下载文档原格式
（新课标）2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（新课标）2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5的全部内容。
2017春高中数学章末整合提升1 新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．(2016·北京丰台区二模)已知a，b，c分别是△ABC三个内角A,B，C的对边，b＝错误!,c ＝错误!,B＝错误!，那么a等于错误!( C )A．1 B．2C．4 D．1或4[解析］在△ABC中，b＝7，c＝3，cos B＝错误!,由余弦定理有b2＝a2＋c2－2ac cos B，即7＝a2＋3－3a，解得a＝4或a＝－1（舍去）．故a的值为4。
2．在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2－b2＝3bc，sin C＝2错误!sin B，则A＝错误!（ A )A．30°B．60°C．120°D．150°［解析]由余弦定理得：cos A＝错误!，由题知b2－a2＝－错误!bc，c2＝2错误!bc，则cos A ＝错误!，又A∈(0°，180°）,∴A＝30°，故选A．3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为错误!,面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是错误!( D ）A．3和5 B．4和6C．6和8 D．5和7[解析]设夹角为A，∵cos A＝35，∴sin A＝错误!,S＝错误!bc sin A＝14,∴bc＝35,又b－c＝2，∴b＝7，c＝5。
1．三角形解的个数的确定已知两边和其中一边的对角不能唯一确定三角形，解这类三角形问题可能出现一解、两解、无解的情况，这时应结合“三角形中大边对大角”，此时一般用正弦定理，但也可用余弦定理．(1)利用正弦定理讨论：若已知a 、b 、A ，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝b sin Aa .若sin B >1，无解；若sin B ＝1，一解；若sin B <1，两解．(2)利用余弦定理讨论：已知a 、b 、A .由余弦定理a 2＝c 2＋b 2－2cb cos A ，即c 2－(2b cos A )c ＋b 2－a 2＝0，这是关于c 的一元二次方程．若方程无解或无正数解，则三角形无解；若方程有唯一正数解，则三角形一解；若方程有两不同正数解，则三角形有两解． 2．三角形形状的判定方法判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：a ＝2R sin A ，a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C 等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．此时注意一些常见的三角恒等式所体现的角之间的关系．如：sin A ＝sin B ⇔A ＝B ；sin(A －B )＝0⇔A ＝B ；sin 2A ＝sin 2B ⇔A ＝B 或A ＋B ＝π2等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如：sin A ＝a2R (R 为△ABC 外接圆半径)，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 等，通过代数恒等变换求出三条边之间的关系进行判断． 3．解三角形应用题的基本思路解三角形应用题的关键是将实际问题转化为解三角形问题来解决．其基本解题思路是：首先分析此题属于哪种类型的问题(如：测量距离、高度、角度等)，然后依题意画出示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，哪个定理求解，并进行作答．解题时还要注意近似计算的要求.题型一 利用正、余弦定理解三角形 解三角形的一般方法：(1)已知两角和一边，如已知A 、B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a 、b . (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a 、b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a 、b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a 、b 、c ，可应用余弦定理求A 、B 、C .例1 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，设a ，b ，c 满足条件b 2＋c 2－bc ＝a 2和c b ＝12＋3，求A 和tan B 的值．解 由余弦定理cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，A ∈(0°，180°)．因此A ＝60°.在△ABC 中，C ＝180°－A －B ＝120°－B .由已知条件，应用正弦定理12＋3＝c b ＝sin C sin B ＝sin (120°－B )sin B ＝sin 120°cos B －cos 120°sin Bsin B ＝32tan B ＋12，从而tan B ＝12.跟踪演练1 如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，BC ＝23，点D 在BC 边上，∠ADC ＝45°，求AD 的长度．解 在△ABC 中，∵AB ＝AC ＝2，BC ＝23，由余弦定理，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，∴sinC ＝12；在△ADC 中，由正弦定理得，AD sin C ＝AC sin ∠ADC ，∴AD ＝222×12＝ 2.题型二 与解三角形有关的综合问题该类问题以三角形为载体，在已知条件中设计了三角形的一些边角关系，由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式，通过定理的运用能够实现边角互化，在边角互化时，经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等．例2 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －b )cos C ＝c ·cos B ，△ABC 的面积S ＝103，c ＝7. (1)求角C ；(2)求a ，b 的值． 解 (1)∵(2a －b )cos C ＝c cos B ， ∴(2sin A －sin B )cos C ＝sin C cos B ， 2sin A cos C －sin B cos C ＝cos B sin C ， 即2sin A cos C ＝sin(B ＋C )，∴2sin A cos C ＝sin A ．∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0， ∴cos C ＝12，∴C ＝π3.(2)由S ＝12ab sin C ＝103，C ＝π3，得ab ＝40.①由余弦定理得：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， 即c 2＝(a ＋b )2－2ab (1＋cos π3)，∴72＝(a ＋b )2－2×40×⎝⎛⎭⎫1＋12.∴a ＋b ＝13.② 由①②得a ＝8，b ＝5或a ＝5，b ＝8.跟踪演练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是三个内角A 、B 、C 的对边，若a ＝2，C ＝π4，cosB 2＝255， 求△ABC 的面积S .解 因为cos B ＝2cos 2B 2 －1＝35，所以sin B ＝45.所以sin A ＝sin(π－B －C )＝sin ⎝⎛⎭⎫3π4－B ＝sin 3π4cos B －cos 3π4sin B ＝7210.由正弦定理，得c ＝a sin C sin A ＝107，所以S ＝12ac sin B ＝12×2×107×45＝87.题型三 正、余弦定理在实际中的应用 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关知识正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 例3 如图，a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波信号，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值； (2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．