择C7.答案：D解析：∵要使二次三项式x 2﹣5x+p 在整数范围内能进行因式分解，∴只要找两个数b a ,使5,-=+=b a p ab 即可，于是有无数多个，故选择D8.答案：D解析：∵0223=+-+a a a ， ∴()01)1(23=+-++a a a ， ∴()()()011122=+-++-+a a a a a∴()()0122=+-+a a a ，∵012≠+-a a ，∴,02=+a ∴11-=+a ，∴()()()()()()111111111110981098=+-=-+-+-=+++++a a a故选择D9.答案：B解析：22344x y xy x --()()222244y x x y xy x x --=+--=故选择B10.答案：B解析：∵87222233-=+-+ab ab b a ab b a ∴()()87222-=--+ab b a ab b a ab∴()()08722222=+---+-+ab b a ab ab ab b a ab ∴()()08722222=+-+---ab b a b a ab b a ab ，∴()()[]()044212222=+-++---ab b a b a b a ab∴()()022122=-+--ab b a ab∵b a ,均为正数，∴ab ＞0， ∴01=--b a ，02=-ab ， 即2,1==-ab b a ，解方程⎩⎨⎧==-21ab b a ，解得1,2==b a 或2,1-=-=b a （不合题意，舍去）， ∴31422=-=-b a ．故选B ．四．填空题:11.答案：3-解析：∵()()2212--=-+x x x x ，∴222--=++x x b ax x ，∴2,1-=-=b a ，∴321-=--=+b a12.答案：4解析：∵4,1a b ab +==， ∴()22144a b ab ab a b +=+=⨯=13.答案：2.0解析：∵0.2,31x y x y +=+=∴()()224330.210.2x xy y x y x y ++=++=⨯=14.答案： 1-解析：∵二次三项式b kx x ++2因式分解为()()31--x x ，∴b kx x x x ++=+-2234，∴3,4=-=b k ，∴134-=+-=+b k15.答案：11解析：∵()()520192018=--a a ，()()()()()()()()20192018220192019201822018201920182222--+-+----=-+-∴a a a a a a a a ()()()11521201920182201920182=⨯+=--++--=a a a a16.答案：2695解析：观察数的变化规律，可知全部“智慧数”从小到大可按每三个数分一组，从第2组开始每组的第一个数都是4的倍数，归纳可得，第n 组的第一个数为4n （n ≥2）.因为67332019=÷，所以第2 019个“智慧数”是第673组中的第3个数，即为269536734=+⨯.三．解答题:17.解析：（1）()()()()()b a b a y x x y b y x a 23234922-+-=-+-（2）()()()()33998889122-+=-=-+-=+-+m m m m m m m m m（3）4566411622323++--=++-x x x x x x x()()()()()()()()4312145614511622-+-=---=+---=x x x x x x x x x x（4）x 2﹣2x ﹣2y 2+4y ﹣xy ()()()y x y x y x y x y xy x 22242222---+=+---=()()22-+-=y x y x（5）()()y x y x y xy x --=+-23222（6）(m 2－2m －1)(m 2－2m ＋3)＋4()()()()422222112412412-=+-=+--+--=m m m m m m m18.解析：()()()()()()220102237373722+=⨯+=+-+-++=--+n n n n n n n n∴()()2237---n n 能被20整除。
2023年初高中衔接素养提升专题课时检测第一讲因式分解的拓展（精练）（解析版）（测试时间60分钟）一、单选题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2022·浙江金华·二模）下列多项式中，在实数范围内不能进行因式分解的是（）A ．24a -B ．269a a ++C ．216a +D ．2961a a -+【答案】C解：A、()()2422,a a a -=+-故不符合题意．B、()22693,a a a ++=+故不符合题意．C、216a +，不能分解，故符合题意．D、()2296131,a a a -+=-故不符合题意．故选：C．2．（2023·甘肃二模）下列因式分解正确的是（）A ．22()()-=+-a b ab a a b a b B ．22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b C ．3222()-+=-a ab ab a a b D ．2222244(2)-+=-a b a b a a b 【答案】B【解析】【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A 中()22()()a b ab ab a b a a b a b -=-≠+-，错误，故不符合题意；B 中22(21)(21)(21)--=+--+a b a b a b ，正确，故符合题意；C 中()32222()22a ab ab a a b b a a b -+=-+≠-，错误，故不符合题意；D 中()2222222()4422a b a b a a b ab -+=-≠-，错误，故不符合题意；故选B．3．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）将多项式2224912x y z yz ---分解成因式的积，结果是（）A ．(23)(23)x y z x y z +---B ．(23)(23)x y z x y z ---+C ．(23)(23)x y z x y z +++-D ．(23)(23)x y z x y z ++--【答案】D【解析】原式)32)(32()32()1294(22222z y x z y x z y x yz z y x --++=+-=++-=．