数学苏教版必修第二册课时素养评价 14.2.1 简单随机抽样 Word版含解析

课时素养评价三十七分层抽样(15分钟30分)1.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体情况,需从中抽取一个容量为36的样本,则合适的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.抽签法C.直接运用分层抽样D.先从老年人中剔除1人,然后再用分层抽样【解析】选 C.因为总体由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.因为总人数为28+54+81=163,样本容量为36,按照抽样比进行分层抽样,老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为×28≈6,×54≈12,×81≈18.2.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题,“今有北乡8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三个乡共征集487人,问从各乡征集多少人.”在上述问题中,需从南乡征集的人数大约是( ) A.112 B.128 C.145 D.167【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356×≈167.3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )A.30人,30人,30人B.30人,45人,15人C.20人,30人,40人D.30人,50人,10人【解析】选B.先求抽样比==,然后各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3 600×=30(人),乙校抽取5 400×=45(人),丙校抽取1 800×=15(人).【补偿训练】某实验中学共有职工150人,其中高级职称的职工15人,中级职称的职工45人,普通职员90人,现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本,则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )A.5,10,15B.3,9,18C.3,10,17D.5,9,16【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的,设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a,b,c,则===,解得a=3,b=9,c=18.4.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.【解析】设乙设备生产的产品总数为x件,由已知得:=,解得x=1 800.答案:1 800【补偿训练】为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为________.【解析】乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,故乙组中应抽取的城市数为12×=4.答案:45.某一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个容量为300的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程.【解析】因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法.具体过程如下:第一步,将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.第二步,按照各层的个体数占总体的个体数的比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60.第三步,按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.第四步,将300人合到一起,即得到一个样本.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C.设抽样比为k,k===,所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×+20×=2+4=6.2.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是( )A.12B.15C.20D.21【解析】选A.由扇形图,得该中学有高中生3 000人,其中男生人数为3 000×30%=900,女生人数为3 000×70%=2 100,初中生2 000人,其中男生人数为2 000×60%=1 200,女生人数为2 000×40%=800,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则=,解得n=50,所以从初中生中抽取的男生人数为50×=12.3.当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A.40 B.30 C.20 D.36【解析】选 A.抽样比为=,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×=40.4.从某地区15 000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( ) A.60 B.100 C.15 00 D.2 000【解析】选A.由分层抽样方法知所求人数为×15 000=60.【补偿训练】学校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1,现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本,其中分数在90～120分的人数是45,则此样本的容量m的值为( ) A.75 B.100 C.125 D.135【解析】选D.由三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在90～120分的人数是45可知,=,解得m=135.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.为了保证分层抽样时,每个个体等可能地被抽取,下列说法不正确的是( )A.每层的个体数必须一样多B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取n i=n·(i=1,2,…,k)个个体,其中k是层数,n是抽取的样本容量,N i是第i层所包含的个体数,N是总体容量D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多,所以选项A不正确;又因为由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体,从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了,所以选项B不正确;对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽入样本的可能性是相同的,所以选项C正确;每层抽取的个体数是有限制的,所以选项D不正确.6.某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表,用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查,若抽到3( )类别人数老年人15中年人?青年人40A.抽到8位青年人B.抽到6位中年人C.中年人有6人D.中年人有30人【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x,则由题表可知,=,解得x=30.因此在抽取的17人中,中年人的人数为30×=6.由抽样比可知抽到的青年人为8人.【补偿训练】某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品,产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A型号有16件,那么此样本的容量n为________.【解析】依题意得,=,所以=,解得n=88,所以样本容量为88.答案:88三、填空题(每小题5分,共10分)7.古代科举制度始于隋而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段.其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷,按比例录取,其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100.则中卷录取人数为__________.【解析】由题意,明宣德五年会试录取人数为100,则中卷录取人数为100×=10.答案:10【补偿训练】某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆,y辆,z辆,则有解得答案:6,30,108.