2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第二章 2.9

§2.9 实际问题的函数建模1． 数学建模：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模． 2． 几类函数模型及其增长差异(1)几类函数模型(2)3．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数y ＝2x 的函数值比y ＝x 2的函数值大． ( × ) (2)幂函数增长比直线增长更快． ( × ) (3)不存在x 0，使ax 0<x n 0<log a x 0.( × )(4)美缘公司2010年新上市的一种化妆品，由于脱销，在2011年曾提价25%,2014年想要恢复成原价，则应降价25%.( × )(5)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利．( √ )(6)f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )． ( √ ) 2． 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处答案 A解析 由题意得，y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A.3． 汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是( )答案 A解析 汽车加速行驶时，速度变化越来越快，而汽车匀速行驶时，速度保持不变，体现在s 与t 的函数图像上是一条直线，减速行驶时，速度变化越来越慢，但路程仍是增加的．4．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是() A．118元B．105元C．106元D．108元答案 D解析设进货价为a元，由题意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108，故选D. 5．某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝e kt(其中k为常数，t 表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个．答案2ln 2 1 024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝ek21，∴k＝2ln 2，∴y＝e2t ln 2，当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.题型一二次函数模型例1某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线的一段，已知跳水板AB长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m，CE＝5 m，CF＝6 m，为安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点h m(h≥1)时达到距水面最大高度4 m，规定：以CD为横轴，CB为纵轴建立直角坐标系．(1)当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到压水花的训练要求，求达到压水花的训练要求时h的取值范围．思维启迪(1)可根据抛物线方程的顶点式求跳水曲线所在的抛物线方程；(2)利用x＝5，x＝6时函数值的符号求h范围．解(1)由题意知最高点为(2＋h,4)，h≥1，设抛物线方程为y＝a[x－(2＋h)]2＋4，当h＝1时，最高点为(3,4)，方程为y＝a(x－3)2＋4，将A(2,3)代入，得3＝a(2－3)2＋4，解得a＝－1.∴当h＝1时，跳水曲线所在的抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4.(2)将点A(2,3)代入y＝a[x－(2＋h)]2＋4得ah 2＝－1，所以a ＝－1h2.由题意，得方程a [x －(2＋h )]2＋4＝0在区间[5,6]内有一解． 令f (x )＝a [x －(2＋h )]2＋4＝－1h 2[x －(2＋h )]2＋4，则f (5)＝－1h 2(3－h )2＋4≥0，且f (6)＝－1h 2(4－h )2＋4≤0.解得1≤h ≤43.达到压水花的训练要求时h 的取值范围为[1，43]．思维升华 实际生活中的二次函数问题(如面积、利润、产量等)，可根据已知条件确定二次函数模型，结合二次函数的图像、单调性、零点解决，解题中一定注意函数的定义域．某产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系是y ＝3 000＋20x －0.1x 2 (0<x <240，x ∈N ＋)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是 ( )A ．100台B ．120台C ．150台D ．180台答案 C解析 设利润为f (x )万元，则 f (x )＝25x －(3 000＋20x －0.1x 2)＝0.1x 2＋5x －3 000 (0<x <240，x ∈N ＋)． 令f (x )≥0，得x ≥150，∴生产者不亏本时的最低产量是150台． 题型二 指数函数模型例2 诺贝尔奖发放方式为每年一发，把奖金总额平均分成6份，奖励给分别在6项(物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平)为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为r ＝6.24%.资料显示：1999年诺贝尔奖金发放后基金总额约为19 800万美元．设f (x )表示第x (x ∈N ＋)年诺贝尔奖发放后的基金总额(1999年记为f (1)，2000年记为f (2)，…，依次类推)．(1)用f (1)表示f (2)与f (3)，并根据所求结果归纳出函数f (x )的表达式；(2)试根据f (x )的表达式判断网上一则新闻“2009年度诺贝尔奖各项奖金高达150万美元”是否为真，并说明理由．(参考数据：1.031 29＝1.32)思维启迪 从所给信息中找出关键词，增长率问题可以建立指数函数模型．解 (1)由题意知，f (2)＝f (1)(1＋6.24%)－12f (1)·6.24%＝f (1)(1＋3.12%)，f (3)＝f (2)(1＋6.24%)－12f (2)·6.24%＝f (2)(1＋3.12%)＝f (1)(1＋3.12%)2， ∴f (x )＝19 800(1＋3.12%)x －1 (x ∈N ＋)．(2)2008年诺贝尔奖发放后基金总额为 f (10)＝19 800(1＋3.12%)9＝26 136，故2009年度诺贝尔奖各项奖金为16·12f (10)·6.24%≈136(万美元)，与150万美元相比少了约14万美元，是假新闻．