2020-2021学年新教材高中数学 第10章 概率 10.1.4 概率的基本性质学案(含解析)

课时分层作业(四十三) 概率的基本性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是( )A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7C [∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，∴摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3，故选C ．]2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是( )A ．60%B ．30%C ．10%D ．50%D [“甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P (甲不输)＝P (甲胜)＋P (甲、乙和棋)，∴P (甲、乙和棋)＝P (甲不输)－P (甲胜)＝90%－40%＝50%.]3．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的概率为( )A ．15B ．25C ．310D ．710B [试验的样本空间Ω＝{AB ，AC ，AD ，AE ，BC ，BD ，BE ，CD ，CE ，DE }，共有10 个样本点，其中事件“这2张卡片上的字母按字母顺序恰好是相邻的”包含4个样本点，故所求的概率为410＝25.]4．某射手的一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别为0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90A [不够8环的概率为1－0.20－0.30－0.10＝0.40.]5．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为( )A ．310B ．25C ．12D ．35C [试验的样本空间Ω＝{金木，金水，金火，金土，木水，木火，木土，水火，水土，火土}，共10个样本点，事件“抽取的两种物质不相克”包含5个样本点，故其概率为510＝12.]二、填空题6．甲、乙两人打乒乓球， 两人打平的概率是12， 乙获胜的概率是13，则乙不输的概率是________．56 [乙不输表示打平或获胜，故其概率为P ＝13＋12＝56.] 7．盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个．若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率为________．35[设3个红色球为A 1，A 2，A 3,2个黄色球为B 1，B 2，从5个球中，随机取出2个球的事件有：A 1A 2，A 1A 3，A 1B 1，A 1B 2，A 2A 3，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2，B 1B 2，共10种．其中2个球的颜色不同的有A 1B 1，A 1B 2，A 2B 1，A 2B 2，A 3B 1，A 3B 2共6种，所以所求概率为610＝35.]8．先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为________．112[易知试验样本点的总数为36，由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6共3个样本点，所以P ＝336＝112.]三、解答题9．一盒中装有各色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率； (2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．[解] 法一：(1)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得红球或黑球共有5＋4＝9种不同取法，任取1球有12种取法．∴任取1球得红球或黑球的概率为P 1＝912＝34.(2)从12个球中任取1球得红球有5种取法，得黑球有4种取法，得白球有2种取法，从而得红球或黑球或白球的概率为5＋4＋212＝1112.法二：(利用互斥事件求概率)记事件A 1＝{任取1球为红球}，A 2＝{任取1球为黑球}，A 3＝{任取1球为白球}，A 4＝{任取1球为绿球}，则P (A 1)＝512，P (A 2)＝412，P (A 3)＝212，P (A 4)＝112.根据题意知，事件A 1，A 2，A 3，A 4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 (1)取出1球为红球或黑球的概率为P (A 1∪A 2)＝P (A 1)＋P (A 2)＝512＋412＝34.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝512＋412＋212＝1112.10．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；(2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n ＜m ＋2的概率．[解] (1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6个．从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2个，因此所求事件的概率为P ＝26＝13.(2)先从袋中随机取一个球，记下编号为m ，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n ，试验的样本空间Ω＝ {(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}，共16个样本点．又满足条件n ≥m ＋2的样本点有：(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以，满足条件n ≥m ＋2的事件的概率为P 1＝316，故满足条件n ＜m ＋2的事件的概率为1－P 1＝1－316＝1316.11．(多选题)张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中公平的是( )A ．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜B ．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜C ．从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜D ．张明、李华两人各写一个数字6或8，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜 ACD [选项A 中，向上的点数为奇数与向上的点数为偶数的概率相等，A 符合题意；选项B 中，张明获胜的概率是12，而李华获胜的概率是14，故游戏规则不公平，B 不符合题意；选项C 中，扑克牌是红色与扑克牌是黑色的概率相等，C 符合题意；选项D 中，两人写的数字相同与两人写的数字不同的概率相等，D 符合题意．]12．袋中有大小相同的黄、红、白球各一个，每次任取一个，有放回地取3次，则89是下列哪个事件的概率( )A ．颜色全同B ．颜色不全同C ．颜色全不同D ．无红球B [试验的样本空间Ω＝{黄黄黄，红红红，白白白，红黄黄，黄红黄，黄黄红，白黄黄，黄白黄，黄黄白，黄红红，红黄红，红红黄，白红红，红白红，红红白，黄白白，白黄白，白白黄，红白白，白红白，白白红，黄红白，黄白红，红黄白，红白黄，白红黄，白黄红}，包含27个样本点，事件“颜色全相同”包含3个样本点，则其概率为327＝19＝1－89，所以89是事件“颜色不全同”的概率．]13．已知a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}，则函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率为________．512[∵a ∈{0,1,2}，b ∈{－1,1,3,5}， ∴基本事件总数n ＝3×4＝12. 用(a ，b )表示a ，b 的取值．若函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数， 则①当a ＝0时，f (x )＝－2bx ， 符合条件的只有(0，－1)，即a ＝0，b ＝－1；②当a ≠0时，需满足ba ≤1，符合条件的有(1，－1)，(1,1)，(2，－1)，(2,1)，共4种．