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类型 A B C产品数量(件) 1 300样本容量130由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是________件.【解析】抽样比为130∶1 300=1∶10,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品的数量是[(3 000-1 300)-100]×=800(件).答案:800四、解答题(每小题10分,共20分)9.一批产品中有一级品100个,二级品60个,三级品40个,用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层抽样的方法抽取,写出抽样过程.【解析】第一步,确定抽样比,因为100+60+40=200,所以=;第二步,确定各层抽取的样本数,一级品:100×=10,二级品:60×=6,三级品:40×=4;第三步,采用简单随机抽样的方法,从各层分别抽取样本;第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.10.某校高一年级有24个班,共1 000名学生,他们参加了一次数学测试.学校统计了所有学生的成绩,得到下列统计图.(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数;(2)假设随机抽取300名学生,按照比例分配的分层抽样的方法,试估计高一年级本次测试成绩的平均数.【解析】(1)由题意并结合扇形统计图,可知男生共有 1 000×60%=600(名),女生有 1000×40%=400(名).由成绩平均数条形图可得,该校高一年级学生本次测试成绩的平均数=(80×600+82.5×400)÷1 000=81.(2)随机抽取300名学生,采用比例分配的分层抽样的方法,则男生样本数为300×=180,女生样本数为300×=120.故样本平均数为(180×80+120×82.5)÷300=81.根据样本平均数来估计总体平均数,可得高一年级本次测试成绩的平均数为81.1.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为( ) A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500【解析】选C.由2b=a+c,得第二车间生产的产品数为3 600×=3 600×=1 200.2.为了对某课题进行研究,从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n.(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.【解析】(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,所以高校B中抽取2人,所以高校A中抽取1人,高校C中抽取3人,所以==,解得m=36,n=108.(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,所以(m+n)=72,解得m+n=108,所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.。

新教材高中数学学案含解析苏教版必修第二册：14.2 抽样14.2.1 简单随机抽样 学 习 任 务 核 心 素 养 1．通过实例，了解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程．(重点)2．掌握两种简单随机抽样方法：抽签法和随机数表法．(重点、难点)通过对简单随机抽样的概念和应用的学习，培养数学数据分析素养．抽样调查是获取数据的主要途径，因为样本具有随机性，其好坏直接影响着统计问题分析结论的可靠性，那么如何合理地抽取样本呢？知识点1 简单随机抽样(1)简单随机抽样的概念一般地，从个体数为N 的总体中逐步不放回地取出n 个个体作为样本(n ＜N )，如果每个个体都有相同的机会被取到，那么这样的抽样方法称为简单随机抽样．(2)常用的简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法．1．某班50名学生中有30名男生，20名女生，用简单随机抽样抽取1名学生参加某项活动，则抽到女生的可能性为( )A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．23A [在简单随机抽样中，每个个体被抽到机会相等，即2050＝0.4．] 知识点2 抽签法抽取样本的步骤(1)将总体中的N 个个体编号；(2)将这N 个号码写在形状、大小相同的号签上；(3)将号签放在同一箱中，并搅拌均匀；(4)从箱中每次抽出1个号签，连续抽取k 次；(5)将总体中与抽到的号签的编号一致的k 个个体取出．采用抽签法抽取样本时，为什么将编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也可以使用卡片、小球等)上作为号签，并将这些小纸片放在一个不透明的盒里，充分搅拌？[提示] 为了使每个号签被抽取的可能性相等，保证抽样的公平性．2．下列抽样试验中，适合采用抽签法的是( )A．从某厂生产的2 000件产品中抽取500件进行质量检验B．从某厂生产的2 000件产品中抽取10件进行质量检验C．从某厂生产的五箱(每箱10件)产品中抽取10件进行质量检验D．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱10件)产品中抽取6件进行质量检验C[A、B两个选项中总体容量较大，不适宜采用抽签法，D选项中甲、乙两厂生产的产品具有差异性，不能放在一起抽签．故选C．]知识点3随机数表法抽取样本的步骤(1)对总体中的个体编号(每个号码位数一致)；(2)在随机数表中任选一个数；(3)从选定的数开始按一定的方向读下去，若得到的号码在编号中，则取出；若得到的号码不在编号中或前面已经取出，则跳过，如此继续下去，直到取满为止；(4)根据选定的号码抽取样本．3．中国福利彩票“双色球”中的红色球号码区的33个号码分别为01,02，…，33．一位彩民用随机数表法从红色球号码区的33个号码中选取6个号码，选取方法是从下面的随机数表中第1行第6列开始，从左向右读数，则依次选出来的第3个号码为()49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 6484 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25A．21 B．32 C．09 D．20C[根据随机数表法，从第1行第6列的3开始往后数，每次数两个数字代表生成一个随机数，如果随机数大于33则不满足条件，不计入选择的数字中，由此选出的号码依次为21,32,09，…．故选C．]类型1简单随机抽样的判断【例1】下列5个抽样中，简单随机抽样的个数是()①一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件；②仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性抽取100支火炬进行质量检查；③某班从50名同学中，选出5名数学成绩最优秀的同学代表本班参加数学竞赛；④一彩民选号，从装有33个大小、形状都相同的号签的盒子中无放回地抽出6个号签．A．0 B．1 C．2 D．3B[根据简单随机抽样的特点逐个判断．①不是简单随机抽样．因为一儿童从玩具箱的20件玩具中任意拿一件玩，玩后放回再拿一件，连续玩了5件它不是“逐个”抽取．②不是简单随机抽样．虽然“一次性抽取”和“逐个抽取”不影响个体被抽到的可能性，但简单随机抽样要求的是“逐个抽取”．③不是简单随机抽样．因为5名同学是从中挑出来的，是最优秀的，每个个体被抽到的可能性不同，不符合简单随机抽样中“等可能抽样”的要求．④是简单随机抽样．因为总体中的个体数是有限的，并且是从总体中逐个进行抽取的，等可能的抽样．综上，只有④是简单随机抽样．]简单随机抽样必须具备的特点(1)被抽取样本的总体中的个体数N是有限的；(2)抽取的样本是从总体中逐个抽取的；(3)简单随机抽样是一种等可能的抽样．如果三个特征有一个不满足，就不是简单随机抽样．[跟进训练]1．为了进一步严厉打击交通违法，交警队在某一路口随机抽查司机是否酒驾，这种抽查是()A．简单随机抽样B．抽签法C．随机数表法D．以上都不对D[由于不知道总体的情况(包括总体个数)，因此不属于简单随机抽样．]类型2抽签法的应用【例2】从20架钢琴中抽取5架进行质量检查，请用抽签法确定这5架钢琴．[解]第一步，将20架钢琴编号，号码是01,02， (20)第二步，将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．第三步，将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．第四步，从盒中不放回地逐个抽取5个号签，使与号签上编号相同的钢琴进入样本．1．一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是个体之间差异不明显．2．应用抽签法时应注意的问题：(1)编号时，如果已有编号可不必重新编号；(2)号签要求大小、形状完全相同；(3)号签要均匀搅拌；(4)根据实际需要采用有放回或无放回抽取．[跟进训练]2．为迎接2022年北京冬奥会，奥委会现从报名的某高校30名志愿者中选取6人组成奥运志愿小组，请用抽签法设计抽样方案．