思维升华 此类增长率问题，在实际问题中常可以用指数函数模型y ＝N (1＋p )x (其中N 是基础数，p 为增长率，x 为时间)和幂函数模型y ＝a (1＋x )n (其中a 为基础数，x 为增长率，n 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．已知某物体的温度θ(单位：摄氏度)随时间t (单位：分钟)的变化规律：θ＝m ·2t ＋21－t (t ≥0，并且m >0)．(1)如果m ＝2，求经过多少时间，物体的温度为5摄氏度； (2)若物体的温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围． 解 (1)若m ＝2，则θ＝2·2t ＋21－t ＝2⎝⎛⎭⎫2t ＋12t ， 当θ＝5时，2t ＋12t ＝52，令2t ＝x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，此时t ＝1.所以经过1分钟，物体的温度为5摄氏度． (2)物体的温度总不低于2摄氏度，即θ≥2恒成立， 亦m ·2t ＋22t ≥2恒成立，亦即m ≥2⎝⎛⎭⎫12t －122t 恒成立． 令12t ＝x ，则0<x ≤1，∴m ≥2(x －x 2)， 由于x －x 2≤14，∴m ≥12.因此，当物体的温度总不低于2摄氏度时，m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 题型三 分段函数模型例3 某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时，每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元．某月甲、乙两户共交水费y 元，已知甲、乙两户该月用水量分别为5x,3x (吨)． (1)求y 关于x 的函数；(2)若甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费． 思维启迪 题中y 关于x 的函数为分段函数关系．解 (1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4，乙的用水量也不超过4吨，y ＝1.8(5x ＋3x )＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨时，乙的用水量不超过4吨，即3x ≤4，且5x >4时，y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8. 当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝2×4×1.8＋3×[(3x －4)＋(5x －4)]＝24x －9.6.所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x 0≤x ≤45，20.4x －4.8， 45<x ≤43，24x －9.6， x >43.(2)由于y ＝f (x )在各段区间上均单调递增；当x ∈[0，45]时，y ≤f (45)<26.4；当x ∈(45，43]时，y ≤f (43)<26.4；当x ∈(43，＋∞)时，令24x －9.6＝26.4，解得x ＝1.5.所以甲户用水量为5x ＝5×1.5＝7.5吨； 付费S 1＝4×1.8＋3.5×3＝17.70(元)； 乙户用水量为3x ＝4.5吨，付费S 2＝4×1.8＋0.5×3＝8.70(元)．思维升华 (1)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值．(2)构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏．某学校制定奖励条例，对在教育教学中取得优异成绩的教职工实行奖励，其中有一个奖励项目是针对学生高考成绩的高低对任课教师进行奖励的．奖励公式为f (n )＝k (n )(n －10)，n >10(其中n 是任课教师所在班级学生参加高考该任课教师所任学科的平均成绩与该科省平均分之差，f (n )的单位为元)，而k (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n ≤10)，100 (10<n ≤15)，200 (15<n ≤20)，300 (20<n ≤25)，400 (n >25).现有甲、乙两位数学任课教师，甲所教的学生高考数学平均分超出省平均分18分，而乙所教的学生高考数学平均分超出省平均分21分．则乙所得奖励比甲所得奖励多 ( )A ．600元B ．900元C ．1 600元D ．1 700元答案 D解析 ∵k (18)＝200(元)，∴f (18)＝200×(18－10)＝1 600(元)． 又∵k (21)＝300(元)，∴f (21)＝300×(21－10)＝3 300(元)，∴f (21)－f (18)＝3 300－1 600＝1 700(元)．故选D.函数应用问题典例：(12分)在扶贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格 转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙，并约 定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月最 低生活费的开支3 600元后，逐步偿还转让费(不计息)．在甲提供的资料中：①这种消费品的进价为每件14元；②该店月销量Q (百件)与销售价格P (元)的关系如图所示；③每月需各种开支2 000元．(1)当商品的价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(2)企业乙只依靠该店，最早可望在几年后脱贫？思维启迪 (1)认真阅读题干内容，理清数量关系．(2)分析图形提供的信息，从图形可看出函数是分段的．(3)建立函数模型，确定解决模型的方法． 规范解答解 设该店月利润余额为L ，则由题设得L ＝Q (P －14)×100－3 600－2 000，①由销量图易得Q ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2P ＋50 (14≤P ≤20)，－32P ＋40 (20<P ≤26)，[2分]代入①式得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧(－2P ＋50)(P －14)×100－5 600 (14≤P ≤20)，⎝⎛⎭⎫－32P ＋40(P －14)×100－5 600 (20<P ≤26)， [4分](1)当14≤P ≤20时，L max ＝450元，此时P ＝19.5元； 当20<P ≤26时，L max ＝1 2503元，此时P ＝613元．故当P ＝19.5元时，月利润余额最大，为450元．[8分](2)设可在n 年后脱贫，依题意有12n ×450－50 000－58 000≥0， 解得n ≥20.即最早可望在20年后脱贫．[12分]解函数应用题的一般程序：第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系；第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知 识建立相应的数学模型；第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论； 第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际 问题的意义．