专题二-分类讨论思想训练

北师大版初中数学测试题

北师大版初中数学测试题 思想方法专题：勾股定理中的思想方法

◆类型一 分类讨论思想

一、直角边和斜边不明时需分类讨论【易错1】

1．在一个直角三角形中，若其中两边长分别为5，3，则第三边长的平方为( )

A．16 B．16或34

C．34 D．不存在 2．已知x，y为正数，且|x－4|＋(y－3)2＝0，如果以x，y为边长作一个直角三角形，那么以这个直角三角形的斜边长为边长的正方形的面积为( )

A．5 B．7

C．7或25 D．16或25

二、锐角和钝角不明时需分类讨论【易错2】

3．★在△ABC中，AB＝13cm，AC＝20cm，BC边上的高为12cm，则△ABC的面积为________cm2. 【变式题】一般三角形→等腰三角形

等腰三角形的腰长为5，一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长的平方为________．

三、腰和底不明时需分类讨论

4．★如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ABC扩充为等腰△ABD，且扩充部分是以AC为直角边的直角三角形，则CD的长为( )

A.76，2或3 B．3或76

C．2或76 D．2或3

◆类型二 方程思想

一、利用两直角三角形“公共边”相等列方程

5．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AD∶BD＝5∶2，AC＝17，BC＝10，则BD的长为( )

A．4 B．5 C．6 D．8

6．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝13cm，BC＝14cm，则△ABC的面积为________cm2.【方法5①】

二、折叠问题中利用勾股定理列方程

7．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上与点B′重合，AE为折痕，则EB＝________．

8．如图，长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，设点D落在D′处，BC交AD′于点E，AB＝6cm，BC＝8cm，求阴影部分的面积．【方法3】

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八年级数学从等腰三角形看分类讨论专题练习

试卷简介:分类讨论在中招试题中十分常见，这类题目不仅考查了学生对数学基础知识和方法的掌握，也考查了学生思维的深刻度。而解决这类问题时，因考虑不全导致的失分现象十分严重，针对这个问题，本套题目以等腰三角形为依托，详细介绍了何时分类、如何分类的思想与方法，希望能对大家有所启发。

学习建议:分类不全面、不知如何分类是同学们在解决分类讨论型问题时的常见问题，如何才能做到最终结果的不重不漏，同学们需要重点注意一下几点：1、熟悉不同图形间的差异，并根据图形做出分类的初始判断；2、准确把握题目告知的信息，从问题中找到分类的依据；3、了解常见问题的分类准则；4、永远比其他人多想一步。

一、单选题(共12道，每道10分)

1.某等腰三角形的两条边长分别为3cm和6cm，则它的周长为（）

A.9cm

B.12cm

C.15cm

D.12cm或15cm

答案：C

解题思路：此题属于腰或底边不确定时 注意分类讨论，两条边长轮流做三角形的腰长： （1）6cm做腰长时（如图）：周长为6+6+3=15（cm） （2）3cm做腰长时：周长为3+3+6=12（cm）

验证，第一种情况：最短边+较短边>最长边（3+6>6），可以构成三角形. 第二种情况：由于3+3=6，不符合最短边+较短边>最长边，构不成三角形. 综上：C选项正确

试题难度：一颗星 知识点：三角形三边关系

2.若等腰三角形中有一个角等于50°，则这个等腰三角形的顶角的度数为（）

A.50°

B.80°

C.65°或50°

D.50°或80°

答案：D

解题思路：解题思路：此题属于角不确定时注意50°可能是顶角，可能是底角：（1）50°为顶第 2 页 共 7 页 角时（如图），这个等腰三角形的顶角为50° （2）50°为底角时（如图），可知等腰三角形的两个底角相等，均为50°，由三角形内角和为180°，可求得顶角度数为：80°.综上，D选项正确

1 专题二 分类讨论思想

1．圆心距为2的两圆相切，其中一个圆的半径为1，则另一个圆的半径为( )

A．1 B．3 C．1或2 D．1或3

2．已知线段AB＝8 cm，在直线AB上画线段BC，使BC＝5 cm，则线段AC的长度为( )

A．3 cm或13 cm B．3 cm C．13 cm D．18 cm

3．如图Z2－3，反比例函数y1＝k1x和正比例函数y2＝k2x 的图象交于A(－1，－3)，B(1,3)两点，若k1x＞k2x，则x的取值范围是( )

图Z2－3

A．－1＜x＜0 B．－1＜x＜1 C．x＜－1或0＜x＜1 D．－1＜x＜0或x＞1

4．当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝ax在同一坐标系中的图象可能是( )

A B C D

5．如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是( )

A．15 cm B．16 cm C．17 cm D．16 cm或17 cm 2 6．为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市将出台新的居民用电收费标准：

(1)若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.50元/度计算；

(2)若每户居民每月用电量超过100度，则超过部份按0.80元/度计算(未超过部份仍按每度电0.50元计算)．

现假设某户居民某月用电量是x(单位：度)，电费为y(单位：元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是(

)

A B C D

7．等腰三角形ABC的两边长分别为4和8，则第三边长为________．

备战2019中考初中数学六大题型专项突破

专题二:分类讨论型问题

【方法指导】

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解、提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

分类讨论型问题就是将要研究的数学对象按照一定的标准划分为若干不同的情形，然后逐类进行研究和求解。对于因为存在一些不确定因素而无法解答或者结论不能统一表述的数学问题，我们往往将问题划分为若干类或者若干个局部问题来解决。问题类型主要有：由计算化简时，运用法则、定理和原理的限制引起的讨论；由特殊的三角形形状不确定性引起的讨论，由直线与圆的位置不确定性引起的讨论。

【典例解析】

类型一： 因计算化简运用法则、定理和原理的限制引起的讨论

【例1】

类型二： 由特殊三角形的形状不确定性引起的讨论

【例2】（2018东营）（9.00分）关于x的方程2x2﹣5xsinA+2=0有两个相等的实数根，其中∠A是锐角三角形ABC的一个内角．

（1）求sinA的值；

（2）若关于y的方程y2﹣10y+k2﹣4k+29=0的两个根恰好是△ABC的两边长，求△ABC的周长．

【分析】（1）利用判别式的意义得到△=25sin2A﹣16=0，解得sinA=；

（2）利用判别式的意义得到100﹣4（k2﹣4k+29）≥0，则﹣（k﹣2）2≥0，所以k=2，把k=2代入方程后解方程得到y1=y2=5，则△ABC是等腰三角形，且腰长为5．

分两种情况：当∠A是顶角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，利用三角形函数求出AD=3，BD=4，再利用勾股定理求出BC即得到△ABC的周长；

当∠A是底角时：如图，过点B作BD⊥AC于点D，在Rt△ABD中，AB=5，利用三

角函数求出AD得到AC的长，从而得到△ABC的周长．