[解](1)将30名志愿者编号，号码分别是01,02， (30)(2)将号码分别写在外观、质地等无差别的小纸片上作为号签．(3)将小纸片放入一个不透明的盒里，充分搅匀．(4)从盒中不放回地逐个抽取6个号签，使与号签上编号相同的志愿者进入样本．类型3随机数表法及其综合应用【例3】某市质监局要检查某公司某个时间段生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从500袋牛奶中抽取10袋进行检验．(1)利用随机数表法抽取样本时，应如何操作？(2)如果用随机试验生成部分随机数如下所示，据此写出应抽取的袋装牛奶的编号．162,277,943,949,545,354,821,737,932,354,873,520,964,384,263,491,648,642,175,331,572,45 5,068,877,047,447,672,172,065,025,834,216,337,663,013,785,916,955,567,199,810,507,175,128,67 3,580,667．(3)质监局对该公司生产的袋装牛奶检验的质量指标有两个：一是每袋牛奶的质量满足500±5g，二是10袋质量的平均数≥500g，同时满足这两个指标，才认为公司生产的牛奶为合格，否则为不合格．经过检测得到10袋袋装牛奶的质量(单位：g)为：502,500,499,497,503,499,501,500,498,499．计算这个样本的平均数，并按照以上标准判断牛奶质量是否合格．[解](1)第一步，将500袋牛奶编号为001,002， (500)第二步，用随机数工具产生001～500范围内的随机数．第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的袋装牛奶进入样本．第四步，重复上述过程，直到产生不同的编号等于样本所需要的数量．(2)应抽取的袋装牛奶的编号为：162,277,354,384,263, 491,175,331,455,068．(3)y＝502＋500＋499＋497＋503＋499＋501＋500＋498＋49910＝499.8＜500，所以该公司的牛奶质量不合格．1．该公司对质监局的这种检验方法并不认可，公司自己质检部门抽取了100袋牛奶按照本例(3)检验标准，统计得到这100袋袋装牛奶的质量都满足500±5g，平均数为500.4g，你认为质监局和公司的检验结果哪一个更可靠？为什么？[解]该公司的质检部门的检验结果更可靠．因为质监局抽取的样本较少，不能很好地反映总体，该公司的质检部门抽取的样本量较大，一般来说，样本量大的会好于样本量小的．尤其是样本量不大时，增加样本量可以较好地提高估计的效果．2．为进一步加强公司生产牛奶的质量，规定袋装牛奶的质量变量值为Y i＝⎩⎪⎨⎪⎧1，质量不低于500 g 0，质量低于500 g ，质监局又抽取了一个容量为50的样本，其质量变量值如下： 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例．[解] 由样本观测数据，计算可得样本平均数为y ＝0.56，据此估计该公司生产的袋装牛奶质量不低于500 g 的比例约为0.56．随机数表法的注意点(1)当总体容量较大，样本容量不大时，可用随机数表法抽取样本． (2)用随机数表法抽取样本，为了方便，在编号时需统一编号的位数．(3)掌握利用信息技术产生随机数的方法和规则．[跟进训练]3．现有120台机器，请用随机数法抽取10台机器，写出抽样过程．[解] 第一步，先将120台机器编号，可以编为000,001,002， (119)第二步，利用工具(转盘、科学计算器或计算机等)产生000,001,002，…，119中的随机数，产生的数是几，就选第几号个体；第三步，重复第二步，若生成的随机数重复，则剔除重复的编号并重新产生随机数，凡不在000～119中的数跳过去不取，直至选到预先设定的样本容量．1．使用简单随机抽样从1 000件产品中抽出50件进行某项检查，合适的抽样方法是( )A ．抽签法B ．随机数表法C ．随机抽样法D ．以上都不对B [由于总体相对较大，样本容量较小，故采用随机数表法较为合适．]2．抽签法确保样本代表性的关键是( )A ．制签B ．搅拌均匀C ．逐一抽取D ．抽取不放回B [若样本具有很好的代表性，则每一个个体被抽取的机会相等，故需要对号签搅拌均匀．]3．下面的抽样方法中，简单随机抽样的个数是( )①某班50名同学，学校指定期末成绩最高的5名同学参加学科竞赛；②从20个生产线上连续生产的产品中一次性抽取3个进行质检；③从无数个个体中抽取30个个体作为样本．A ．3B ．2C ．1D ．0D [①不满足简单随机抽样中等可能抽样的条件；②不满足简单随机抽样中逐个抽取的条件；③不满足简单随机抽样中总体容量有限的条件．故选D ．]4．在总体为N 的一批零件中抽取一个容量为30的样本，若每个零件被抽取的可能性为25%，则N 的值为________．120 [据题意30N＝0.25，故N ＝120．] 5．一个总体容量为60，其中的个体编号为00,01,02，…，59．现需从中抽取一个容量为7的样本，请从随机数表的倒数第5行(下表为随机数表的最后5行)第11～12列的18开始，依次向下，到最后一行后向右，直到取足样本，则抽取样本的号码是________________________．95 33 95 22 00 18 74 72 00 18 46 40 62 98 80 54 97 20 56 9538 79 58 69 32 81 76 80 26 92 15 74 80 08 32 16 46 70 50 8082 80 84 25 39 90 84 60 79 80 67 72 16 42 79 71 59 73 05 5024 36 59 87 38 82 07 53 89 35 08 22 23 71 77 91 01 93 20 4996 35 23 79 18 05 98 90 07 35 82 96 59 26 94 66 39 67 98 60[答案] 18,05,07,35,59,26,39回顾本节知识，自我完成以下问题：1．判断一个抽样方法是否是简单随机抽样的关键是什么？[提示] 要判断所给的抽样方法是不是简单随机抽样，关键是看它们是否符合简单随机抽样的定义，即简单随机抽样的四个特点：总体有限、逐个抽取、无放回抽取、等可能抽取．2．常见的随机抽样方法有哪些？[提示] 抽签法和随机数表法．3．抽签法有什么优点和缺点？[提示] (1)优点：简单易行，当总体的个体数不多时，使总体处于“搅拌”均匀的状态比较容易，这时，每个个体都有均等的机会被抽中，从而能够保证样本的代表性．(2)缺点：仅适用于个体数较少的总体，当总体容量较大时，费时费力又不方便，况且，如果号签搅拌的不均匀，可能导致抽样不公平．。

第十四章统计14.2抽样14.2.2分层抽样因为本章所学习的统计学知识是描述性统计学的内容，学生的经验、体验非常重要，教材在选材时充分利用学生已有经验，选择学生熟悉的材料、案例，并重视运用图形进行直观展示，以促进学生的理解．在本章的结构上，本章内容以总－分－总的体系进行展开，“获取数据的途径”中的案例渗透了统计分析的基本过程，展示了统计分析的基本步骤，然后基于此，通过问题链进行探究学习，并引导学生通过不同的视角进行多角度研究，让学生充分体验统计分析方法的多样性和合理选择统计分析的工具，以及合理选择统计量的必要性．1.教学重点：掌握分层抽样的实施步骤.2.教学难点：理解分层抽样的基本思想和适用情形.多媒体调试、讲义分发。

某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小.问题 1.上述问题中总体有什么特征？2.采用抽签法合适吗？若不合适，应该用什么方法抽取样本？提示 1.该总体中，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异.2.不合适，若用抽签法，抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性.应该用分层随机抽样抽取样本.知识点一分层抽样1．分层抽样的定义一般地，当总体由差异明显的几个部分组成时，为了使样本更客观地反映总体情况，我们常常将总体中的个体按不同的特点分成层次比较分明的几个部分，然后按各个部分在总体中所占的比实施抽样，这种抽样方法叫作分层抽样，所分成的各个部分称为“层”．2．分层抽样的特点(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况．(2)按比例确定每层抽取个体的个数．(3)在每一层进行抽样时，采用简单随机抽样的方法．(4)分层抽样能充分利用已掌握的信息，使样本具有良好的代表性．(5)分层抽样也是等机会抽样，每个个体被抽到的可能性都是样本容量n总体容量N，而且在每层抽样时，可以根据个体情况采用不同的抽样方法．知识点二分层抽样的实施步骤1．将总体按一定标准分层．2．计算各层的个体数与总体的个体数的比．3．按各层的个体数占总体的个体数的比确定各层应抽取的样本容量．4．在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)．知识点三两种抽样方法的比较取一、对分层抽样概念的理解例1 ①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这两件事，合适的抽样方法分别为( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．简单随机抽样，简单随机抽样D ．分层抽样，分层抽样 答案 A解析 ①由于学生分成了差异比较大的几部分，应用分层抽样．②由于总体与样本容量较小，应用简单随机抽样．