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专题——三角函数值域与最值

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1 三角函数的值域和最值

1.正弦函数

y=sinx定义域是R，值域是[-1,1]，在x=2kπ-π/2(k∈Z)时取最小值-1，在x=2kπ+π/2(k∈Z)时，取最大值1 .

2.余弦函数

y=cosx定义域是R，值域是[-1，1]，在x=2kπ(k∈Z)时，取最大值1，在x=2kπ+π(k∈Z)时，取最小值-1

3.正（余）切函数

y=tanx定义域是(kπ-π/2，kπ+π/2)(k∈Z)，值域是R，无最值.

4. asinx+bcosx型函数

)sin(cossin22xbaxbxa

其中 abarctan，φ角所在象限是由点P(a,b)所在象限确定)

练习题

1．.若sinx≥1/2，则x的范围是____________________________；若√3+2cosx＜0，则x的范围是 ；

若tanx≤1,则x的范围是________________________；若sin2x＞cos2x，则x的范围是__________________________

( 2kπ+π/6≤x≤2kπ+5π/6，k∈Z；2kπ+5π/6

2．函数y=√3sinx+cosx,x∈[-π/6，π/6]的值域是( ) D

(A)[-√3，3] (B)[-2，2] (C)[0，2] (D)[0，√3]

【x有范围限制时，y 的范围要根据单调性得出】

3．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为( ) A

(A)1+√2 (B)√2-1 (C)2 (D)2

4.设 0cossin,cossin33t ，则t的取值范围是( ) B

(A) ，，303 (B) 02，

(C) 3101，， (D) 33，

5．函数f(x)=Msin(ωx+φ)(ω＞0)在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=-M，f(b)=M，则函数g(x)=Mcos(ωx+φ)在[a,b]上( ) B

(A)是增函数 (B)可以取得最大值M

(C)是减函数 (D)可以取得最小值-M

6．已知△ABC中， 324tanA，求使62sinsin2y2BB取最大值时∠C的大小.

【形如y=acos2x+bcosxsinx+csin2x+d(a、b、c、d为常数)的式子，都能仿照上例变形为形如y=Acos(2x+φ)+B的式子，从而有关问题可在变形式的基础上求解另外，求最值时不能忽 2 视对定义域的思考】

7．试求函数y=sinx+cosx+2sinxcosx+2的最大值和最小值.又若x∈[0，π/2]呢？

【此为sinx+cosx与sinx·cosx型.(注意与上例形式的不一样)，一般地，含有sinx+cosx,sinx-cosx，sinx·cosx的三角函数都可以采用换元法转化为t的二次函数去解.但必须注意换元的取值范围.】【换元后，要研究定义域的变化，脱离定义域研究函数没有意义】

8．求函数1cos21cos2xxy的值域

【此为dxcbxaysinsin型三角函数(分子、分母的三角函数同角同名)这类函数，一般用拆分法及三角函数的有界性去解.思考如何求1cos21sin2xxy的值域呢? 】

9．已知函数f(x)=-sin2x-asinx+b+1的最大值为0，最小值为-4，若实数a＞0，求a,b的值

【上述两题为y=asin2x+bsinx+c型的三角函数.此类函数求最值，可转化为二次函数y=at2+bt+c在闭区间[-1，1]上的最值问题解决.】

10．.在Rt△ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上．

(1)设AB=a,∠ABC=θ，求△ABC的面积P与正方形面积Q

(2)当θ变化时求P/Q的最小值．

【此题为 xaxsinsin型三角函数．当sinx＞0且a＞1时，不能用均值不等式求最值，往往用函数单调性求解】

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三角函数值域的求法

三角函数值域的求法

三角函数值域的求法

-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 例谈三角函数值域（最值）的几种求法

南县一中 肖胜军

有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。

一、 合理转化，利用有界性求值域

例1、求下列函数的值域：

（1）1sincosyxx （2）cos3cos3xyx

（3）22sin2sincos3cosyxxxx （4）3sin()4cos()44yxx解析：（1）根据11sincossin222xxx可知：1322y

（2）将原函数的解析式化为：3(1)cos1yxy，由cos1x可得：122y

(3) 原函数解析式可化为：21sin22cos2sin2cos222sin(2)4yxxxxx可得：2222y

（4）根据222222sincossin(),axbxabxabab可得：55y

二、单调性开路，定义回归

例2、求下列函数的值域：

（1）1sin2yx （2）cos(sin)yx

（3）2cos3sin,63yxxx （4）22cos5sin1yx

116sin0sin222xx解析：（1）由-1知：

1sin1,cos1cossincos1cos(sin)122xxx（2）由-有（）125sin()663366xxx（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y2

探讨几种常见的三角函数最值问题

探讨几种常见的三角函数最值问题

探讨几种常见的三角函数最值问题

作者：张桂祥

来源：《成才之路》 2014年第36期

江苏 射阳 张桂祥

近些年来，有关三角函数的最值问题逐渐成为各等级高中数学考试的重点。通过对三角函数最值一类问题的教学，可以帮助学生强化数学知识与数学思想之间的联系，同时有利于培养学生的数学思维。下面，我们来探讨几种常见的三角函数最值问题。

