人教版高中数学选修4-4导学案4参数方程学案

曲线的参数方程教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

3．会进行参数方程和普通方程的互化。

教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

参数方程和普通方程的互化。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

参数方程和普通方程的等价互化。

教学过程一．参数方程的概念1．探究：（1）平抛运动： 为参数）t gt y tx (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-== 练习：斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα2．参数方程的概念 （见教科书第22页） 说明：（1）一般来说，参数的变化X 围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

例1．（教科书第22页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y tx (t 为参数) （1）判断点M 1(0,1),M 2(5,4)与曲线C 的位置关系； （2）已知点M 3(6,a )在曲线C 上，求a 的值。

)0,1()21,21()21,31()7,2()(2cos sin 2D C B A y x ，、，、，、的坐标是表示的曲线上的一个点为参数、方程θθθ⎩⎨⎧==A 、一个定点B 、一个椭圆C 、一条抛物线D 、一条直线二．圆的参数方程)(sin cos 为参数t t r y t r x ⎩⎨⎧==ωω)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==r y r x说明：（1）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。

（2）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值X 围。

例2．（教科书第24页例2）思考：你能回答教科书第25页的思考吗？三．参数方程和普通方程的互化1．阅读教科书第25页，明确参数方程和普通方程的互化的方法。

2.2.1 椭圆的参数方程学案【学习目标】：1. 知识与技能：了解椭圆的参数方程及参数的的意义2. 过程与方法：能选取适当的参数，求简单曲线的参数方程3. 情感、态度与价值观：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识【学习重点】：椭圆参数方程的定义和方法【学习方法】：分组讨论学习法、探究式；【学习过程】：一、课前准备复习1：圆的参数方程及参数的几何意义是什么?圆x 2+y 2=r 2(r>0)的参数方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r 2的参数方程:其中参数的几何意义为:复习2：圆的参数方程是怎样推导出来的呢?二、新课导学学习探究探究任务一：圆的参数方程问题1：你能仿此推导出椭圆的参数方程吗？问题2：你能仿此推导出椭圆 的参数方程吗？提问3：把下列普通方程化为参数方程,把参数方程化为普通方程.194)1(22=+y x 116)2(22=+y x【典型例题】12222=+a y b x 为参数）ϕϕϕ(sin 5cos 3)3(⎩⎨⎧==y x 为参数）ϕϕϕ(sin 10cos 8)4(⎩⎨⎧==y x【例1】：如下图，以原点为圆心，分别以a ，b （a ＞b ＞0）为半径作两个圆，点B 是大圆半径OA 与小圆的交点，过点A 作AN ⊥ox ，垂足为N ，过点B 作BM ⊥AN ，垂足为M ，求当半径OA 绕点O 旋转时点M 的轨迹参数方程.反思： 椭圆 的参数方程为的几何意义是什么？知识点小结：1.在椭圆的参数方程中，常数a 、b 分别是椭圆的 和 . （其中a>b ）2.ϕ称为离心角，规定参数ϕ的取值范围是3. 当焦点在X 轴时椭圆的参数方程为： 当焦点在Y 轴时椭圆的参数方程为： 知识归纳名称参数方程各元素的几何意义圆椭圆)0(12222>>=+b a b ya x 其中为参数)(sin cos ϕϕϕ⎩⎨⎧==b y a x ϕ,,b a【例2】：设P 是椭圆223641y x +=在第一象限部分的弧AB 上的一点，求使四边形OAPB 的面积最大的点P 的坐标。

数学选修4-4 坐标系与参数方程导学案本章考试说明要求：1．坐标系的有关概念 2．简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的极坐标方程 3．极坐标方程与直角坐标方程的互化 4．参数方程 5．直线、圆和椭圆的参数方程 6．参数方程与普通方程的互化 7．参数方程的简单应用 本章具体内容：一、坐标系的有关概念1．平面直角坐标系的建立：在平面上，当取定两条互相垂直的直线的交点为原点，并确定了度量单位和这两条直线的方向，就建立了平面直角坐标系.2．空间直角坐标系的建立：在空间中，选择两两垂直且交于一点的三条直线，当取定这三条直线的交点为原点，并确定了度量单位和这三条直线方向，就建立了空间直角坐标系.3．极坐标系的建立：在平面上取一个定点O ，自点O 引一条射线OX ，同时确定一个单位长度和计算角度的正方向（通常取 方向为正方向），这样就建立了一个极坐标系。

（其中O 称为 ，射线OX 称为 ）如图，设M 是平面上的任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线OX 为始边，射线OM 为终边所成的角。

