中考数学 相似 综合题及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC， ，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).

（1）设 的面积为 ，直接写出 与 之间的函数关系式是________（不写取值范围）.

（2）当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时 的值.

（3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出 =________.

（4）是否存在时刻 ，使得 若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由.

【答案】（1）

（2）解：如图1，过点P作PH⊥BC于点H，

∴∠PHB=∠PHQ=90°，

∵∠C=90°，AD∥BC，

∴∠CDP=90°，

∴四边形PHCD是矩形，

∴PH=CD=3，HC=PD=2t，

∵CQ=t，BC=4，

∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t，

∴BQ2= ，BP2= ，PQ2= ，

由BQ2=BP2可得： ，解得：无解；

由BQ2=PQ2可得： ，解得： ；

由BP2= PQ2可得： ，解得： 或 ，

∵当 时，BQ=4-4=0，不符合题意， ∴综上所述， 或 ；

（3）

（4）解：如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，

则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD，

∵AD∥BC，DM∥PQ，

∴四边形PQMD是平行四边形，

∴QM=PD=2t，

∵QC=t,

∴CM=QM-QC=t，

∵∠BCD=∠MCD=90°，

∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2 ，

∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2 ，

∴由BM2=BD2+DM2可得： ，解得： ，

∴当 时，∠BDM=90°，

即当 时，PQ⊥BD.

【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3，

∴S△PBQ= BQ×3= ；

（ 3 ）解：如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，

∴∠PMC=∠C=90°，

∵AD∥BC，

∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ， ∴四边形PMCD是矩形， ，

∴PM=CD=3，CM=PD=2t，

∵AD=6，BC=4，CQ=t，

∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t,

∴ ，解得： ，

∴MQ= ，

又∵PM=3，∠PMQ=90°，

∴tan∠BPQ= ；

【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到s与t之间的函数关系式。

（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、BP=BQ、PB=PQ三种情况，在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t。

（3）根据相似三角形对应边比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值；

（4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。

2．在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝12，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点。

（1）若点N在BC之间时，如图：

①求证：∠NPQ＝∠PQN；

②请问 是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；

（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADC＝∠ADQ＝90°，

AB//CD，∴∠APM＝∠DQM， ∵M是AD边的中点，∴AM＝DM，

在△APM和△DQM中， ，∴△APM≌△DQM（AAS），∴PM＝QM，

∵MN⊥PQ，∴MN是线段PQ的垂直平分线，∴PN＝QN，∴∠NPQ＝∠PQN

② 是定值

理由：如图，过点M作ME⊥BC于点E，

∴∠MEN＝∠MEB＝∠AME＝90°，

∴四边形ABEM是矩形，∠MEN＝∠MAP，∴AB＝EM，

∵MN⊥PQ，∴∠PMN＝90°，∴∠PMN＝∠AME，

∴∠PMN－∠PME＝∠AME－∠PME，∴∠EMN＝∠AMP， ∴△AMP∽△EMN，

∴ ，∴ ，∵AD＝12，M是AD边的中点，∴AM＝ AD＝6，

∵AB＝8，∴ ；

（2）解：分点N在BC之间和点N在BC延长线上两种情况

（ⅰ）当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，

∴∠BFS＝∠CGT＝90°，BS＝ PN，CT＝ QN，

∵PN＝QN，S△PBN＝S△NCQ ， ∴BF＝CG，BS＝CT

在Rt△BFS和Rt△CGT中， ，∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），∴∠BSF＝∠CTG，

∴∠BNP＝ ∠BSF＝ ∠CTG＝∠CQN，

在△PBN和△NCQ中， ，∴△PBN≌△NCQ（AAS），∴BN＝CQ，BP＝CN，

∵AP＝AB－BP＝8－CN，又∵CN＝BC－BN＝12－CQ，∴AP＝CQ－4

又∵CQ＝CD+DQ，DQ＝AP，∴AP＝4+AP（舍去），∴此种情况不成立；

（ⅱ）当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，

同理可得，△PBN≌△NCQ，∴PB＝NC，BN＝CQ，

∵AP＝DQ， ∵AP+8＝DQ+CD＝CQ＝BC+CN＝12+BP，

∴AP－BP＝4 ①， ∵AP+BP＝AB＝8②， ①+②得：2AP＝12，∴AP＝6．

【解析】【分析】（1）①由矩形的性质用角角边易证△APM≌△DQM，可得PM＝QM，已知MN⊥PQ，由线段的垂直平分线的定义可得MN是线段PQ的垂直平分线，再根据线段的垂直平分线的性质可得PN＝QN，由等边对等角可得∠NPQ＝∠PQN；

②过点M作ME⊥BC于点E，由矩形的性质跟据有两个角对应相等的两个三角形相似易证△AMP∽△EMN，可得比例式 ， 结合已知条件易求得为定值；

（2）根据MN⊥PQ交射线BC于N点可知分两种情况：①当点N在BC之间时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△NCQ可求解；

②当点N在BC延长线上时，如图，作BF⊥PN于点F，CG⊥QN于点G，再分别作Rt△PBN和Rt△NCQ的中线BS、CT，通过证△PBN≌△NCQ可求解。

3．如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若∠MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N，且∠MPN+∠ACB=180°．

（1）如图1，若AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，求 ，请证明你的结论；

（2）如图2，若BC=m，AC=n，∠ACB=90°，且D为AB的中点时，则 =________；

（3）如图3，若 =k，BC=m，AC=n，请直接写出 的值．（用k，m，n表示）

【答案】（1）解：如图1中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵AC=BC，∠ACB=90°，且D为AB的中点，

∴CD平分∠ACB，

∵PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∴PG=PH，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴ =1

（2）

（3）解：如图3中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，

易证△PMH∽△PGN，

∴ ，

∵ ，

∴ ，

∵DT∥PG，DK∥PH，

∴ ，

∴ ， ∴

【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，

∵∠PGC=∠PHC=∠GCH=90°，

∴∠GPH=∠MPN=90°，

∴∠MPH=∠NPG，

∵∠PHM=∠PGN=90°，

∴△PHM∽△PGN，

∴ ，

∵△PHC∽△ACB，PG=HC，

∴ ，

故答案为： ；

【分析】（1）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，根据已知条件可证△PHM和△PGN的两角对应相等，进而可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例即可求出。（2）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，由两角对应相等，可得△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得 = ， 由两角对应相等，可得△PHC∽△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。（3）作PG⊥AC于G，PH⊥BC于H，DT⊥AC于T，DK⊥BC于K，由两角对应相等，△PHM∽△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得

= ， 由△ A C D 和 △ B C D的面积比及已知条件可得,再由垂直于同一条直线的两条直线平行可得DT∥PG，DK∥PH，根据平行线分线段成比例定理可得 = = ，再根据比例的基本性质即可求出的值。

4．已知如图1，抛物线y=﹣ x2﹣ x+3与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点D的坐标是（0，﹣1），连接BC、AC