∴函数f (x )＝ax 2－2bx 在区间(1，＋∞)上为增函数的概率P ＝512.]14．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5个不同的题目．其中，选择题3个，判断题2个，甲、乙两人各抽一题．(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？ (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？[解] 把3个选择题记为x 1，x 2，x 3,2个判断题记为p 1，p 2.总的事件数为20.“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x 1，p 1)，(x 1，p 2)，(x 2，p 1)，(x 2，p 2)，(x 3，p 1)，(x 3，p 2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p 1，x 1)，(p 1，x 2)，(p 1，x 3)，(p 2，x 1)，(p 2，x 2)，(p 2，x 3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x 1，x 2)，(x 1，x 3)，(x 2，x 1)，(x 2，x 3)，(x 3，x 1)，(x 3，x 2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p 1，p 2)，(p 2，p 1)，共2种．(1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620＝310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620＝310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为310＋310＝35. (2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220＝110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为1－110＝910.15．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如表，其中“〇”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．[解](1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人，试验空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共15个样本点．②由表格知，事件M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，共11个样本点，所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.。

第十章 概率教案整理10.1.1有限样本空间与随机事件一、教学目标1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义.2.理解随机事件与样本点的关系，了解必然事件、不可能事件的概念.3会求简单随机试验的样本空间.4.会用集合表示随机事件，理解样本空间与随机事件的关系.二、教学重难点1、教学重点用集合表示样本空间和随机事件.2、教学难点样本空间与随机事件的关系.三、教学过程1、新课导入日常生活中，我们所观察到的现象主要分为两类，条件完全决定结果，一定条件下结果是确定的确定性现象和条件不能完全决定结果，一定条件下结果是不确定的随机现象，本节课我们将进一步研究随机现象的相关知识.2、探索新知1.随机试验：我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验. 常用字母E 表示. 我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果. 2.样本点和样本空间：我们把随机试验E 的每个可能的基本结果称为样本点.全体样本点的集合称为试验E 的样本空间.一般地，我们用Ω表示样本空间，用ω表示样本点. 如果一个随机试验有n 个可能结果12,,,n ωωω，则称样本空间12{,,},n Ωωωω=为有限样本空间.例1 抛掷一枚硬币，观察它落地时哪一面朝上，写出试验的样本空间.解：因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={正面朝上，反面朝上}.如果用h 表示“正面朝上”，t 表示“反面朝上”，则样本空间{,}Ωh t =. 例2 抛掷一枚骰子，观察它落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间.解：用i 表示朝上面的“点数为i ”，因为落地时朝上面的点数有1，2，3，4，5，6共6个可能的基本结果，所以试验的样本空间可以表示为Ω={1，2，3，4，5，6}.例3 抛掷两枚硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，写出试验的样本空间.解：掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x 表示，第二枚硬币可能的基本结果用y 表示，那么试验的样本点可用(x ，y )表示，于是，试验的样本空间Ω={(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}.如果我们用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，那么样本空间还可以简单表示为(1,1),(1,0),(0,1),(0{},0)Ω=.如图所示，画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程.3.随机事件和基本事件：一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示，我们将样本空间的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件. 随机事件一般用大写字母A ，B ，C ，…表示，在每次试验中，当且仅当A 中某个样本点出现时，称为事件A 发生.4.必然事件和不可能事件：Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件，而空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件，必然事件与不可能事件不具有随机性.例4 如图，一个电路中有A ，B ，C 三个电器元件，每个元件可能正常，也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象，观察这个电路中各元件是否正常..（1）写出试验的样本空间；（2）用集合表示下列事件：M =“恰好两个元件正常”；N =“电路是通路”；T =“电路是断路”.解：（1）分别用1x ，2x 和3x 表示元件A ，B 和C 的可能状态，则这个电路的工作状态可用123(,,)x x x 表示. 进一步地，用1表示元件的“正常”状态，用0表示“失效”状态，则样本空间{(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1)}Ω=.如图，还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.（2）“恰好两个元件正常”等价于123(,,)x x x Ω∈，且123,,x x x 中恰有两个为1，所以{(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)}M =.“电路是通路”等价于123(,,)x x x Ω∈，11x =，且23,x x 中至少有一个是1，所以{(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)}N =.同理，“电路是断路”等价于123(,,)x x x Ω∈，10x =，或11x =，230x x ==，所以{(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0)}T =.3、课堂练习1.