那么有序数对(,)ρθ称为点M 的极坐标。

其中ρ称为 ，θ称为 . 由极径的意义可知0ρ≥.当极角θ的取值范围是[)0,2π时，平面上的点（除去极点）就与极坐标()(),0ρθρ≠建立一一对应的关系.约定：极点的极坐标是ρ=0，θ可以取任意角. 4．极坐标的统一形式一般地，如果(),ρθ是点M 的极坐标，那么 或 ()k Z ∈,都可以作为点M 的极坐标. 二、简单图形的极坐标方程1．直线的极坐标方程：若直线过点00(,)M ρθ，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： .注：几个特殊位置的直线的极坐标方程 （1）直线过极点方程： 图：（2）直线过点)0,(a M 且垂直于极轴 方程： 图：（3）直线过(,)2M b π且平行于极轴方程： 图： 练习：按下列条件写出直线的极坐标方程：①经过极点，且倾斜角为6π的直线； ②经过点2,4A π⎛⎫⎪⎝⎭，且垂直于极轴的直线； ③经过点3,3B π⎛⎫-⎪⎝⎭，且平行于极轴的直线； ④经过点()4,0C ，且倾斜角为34π的直线. 2．圆的极坐标方程： 若圆心为00(,)M ρθ，半径为r 的圆方程为： .注：几个特殊位置的圆的极坐标方程 （1）当圆心位于极点方程： 图： （2）当圆心位于(,0)M r方程： 图： （3）当圆心位于(,)2M r π方程： 图： 练习：按下列条件写出圆的极坐标方程： ①以()2,0A 为圆心，2为半径的圆； ②以4,2B π⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，4为半径的圆； ③以()5,C π为圆心，且过极点的圆；④以4D π⎫⎪⎭为圆心，1为半径的圆. 三、极坐标方程与直角坐标方程的互化以直角坐标系的O 为极点，x 轴正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的单位长度平面内的任一点P 的直角坐标极坐标分别为（x ，y ）和(,)ρθ，则x =2ρ=y = tan θ=练习：①将下列各点的极坐标化为直角坐标：4π⎫⎪⎭= ； 6,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 112,6π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； ()5,π= ； 34,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭= ； 34π⎛⎫- ⎪⎝⎭= . ②将下列各点的直角坐标化为极坐标：)= ；()1,1--= ；()3,0-= ；()0,5= ；(4,-= ；()= .考点1 极坐标与直角坐标互化例1 在极坐标中，求两点)4,2(),4,2(ππ-QP之间的距离以及过它们的直线的极坐标方程.练习1 已知圆C：22(1)(1x y++=，则圆心C的极坐标为__(0,02)ρθπ>≤<练习2 在极坐标中，求两点间的距离：（1）)215,12(),35,5(00BA（2）)125,8(),12,3(ππBA（3）)0,0)(,(),,(212211>>ρρθρθρBA练习3 （1）在极坐标中，点),(θρP关于极轴的对称点的坐标为；（2）在极坐标中，求点)6,5(πM关于直线4πθ=的对称点的坐标为.考点2 极坐标方程与直角坐标方程互化例2 已知曲线C的极坐标方程是4sinρθ=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的方程是40x y--=，点P是曲线C上的动点，点Q是直线l上的动点，求PQ的最小值．练习1 在极坐标系中，圆2cos=θρ与直线1cos=θρ的位置关系是．练习2 在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin3cos=+θθρ的距离的最小值是_____ ．练习3在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sinρθ=的切线，则切线的极坐标方程是．练习4 设过原点O的直线与圆C：22(1)1x y-+=的一个交点为P，点M为线段OP的中点.（1）求圆C的极坐标方程；（2）求点M轨迹的极坐标方程，并说明它是什么曲线．极坐标系强化训练1．点M的直角坐标是(1-，则点M的极坐标为（）A．(2,)3πB．(2,)3π-C．2(2,)3πD．(2,2),()3k k Zππ+∈2．极坐标方程cos2sin2ρθθ=表示的曲线为（）A．一条射线和一个圆B．两条直线C．一条直线和一个圆D．一个圆3．在极坐标系中，直线24sin=⎪⎭⎫⎝⎛+πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ .4．设(A2，32π），(B3，3π）是极坐标系上两点，则AB= _.5．已知某圆锥曲线C的极坐标方程是22225916cosρθ=+，则曲线C的离心率为（）A．45B．53C．35D．456．在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos4:)3cos(:21-∈==+mCmC若和θρπθρ，则曲线C1与C2的位置关系是A．相切B．相交C．相离D．不确定7．在极坐标系中，直线21cos=θρ与曲线θρcos2=相交于A、B两点，O为极点，则∠AOB= 23π8．与曲线01cos=+θρ关于4πθ=对称的曲线的极坐标方程是01sin=+θρ9．以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C：4cosρθ=，过极点的直线θϕ=（Rϕ∈且ϕ是参数）交曲线C于两点AO,，令OA的中点为M.（1）求点M在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53πϕ=时，求M点的直角坐标.10．已知直线lkkCl若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+⋅==-πθρπθρ上的点到圆C上的点的最小距离等于2。

第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α2．分析探究理解：（1）、斜抛运动：（2）、抽象概括：参数方程的概念。

说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动： （4的参数方程消去参数t 后，参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M (0,1), 2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

例2、设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆做匀速（角速度）运动，角速度为60πrad/s,试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程。

解析：如图，运动开始时质点位于A 点处，此时t=0，设动点M （x,y ）对应时刻t,由图可知2cos 602sin {x y t θθθ=π==又，得参数方程为60602cos 2sin (0){x t y t t ππ==≥。