概率论第2章总结

第二章 随机变量的散布及其数字特点

一、内容提要

（一）随机变量及其散布函数

1．随机变量

设随机实验E的样本空间为，若是关于每一个样本点ω，有一个实数X（ω）与之对应，且对任意的实数x,()Xx的概率都存在,那么称X（ω）为随机变量，简记为X.

2．随机变量的散布函数

设X为随机变量，x为任意实数，那么函数

F（x）=P{X≤x｝，-＜x＜+

称为随机变量X的散布函数.

散布函数F（x）的性质：

（1）0≤F（x）≤1，-＜x＜+

（2）F（x）是x的非减函数

（3）F(-)lim()0,()lim()1xxFxFFx；

（4）F（x+0）=F（x）,即F（x）关于x右持续.

（二）离散型随机变量的概率散布

1．离散型随机变量

若是随机变量X 所有可能的取值为有限个或无穷可列个，那么称X为离散型随机变量。

2．概率散布

若是离散型随机变量X所有可能的取值为x1，x2，…，xk,…，且取这些值的概率为

{},1,2,...kkPXxpk

那么称{},(1,2,...)kkPXxpk为随机变量X的概率散布或散布律.X的概率散布，也经常使用表格形式表示，如表2-1所示.

表 2-1

X x1 x2 … kx …

pk P1 P2 … pk …

3．概率散布的性质

（1）pk≥0，k=1，2，…

（2）.11kkp

4．散布函数

离散型随机变量X的散布函数是一个阶梯形右边续函数：

xxkkxxkkpxXPxXPxF)(

（三）持续型随机变量的密度函数

1．持续型随机变量及其密度函数

设随机变量X的散布函数为F（x），假设存在非负可积函数f（x），使对任意的实数x，有

dxxfxXPxFx)()(

那么称X为持续型随机变量，而且称f（x）为X的密度函数.

2．密度函数的性质

（1）f（x）≥0，（-＜x＜＋）；

（2）1)(dxxf；

（3）持续型随机变量X取任一实数a的概率为0，即P｛X=a｝=0;

（4）P｛a≤X≤b｝=P｛a≤X＜b｝=P｛a＜X≤b｝=

P｛a＜X＜b｝=F(b)-F（a）=

badxxf)(

（5）若是f（x）在点x处持续，那么F′（x）=f（x）；

（6）持续型随机变量X的散布函数F（x）是x持续函数. 3．标准正态散布变量的分位数

设X~N（0,1）.关于给定的α（0＜α＜1），假设存在uα,使得 1uXP

那么称uα为标准正态散布的双侧分位数，当α=，,时，uα别离等于,,.

（四）随机变量函数的散布

1．随机变量函数

X为随机变量，那么X的函数Y=g（X）也是一个随机变量，且当X取值x时，Y取值y=g(x)，称Y为随机变量X的函数.

2．离散型随机变量函数的概率散布的求法

设随机变量X的概率散布如表2-2所示.

表 2-2

X x1 x2 … xk …

pk P1 P2 … pk …

那么随机变量函数Y=g（X）是离散型随机变量，Y的概率散布可借助于X的概率散布求得.求Y=g(X)的概率散布的方式步骤是：

（1）确信Y的所有可能取值yk=g(xk)(k=1,2,…)并列表，如表2-3所示.

表 2-3

X y1 y2 … yk …

pk P1 P2 … pk …

（2）确信Y=g(X)的概率散布.

1）若是对不同的xk，yk=g（xk）,（k=1,2,…）的值各不相同，那么表2-3即为Y=g（X）的概率散布表。

2）若是表2-3中yk（k=1,2,…）的值有相同的，那么把其中相同值取作一个，并依照概率的可加性把对应的概率相加作为相同值所对应的概率，如此取得的概率表确实是Y=g(X)的概率散布表.

例如，表2-3中，若是只有y1=y2,y6=y7=y8,而ky(k=1,3,4,5,6,9,10,…)之值均不相同，那么随机变量函数Y =g(X)的概率散布如表2-4所示.