下列现象中随机现象的个数是( )(1)某路口单位时间内发生交通事故的次数；(2)任意实数的平方是非负数；(3)一个射击运动员每次命中的环数；(4)—辆出租车一天的载客数量.A.1B.2C.3D.4答案：C解析：(2)是确定性现象，(1)(3)(4)都是随机现象.2.已知集合{}9,7,5,3,1,0,2,4,6,8A =-----，从集合A 中选取不相同的两个数，构成平面直角坐标系上的点，观察点的位置，则事件“点落在x 轴上”包含的样本共有（ ）A.7个B.8个C.9个D.10个答案：C 解析：点落在x 轴上所包含的基本事件为()9,0-，()7,0-，()5,0-，()3,0-，()1,0-，()2,0，()4,0，()6,0，()8,0，共9个.4、小结作业小结：本节课学习了样本点和有限样本空间，了解了随机事件、不可能事件和必然事件. 作业：完成本节课课后习题.10.1.2 事件的关系和运算一、教学目标1. 了解事件间的相互关系与运算；2. 理解互斥事件、对立事件的概念.二、教学重难点1. 教学重点事件间的相互关系.2. 教学难点判断事件的关系、进行事件的运算.三、教学过程（一）新课导入探究：在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：i C =“点数为i ”，1,2,3,4,5,6i =； 1D =“点数不大于3”；2D =“点数大于3”； 1E =“点数为1或2”；2E =“点数为2或3”； F =“点数为偶数”；G =“点数为奇数”； ……用集合的形式表示这些事件.借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？（二）探索新知1. 用集合的形式表示事件1C =“点数为1”和事件G =“点数为奇数”，它们分别是1{1}C =和{1,3,5}G =.如果事件1C 发生，那么事件G 一定发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1}{1,3,5}⊆，即1C G ⊆.这时我们说事件G 包含事件1C .一般地，若事件A 发生，则事件B 一定发生，我们就称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作B A ⊇（或A B ⊆）.可以用下图表示.特别地，如果事件B 包含事件A ，事件A 也包含事件B ，即B A ⊇且A B ⊇，则称事件A 与事件B 相等，记作A B =.2. 用集合的形式表示事件1D =“点数不大于3”、事件1E =“点数为1或2”和事件2E =“点数为2或3”，它们分别是1{1,2,3}D =，1{1,2}E =和2{2,3}E =.可以发现，事件1E 和事件2E 至少有一个发生，相当于事件1D 发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}{2,3}{1,2,3}=，即121E E D =，这时我们称事件1D 为事件1E 和事件2E 的并事件.一般地，事件A 与事件B 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A 中，或者在事件B 中，我们称这个事件为事件A 与事件B 的并事件（或和事件），记作A B （或A B +）.可以用下图中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件.3. 事件2C =“点数为2”可以用集合的形式表示为2{2}C =.可以发现，事件1E =“点数为1或2”和事件2E =“点数为2或3”同时发生，相当于事件2C 发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是{1,2}{2,3}{2}⋂=，即122E E C ⋂=.我们称事件2C 为事件1E 和2E 的交事件.一般地，事件 A 与事件B 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A 中，也在事件B 中，我们称这样的一个事件为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A B ⋂（或AB ）.可以用下图中的蓝色区域表示这个交事件.4. 用集合的形式表示事件3C =“点数为3”和事件4C =“点数为4”，它们分别是3{3}C =，4{4}C =.事件3C 与事件4C 不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是{3}{4}⋂=∅，即34C C ⋂=∅，这时我们称事件3C 与事件4C 互斥.一般地，如果事件 A 与事件B 不能同时发生，也就是说A B ⋂是一个不可能事件，即A B ⋂=∅，则称事件A 与事件B 互斥（或互不相容）.可以用下图表示这两个事件互斥.5. 用集合的形式表示事件F =“点数为偶数”、事件G =“点数为奇数”，它们分别是{2,4,6}F =，{1,3,5}G =.在任何一次试验中，事件F 与事件G 两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一.事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为{2,4,6}{1,3,5}{1,2,3,4,5,6}=，即F G =Ω，且{2,4,6}{1,3,5}⋂=∅，即F G ⋂=∅.此时我们称事件F 与事件G 互为对立事件.一般地，如果事件A 和事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A B =Ω，且A B ⋂=∅，那么称事件A 与事件B 互为对立.事件A 的对立事件记为A ，可以用下图表示.总结：事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下： A B ⋂或AB A B ⋂=∅例1 如图，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效.设事件A =“甲元件正常”，B =“乙元件正常”.（1）写出表示两个元件工作状态的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A ，B 以及它们的对立事件；（3）用集合的形式表示事件A B 和事件A B ⋂，并说明它们的含义及关系.解：（1）用12,x x 分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用12(,)x x 表示这个并联电路的状态.以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为{(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}Ω=.（2）根据题意，可得{(1,0),(1,1)},{(0,1),(1,1)},{(0,0),(0,1)},{(0,0),(1,0)}A B A B ====.（3）{(0,1),(1,0),(1,1)},{(0,0)}A B A B ⋃=⋂=；A B ⋃表示电路工作正常，A B ⋂表示电路工作不正常；A B ⋃和A B ⋂互为对立事件.（三）课堂练习1.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，与事件“至少有1个白球”相等的事件是( )A.全是红球B.至少有1个红球C.至多有1个红球D.1个红球，1个白球答案：C解析：取出的2个球含有白球或红球，所以“至少有1个白球”也就是“有1个白球，有1个红球”或“2个白球”，即“至多有1个红球”.2.2021年某省新高考将实行“3+1+2”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件A ：“他选择政治和地理”，事件B ：“他选择化学和地理”，则事件A 与事件B ( )A.是互斥事件，不是对立事件B.是对立事件，不是互斥事件C.既是互斥事件，也是对立事件D.既不是互斥事件也不是对立事件答案：A解析：事件A 与事件B 不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件. 3.掷一枚骰子，下列事件：A ={出现奇数点}，B ={出现偶数点}，C ={点数小于3}，D ={点数大于2}，E ={点数是3的倍数}.求：（1）,A B BC ⋂；（2）,A B B C ⋃⋃；（3）记H 是事件D 的对立事件，求,,H AC H E ⋃.答案：（1）,A B BC ⋂=∅={出现2点}.（2）A B ⋃={出现1，2，3，4，5或6点}，B C ⋃={出现1，2，4或6点}.（3）H ={点数小于或等于2}={出现1或2点}，AC ={出现1点}，H E ⋃={出现1，2，3或6点}.（四） 小结作业小结：掌握事件间的包含、并、交、互斥、互为对立的关系及运算.作业：10.1.2 古典概型教学目标与核心素养1.数学抽象：利用生活实例判断并得出古典概型的概念和概率的基本性质；2.逻辑推理：通过课堂探究逐步培养学生的逻辑思维能力.3.数学建模：掌握古典概型和概率的基本性质；4.直观想象：计算和判断事件的概率；5.数学运算:能够正确判断古典概型，计算事件的概率；6.数据分析:通过经历提出问题—推导过程—得出结论—例题讲解—练习巩固的过程，让学生认识到数学知识的逻辑性和严密性。