一、三角函数最值常见类型

（1）一次型三角函数。一次型三角函数是指那些三角函数的幂次数等于一的函数类型，例如：等。对此，此类函数的求法较为多样，也较为简单，可以总结为“遇不同，化相同”。

（2）二次型三角函数。二次型三角函数即是三角函数的幂指数出现大于一的情形，如等。此类三角函数最值的求解，常常利用三角函数的性质来求解。

（3）分数型三角函数。分数型三角函数问题常常会给学生们的函数最值带来困难，尤其是对分母的存在性定义是很多学生容易遗忘的地方。对于分式型三角函数，我们常常是将分数型转换成一次性，或是采用换元等方法，实现对分数型的转换和化简。

二、三角函数最值问题求解策略

（1）三角函数有界性求解。三角函数的最值问题归根到底都是函数的有界性问题，在定义域不做限制的情况下，利用三角函数自身的有界性是解决基础性函数最值问题的有效手段。

利用三角函数的周期性，结合函数图像性质，我们即可求得具体的函数表达式。对于三角函数最基础的有界性、单调性、周期性等原则的掌握，是学生们解决函数最值问题的核心，只有学生们的函数基础扎实了，函数最值与其他数学知识的综合问题学生们才能求解的得心应手。

（2）参数替换法求解。在高中数学函数教学中，学生们常常会产生畏惧情绪，面对一长串的三角函数表达式，他们常常会不知所措。对此，教师可以采用参数替换的方法，将原本的表达式进行简化和合并，从而更加容易的发现其中的最值求解之道。提到参数替换（换元）的方法，我们不得不再次提醒关于参数的取值范围问题，只有定义域判断正确，才能求出正确的值域和最值。

《三角函数最值与值域》教学设计

《三角函数最值与值域》教学设计

1

《三角函数最值与值域》教学设计

龙海市实验中学 郑国鹏

一、教材分析

三角函数的最值与值域是历年高考重点考查的内容之一，是对三角函数的概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数间的关系、两角和与差公式的综合考查，是函数最值的一个重要组成部分.它不仅与三角变换直接相关，而且与二次函数、解不等式等知识密切相关，是数形结合思想，函数和方程的思想的具体体现，在中学数学中占有重要的地位和广泛的应用，而三角函数最值问题的求解又恰好是对其综合能力的运用，所以很有必要对求解三角函数最值的方法进行归纳整理，并引导学生综合运用所学过的知识，总结解题规律，提高分析问题和解决问题的能力，同时也培养创新能力.

二、教学目标

1．认知目标：正确理解三角函数的有关概念，掌握三角函数的基本概念、公式、图象及性质，并能综合运用这些概念，公式及性质解决实际问题.

2．能力目标：在教学过程中，让学生学会运用数形结合思想、函数和方程的数学思想来分析解决数学问题；培养学生的观察能力、动手能力、创新能力和归纳能力.

3．情感目标：通过例题的分析，方法的归纳，激发学生主动参与、主动探索的意识，使学生始终在动态过程中去感受知识、巩固知识、运用知识，提高学习效率.

三、教学重点、难点

1． 教学重点：求三角函数的最值.

2． 教学难点：根据题目正确运用相应方法求三角函数最值与值域.

四、教学方法

讲授教学与启发教学相结合，充分调动学生的积极性，发挥学生的主动性和创造性.

五、学生情况分析

（1）高三学生对三角函数这部分知识比较熟悉.但学生对知识的前后联系，有效方法的选择，分析问题以及综合运用知识的能力还很薄弱.

（2）学生对知识的归纳整理能力比较欠缺，所以对三角函数最值与值域的几个基本类型需要进行归纳和整理，以便学生能够更好的掌握.

六、教学过程

（1）引入 2

第15讲-函数的最值与值域

第15讲-函数的最值与值域

72 主 题 函数的最值与值域

教学内容

1. 掌握常见的函数的值域（最大值最小值）的求解方法。

2. 能够利用单调性，基本不等式求值域（最大值最小值）。

求223yxx 在xR 上的值域？在[2,1]x 上的值域？

例1. 求下列二次函数2231,[1,0]yxxx的最大值或最小值.

试一试：求下列二次函数223,[0,3]yxxx的最大值或最小值.

73 例2. 求下列函数的值域：

（1）31xyx ； （2）321xyx .

试一试：求下列函数的值域：

（1）351xyx ； （2）431xyx .

例3. 将上述例目改为求解31xyx在(2,3)x 上的值域呢？

试一试：求函数12xyx 在(3,2)x 上的最大值和最小值.

例4. 求()12fxxx 的值域.

试一试：求函数23134yxx=---的定义域与值域

74

1. 当22x时，求函数223yxx的最大值和最小值．

2. 已知函数2()23fxxx在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为________．

3. 设函数32)(2xxxf，若)(xf在]1,[mx上的最小值为1，求实数m的值 。

4. 已知函数2557(),(,][,)322xfxxx，求函数的值域。

5. 求函数22()4422fxxaxaa在[0, 2]上的最值

１ ｍ

75

本节课主要知识点：二次函数求值域的方法，分子分母是一次式的函数求值域的方法。

【巩固练习】

1. 设函数2203fxxxax的最大值为m，最小值为n，其中0,aaR．求mn、的值（用a表示）；

2. 求函数2(),[2,1)[0,)1xfxxx的值域；