第一章导热理论基础

第⼀章导热理论基础

第⼀章导热理论基础

传热学计算的⽬的：确定各种情况下传热量或传热过程中的温度分布。

整体思路：

要确定导热量，由导热基本定律——傅⾥叶定律的数学表达式：q=—λgrad t

q :热流密度⽮量，简称热流⽮量，即单位⾯积上的导热量；

λ：导热系数；

grad t:温度梯度；

-：热流⽮量的⽅向与温度梯度的⽅向相反。

因此，要求出导热量，应确定：

（1）grad t：要确定出温度t分布（确定的重点）；

（2）λ：⼀般由实验确定。

因此，导热部分的基本内容：

第⼀章 1. ⾸先介绍傅⾥叶定律及与其有关的⼏个基本概念，本章第⼀节；2．本章第⼆节，介绍导热系数；

3．由⾼等数学，要确定t与位置及时间关系的表达式，应先列出微分⽅程，再根据具体条件求解。

本章第三节，微分⽅程；第四节，定值条件。（确定温度t分布）

第⼆章、第三章：第⼀章的应⽤。应⽤第⼀章结论，确定具体情况（稳态或⾮稳态）导热，（⼤平壁或圆筒壁等）t及q（主要是⼀维）

第四章简介⽤数值解法建⽴⽅程求解t及q的⽅法。

第⼀节基本概念及傅⾥叶定律

⼀、基本概念1．温度场（Temperature field）

1.1定义（P7）：某⼀时刻空间所有各点温度分布的总称。⼀般温度场是时间和空间的函数。直⾓坐标系中

t=f(x,y,z, τ)

1.2 τ稳态温度场Steady-state conduction）：t=f(x,y,z)，

⾮稳态温度场（Transient conduction）：t=f(x,y,z, τ)1.3⼀维、⼆维、三维温度场

⼀维稳态温度场：t=f(x),

例如：⽆限⼤平壁的稳态导热，(1)⾼度、宽度远⼤于厚度，因此温度仅沿⼀个⽅向即厚度⽅向变化；

t t

(2)两侧维持

1,2

w w

实际上，⼀维的还可以⽤分析⽅法⼿算求解，⼆维、三维的⼀般要

⽤数值⽅法（计算机编程）求解，⼀般⽤于科研中（第4章）。2、等温⾯与等温线（顾名思义，等温即温度相等）

2.1定义（P8）：

等温⾯：同⼀时刻、温度场中所有温度相同的点连接起来所构成的⾯。

等温线：⽤⼀个平⾯与各等温⾯相交，在这个平⾯上得到⼀个等温线簇。

（见P11,图1-1）

3．温度梯度(Temperature gradient )(图1-2)

同⼀等温⾯上没有温差从等温⾯上某点出发，沿不同⽅向，到达另⼀等温⾯时，(1)单位距离的温度变化；(2)法向（温度变化率最⼤）；(3)正向：指向温度升⾼的⽅向。 热流密度⽮量q=—λgrad t 热流密度：单位时间、单位⾯积上所传递的热量；热流密度⽮量：等温⾯上某点，以通过该点处最⼤热流密度的⽅向为⽅向、数值上正好等于沿该⽅向的热流密度。 ⼆、傅⾥叶定律1822年，法国数学家傅⾥叶（Fourier ）在实验研究基础上，发现导热基本规律 —— 傅⾥叶定律

导热基本定律：垂直导过等温⾯的热流密度，正⽐于该处的温度梯度， ⽅向与温度梯度相反。

直⾓坐标系中：

适⽤于各向同性材料（各向同性材料：导热系数在各个⽅向是相同的。有些天然和⼈造材料，

如：⽯英、⽊材、叠层塑料板、叠层⾦属板，其导热系数随⽅向⽽变化 —— 各向异性材料）

第⼆节 导热系数（ Thermal conductivity ）1

物质的重要热物性参数，只与物质本⾝性质有关，与过程⽆关。 表征物质导热能⼒⼤⼩。实验测定

影响导热系数的因素：物质的种类、温度、湿度、压⼒、密度等，但主要影响因素是物质的种类和温度。

许多⼯程材料λ与t 的关系可表⽰为：0(1)bt λλ=+，

其中：0λ：某个参考温度，⽐如0℃时的导热系数；

2 -grad [W m ]

q t λ=

x y z t t t q q i q j q k i j k x y z

λλλ=++=--- ; ; x y z t t t

q q q x y z

λλλ

=-=-=-

b:由实验确定的常数。

λ：(1)有时看作只与种类有关，种类确定，λ为定值； (2) 有时需考虑温度的影响。⾦属导热与导电机理⼀致；良导电体为良导热体2.建筑隔热保温材料： ⼤多数建筑材料和绝热材料具有多孔或纤维结构多孔材料的导热系数与密度和湿度有关保温材料：国家标准规定，温度低于350度时导热系数⼩于0.12W/(m.K) 的材料（绝热材料）⼏个问题：

1．为什么隔热保温材料⼀般为多孔材料？是否孔隙越⼤越好？ 2．冬天晒被⼦，拍打的原因。 3．为什么隔热保温材料要防潮？4．夏天⼈在同样温度（如：25度）的空⽓和⽔中的感觉不⼀样。为什么？5．