第十章概率10.1 随机事件与概率10.1.1有限样本空间与随机事件素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解样本点和有限样本空间的含义.(数学抽象)2．理解随机事件与样本点的关系.(逻辑推理)1．类比集合的有关概念来认识样本空间. 2．类比集合与集合之间的关系来认识随机事件.必备知识·探新知知识点1随机试验及样本空间1．随机试验的概念和特点(1)随机试验：我们把对__随机现象__的实现和对它的观察称为随机试验，简称试验，常用字母E来表示.(2)随机试验的特点：①试验可以在相同条件下__重复__进行；②试验的所有可能结果是__明确可知__的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．样本点和样本空间定义字母表示样本点我们把随机试验E的__每个可能的基本结果__称为样本点用__w__表示样本点样本空间全体__样本点__的集合称为试验E的样本空间用__Ω__表示样本空间有限样本空间如果一个随机试验有n个可能结果w1，w2，…，w n，则称样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}为有限样本空间Ω＝{w1，w2，…，w n}知识点2三种事件的定义随机事件我们将样本空间Ω的__子集__称为随机事件，简称事件，并把只包含__一个__样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示.在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生必然事件Ω作为自身的子集，包含了__所有的__样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件不可能事件空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称∅为不可能事件[知识解读]1．随机试验的三个特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果.2．关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间.3．事件与基本事件(1)随机事件是样本空间的子集.随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件.(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形.关键能力·攻重难题型探究题型一事件类型的判断典例1在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？(1)如果a、b都是实数，那么a＋b＝b＋a；(2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张号签中任取一张，得到4号签；(3)没有水分，种子发芽；(4)某电话总机在60秒内接到至少15个电话；(5)在标准大气压下，水的温度达到50 ℃时会沸腾；(6)同性电荷相互排斥.[分析]依据事件的分类及其定义，在给出的条件下，判断事件是否发生.[解析]结合必然事件、不可能事件、随机事件的定义可知.(1)对任意实数，都满足加法的交换律，故此事件是必然事件.(2)从6张号签中任取一张，得到4号签，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(3)适宜的温度和充足的水分，是种子萌发不可缺少的两个条件，没有水分，种子就不可能发芽，故此事件是不可能事件.(4)电话总机在60秒内接到至少15个电话，此事件可能发生，也可能不发生，故此事件是随机事件.(5)在标准大气压下，水的温度达到100 ℃时，开始沸腾，水温达到50 ℃，水不会沸腾，故此事件是不可能事件.(6)根据“同种电荷相互排斥，异种电荷相互吸引”的原理判断，该事件是必然事件.[归纳提升]判断一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，首先一定要看条件，其次是看在该条件下所研究的事件是一定发生(必然事件)、不一定发生(随机事件)，还是一定不发生(不可能事件).【对点练习】❶指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标.[解析](1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件.(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件.(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件.题型二确定试验的样本空间典例2下列随机事件中，一次试验各指什么？试写出试验的样本空间.(1)先后抛掷两枚质地均匀的硬币多次；(2)从集合A＝{a，b，c，d}中任取3个元素；(3)从集合A＝{a，b，c，d}中任取2个元素.[解析](1)一次试验是指“先后抛掷两枚质地均匀的硬币一次”，试验的样本空间为：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}.(2)一次试验是指“从集合A中一次选取3个元素组成集合”，试验的样本空间为：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}.(3)一次试验是指“从集合A中一次选取2个元素”，试验的样本空间为：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}.[归纳提升]不重不漏地列举试验的所有样本点的方法(1)结果是相对于条件而言的，要弄清试验的结果，必须首先明确试验中的条件.(2)根据日常生活经验，按照一定的顺序列举出所有可能的结果，可应用画树状图、列表等方法解决.【对点练习】❷袋中装有大小相同的红、白、黄、黑4个球，分别写出以下随机试验的条件和样本空间.(1)从中任取1球；(2)从中任取2球.[解析](1)条件为：从袋中任取1球.样本空间为{红，白，黄，黑}.(2)条件为：从袋中任取2球.若记(红，白)表示一次试验中，取出的是红球与白球，样本空间为{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}.题型三随机事件的表示典例3一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个球，其中3个白球，2个黑球，从中一次摸出2个球.(1)一共有多少个样本点？(2)写出“2个球都是白球”这一事件的集合表示.[解析](1)分别记白球为1,2,3号，黑球为4,5号，则这个试验的样本点为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个[其中(1,2)表示摸到1号球和2号球].(2)记A表示“2个球都是白球”这一事件，则A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}.[归纳提升]1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点.特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏.2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错.【对点练习】❸做抛掷红、蓝两枚骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数.写出：(1)这个试验的样本空间；(2)这个试验的结果的个数；(3)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含义；(4)写出“点数之和大于8”这一事件的集合表示.[解析](1)这个试验的样本空间Ω为{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.