反思感悟 判断抽样方法是分层抽样，主要是依据分层抽样的特点 (1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况． (2)样本能更充分地反映总体的情况．(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等．跟踪训练1 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个． 方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是________．(填序号)①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征． 答案 ①③解析 根据两种抽样的特点知，不论哪种抽样，总体中每个个体入样的可能性都相等，都是nN ，故①正确，②错误；由于总体中有差异较明显的三个层(一级品、二级品和三级品)，故方法2抽到的样本更有代表性，③正确．故①③正确． 二、分层抽样的应用例2 一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？ 解 用分层抽样来抽取样本，步骤如下：(1)分层．按年龄将500名职工分成三层：不到35岁的职工；35岁至49岁的职工；50岁及50岁以上的职工．(2)确定每层抽取个体的个数．抽样比为100500＝15，则在不到35岁的职工中抽取125×15＝25(人)；在35岁至49岁的职工中抽取280×15＝56(人)；在50岁及50岁以上的职工中抽取95×15＝19(人)．(3)在各层分别按随机数表法抽取样本． (4)汇总每层抽样，组成样本．反思感悟 利用分层抽样抽取样本的操作步骤 (1)将总体按一定标准进行分层．(2)计算各层的个体数与总体的个体数的比．(3)按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量． (4)在每一层进行抽样(可用简单随机抽样)． (5)最后将每一层抽取的样本汇总合成样本．跟踪训练2 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程． 解 (1)由于该市高中学生的视力有差异，按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本．(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比也是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×22＋3＋5＝40；200×32＋3＋5＝60；200×52＋3＋5＝100.(3)在各层分别按简单随机抽样抽取样本． (4)综合每层抽样，组成容量为200的样本． 题型三 分层随机抽样中的计算问题例3 (1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为( )A.101B.808C.1212D.2012(2)将一个总体分为A ，B ，C 三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C 中抽取________个个体.(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.解析 (1)因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12， 所以抽取驾驶员的抽样比为1296＝18，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷18＝808.(2)∵A ，B ，C 三层个体数之比为5∶3∶2，又由总体中每个个体被抽到的概率相等，∴分层随机抽样应从C 中抽取100×210＝20(个)个体.(3)ω－＝2020＋30×3＋3020＋30×8＝6.答案 (1)B (2)20 (3)6规律方法 (1)进行分层随机抽样的相关计算时，常用到的两个关系 ①样本量n 总体的个数N ＝该层抽取的个体数该层的个体数； ②总体中某两层的个体数之比等于样本中这两层抽取的个体数之比. (2)样本的平均数和各层的样本平均数的关系为： ω－＝m m ＋n x －＋n m ＋n y －＝M M ＋N x －＋N M ＋Ny －.跟踪训练3 甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生( ) A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人 C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人解析 先求抽样比n N ＝903 600＋5 400＋1 800＝1120，再各层按抽样比分别抽取，甲校抽取3 600×1120＝30(人)，乙校抽取5 400×1120＝45(人)，丙校抽取1 800×1120＝15(人)，故选B.答案 B1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为( )A ．12B ．13C ．14D ．15 答案 D解析 青年职工、中年职工、老年职工三层之比为7∶5∶3，所以样本容量为7÷715＝15.2．某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生人数为( ) A ．670 B ．680 C ．690 D ．700 答案 C解析 男生人数占总人数的比等于抽到男生人数占样本容量的比，可得男生人数为1 200×200－85200＝690.3．为了调查某省各城市PM 2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________． 答案 4解析 乙组城市数占总城市数的比例为126＋12＋18＝13，样本容量为12，故乙组中应抽取的城市数为12×13＝4.4．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________． 答案 6解析 因为总体的个数为40＋10＋30＋20＝100，所以根据分层抽样的定义可知，抽取的植物油类食品种数为10100×20＝2，抽取的果蔬类食品种数为20100×20＝4，所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为2＋4＝6.5．某企业三月中旬生产A ，B ，C 三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的表格：样本数量(件)130由于不小心，表格中A ，C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本数量比C 产品的样本数量多10，根据以上信息，可得C 产品的数量是________． 答案 800解析 设C 产品的样本数量为n ，则A 产品的样本数量为n ＋10，由题意知n ＋n ＋10＋1303 000＝1301 300，解得n ＝80. 故C 产品的数量为80÷1301 300＝800.选择抽样方法的规律：(1)当总体的个体数和样本量都较小时，可采用抽签法. (2)当总体的个体数较大，样本量较小时，可采用随机数法.(3)当总体按一个或多个变量可划分为若干个层时，采用分层随机抽样.。

14.2.2 分层抽样A级必备知识基础练1.下列试验中最适合用分层抽样法抽样的是( )A.从一箱3 000个零件中抽取5个样本B.从一箱3 000个零件中抽取600个样本C.从一箱30个零件中抽取5个样本D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个样本2.为了调查老师对微课堂的了解程度,某市拟采用分层抽样的方法从A,B,C三所中学抽取60名教师进行调查,已知A,B,C三所学校中分别有180,270,90名教师,则从C学校中应抽取的人数为( )A.10B.15C.20D.303.某中学有高中生3 500人,初中生1 500人,为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为( )A.100B.150C.200D.2504.某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人,其中高三学生人数是高一学生人数的两倍,高二学生人数比高一学生人数多300,现在按1的抽样比用分层抽样的方法抽取样本,则应抽取的高一学生人数为100( )A.8B.11C.16D.105.已知高一年级有学生450人、高二年级有学生750人、高三年级有学生600人,用分层抽样从该校的这三个年级中抽取一个样本,且每个学生被抽到的可能性为0.02,则应从高二年级抽取的学生人数为.6.某学校高一年级有x名学生,高二年级有y名学生,高三年级有z名学生.现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本,其中高一年级被抽取20人,高三年级被抽取10人,高二年级共有300人,则此学校共有高中学生人.7.某橘子园有平地和山地共120亩,现在要估计平均亩产量,按一定的比例用分层抽样的方法共抽取10亩进行统计.如果所抽取的山地是平地的2倍多1亩,则这个橘子园的平地与山地的亩数分别为.B级关键能力提升练8.某校共有学生2 000名,各年级男、女生人数如下表所示:现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生,则应在三年级抽取的学生人数为( ) A.24 B.18C.16D.129.