第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果， 必须验证这个数学结果对实际问题的合理性．温馨提醒 (1)本题经过了三次建模：①根据月销量图建立Q 与P 的函数关系；②建立利润余额函数；③建立脱贫不等式．(2)本题的函数模型是分段的一次函数和二次函数，在实际问题中，由于在不同的背景下解决的问题发生了变化，因此在不同范围中，建立函数模型也不一样，所以现实生活中分段函数的应用非常广泛．(3)在构造分段函数时，分段不合理、不准确，是易出现的错误．方法与技巧1．认真分析题意，合理选择数学模型是解决应用问题的基础；2．实际问题中往往解决一些最值问题，我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值．3．解函数应用题的四个步骤：①审题；②建模；③解模；④还原．失误与防范1．函数模型应用不当，是常见的解题错误．所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型．2．要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域．3．注意问题反馈．在解决函数模型后，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．A组专项基础训练(时间：40分钟)一、选择题1．若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(小时)的函数关系用图像表示为()答案 B解析根据题意得解析式为h＝20－5t(0≤t≤4)，其图像为B.2．利民工厂某产品的年产量在150吨至250吨之间，年生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的关系可近似地表示为y＝x210－30x＋4 000，则每吨的成本最低时的年产量(吨)为() A．240 B．200 C．180 D．160答案 B解析 依题意，得每吨的成本为y x ＝x 10＋4 000x －30，则yx≥2 x 10·4 000x－30＝10， 当且仅当x 10＝4 000x，即x ＝200时取等号，因此，当每吨成本最低时，年产量为200吨，故选B.3． 某工厂采用高科技改革，在两年内产值的月增长率都是a ，则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为( )A ．a 12－1B ．(1＋a )12－1C ．aD ．a －1答案 B解析 不妨设第一年8月份的产值为b ，则9月份的产值为b (1＋a )，10月份的产值为b (1＋a )2，依次类推，到第二年8月份是第一年8月份后的第12个月，即一个时间间隔是1个月，这里跨过了12个月，故第二年8月份产值是b (1＋a )12.又由增长率的概念知，这两年内的第二年某月的产值比第一年相应月产值的增长率为b (1＋a )12－bb ＝(1＋a )12－1.4． 某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话 费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话 费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 答案 A解析 设A 种方式对应的函数解析式为s ＝k 1t ＋20， B 种方式对应的函数解析式为s ＝k 2t ，当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.5． 某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备 用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x 、y 应为 ( ) A ．x ＝15，y ＝12B ．x ＝12，y ＝15C ．x ＝14，y ＝10D ．x ＝10，y ＝14答案 A解析 由三角形相似得24－y 24－8＝x 20，得x ＝54(24－y )，∴S ＝xy ＝－54(y －12)2＋180，∴当y ＝12时，S 有最大值，此时x ＝15. 二、填空题6． 一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一． 答案 16解析 当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e－8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时， 即y ＝a e －bt＝18a ， e－bt＝18＝(e －8b )3＝e －24b ，则t ＝24，所以再经过16 min.7． A 、B 两只船分别从在东西方向上相距145 km 的甲乙两地开出．A从甲地自东向西行驶．B 从乙地自北向南行驶，A 的速度是40 km /h ，B 的速度是16 km/h ，经过________小时，AB 间的距离最 短． 答案258解析 设经过x h ，A 、B 相距为y km ，则y ＝(145－40x )2＋(16x )2(0≤x ≤298)，求得函数的最小值时x 的值为258.8． 某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km. 答案 9解析 设出租车行驶x km 时，付费y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧9，0<x ≤38＋2.15(x －3)＋1，3<x ≤88＋2.15×5＋2.85(x －8)＋1，x >8，由y ＝22.6，解得x ＝9. 三、解答题9． 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿千瓦时．本年度计划将电价调至0.55元～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y (亿千瓦时)与(x －0.4)元成反比例．又当x ＝0.65时，y ＝0.8. (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若每千瓦时电的成本价为0.3元，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%？[收益＝用电量×(实际电价－成本价)] 解 (1)∵y 与(x －0.4)成反比例，∴设y ＝k x －0.4(k ≠0)．把x ＝0.65，y ＝0.8代入上式， 得0.8＝k0.65－0.4，k ＝0.2.∴y ＝0.2x －0.4＝15x －2，即y 与x 之间的函数关系式为y ＝15x －2.(2)根据题意，得(1＋15x －2)·(x －0.3)＝1×(0.8－0.3)×(1＋20%)．整理，得x 2－1.1x ＋0.3＝0，解得x 1＝0.5，x 2＝0.6. 