(2)这个试验的结果的个数为36．(3)事件A的含义为抛掷红、蓝两枚骰子，掷出的点数之和为7．(4)记B＝“点数之和大于8”，则B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}.易错警示忽视试验结果与顺序的关系而致误典例4已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，从这两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标.(1)写出这个试验的基本事件空间；(2)求这个试验的基本事件的总数.[错解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}.(2)这个试验的基本事件的总数是6．[错因分析]题中要求从两个集合中各取一个元素分别作为点的横、纵坐标，所以集合N中的元素也可以作为横坐标，错解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3).[正解](1)这个试验的基本事件空间Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}.(2)这个试验的基本事件的总数是12．【对点练习】❹同时抛掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(D)A．3B．4C．5D．6[解析](1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个样本点.10.1.2 事件的关系和运算素养目标·定方向素养目标学法指导1．理解事件的关系与运算.(逻辑推理)2．理解互斥事件和对立事件的概念.(数学抽象)本部分内容要类比集合的关系和运算来理解事件的关系和运算.必备知识·探新知知识点1事件的运算定义表示法图示并事件__事件A与事件B至少有一个发生__，称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)__A∪B__(或__A＋B__)交事件__事件A与事件B同时发生__，称这样一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)__A∩B__(或__AB__)知识点2事件的关系定义表示法图示包含关系若事件A发生，事件B__一定发生__，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)__B⊇A__(或__A⊆B__)互斥事件如果事件A与事件B__不能同时发生__，称事件A与事件B互斥(且互不相容)若__A∩B＝∅__，则A与B互斥对立事件如果事件A和事件B在任何一次试验中__有且仅有一个发生__，称事件A与事件B互为对立，事件A的对立事件记为A－若__A∩B＝∅__，且A∪B＝Ω，则A与B对立(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生.而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个.(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立.2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集.(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.关键能力·攻重难题型探究题型一互斥事件、对立事件的判定典例1(1)(2020·河南省南阳市期中)一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是(A)A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶(2)(2020·湖南省怀化市期末)一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是(D)A．恰有一次击中B．三次都没击中C．三次都击中D．至多击中一次[解析](1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“两次都不中靶”，因此不会与其同时发生的事件是“两次都中靶”.(2)根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”.[归纳提升]判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的.(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析.【对点练习】❶有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向前进，每人一个方向，事件“甲向南”与事件“乙向南”是(A) A．互斥但非对立事件B．对立事件C．非互斥事件D．以上都不对[解析]由于每人一个方向，故“甲向南”意味着“乙向南”是不可能的，故是互斥事件，但不是对立事件.题型二事件的运算典例2在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件.[解析](1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3．同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5．且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1．(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6).同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G ＝C1＋C3＋C5．[归纳提升]事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析.(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理.【对点练习】❷盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}.问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E 是什么运算关系？C与F的交事件是什么？[解析](1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.题型三用集合运算表示随机事件典例3设A，B，C表示三个随机事件，试将下列事件用A，B，C表示出来.(1)三个事件都发生；(2)三个事件至少有一个发生；(3)A发生，B，C不发生；(4)A，B都发生，C不发生；(5)A，B至少有一个发生，C不发生；(6)A，B，C中恰好有两个发生.[解析](1)ABC(2)A∪B∪C(3)A B－C－(4)AB C－(5)(A∪B)C－(6)AB C－∪A B－C∪A－BC[归纳提升]利用随机事件的运算与集合运算的对应关系，可以有效地解决此类问题.【对点练习】❸从某大学数学系图书室中任选一本书.设A表示事件“任选一本书，这本书为数学书”；B表示事件“任选一本书，这本书为中文版的书”；C表示事件“任选一本书，这本书为2000年后出版的书”.问：(1)AB C－表示什么事件？(2)在什么条件下有ABC＝A?(3)C－⊆B表示什么意思？[解析](1)AB C－表示事件“任选一本书，这本书为2000年或2000年前出版的中文版的数学书”.(2)在“图书室中所有数学书都是2000年后出版的且为中文版”的条件下才有ABC＝A.(3)C－⊆B表示2000年或2000年前出版的书全是中文版的.易错警示不能正确区分对立事件和互斥事件致错典例4进行抛掷一枚骰子的试验，有下列各组事件：(1)“出现1点”与“出现2点”；(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”；(3)“出现大于3的点”与“出现大于4的点”.其中是对立事件的组数是(B)A．0B．1C．2D．3[错解]C[错因分析]错解混淆了互斥事件与对立事件，误将互斥事件当作了对立事件.只有(2)“出现奇数点”与“出现偶数点”是对立事件，而(1)中“出现1点”与“出现2点”是互斥事件，但不是对立事件，(3)中“出现大于3的点”与“出现大于4的点”不是互斥事件，所以也不是对立事件.[正解]B[误区警示]对立事件一定是互斥事件，而互斥事件却不一定是对立事件.忽略互斥事件与对立事件之间的区别与联系，对“恰”“至少”“都”等词语理解不透彻.