4．（2022银川一中初中七年级期中）要是二次三项式26x x m -+在整数范围内可因式分解，则正整数m 的取值可以有（）A ．2个B ．3个C ．5个D ．6个【答案】B【解析】6=1+5，6=2+4，6=3+3，∴9,8,5=m ．5.（2022秋·河北邢台·八年级统考期末）计算1−×1−×1−×1×1−）．A ．512B ．12C ．712D ．1130【答案】C 【分析】原式各括号利用平方差公式变形，约分即可得到结果．【详解】原式=1×1+×1×1×1−×1+×1−×1+×1−×1=12×32×23×43×34×54×45×65×56×76，=12×76，=712，故选：C．二、填空题6．已知正数a 、b 、c 满足ab +a +b =bc +b +c =ac +a +c =3，则（a +1）（b +1）（c +1）=_________．【答案】8【解析】4111=+++=+++=+++c a ac c b bc b a ab ，即4)1)(1()1)(1()1)(1(=++=++=++c b c a b a ，∴2111=+=+=+c b a ．7．因式分解22(34)(6)24x x x x +---+=_________．【答案】)8)(2)(3(2-+-+x x x x 【解析】原式=24)4)(3)(2)(1(24)3)(2)(1)(4(++-+-=+-+-+x x x x x x x x 24)2(10)2(24)12)(2(22222+-+--+=+-+-+=x x x x x x x x)8)(2)(3()8)(6(222-+-+=-+-+=x x x x x x x x ．8．（2021·上海市第四中学八年级阶段检测）在实数范围内因式分解3x 2+6x ﹣2＝____．【答案】3(x x +解：令212333620,33x x x x --++-=⇒==所以2113623()()x x x x x x +-=--⇒233333623()()3()()3333x x x x x x --+-=--=+-+三、解答题（解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）9．（2020·广东·华南师范大学中山附属中学八年级期中）分解因式：（1）221632a a -+（2）22414x xy y --+【答案】（1）()224a -；（2）()()2121x y x y -+--．【解析】（1）221632a a -+，=()22816a a -+，=()224a -；（2）22414x xy y --+，()224=41x xy y -+-，()2=x-2y -1，()()=x 2121y x y -+--．10、已知a 、b 、c 是△ABC 的三条边，且满足2220a b c ab bc ac ++---=，试判断△ABC 的形状．【解析】两边同乘2，得：022*******=---++bc ac ab c b a ，即0)()()(222=-+-+-c a c b b a ，∴c b a ==．【答案】等边三角形11．（2022·江苏·泰州市第二中学附属初中七年级期中）先阅读下面的内容，再解决问题：问题：对于形如222x xa a ++，这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成2()x a +的形式.但对于二次三项式2223x xa a +-，就不能直接运用公式了.此时，我们可以在二次三项式2223x xa a +-中先加上一项2a ，使它与22x xa +的和成为一个完全平方式，再减去2a ，整个式子的值不变，于是有：2222222323x xa a x xa a a a +-=++--（）22()4x a a =+-22()(2)x a a =+-(3)()x a x a =+-像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”.利用“配方法”，解决下列问题：(1)分解因式：265a a -+；(2)若2211264502a b a b m c +--++-=①当a b m ，，满足条件：248a b m ⨯=时，求m 的值；②若△ABC 的三边长是,,a b c ，且c 边的长为奇数，求ABC ∆的周长【答案】(1)(a -1)(a -5)；(2)①4；②14或16【解析】(1)解：a 2﹣6a +5＝a 2﹣6a +9﹣4＝（a ﹣1）(a ﹣5)(2)∵2211264502a b a b m c +--++-=；∴（a 2﹣12a +36）+（b 2﹣6b +9）+|12m ﹣c |＝0∴（a ﹣6）2+（b ﹣3）2+|12m ﹣c |＝0∴a ﹣6＝0，b ﹣3＝0∴a ＝6，b ＝3①∵2a ×4b ＝8m∴26×43＝8m ∴26×43＝23m 时∴212＝23m ∴12＝3m ∴m ＝4；故答案为：4．②由①知，a ＝6，b ＝3，∵△ABC 的三边长是a ，b ，c ，∴3＜c ＜9，又∵c 边的长为奇数，∴c ＝5，7，当a ＝6，b ＝3，c ＝5时，△ABC 的周长是：6+3+5＝14，当a ＝6，b ＝3，c ＝7时，△ABC 的周长是：6+3+7＝16，12.（2021·四川·成都教育科学研究院附属学校七年级期中）在二次三项式245x x +-先加上一项4，使它与24x x +成为一个完全平方式，然后再减去4，使整个式子的值不变，于是有：()22245444529x x x x x +-=++--=+-．像这种先添一适当项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”．请利用“配方法”解决下列问题：(1)已知：2246130x y x y ++-+=，求x y 的值．(2)已知：2,3,a b b c -=-=求222a b c ab bc ca ++---的值．【答案】(1)8-(2)19【解析】(1)解： 2246130x y x y ++-+=2244690x x y y \+++-+=()()22230,x y \++-=20,30,x y \+=-=解得：2,3,x y =-=()328.y x \=-=-(2) 2,3,a b b c -=-=5,a c \-=∴222abc ab bc ca ++---()22212222222a b c ab bc ac =++---()22222212222a ab b a ac c b bc c =-++-++-+()142592=++19=。