某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷份数依次为:120,180,240,x.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )A.60B.80C.120D.18010.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题:“今有北乡算八千七百五十八,西乡算七千二百三十六,南乡算八千三百五十六,凡三乡,发役三百七十八人,欲以算数多少出之,问各几何?”意思是:北乡有8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,从各乡征集多少人?在上述问题中,需从西乡征集的人数约为( )A.102B.112C.130D.13611.(多选题)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆、6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,公司质监部门要抽取46辆进行检验,则( )A.应采用分层抽样抽取B.应采用抽签法抽取C.三种型号的轿车依次抽取6辆,30辆,10辆D.这三种型号的轿车,每一辆被抽到的概率都是相等的12.(多选题)某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本,样本中A型号产品有16件,则( )A.此样本的容量n为20B.此样本的容量n为80C.样本中B型号产品有40件D.样本中B型号产品有24件13.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的表格:由于不小心,表格中A,C产品的有关数据已被污染看不清楚,统计员记得A 产品的样本数量比C产品的样本数量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是.14.某高中针对学生发展要求,开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团,已知报名参加这两个社团的学生共有800人,按照要求每人只能参加一个社团,各年级参加社团的人数情况如下表:其中x∶y∶z=5∶3∶2,且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的3.为5了了解学生对两个社团活动的满意程度,从中抽取一个50人的样本进行调查,则应从高二年级“剪纸”社团的学生中抽取人.15.防疫站采用分层抽样的方法对学生进行身体健康调查,某县一中高三有1 600名学生,抽取一个容量为200的样本,已知女生比男生少抽10人,则该校的女生人数应该为.16.某机构对某镇的学生的身体素质状况按年级段进行分层抽样调查,得到了如下表所示的数据,则xy= .z17.某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会,同时进行全校精神文明擂台赛.为了解这次活动在全校师生中产生的影响,分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查,如果要在所有答卷中抽出120份用于评估.(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论?(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本,如果采用简单随机抽样,应如何操作?C级学科素养创新练18.某单位最近组织了一次职工健身活动,活动分为登山组和游泳组,且每个职工至多参加其中一组.在参加活动的职工中,青年人占42.5%、中年人,且该组中青占47.5%、老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14年人占50%、中年人占40%、老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度,现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本,试确定:(1)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别所占的比例;(2)游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.参考答案14.2.2 分层抽样1.D D中总体有明显差异,故用分层抽样.2.A 根据分层抽样的特征,从C学校中应抽取的人数为90180+270+90×60=10.3.A 由题意得70n-70=35001500,解得n=100.4.A 若设高三学生人数为x,则高一学生人数为x2,高二学生人数为x2+300,所以有x+x2+x2+300=3500,解得x=1600.故高一学生人数为800,因此应抽取的高一学生人数为800100=8.5.15 因为每个学生被抽到的可能性为0.02,所以从高二年级抽取的学生人数为0.02×750=15.6.900 高二年级被抽取45-20-10=15(人),被抽取的比例为15300=120,所以x=400,z=200.所以此学校共有高中学生900人.7.36,84 设所抽取的平地的亩数为x,则抽取的山地的亩数为2x+1,∴x+2x+1=10,得x=3,∴这个橘子园的平地的亩数为120×33+7=36,山地的亩数为120-36=84.8.C 一年级的学生人数为373+377=750,二年级的学生人数为380+370=750,于是三年级的学生人数为-750-750=500,那么三年级应抽取的人数为500×64=16.9.C 11~12岁回收180份,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,抽样比为13,因为分层抽取的样本容量为300,故回收问卷总数为30013=900,故x=900-120-180-240=360,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为360×13=120.10.B 因为北乡有8758人,西乡有7236人,南乡有8356人,现要按人数多少从三乡共征集378人,故需从西乡征集的人数约为378×72368758+7236+8356≈112.11.ACD 由于总体按型号分为三个子总体,所以应采用分层抽样抽取,A 正确;设三种型号的轿车依次抽取x 辆、y 辆、z 辆,则有{x1200=y6000=z,x +y +z =46,解得{x =6,y =30,z =10,所以三种型号的轿车依次抽取6辆、30辆、10辆,故C 正确;由分层抽样的意义可知D 也正确.12.BC 工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,其相应产品数量之比为2∶5∶3,现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本,样本中A 型号产品有16件,则n=16÷22+5+3=80,故A 错误,B 正确;样本中B 型号产品有80×52+5+3=40(件),故C 正确,D 错误.13.800 设C 产品的样本数量为n,则A 产品的样本数量为n+10,由题意知n+(n+10)+1303000=1301300,解得n=80.故C 产品的数量为80÷1301300=800.14.6 因为“泥塑”社团的人数占总人数的35,故“剪纸”社团的人数占总人数的25,所以“剪纸”社团的人数为800×25=320.因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为y x+y+z=32+3+5=310,所以“剪纸”社团中高二年级人数为320×310=96.由题意知,抽样比为50800=116,所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为96×116=6.15.760 ∵女生比男生少抽10人,且共抽200人, ∴女生要抽取95人,∴该校女生人数为95÷2001600=760.16.37 500 由分层抽样的特点,得80016=x 15=y z ,即x=750,y z=50,则xy z=37500.17.解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同,所以应当采取分层抽样的方法进行抽样.因为样本容量为120,总体个数为500+3000+4000=7500,则抽样比为1207500=2125,又500×2125=8,3000×2125=48,4000×2125=64,所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤如下:①分层:将全校师生分为教职员工、初中生、高中生,共三层.②确定每层抽取个体的个数:在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本.④综合每层抽样,组成样本.这样便完成了整个抽样过程,就能得到比较客观的评价结论.(2)由于简单随机抽样有两种方法:抽签法和随机数表法.如果用抽签法,要作3000个号签,费时费力,因此采用随机数表法抽取样本,步骤是①编号:将3000份答卷都编上号码:0001,0002,0003, (3000)②在随机数表上随机选取一个起始位置.③规定读数方向:向右连续取数字,以4个数为一组,如果读取的4位数大于3000,则去掉,如果遇到相同号码则只取一个,这样一直到取满48个号码为止.18.解(1)设登山组人数为x,游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为a,b,c,则有x×40%+3xb4x =47.5%,x×10%+3xc4x×100%=10%,解得b=50%,c=10%,故a=100%-50%-10%=40%.即游泳组中,青年人、中年人、老年人所占比例分别为40%,50%,10%.(2)游泳组中,抽取的青年人人数为200×34×40%=60;抽取的中年人人数为200×34×50%=75;抽取的老年人人数为200×34×10%=15.即游泳组中,青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数为60,75,15.。