判断两个事件是否互斥，就要看它们是否能同时发生；判断两个互斥事件是否对立，就要看它们是否有一个必然发生.【对点练习】❹(2020·广东省茂名市期末)若干人站成一排，其中为互斥事件的是(A)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙站排尾”C．“甲站排头”与“乙不站排头”D．“甲不站排头”与“乙不站排头”[解析]根据互斥事件不能同时发生，判断A是互斥事件；B，C，D中两事件能同时发生，故不是互斥事件.10.1.3 古典概型素养目标·定方向素养目标学法指导1．古典概型的计算方法.(数学抽象)2．运用古典概型计算概率.(数学运算) 3．在实际问题中建立古典概型模型.(数学建模)1．明确古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题.2．注意区分有放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数不变)与无放回抽取(每次抽取之后被抽取的物体总数减少).必备知识·探新知知识点1随机事件的概率对随机事件发生__可能性大小__的度量(数值)称为事件的概率，事件A的概率用__P(A)__表示.知识点2古典概型一般地，若试验E具有以下特征：(1)有限性：样本空间的样本点只有__有限个__；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性__相等__.称试验E为古典概型试验，其数学模型称为__古典概率__模型，简称__古典概型__.知识点3古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝__kn__＝__n(A)n(Ω)__.[知识解读](1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和.(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率.关键能力·攻重难题型探究题型一古典概型的判断典例1下列试验是古典概型的是__①②④__.①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中可能性大小相等；②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；③近三天中有一天降雨的概率；④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.[分析]紧扣古典概型的两大特征——有限性与等可能性进行判断.[解析]①②④是古典概型，因为符合古典概型的特征.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.[归纳提升]判断试验是不是古典概型，关键看是否符合两大特征——有限性和等可能性.【对点练习】❶下列是古典概型的是(C)A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将去除的正整数作为基本事件时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．抛掷一枚均匀硬币首次出现正面为止[解析]A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件可能会无限个，故D不是.题型二古典概型的概率计算典例2甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.[分析](1)要求2名教师性别相同的概率，应先写出所有可能的结果，可以采用列举法求解.(2)要求选出的2名教师来自同一所学校的概率，应先求出2名教师来自同一所学校的基本事件.[解析] (1)甲校2名男教师分别用A ，B 表示，1名女教师用C 表示；乙校1名男教师用D 表示，2名女教师分别用E ，F 表示.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种.从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，所以选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49. (2)从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种.从中选出2名教师来自同一所学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种，所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P ＝615＝25. [归纳提升] 1．对于古典概型，任何事件A 的概率为：P (A )＝A 包含的基本事件的个数m 基本事件的总数n. 2．求古典概型概率的步骤为：(1)判断是否为古典概型；(2)算出基本事件的总数n ；(3)算出事件A 中包含的基本事件个数m ；(4)算出事件A 的概率，即P (A )＝m n. 在运用公式计算时，关键在于求出m 、n .在求n 时，应注意这n 种结果必须是等可能的，在这一点上比较容易出错.3．对于事件总数较多的情况，在解题时，没有必要一一列举出来，只将我们解题需要的列举出来分析即可.【对点练习】❷ 某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A 1，A 2，A 3和3个欧洲国家B 1，B 2，B 3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A 1但不包括B 1的概率.[解析] (1)由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有： {(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}，共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：{(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)}，共3个，则所求事件的概率为p ＝315＝15.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：{(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)}，共9个.包括A 1但不包括B 1的事件所包含的样本点有：{(A 1，B 2)，(A 1，B 3)}，共2个，则所求事件的概率为p ＝29. 题型三 较复杂的古典概型的概率计算典例3 某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x ，y .奖励规则如下：①若xy ≤3，则奖励玩具一个；②若xy ≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.[解析] 用数对(x ，y )表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S ＝{(x ，y )|x ∈N ，y ∈N,1≤x ≤4，1≤y ≤4}一一对应.因为S 中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n ＝16．(1)记“xy ≤3”为事件A ，则事件A 包含的基本事件共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1).所以P (A )＝516，即小亮获得玩具的概率为516. (2)记“xy ≥8”为事件B ，“3<xy <8”为事件C .则事件B 包含的基本事件共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P (B )＝616＝38. 事件C 包含的基本事件共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P (C )＝516， 因为38>516， 所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.[归纳提升] 解古典概型问题时，要牢牢抓住它的两个特点和其计算公式.但是这类问题的解法多样，技巧性强，在解决此类题时需要注意以下两个问题：(1)试验必须具有古典概型的两大特征——有限性和等可能性.(2)计算基本事件的数目时，须做到不重不漏，常借助坐标系、表格及树状图等列出所有基本事件.【对点练习】❸ 甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.