问题：1.q x =x

t

-λ

,(—)号能否去？ 2.λ=λ0（1+bt ），λ能否是负值？ 种类⼀定，定值

受温度影响，λ=λ0（1+bt ）q=-λgradt ⾸先找出上式的微分⽅程 t=f(x 、y 、z 、τ)

定值条件（单值性条件）

第三节 导热微分⽅程

⼀、 推导思路：①从进⾏导热的物体中，取⼀个微元体；

②根据能量守恒定律，对微元体进⾏热平衡分析。

从进⾏导热过程的物体中分割出⼀微元体，

图1-9所⽰，在x 、y 、z ⽅向上的边长分别为dx 、dy 、dz 。0.025~3W (m.k)λ≈T λ↑?↑

; λλλλλ>>>⾦属⾮⾦属固相液相⽓相

假定：1、物体为各向同性的连续介质； 2、λ、c 、ρ已知； 3、v q （W/m 3

）：内热源强度（单位体积的导热体单位时间内的发热量）。

根据能量守恒定律，在d τ时间内，[导⼊与导出微元体的净热量]+[微元体中内热源的发热量]

Ⅰ Ⅱ

=[微元体热⼒学能的增加] Ⅲ

I ：由X 、Y 和Z 三个⽅向导⼊与导出微元体的净热热量相加，以x ⽅向为例分析。

d τ时间内经x 表⾯导⼊的热量为 X x dQ q dy dz d τ

=

d τ时间内经x+dx 表⾯导出的热量为 X dx x dx dQ q dy dz d τ

++=

d τ时间内，沿x 轴⽅向导⼊与导出微元体的净热量为：

()x x dx x x dx dQ dQ q q dy dz d τ

++-=-

x dx q +利⽤台劳（泰勒）级数在x 和x+d x

区间展开x

x dx x q q q dx x

+?=+

dx 为⽆穷⼩量，取前两项已⾜够准确 x x

x dx

q dQ dQ dx dy dz d x

τ+?-=-同理可得， d τ时间内，沿y 轴⽅向和沿z 轴⽅向，导⼊与导出微元体的净热量。 x 、y 、z 三个⽅向，导⼊和导出微元体的净热量：I=()y x z

q q q dx dy dz d x y z

τ-++

由傅⾥叶定律，x tq x

λ

=- II=

v q dx dy dz d τ

III=t t

c

dxdydz d c dxdydz d ρτρτττ

=?

则得导热微分⽅程式：（1-19）()()()v t t t t

c

q x x y y z z

ρλλλτ=+++ （1-19） 通常⽤到的简化形式： 1、λ、ρ、c 为常数：

222222222222()()v v q q t t t t t t t

a c x y z c x y z c

λτρρρ=+++=+++(1-20)

其中a ：热扩散率 a c λρ==导热能⼒

储热能⼒

表明材料中温度变化传播越快—传导温度、导温系数 a 越⼤

表明物体各部分温度趋于均匀⼀致的能⼒越⼤—热扩散率2、λ、ρ、c 为常数且⽆内热源时：

v q =0 （1-21）

3、稳态温度场：0t

τ

= （1-22） 4、稳态，且⽆内热源时： （1-23）

5、⼀维、稳态、⽆内热源时，λ为常数，02

2=dx

td

⼆、当采⽤柱坐标或球坐标时，通过坐标变换，转换为柱坐标系或球坐标系 X=rcos θY=rsin θ 柱 Z=Z

X=rcos θcos θ

Y=rsin θsin θ 球 Z=rcos θ

要进⼀步得出温度分布，需结合单值性条件，解导热微分⽅程式：

导热微分⽅程式

完整的数学描述

单值性条件

第四节 导热过程的单值性条件

1、⼏何条件：⼏何形状、⼤⼩ (如：平壁或圆筒壁；厚度、直径等)

2、物理条件：物理特性 (如：物性参数是否随温度变化； 有⽆内热源、⼤⼩和分布)

3、时间条件：

选取及简化导热微分⽅程中反映

⼜称初始条件，主要针对⾮稳态导热⽽⾔，即初始温度分布0(,,)t f x y z τ==

4、边界条件：分三类：

（1）第⼀类：已知任何时刻物体边界⾯上的温度值w s t t =

例： 1018x t tw C ===?

20x t tw C δ===?

（2）第⼆类：已知任何时刻物体边界⾯上的热流密度值（即法向的温度变化率）w s q q =

w

s s w

s

t

q q n q t n

λλ

=-==-

（3）第三类：已知与边界⾯直接接触的流体t f 和边界⾯与流体间的表⾯传热系数h 。()s f s t

q h t t n

λ?=-=-?

如果有辐射换热，还需把辐射换热考虑进去

（4）第四类：已知两物体表⾯紧密接触时的情形。

在接触⾯处，两物体温度相等，通过接触⾯的热流密度也相等。1w t

h t f

12

1212

s s

s s

t t t t n n

λλ=??=??

[例1-1]列出导热微分⽅程式及边界条件

[例1-2]轴对称，柱坐标系长度l ⽐d ⼤得多，⼀维，稳态，有内热源，

1()0v q t