课时素养评价三十七分层抽样(15分钟30分)1.某单位有老年人28人,中年人54人,青年人81人,为了调查他们的身体情况,需从中抽取一个容量为36的样本,则合适的抽样方法是( )A.简单随机抽样B.抽签法C.直接运用分层抽样D.先从老年人中剔除1人,然后再用分层抽样【解析】选 C.因为总体由差异明显的三部分组成,所以考虑用分层抽样.因为总人数为28+54+81=163,样本容量为36,按照抽样比进行分层抽样,老年人、中年人和青年人中应抽取的人数分别为×28≈6,×54≈12,×81≈18.2.我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题,“今有北乡8 758人,西乡有7 236人,南乡有8 356人,现要按人数多少从三个乡共征集487人,问从各乡征集多少人.”在上述问题中,需从南乡征集的人数大约是( ) A.112 B.128 C.145 D.167【解析】选D.从南乡征集的人数大约是8 356×≈167.3.甲校有3 600名学生,乙校有5 400名学生,丙校有1 800名学生,为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本,应在这三校分别抽取学生( )A.30人,30人,30人B.30人,45人,15人C.20人,30人,40人D.30人,50人,10人【解析】选B.先求抽样比==,然后各层按抽样比分别抽取,甲校抽取3 600×=30(人),乙校抽取5 400×=45(人),丙校抽取1 800×=15(人).【补偿训练】某实验中学共有职工150人,其中高级职称的职工15人,中级职称的职工45人,普通职员90人,现采用分层抽样的方法抽取容量为30的样本,则抽取的高级职称、中级职称、普通职员的人数分别为( )A.5,10,15B.3,9,18C.3,10,17D.5,9,16【解析】选B.分层抽样是按比例抽取的,设抽取的高级职称的职工、中级职称的职工、普通职员的人数分别为a,b,c,则===,解得a=3,b=9,c=18.4.甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测,若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.【解析】设乙设备生产的产品总数为x件,由已知得:=,解得x=1 800.答案:1 800【补偿训练】为了调查某省各城市PM2.5的值,按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组,对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市,则乙组中应抽取的城市数为________.【解析】乙组城市数占总城市数的比例为=,样本容量为12,故乙组中应抽取的城市数为12×=4.答案:45.某一个地区共有5个乡镇,人口3万人,其人口比例为3∶2∶5∶2∶3,从3万人中抽取一个容量为300的样本,分析某种疾病的发病率,已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关,问应采取什么样的方法?并写出具体过程.【解析】因为疾病与地理位置和水土均有关系,所以不同乡镇的发病情况差异明显,因而采用分层抽样的方法.具体过程如下:第一步,将3万人分为5层,其中一个乡镇为一层.第二步,按照各层的个体数占总体的个体数的比求得各乡镇应抽取的人数分别为60,40,100,40,60.第三步,按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本.第四步,将300人合到一起,即得到一个样本.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.“民以食为天,食以安为先”,食品安全是关系人们身体健康的大事.某店有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种、10种、30种、20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是( ) A.4 B.5 C.6 D.7【解析】选C.设抽样比为k,k===,所以抽取植物油类与果蔬类食品种数之和是10×+20×=2+4=6.2.某中学有高中生3 000人,初中生2 000人,男、女生所占的比例如图所示.为了解学生的学习情况,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则从初中生中抽取的男生人数是( )A.12B.15C.20D.21【解析】选A.由扇形图,得该中学有高中生3 000人,其中男生人数为3 000×30%=900,女生人数为3 000×70%=2 100,初中生2 000人,其中男生人数为2 000×60%=1 200,女生人数为2 000×40%=800,用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取女生21人,则=,解得n=50,所以从初中生中抽取的男生人数为50×=12.3.当前,国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户,若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题,采用分层抽样的方法决定各社区户数,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为( ) A.40 B.30 C.20 D.36【解析】选 A.抽样比为=,则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×=40.4.从某地区15 000位老人中按性别分层抽取一个容量为500的样本,调查其生活能否自理的情况如表所示.则该地区生活不能自理的老人中男性比女性多的人数约为( ) A.60 B.100 C.15 00 D.2 000【解析】选A.由分层抽样方法知所求人数为×15 000=60.【补偿训练】学校进行数学竞赛,将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计,发现三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1,现用分层抽样的方法抽取一个容量为m的样本,其中分数在90～120分的人数是45,则此样本的容量m的值为( ) A.75 B.100 C.125 D.135【解析】选D.由三个成绩段的人数之比依次为5∶3∶1及分数在90～120分的人数是45可知,=,解得m=135.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.为了保证分层抽样时,每个个体等可能地被抽取,下列说法不正确的是( )A.每层的个体数必须一样多B.每层抽取的个体数相等C.每层抽取的个体可以不一样多,但必须满足抽取n i=n·(i=1,2,…,k)个个体,其中k是层数,n是抽取的样本容量,N i是第i层所包含的个体数,N是总体容量D.只要抽取的样本容量一定,每层抽取的个体数没有限制【解析】选ABD.每层的个体数不一定都一样多,所以选项A不正确;又因为由于每层的容量不一定相等,每层抽同样多的个体,从整个总体来看,各层之间的个体被抽取的可能性显然就不一样了,所以选项B不正确;对于第i层的每个个体,它被抽到的可能性与层数i无关,即对于每个个体来说,被抽入样本的可能性是相同的,所以选项C正确;每层抽取的个体数是有限制的,所以选项D不正确.6.某单位老年人、中年人、青年人的人数分布如表,用分层抽样的方法抽取17人进行单位管理问卷调查,若抽到3位老年人,则抽到的中年人的人数为( )类别人数老年人15中年人?青年人40A.抽到8位青年人B.抽到6位中年人C.中年人有6人D.中年人有30人【解析】选ABD.设该单位的中年人的人数为x,则由题表可知,=,解得x=30.因此在抽取的17人中,中年人的人数为30×=6.由抽样比可知抽到的青年人为8人.【补偿训练】某工厂生产A,B,C,D四种不同型号的产品,产品的数量之比依次为2∶3∶5∶1,现用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中A型号有16件,那么此样本的容量n为________.【解析】依题意得,=,所以=,解得n=88,所以样本容量为88.答案:88三、填空题(每小题5分,共10分)7.古代科举制度始于隋而成于唐,完备于宋、元.明代则处于其发展的鼎盛阶段.其中表现之一为会试分南卷、北卷、中卷,按比例录取,其录取比例为11∶7∶2.