(1)设(i ，j )分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出试验的样本空间；(2)甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？说明你的理由.[解析] (1)方片4用4′表示，试验的样本空间为Ω＝{(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4), (3,4′), (4,2), (4,3), (4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)}，则样本点的总数为12．(2)不公平.甲抽到牌的牌面数字比乙大有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)5种，甲胜的概率为P 1＝512，乙胜的概率为P 2＝712，因为512<712，所以此游戏不公平.易错警示对“有序”与“无序”判断不准而致错典例4 甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，其中3道选择题，2道填空题，甲、乙两人依次抽取1道题.求甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率.[错解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，且甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有10个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为610＝35. [错因分析] 错解中忽略了甲、乙两人依次抽取1道题与顺序有关，甲从5道题中任抽1道题有5种方法，乙从剩下的4道题中任抽1道题有4种方法，所以基本事件总数应为20．[正解] 因为通过列举法可得甲抽到选择题、乙抽到填空题的可能结果有6个，而甲、乙两人依次抽取1道题的可能结果有20个，所以甲抽到选择题、乙抽到填空题的概率为620＝310.。

10.1.4 概率的基本性质本节《普通高中课程标准数学教科书-必修二（人教A版）第十章《10.1.4 概率的基本性质》，本节课主要从定义出发研究概率的性质，例如：概率的取值X围；特殊事件的概率；事件有某些特殊关系时，它们的概率之家的关系等等，注意对概率思想方法的理解。

发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。

1.教学重点：掌握性质3、性质4、性质6及其公式的应用条件.2.教学难点：理解两个事件互斥、互为对立的含义.多媒体(1)对于P(A∪B)=P(A)+P(B)应用的前提是A,B互斥,并且该公式可以推广到多个事件的情况.如果事件A1,A2,…,Am两两互斥,那么事件A1∪A2∪…∪Am发生的概率等于这m个事件分别发生的概率之和,即P(A1∪A2∪…∪Am)=P(A1)+P(A2)+…+P(Am).该公式我们常称为互斥事件的概率加法公式.(2)若A与B互为对立,则有P(A)+P(B)=1;若P(A)+P(B)>1,并不能得出A与B互为对立.(3)对于概率加法的一般公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),当A∩B=Φ时,就是性质3.例2.从不包含大小王牌的52X扑克牌中随机抽取一X，设事件A=“抽到红心”，事件B=“抽到方片”，P(A)=P(B)=0.25.那么通过实例分析，让学生掌握概率性质，提升推理论证能力，提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。

加法公式，可得P(A)=P(A 1A 2)+P(A 12)+P( 1A 2).我们借助树状图来求相应事件的样本点数.可以得到，样本空间包含的样本点个数为n(Ω)=6×5=30,且每个样本点都是等可能的.因为n(A 1A 2)=2,n(A 12)=8,n( 1A 2)=8,所以288183()303030305P A =++==法2:注意到事件A 的对立事件是“不中奖”，即“两罐都不中奖”，由于 =“两罐都不中奖”，而 n( )=4×3=12,所以12122()305P A A == 12A A 12A A A A四、小结1.概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(A∪B)≤P(A)＋P(B).2.在求解复杂的事件的概率时,通常有两种方法,一是将所求事件的概率转化成彼此互斥的概率之和.二是先求此事件的对立事件的概率,特别是在涉及“至多”或“至少”问题时,常常用此思维模式.再利用P(A)=1-P(A)来得出原问题的解.这种处理问题的方法称为逆向思维,有时能使问题的解决事半功倍.本节课主要学习概率的基本性质，注意运用集合运算的观点分析学习。

第十章 10.1 10.1.4A 级——基础过关练1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.90【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ．2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( )A ．0.14B ．0.20C ．0.40D ．0.60【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－2350－0.4＝0.14.故选A ．3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是514，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜色的概率是( )A ．1328B ．57C ．1528D ．37【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝1328.故选A ．4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( )A ．12B ．23C ．56D ．1【答案】B 【解析】(方法一)A 包含向上点数是1,3,5的情况，B 包含向上的点数是1,2,3的情况，所以A ∪B 包含了向上点数是1,2,3,5的情况，故P (A ∪B )＝46＝23.(方法二)P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (AB )＝12＋12－26＝1－13＝23.故选B ．5．从1,2,3，…，30这30个数中任意摸出一个数，则事件“摸出的数是偶数或能被5整除的数”的概率是( )A ．710B ．35C ．45D ．110【答案】B 【解析】(方法一)这30个数中“是偶数”的有15个，“能被5整除的数”有6个，这两个事件不互斥，既是偶数又能被5整除的数有3个，所以事件“是偶数或能被5整除的数”包含的样本点是18个，而样本点共有30个，所以所求的概率为1830＝35.(方法二)设事件A “摸出的数为偶数”，事件B “摸出的数能被5整除”，则P (A )＝12，P (B )＝630＝15，P (A ∩B )＝330＝110，所以P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )－P (A ∩B )＝12＋15－110＝35.故选B ． 6．已知P (A )＝0.4，P (B )＝0.2. (1)如果B ⊆A ，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________；(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝________，P (AB )＝________.【答案】(1)0.4 0.2 (2)0.6 0 【解析】(1)因为B ⊆A ，所以P (A ∪B )＝P (A )＝0.4，P (AB )＝P (B )＝0.2.(2)如果A ，B 互斥，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.4＋0.2＝0.6，P (AB )＝0.7．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，且P (A )＝2P (B )，则P (A )＝________.【答案】25 【解析】因为事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为25，所以P (A )＋P (B )＝1－25＝35.