中考数学 相似 综合题附答案

中考数学 相似 综合题附答案

一、相似

1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.

（1）在△ABC中，AB＝ ________；

（2）当x＝________时，矩形PMCN的周长是14；

（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。

【答案】（1）10

（2）5

（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，

∴∠AMP=∠PNB=∠C=90º.

∴AC∥PN，∠A=∠NPB.

∴△AMP∽△PNB∽△ABC.

当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB

此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6

而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.

所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.

【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，

（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC

∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），

∴ ，

∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，

∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；

【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB ， 分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.

2．如图，抛物线y=﹣ +bx+c过点A（3，0），B（0，2）．M（m，0）为线段OA上一个动点（点M与点A不重合），过点M作垂直于x轴的直线与直线AB和抛物线分别交于点P、N．

（1）求直线AB的解析式和抛物线的解析式；

（2）如果点P是MN的中点，那么求此时点N的坐标；

（3）如果以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，求点M的坐标．

【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=px+q，

把A（3，0），B（0，2）代入得 ，解得 ，

∴直线AB的解析式为y=﹣ x+2；

把A（3，0），B（0，2）代入y=﹣ +bx+c得 ，解得

，

∴抛物线解析式为y=﹣ x2+ x+2

（2）解：∵M（m，0），MN⊥x轴，

∴N（m，﹣ m2+ m+2），P（m，﹣ m+2）， ∴NP=﹣ m2+4m，PM=﹣ m+2，

而NP=PM，

∴﹣ m2+4m=﹣ m+2，解得m1=3（舍去），m2= ，

∴N点坐标为（ ， ）

（3）解：∵A（3，0），B（0，2），P（m，﹣ m+2），

∴AB= = ，BP= = m，

而NP=﹣ m2+4m，

∵MN∥OB，

∴∠BPN=∠ABO，

当 = 时，△BPN∽△OBA，则△BPN∽△MPA，即 m：2=（﹣ m2+4m）：

，

整理得8m2﹣11m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，

此时M点的坐标为（ ，0）；

当 = 时，△BPN∽△ABO，则△BPN∽△APM，即 m： =（﹣ m2+4m）：2，

整理得2m2﹣5m=0，解得m1=0（舍去），m2= ，

此时M点的坐标为（ ，0）；

综上所述，点M的坐标为（ ，0）或（ ，0）

【解析】【分析】（1）因为抛物线和直线AB都过点A（3,0）、B（0,2），所以用待定系数法求两个解析式即可；

（2）由题意知点P是MN的中点，所以PM=PN；而MNOA交抛物线与点N，交直线AB于点P，所以M、P、N的横坐标相同且都是m,纵坐标分别可用（1）中相应的解析式表示，即P（m,）,N（m,）,PM与PN的长分别为相应两点的纵坐标的绝对值，代入PM=PN即可的关于m的方程，解方程即可求解； （3）因为以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似，而△APM是直角三角形，所以分两种情况：当∠PBN=时，则可得△PBN∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值；当∠PNB=时，则可得△PNB∽△PMA，即得相应的比例式，可求得m的值。

3．如图，M为等腰△ABD的底AB的中点，过D作DC∥AB，连结BC；AB=8cm，DM=4cm，DC=1cm，动点P自A点出发，在AB上匀速运动，动点Q自点B出发，在折线BC﹣CD上匀速运动，速度均为1cm/s，当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动，设点P运动t（s）时，△MPQ的面积为S（不能构成△MPQ的动点除外）．

（1）t（s）为何值时，点Q在BC上运动，t（s）为何值时，点Q在CD上运动；

（2）求S与t之间的函数关系式；

（3）当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

（4）当点Q在CD上运动时，直接写出t为何值时，△MPQ是等腰三角形．

【答案】 （1）解：过点C作CE⊥AB，垂足为E，如图1，

∵DA=DB，AM=BM，

∴DM⊥AB.

∵CE⊥AB，

∴

∴CE∥DM.

∵DC∥ME,CE∥DM,

∴四边形DCEM是矩形，

∴CE=DM=4，ME=DC=1.

∵AM=BM,AB=8,

∴AM=BM=4.

∴BE=BM−ME=3.

∵

∴CB=5.

∵当t=4时，点P与点M重合，不能构成△MPQ， ∴t≠4.

∴当 且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;当 (s)时，点Q在CD上运动.

（2）解：①当0

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图2，

∵QF⊥AB，CE⊥AB，

∴

∴QF∥CE.

∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=AM−AP=4−t，

∴

②当 时，点P在线段BM上，点Q在线段BC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图3，

∵QF⊥AB,CE⊥AB,

∴

∴QF∥CE. ∴△QFB∽△CEB.

∴

∵CE=4，BC=5，BQ=t，

∴

∴

∵PM=AP−AM=t−4，

∴

③当 时，点P在线段BM上，点Q在线段DC上，

过点Q作QF⊥AB，垂足为F，如图4，

此时QF=DM=4.

∵PM=AP−AM=t−4，

∴

综上所述：当0

时，S=2t−8.

（3）解：①当0

∵ 0<2<4，

∴当t=2时,S取到最大值,最大值为

②当 时, 对称轴为x=2.

∵

∴当x>2时，S随着t的增大而增大， ∴当t=5时,S取到最大值,最大值为

③当 时，S=2t−8.

∵2>0，

∴S随着t的增大而增大,

∴当t=6时，S取到最大值，最大值为2×6−8=4.

综上所述：当t=6时，S取到最大值，最大值为4

（4）解：当点Q在CD上运动即 时，如图5，

则有 ，即

∵MP=t−4<6−4，即MP<2，

∴QM≠MP，QP≠MP.

若△MPQ是等腰三角形，则QM=QP.

∵QM=QP，QF⊥MP，

∴MF=PF=12MP.

∵MF=DQ=5+1−t=6−t，MP=t−4，

∴

解得：

∴当t= 秒时，△MPQ是等腰三角形

【解析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于E，结合题中条件得出四边形DCEM是矩形，结合矩形性质和勾股定理求出BC的长，最后考虑不能构成△MPQ，即可解决问题。（2）由于点P、Q的位置不一样，导致PM、QF的长度不一样，所以S与t的函数关系式不同，所以分三种情况讨论①当0

4．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）求证：BC= AB；

（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN MC的值.

【答案】（1）证明：∵OA=OC，∴∠A=∠ACO，

又∵∠COB=2∠A，∠COB=2∠PCB，∴∠A=∠ACO=∠PCB，

又∵AB是⊙O的直径，∴∠ACO+∠OCB=90°，∴∠PCB+∠OCB=90°，

即OC⊥CP，

∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线

（2）证明：∵AC=PC，∴∠A=∠P，∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P．

又∵∠COB=∠A+∠ACO，∠CBO=∠P+∠PCB，∴∠COB=∠CBO，∴BC=OC，

∴

（3）解：连接MA，MB，

∵点M是弧AB的中点，∴ 弧AM=弧BM，∴∠ACM=∠BCM，

∵∠ACM=∠ABM，∴∠BCM=∠ABM，

∵∠BMN=∠BMC，∴△MBN∽△MCB，∴ ，∴ BM2=MN⋅MC ，

又∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM，

∴∠AMB=90°，AM=BM，

∵AB=4，∴ ，

∴ MN⋅MC=BM2=8 ．

【解析】【分析】(1)根据等边对等角得出∠A=∠ACO，运用外角的性质和已知条件得出∠A=∠ACO=∠PCB，再根据直径所对的圆周角是直角得出∠PCB+∠OCB=90°，进而求解.