实数新题型

口湖　北　沈占立　

近年来全国各地中考试题中．围绕“实数”出现了一些既考查知识．　

叉考查能力的新题型．现分类举例如下．　

一、结论开放型　例１　若无理数。满足不等式１＜　４．请写出两个符合条件的无理　

数　盔囫此题答案开放，给考生留有充分的尽考余地．可以从以下几个　

方面来考虑：（１）平方根如、／　，、／丁等；（２）立方根如　，　等；　

（３）特殊意义的数如＂ＩＴ，ｅ等；（４）固定结构的数，如２．１０１　００ｌ　０００　１…；（５）组　

合型的数，如３一Ｖ　，、／　＋、／丁等．　二、定义新运算型　

例２在实数的原有运算法则中我们补充定义新运算“０”：当。≥６　

时，口０ｂ＝６。；当ａ＜ｂ时，ａＯｂ：Ⅱ．则当ｘ＝２时，（１　０　）・　一（３　０　）的值为　

．（“・”和“一”仍为实数运算中的乘号和减号）．　

盔囫本题定义的新运算是分两种情况的．当　≥６时，ａ＠ｂ等于后　

一个数的平方：当口＜６时．ｎ０ｂ等于前一个数本身．故解答前要对参与新　运算的两个数进行大小比较，找出所对应的新运算后．再与原有运算进　

行混合运算．　

当ｘ＝２时．１　０　＝１　０２＝１：３０ｘ＝３０２＝２２＝４．　

故（１　０　）・　一（３０　）＝１ｘ２－４＝－２．　

三、估算型　

例３大家都知道Ｖ　是一个无理数．￣ＪＦ／／＿，Ｖ　一１在（　）．　

Ａ．１与２之间　Ｂ．２与３之间　

Ｃ．３与４之间　Ｄ．４与５之间　

八年级数学・配合华师大教材　习　题　解　读　

ｓ９　＝：　

习　题　解　读　盔强对无理数进行估算是新课标所要求的．同学们要掌握“估算”　

这种解题方法．以便对于具体的实际问题．能作出快速的处理．　

因为、／　＜、／　＜、／　，即２＜、／　＜３，所以１＜、／　一ｌ＜２．故应选Ａ．　

四、使用计算器型　

例４　用计算器比较大小：　一、／　０．（填“＞”、“＝”或“＜”）　暖圈新课标倡导学生用计算器完成较为复杂的计算，倡导学生在　

学习以及考试中使用计算器，鼓励学生利用计算器探索规律．本例中．　

例析实数中的数学思想

数学思想、方法是数学的灵魂，掌握好数学思想方法是解题的关键．实数单元涉及的数学思想主要有以下几种，现例析如下，供同学们参考．

一、分类讨论思想

例1 已知|x|=3，|y|=2，xy<0，则x+y的值等于( )．

A．5或-5 B．1 或 -1 C． 5或 1 D．-5或1

解析：由|x|=3，|y|=2，可知x=±3，y=±2，又xy<0，说明x、y异号，故x+y的值应分两种情况讨论:(1)当x>0，y<0时，x+y=3-2=1;(2) 当x<0，y>0时，x+y=-3+2= -1，故选B．

注：凡是化简带有绝对值符号的式子时，一定要注意分类讨论思想的运用．

二、数形结合思想

例2 “数轴上的点并不都表示有理数，如图， 数轴上的点P所表示的数是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做(

)． A．代入法 B．换元法 C． 数形结合 D． 分类讨论

解析:为了说明数轴上的点并不都表示有理数，在数轴上找到了一点，它确实不表示有理数，如点P，它表示无理数．故运用的是数形结合思想．选C．

三、特殊值方法

例3 已知0

解析:令=41，则故排列顺序为,21,161,412xxxxxxx12．

注:含有字母的代数式的大小比较的问题，常运用这种特殊值方法，使问题得以巧解．

四、归纳思想

例4 找出下例所给数的规律，在横线上填出后续的两个数:2022，4102，3014，5103，4015， ， ．

解析:仔细观察以上各数，会发现:(1)各数的中间两位数字01和10交替出现；(2)每隔一个数中的第一位数字2，3，4是连续数，每隔一个数中的最后一位数字3，4，5是连续数．所以横线上可以填6104，5016等．

第六章 实数

知识讲解+题型归纳

 知识讲解

一 、 实数的组成

1、实数又可分为正实数，零，负实数

2.数轴：数轴的三要素——原点、正方向和单位长度。数轴上的点与实数一一对应

二 、相反数、绝对值、倒数

1. 相反数：只有符号不同的两个数互为相反数。数a的相反数是-a。正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零. 性质：互为相反数的两个数之和为0。

2.绝对值：表示点到原点的距离，数a的绝对值为

3.倒数：乘积为1的两个数互为倒数。非0实数a的倒数为1a . 0没有倒数。

4.相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是非负数（0和正数）；倒数是它本身的数是±1.

三、平方根与立方根

1.平方根：如果一个数的平方等于a，这个数叫做a的平方根。数a的平方根记作 （a>=0）

特性：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，零的平方根还是零。负数没有平方根。 正数a的正的平方根也叫做a的算术平方根，零的算术平方根还是零。

开平方:求一个数的平方根的运算，叫做开平方。

2.立方根：如果一个数的立方等于a，则称这个数为a立方根 。数a的立方根用3a表示。

任何数都有立方根，一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根，零的立方根是零。

开立方：求一个数的立方根（三次方根）的运算，叫做开立方。

四 、实数的运算

有理数的加法法则：

a）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

b)异号两数相加。绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 任何数与零相加等于原数。

2.有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3.乘法法则：

a）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．

b）几个不为0的有理数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数为奇数时，积为负，为偶数，积为正

- 1 - 实数题型归纳练习

一.无理数

1. 无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数

说明：有理数是指有限小数和无限循环小数，而无理数包括：（1）开方开不尽的数，如5；（2）有特定意义的数，如，及含的数；（3）有一定结构的无限小数，如，0.080080008…；（4）无限不循环小数。

注意：带根号的数不一定是无理数，如4是有理数；不带根号的数也可能是无理数，如π等。

一个有理数a

与一个无理数b进行四则运算时，a＋b，a-b，都是无理数，当a≠0时，ab，abba,都是无理数，当a＝0时，ab，ba都是有理数。

2. 无理数的特征：

（1）无理数的小数部分位数无限；（2）无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式。

3. 小数的分类

4.

确定a的整数部分和小数部分的方法：

把a夹在两个连续的正整数的平方之间，确定其整数部分，例如：求5的整数部分。因为22352，，所以352，因此整数部分为2。小数部分就是25。

二. 平方根

1. 算术平方根

（1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即ax2，那么这个正数x就叫做a的算术平方根，特别地，０的算术平方根是0。

（2）算术平方根的表示方法：非负数a的算术平方根记作“a”或“2a”，读作“根号a”，其中符号“”读作“二次根号”，a叫做被开方数，2叫做根指数，通常省略不写。

例如：42＝16，16的算术平方根是4，即416。

- 2 - （3）算术平方根的性质：①正数a的算术平方根为a，②0的算术平方根是0，即0＝0，（3）负数没有算术平方根。

（4）算术平方根a具有双重非负数：①被开方数是非负数，即a≥0，②算术平方根a本身是非负数，即a≥0。③若a和a同时出现在一个式子中，由于0a且0a，则可得出0a。

（5）理解算术平方根要注意的三点：

①a具有双重非负数：即a≥0， a≥0。