若明宣德五年会试录取人数为100.则中卷录取人数为__________.【解析】由题意,明宣德五年会试录取人数为100,则中卷录取人数为100×=10.答案:10【补偿训练】某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1 200辆,6 000辆和2 000辆.为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆轿车进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取的辆数为________.【解析】设三种型号的轿车依次应抽取x辆,y辆,z辆,则有解得答案:6,30,108.某企业三月中旬生产A,B,C三种产品共3 000件,根据比例分配的分层抽样的结果,企业统计员制作了如下的统计表格:产品类型 A B C产品数量(件) 1 300样本容量130由于不小心,表格中A,C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了,统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,根据以上信息,可得C产品的数量是________件.【解析】抽样比为130∶1 300=1∶10,即每10个产品中抽取1个个体,又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10,故C产品的数量是[(3 000-1 300)-100]×=800(件).答案:800四、解答题(每小题10分,共20分)9.一批产品中有一级品100个,二级品60个,三级品40个,用分层抽样法从这批产品中抽取一个容量为20的样本.请利用分层抽样的方法抽取,写出抽样过程.【解析】第一步,确定抽样比,因为100+60+40=200,所以=;第二步,确定各层抽取的样本数,一级品:100×=10,二级品:60×=6,三级品:40×=4;第三步,采用简单随机抽样的方法,从各层分别抽取样本;第四步,把抽取的个体组合在一起构成所需样本.10.某校高一年级有24个班,共1 000名学生,他们参加了一次数学测试.学校统计了所有学生的成绩,得到下列统计图.(1)求该校高一年级学生本次测试成绩的平均数;(2)假设随机抽取300名学生,按照比例分配的分层抽样的方法,试估计高一年级本次测试成绩的平均数.【解析】(1)由题意并结合扇形统计图,可知男生共有 1 000×60%=600(名),女生有 1 000×40%=400(名).由成绩平均数条形图可得,该校高一年级学生本次测试成绩的平均数=(80×600+82.5×400)÷1 000=81.(2)随机抽取300名学生,采用比例分配的分层抽样的方法,则男生样本数为300×=180,女生样本数为300×=120.故样本平均数为(180×80+120×82.5)÷300=81.根据样本平均数来估计总体平均数,可得高一年级本次测试成绩的平均数为81.1.某工厂的三个车间在12月份共生产了3 600双皮靴,在出厂前要检查这批产品的质量,决定采用分层抽样的方法进行抽样,若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a,b,c,且2b=a+c,则第二车间生产的产品数为( ) A.800 B.1 000 C.1 200 D.1 500【解析】选C.由2b=a+c,得第二车间生产的产品数为3 600×=3 600×=1 200.2.为了对某课题进行研究,从A,B,C三所高校中用分层抽样法抽取若干名教授组成研究小组,其中高校A有m名教授,高校B有72名教授,高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).(1)若A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,求m,n.(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,求三所高校的教授的总人数.【解析】(1)因为0<m≤72≤n,A,B两所高校中共抽取3名教授,B,C两所高校中共抽取5名教授,所以高校B中抽取2人,所以高校A中抽取1人,高校C中抽取3人,所以==,解得m=36,n=108.(2)因为高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的,所以(m+n)=72,解得m+n=108,所以三所高校的教授的总人数为m+n+72=180.。

14.2 抽样14.2.1 简单随机抽样A级必备知识基础练1.下列抽样中,适合用抽签法的是( )A.从某厂生产的3 000件产品中抽取600件进行质量检验B.从某厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验C.从甲、乙两厂生产的两箱(每箱15件)产品中抽取6件进行质量检验D.从某厂生产的3 000件产品中抽取10件进行质量检验2.(江西景德镇高一期末)总体由编号01,02,…,29,30的30个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体,选取方法是从如下随机数表的第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )第1行78 16 62 32 08 02 62 42 62 52 53 69 97 28 01 98第2行32 04 92 34 49 35 82 00 36 23 48 69 69 38 74 81A.19B.25C.26D.273.某中学高一年级有400人,高二年级有320人,高三年级有280人,若每人被抽到的可能性都为0.2,用随机数表法在该中学抽取容量为n的样本,则n等于( )A.80B.160C.200D.2804.若用简单随机抽样从个体数为10的总体中抽取一个容量为3的样本,分三次抽取,则其中个体甲在三次抽取中抽到的可能性.(填“相等”或“不相等”)5.在用抽签法抽样时,有下列五个步骤:(1)从箱中每次抽出1个号签,并记录其编号,连续抽取k次;(2)将总体中的所有个体编号;(3)制作号签;(4)将总体中与抽到的签的编号相一致的个体取出构成样本;(5)将号签放在同一箱中,并搅拌均匀.以上步骤的次序是.6.下列是随机数表的一部分(第6~10行).16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 4384 26 34 91 64 84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 6721 76 33 50 25 83 92 12 06 76 63 01 63 78 59 16 95 55 67 1998 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79 33 21 12 34 2978 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 5457 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 2708 02 73 43 28(1)从个体编号为00,01,…,59的60个个体中抽取10个,请从随机数表的第7行第5个数开始按从左向右再转下行从左向右的规则抽取,则抽到的第3个个体的号码为.(2)一批编号为010,011,…,099,100,…,500的文件,打算从中抽取容量为6的样本按与第(1)题相同的规则抽取,则抽到的第3个个体的号码为.7.设某校共有100名教师,为了支援西部教育事业,现要从中随机抽出12名教师组成暑期西部讲师团,请写出利用随机数表法抽取该样本的步骤.B级关键能力提升练8.用简单随机抽样法从含有10个个体的总体中,抽取一个容量为3的样本,其中某一个体甲“第一次被抽到”的可能性,“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110,110B.310,15C.15,310D.310,3109.从编号依次为01,02,…,20的20人中选取5人,现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,由左向右依次选取两个数字,则第五个编号为( )5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 0994 78465887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656A.09B.02C.15D.1810.用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中抽取一个容量为3的样本,其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )A.110,110B.310,15C.15,310D.310,31011.(多选题)下列抽取样本的方式,不是简单随机抽样的是( )A.从无限多个个体中抽取100个个体作为样本B.盒子里共有80个零件,从中逐个不放回地选出5个零件进行质量检验C.从80件玩具中一次性抽取3件进行质量检验D.某班有56名同学,指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛12.用简单随机抽样的方法从含n个个体的总体中,逐个不放回抽取一个容量为3的样本,若个体a在第一次被抽到的可能性为1,那么n= ,8在整个抽样中,每个个体被抽到的可能性为.13.