又因为P (A )＝2P (B )，所以P (A )＋12P (A )＝35，所以P (A )＝25.8．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下表所示：已知至多． 【答案】0.68 【解析】由题意知至多3人排队等候的概率为0.72，则a ＋b ＋0.3＋0.1＝0.72，从而得到a ＋b ＝0.32，故至少2人排队等候的概率为1－a －b ＝0.68.9．(2020年保定月考)甲、乙两人进行围棋比赛，记事件A 为“甲获得比赛胜利或者平局”，事件B 为“乙获得比赛的胜利或者平局”，已知P (A )＝0.7，P (B )＝0.4.(1)求甲获得比赛胜利的概率； (2)求甲、乙两人获得平局的概率．解：(1)甲获得比赛胜利的概率P 1＝1－P (B )＝1－0.4＝0.6. (2)甲、乙两人获得平局的概率为P 2＝P (A )－P 1＝0.7－0.6＝0.1.10．某饮料公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的饮料共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A 饮料，另外2杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从5杯饮料中选出3杯A 饮料．若该员工3杯都选对，则评为优秀；若3杯选对2杯，则评为良好；否则评为不合格．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．(1)求此人被评为优秀的概率； (2)求此人被评为良好及以上的概率．解：将5杯饮料编号为1,2,3,4,5，编号1,2,3表示A 饮料，编号4,5表示B 饮料，则从5杯饮料中选出3杯的所有可能情况为(123)，(124)，(125)，(134)，(135)，(145)，(234)，(235)，(245)，(345)，共有10种．令D 表示“此人被评为优秀”的事件，E 表示“此人被评为良好”的事件，F 表示“此人被评为良好及以上”的事件．(1)P (D )＝110.(2)P (E )＝610＝35，P (F )＝P (D )＋P (E )＝710.B 级——能力提升练11．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为17，从中取出2粒都是白子的概率是1235.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是( )A ．17B ．1235C ．1735D ．1【答案】C 【解析】易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件，故所求的概率为17＋1235＝1735.故选C ．12．从几个数中任取实数x ，若x ∈(－∞，－1]的概率是0.3，x 是负数的概率是0.5，则x ∈(－1,0)的概率是________．【答案】0.2 【解析】设“x ∈(－∞，－1]”为事件A ，“x 是负数”为事件B ，“x ∈(－1,0)”为事件C ，由题意知，A ，C 为互斥事件，B ＝A ∪C ，∴P (B )＝P (A )＋P (C )，∴P (C )＝P (B )－P (A )＝0.5－0.3＝0.2.13．中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为37，乙夺得冠军的概率为14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． 【答案】1928【解析】由题意知事件“甲夺得冠军”与“乙夺得冠军”互斥，故所求事件的概率为37＋14＝1928.14．已知A ，B ，C 两两互斥，且P (A )＝0.3，P (B )＝0.6，P (C )＝0.2，则P (A ∪B ∪C )＝________.【答案】0.9 【解析】因为P (B )＝0.6，所以P (B )＝1－P (B )＝0.4.又A ，B ，C 两两互斥，所以P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.3＋0.4＋0.2＝0.9.15．口袋中有若干个大小形状完全相同的红球、黄球、蓝球，随机摸出一球，是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，则摸出是红球或蓝球的概率是________．【答案】0.81 【解析】因为摸出是红球的概率为0.45，是红球或黄球的概率为0.64，所以摸出黄球的概率为0.64－0.45＝0.19，所以摸出是红球或蓝球的概率为1－0.19＝0.81.16．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(3件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率，则当天商店不进货的概率为________．【答案】310 【解析】商店不进货即日销售量少于2件，显然“日销售量为1件”与“日销售量为0件”不可能同时发生，彼此互斥，分别计算两事件发生的频率，将其视作概率，利用概率加法公式可解．记“当天商品销售量为0件”为事件A ，“当天商品销售量为1件”为事件B ，“当天商店不进货”为事件C ，则P (C )＝P (A )＋P (B )＝120＋520＝310.17．近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000 吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．解：(1)设“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量为m 吨，厨余垃圾总量为n 吨，则m ＝400，n ＝400＋100＋100＝600.所以厨余垃圾投放正确的概率约为m n＝400600＝23. (2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”，从而P (A )＝400＋240＋601 000＝0.7，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.7＝0.3.18．某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y 的所有可能值，并估计Y 大于零的概率．解：(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则Y ＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则Y ＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300；若最高气温低于20，则Y ＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以，Y 的所有可能值为900,300，－100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8，因此Y 大于零的概率的估计值为0.8.C 级——探索创新练19．某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．(1)若花店一天购进17枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：枝，n ∈N )的函数解析式；(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位：枝)，整理得下表：(ⅰ)单位：元)的平均数；(ⅱ)若花店一天购进17枝玫瑰花，以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，求当天的利润不少于75元的概率．解：(1)若当天需求量n ≥17，则利润y ＝85； 若当天需求量n <17，则利润y ＝10n －85.故y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10n －85，n <17，85，n ≥17(n ∈N )．(2)(ⅰ)这100天中有10天的日利润为55元，20天的日利润为65元，16天的日利润为75元，54天的日利润为85元，所以这100天的日利润的平均数为1100×(55×10＋65×20＋75×16＋85×54)＝76.4(元)．(ⅱ)“当天的利润不少于75元”即“当天的需求量不少于16枝”，故当天的利润不少于75元的概率为0.16＋0.16＋0.15＋0.13＋0.1＝0.7.。