表2-4

Y y1 y3 y4 y5 y6 y9 y10 …

pk p1+p2 p3 p4 p5 p6+p7+p8 p9 p10 …

3.持续型随机变量函数的密度函数的求法

设随机变量X的密度函数为fx(x)，那么随机变量函数Y=g(X)是持续型随机变量，Y的密度函数fY（y）可借助于X的密度函数求得.Y=g（X）的密度函数

有下面的两种方式：

（1）假设y=g（x）为单调函数，即g′(x)＞0（或g′x）＜0），那么

[()](),0,()fxhyhyyYfy其他 其中x=h(y)为y=g（x）的反函数，且当fx（x）在（，+）内取非零值时，那么

α=min｛g(),g(+)｝,β=max｛g(),g(+)｝当fx(x)在（a,b）内取非零值时，那么

a=min｛g(a+0),g(b-0)｝, β=max｛g(a+0),g(b-0)｝

(2)设Y=g(X)的散布函数为Fy(y),则

yxgxYdxxfyXgPyYPyF)()()()(

是以y的函数为积分限的变限积分. 对FY(y)关于y求导，那么有

fy(y)=F′Y(y)

(五) 随机变量的数学期望和方差（见表2-5）

表2-5

离散型随机变

X,Y=g（X） 连续型随机变量

X,Y=g(X)

X的

概率

分布

或密

度函

数 P｛X=xk｝=pk

k=1,2,… f(x)

＜x＜+

X,Y

的数

学期

望 1()nkkkEXxp

1()[()]()kkkEYEgXgxp

()()EXxfxdx

()[()]()()EYEgXgxfxdx

X,Y

的方

差 2()[()]DXEXEX21(())kkkxEXp

22()()[()]DXEXEX 2()[()]DXEXEX

2(())()kxEXfxdx

22()()[()]DXEXEX 21()[()][()()]kkkDYDgXgxEYp ()[()]DYDgX

2[()()]()gxEYfxdx

1．数学期望和方差的性质（a,b,c均为常数）

（1）E（c）=c，D（c）=0；

（2）E（cX）=cE(X), D(cX)=c2D(X);

（3）E（aK+b）=aE(X)+b, D(aX+b)=a2D(X).

2．几个重要的随机变量散布及其数字特点（见表2-6）

表2-6

名称 概率分布或密度函数 数字特征

两点分布

（0-1）

分布 E（X）{0},{1}PXqPXp

01,1pqp ()EXp

()DXpq

二项分布

B（n,p） {}kknknPXkCpq 0,1,2...,kn

01,1pqp ()EXnp

()DXnpq

泊松分布

p（λ） {}!kPXkek

0,1,2...,0k ()EX

()DX

超几何分布

H（n,M,N） {}knkMNMnNCCPXkC0,1,2,...kl

0,0,NMnNMmin{,}lmn ()nMEXN

2()()()(1)nMNnNMDXNN

均匀分布

U（a,b） 1()0axbfxba其他 ()2abEX

2()()12baDX

指数分布

e（λ） 0()(0)00xexfxx 1()EX 21()DX

标准正态

分布

N（0,1） 221()2xxe x ()0EX

()1DX ()EX正态分布

N(μ，σ2) 22()21()2xfxe

x(0) ()EX

2()DX

3.随机变量X的矩

（1）X的k阶原点距

υk=E（Xk）, k=1,2,…

（2）X的k阶中心矩

μk =E[X-E(X)]k，k=1,2,…

（3）原点矩与中心矩的头系

μ1=0=υ1-υ1

μ2=D(X)=υ1-21

μ3=υ3-3υ2υ1+231

μ4=υ3-4υ3υ1+2υ221-341

μ5=υ5-5υ4υ1+10υ321-10υ231+451

4．随机变量X的偏度和峭度

（1）X的偏度（偏态系数）

2333)]([XDS

（2）X的峭度（峰度）

T=3)]([42XD

二、典型题解析

例 某射手的射击命中率为43. 现对一目标持续射击，直到第一次击中为止.令X表示到第一次击中为止所有的射击次数，试求X的概率散布，并计算X取偶数的概率.

分析 X的所有可能取值为1,2,…，各次射击彼此独立，在计算X取确信值的概率时要用到事件的彼此独立性；在计算X取偶数的概率时要用到无穷可加性.