一个布袋中有6个同样质地的小球,从中逐个不放回地抽取3个小球,则某一特定小球被抽到的可能性是;第三次抽取时,剩余小球中的某一特定小球被抽到的可能性是.14.从一群做游戏的小孩中随机抽出k人,一人分一个苹果,让他们返回继续做游戏.过了一会儿,再从中任取m人,发现其中有n个小孩曾分过苹果,估计参加游戏的小孩的人数为.15.学校举办元旦晚会,需要从每班选10名男生、8名女生参加合唱节目,某班有男生32名、女生28名,试用抽签法确定该班参加合唱的同学.C级学科素养创新练16.为了了解某校高三期中男生、女生数学考试填空题的得分情况,决定从80名男学生中抽取10名学生、从300名女学生中抽取50名学生进行分析,请选择合适的抽样方法并设计抽样方案.参考答案14.2 抽样14.2.1 简单随机抽样1.B 个体数和样本容量较小时适合用抽签法,排除A,D;C中甲、乙两厂生产的两箱产品质量可能差别较大,也不适用.2.B 由随机数表法可知,样本的前5个个体的编号分别为23,20,26,24,25,因此,选出的第5个个体的编号为25.故选B.=0.2,解得n=200.3.C 由题意可知,n400+320+2804.相等简单随机抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等.5.(2)(3)(5)(1)(4)6.(1)31 (2)455 (1)第7行第5个数为1,每两位为一个号码读取,第1个适合的号码为17,第2个号码为53,第3个号码为31.(2)从第7行第5个数开始每三位作为一个号码,第1个号码为175(适合),第2个号码为331(适合),第3个号码为572(不适合),第4个号码为455(适合),则第3个合适号码为455.7.解第一步,将100名教师进行编号:00,01,02, (99)第二步,在随机数表(教材附录)中任取一数,如第12行第9列的数7.第三步,从选定的数7开始向右读,每次读取两位,凡不在00~99中的数跳过去不读,前面已经读过的也跳过去不读,依次可得75,84,16,07,44,99,83,11,46,32,24,20.第四步,以上这12个编号所对应的教师即是要抽取的对象..8.A 简单随机抽样中每个个体被抽取的机会均等,都为1109.A 从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始,依次读取,即08,33(舍),95(舍),55(舍),02,62(舍),15,27(舍),02(舍),43(舍),69(舍),32(舍),18,18(舍),26(舍),09,则第五个编号为09.10.A 在抽样过程中,个体a每一次被抽中的概率是相等的,因为总体容量为10,故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能.故选A.性均为11011.ACD A不是简单随机抽样,原因是简单随机抽样中总体的个数是有限的,而选项A中是无限的;B是简单随机抽样;C不是简单随机抽样,原因是简单随机抽样是逐个抽取,而题中是一次性抽取;D不是简单随机抽样,原因是指定个子最高的5名同学是56名同学中特指的,不存在随机性,不是等可能抽样.12.8 38简单随机抽样时第一次抽样可以理解为从n个个体中抽取一个个体,则每个个体被抽到的可能性是1n,因此n=8;整个抽样过程中每个个体被抽到的可能性是38.13.1214因为简单随机抽样时每个个体被抽到的可能性为36=12,所以某一特定小球被抽到的可能性是12.因为此抽样是不放回抽样,所以第一次抽取时,每个小球被抽到的可能性均为16;第二次抽取时,剩余5个小球中每个小球被抽到的可能性均为15;第三次抽取时,剩余4个小球中每个小球被抽到的可能性均为14.14.kmn 设参加游戏的小孩有x人,则kx=nm,解得x=kmn.15.解第一步将32名男生从00到31进行编号;第二步用相同的纸条制成32个号签,在每个号签上写上这些编号;第三步将写好的号签放在一个不透明的箱中摇匀,不放回地逐个从中抽出10个号签;第四步相应编号的男生参加合唱;第五步用相同的方法从28名女生中选出8名,则此8名女生参加合唱.16.解男学生数学考试填空题得分情况抽样用抽签法,女学生数学考试填空题得分情况抽样用随机数法.抽样过程如下:(1)抽取10名男学生:①将80名男学生依次编号为1,2,3,…,80;②将号码分别写在形状、大小、质地都相同的纸片上,制成号签;③把80个号签放入同一个不透明的容器中,搅拌均匀,每次从中不放回地抽取一个号签,连续抽取10次;④与号签上号码相对应的10名学生的填空题得分就构成容量为10的一个样本.(2)抽取50名女学生:①将300名女学生依次编号为001,002,…,081,082,…,300;②从随机数表(教材附录)中任选一数字作为读数的起始数字,任选一方向作为读数方向,比如从第6行第1列开始读数,自左至右,每次读取三位,凡不在001~300范围内以及重复的数都跳过去,得到50个号码;③这50个号码所对应的学生的填空题得分就是抽取的对象.综合(1)(2)即得所需样本.。

第十四章 统计14.2 抽样 14.2.2 分层抽样1.了解简单随机抽样的必要性和重要性.2.理解简单随机抽样的目的和基本要求.3.掌握简单随机抽样中的抽签法、随机数表法的一般步骤一、对分层抽样概念的理解例1 ①某班数学期中考试有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，现从中抽出8人研讨进一步改进教与学；②高一某班级春节聚会，要产生两位“幸运者”．就这两件事，合适的抽样方法分别为( )A ．分层抽样，简单随机抽样B ．简单随机抽样，分层抽样C ．简单随机抽样，简单随机抽样D ．分层抽样，分层抽样跟踪训练1 在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本．方法1：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00,01,02，…，99，用抽签法抽取20个． 方法2：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个．对于上述问题，下列说法正确的是________．(填序号)①不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性都是15；②采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同；③在上述两种抽样方法中，方法2抽到的样本比方法1抽到的样本更能反映总体特征．二、分层抽样的应用例2一个单位有职工500人，其中不到35岁的有125人，35岁至49岁的有280人，50岁及50岁以上的有95人．为了了解这个单位职工与身体状态有关的某项指标，要从中抽取100名职工作为样本，职工年龄与这项指标有关，应该怎样抽取？跟踪训练2某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程．题型三分层随机抽样中的计算问题例3(1)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层随机抽样调查，假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A.101B.808C.1212D.2012(2)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为5∶3∶2.若用分层随机抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取________个个体.(3)分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.跟踪训练3甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为90的样本，应在这三校分别抽取学生() A.30人，30人，30人 B.30人，45人，15人C.20人，30人，40人D.30人，50人，10人1．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本．若样本中的青年职工为7人，则样本容量为()A．12 B．13 C．14 D．152．某校对全校1 200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容量为200的样本．已知女生抽了85人，则该校的男生人数为()A．670 B．680 C．690 D．7003．为了调查某省各城市PM2.5的值，按地域把36个城市分成甲、乙、丙三组，对应的城市数分别为6,12,18.若用分层抽样的方法抽取12个城市，则乙组中应抽取的城市数为________．4．某商场有四类食品，食品类别和种数见下表：现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测．若采用分层抽样方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和为________．5．某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的表格：由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本数量比C 产品的样本数量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________．。