经检验x 1＝0.5，x 2＝0.6都是所列方程的根． ∵x 的取值范围是0.55～0.75，故x ＝0.5不符合题意，应舍去．∴x ＝0.6.∴当电价调至0.6元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%.10．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． (1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时) 解 (1)由题意，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎨⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0≤x ≤20，13(200－x )， 20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ， 0≤x ≤20，13x (200－x )， 20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎡⎦⎤x ＋(200－x )22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以当x ＝100时，f (x )在区间(20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．B 组 专项能力提升 (时间：30分钟)1． 某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n 次涨停(每次上涨10%)，又经历了n 次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为 ( )A ．略有盈利B ．略有亏损C ．没有盈利也没有亏损D ．无法判断盈亏情况 答案 B解析 设该股民购这支股票的价格为a ，则经历n 次涨停后的价格为a (1＋10%)n ＝a ×1.1n ，经历n 次跌停后的价格为a ×1.1n ×(1－10%)n ＝a ×1.1n ×0.9n ＝a ×(1.1×0.9)n ＝0.99n ·a <a ，故该股民这支股票略有亏损．2． 某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣，如果顾客购物总金额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，按下表折扣分别累计计算.y 关于x 的解析式为 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0<x ≤800，5%(x －800)，800<x ≤1 300，10%(x －1 300)＋25，x >1 300.若y ＝30元，则他购物实际所付金额为________元． 答案 1 350解析 若x ＝1 300元，则y ＝5%(1 300－800)＝25(元)<30(元)，因此x >1 300. ∴由10%(x －1 300)＋25＝30，得x ＝1 350(元)．3． 某医院为了提高服务质量，对挂号处的排队人数进行了调查，发现：当还未开始挂号时，有N 个人已经在排队等候挂号；开始挂号后排队的人数平均每分钟增加M 人．假定挂号的速度是每个窗口每分钟K 个人，当开放一个窗口时，40分钟后恰好不会出现排队现象；若同时开放两个窗口时，则15分钟后恰好不会出现排队现象．根据以上信息，若要求8分钟后不出现排队现象，则需要同时开放的窗口至少应有________个． 答案 4解析 设要同时开放x 个窗口才能满足要求， 则⎩⎪⎨⎪⎧N ＋40M ＝40K ， ①N ＋15M ＝15K ×2， ②N ＋8M ≤8Kx . ③由①②，得⎩⎪⎨⎪⎧K ＝2.5M ，N ＝60M ，代入③，得60M ＋8M ≤8×2.5Mx ，解得x ≥3.4. 故至少同时开放4个窗口才能满足要求．4． 某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )万元，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不少于80千件时，C (x )＝51x＋10 000x－1 450(万元)．通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产的商品能全部销售完．(1)写出年利润L (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解 (1)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝500×1 000x 10 000－13x 2－10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝500×1 000x 10 000－51x －10 000x ＋1 450－250＝1 200－(x ＋10 000x)，∴L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250(0<x <80，x ∈N ＋)，1 200－(x ＋10 000x)(x ≥80，x ∈N ＋).(2)当0<x <80，x ∈N ＋时， L (x )＝－13(x －60)2＋950，∴当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950. 当x ≥80，x ∈N ＋时，L (x )＝1 200－(x ＋10 000x )≤1 200－2x ·10 000x＝1 200－200＝1 000， ∴当x ＝10 000x ，即x ＝100时，L (x )取得最大值L (100)＝1 000>950.综上所述，当x ＝100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大．5． 经市场调查，某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t (天)的函数，且日销售量近似地满足g (t )＝－13t ＋1123(1≤t ≤100，t ∈N )．前40天价格为f (t )＝14t ＋22(1≤t ≤40，t ∈N )，后60天价格为f (t )＝－12t ＋52(41≤t ≤100，t ∈N )，试求该商品的日销售额S (t )的最大值和最小值． 解 当1≤t ≤40，t ∈N 时， S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(14t ＋22)＝－112t 2＋2t ＋112×223＝－112(t －12)2＋2 5003，所以768＝S (40)≤S (t )≤S (12)＝2 5003.当41≤t ≤100，t ∈N 时，S (t )＝g (t )f (t )＝(－13t ＋1123)(－12t ＋52)＝16t 2－36t ＋112×523＝16(t －108)2－83， 所以8＝S (100)≤S (t )≤S (41)＝1 4912. 综上，S (t )的最大值为2 5003，最小值为8.。