解 (1)由题意得P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)． ∴PB ＝(x －12)(km)，PC ＝(18＋x )(km)．在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x .同理cos ∠P AC ＝72－x3x .∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327(km)． (2)作PD ⊥a 于D ，在Rt △PDA 中 ，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km.跟踪演练3 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时．图(1) 图(2)①当0≤t ＜2时，如图(1)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ， 所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 120°＝ (20－10t )2＋(8t )2－2(20－10t )×8t ×⎝⎛⎭⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t ＝2时，PQ ＝8×2＝16.③当t >2时，如图(2)在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20， ∴PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AQ ·AP cos 60°＝221t 2－60t ＋100.综合①②③知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t ≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．题型四 函数与方程思想的应用与函数思想相联系的就是方程思想．所谓方程思想，就是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题所涉及的各量间的制约关系，列出方程(组)，从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数沟通了变量之间的联系．方程可以看做未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁．本章在利用正、余弦定理求角或边长时，往往渗透着函数与方程思想．例4 在△ABC 中，已知A >B >C ，且A ＝2C ，b ＝4，a ＋c ＝8，求a ，c 的长．解 由正弦定理得a sin A ＝c sin C ，∵A ＝2C ，∴a sin 2C ＝csin C ，∴a ＝2c cos C ．又∵a ＋c ＝8，∴cos C ＝8－c2c，①由余弦定理及a ＋c ＝8，得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋42－c 28a ＝(8－c )2＋42－c 28(8－c )＝10－2c8－c .②由①②知8－c 2c ＝10－2c8－c ，整理得5c 2－36c ＋64＝0.∴c ＝165或c ＝4(舍去)．∴a ＝8－c ＝245.故a ＝245，c ＝165.跟踪演练4 已知函数f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小值和最小正周期；(2)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且c ＝3，f (C )＝0，若向量m ＝(1，sin A )与向量n ＝(2，sin B )共线，求a ，b 的值． 解 (1)∵f (x )＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1，∴函数f (x )的最小值是－2， 最小正周期是T ＝2π2＝π.(2)由题意得f (C )＝sin(2C －π6)－1＝0，∴sin(2C －π6)＝1，∵0<C <π，∴－π6<2C －π6<116π，∴2C －π6＝π2，∴C ＝π3，∵m ∥n ，∴12＝sin A sin B ，由正弦定理得，a b ＝12，①由余弦定理得，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3，即3＝a 2＋b 2－ab ，② 由①②解得a ＝1，b ＝2.1.在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，A＞B等价于a＞b等价于sin A＞sin B.2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．3．正弦定理是一个关于边角关系的连比等式，在运用此定理时，只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的，在解题时要学会灵活运用．运用余弦定理时，要注意整体思想的运用．。
（新课标）2017春高中数学章末整合提升3 新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（新课标）2017春高中数学章末整合提升3 新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（新课标）2017春高中数学章末整合提升3 新人教A版必修5的全部内容。
2017春高中数学章末整合提升3 新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．（2015·四川理，1）设集合A＝{x｜(x＋1）（x－2）<0}，集合B＝{x｜1〈x<3}，则A ∪B＝错误!（ A )A．{x｜－1<x〈3} B．{x|－1〈x〈1｝C．{x|1〈x<2} D．｛x｜2<x〈3}［分析］考查集合的基本运算和一元二次不等式的解法．解答本题先解不等式求出A，再按并集的意义求解．[解析]A＝｛x|－1<x<2}，B＝{x｜1<x〈3｝，∴A∪B＝｛x|－1<x〈3｝，选A．2．已知a＋b>0，ab〈0，那么下列不等式一定成立的是错误!( D )A．错误!<错误!B．a2〈b2C．|a|〉｜b｜D．错误!〈1［解析]∵a＋b〉0，ab〈0，∴a与b一正一负，且正数的绝对值较大，由于a与b哪一个为正不能确定，故A，B,C都错．而错误!〈0<1，故选D．3．不等式（x＋5)(3－2x）≥6的解集是导学号 54742892（ D )A．错误!B．错误!C．错误!D．错误![解析］解法1:取x＝1检验，满足排除A;取x＝4检验，不满足排除B，C;∴选D．解法2：化为：2x2＋7x－9≤0，即(x－1）（2x＋9)≤0，∴－错误!≤x≤1，选D．4．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是错误!（ D )A．[0,2] B．［－2，0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2］[解析]∵2x＋2y≥22x＋y，∴2错误!≤1，∴2x＋y≤错误!＝2－2,∴x＋y≤－2，故选D．5．x , y满足约束条件错误!若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为错误!( D ）A．错误!或－1 B．2或错误!C．2或1 D．2或－1［解析]如图,z＝y－ax的最大值的最优解不唯一，即直线y＝ax＋z与直线2x－y＋2＝0或x＋y－2＝0重合,∴a＝2或－1。
2017春高中数学 章末整合提升1 新人教A 版必修5基 础 巩 固一、选择题1．(2016·北京丰台区二模)已知a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，b ＝7，c ＝3，B ＝π6，那么a 等于导学号 54742172( C )A ．1B ．2C ．4D ．1或4[解析] 在△ABC 中，b ＝7，c ＝3，cos B ＝32，由余弦定理有b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，即7＝a 2＋3－3a ，解得a ＝4或a ＝－1(舍去)． 故a 的值为4.2．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝导学号 54742173( A )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°[解析] 由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，由题知b 2－a 2＝－3bc ，c 2＝23bc ，则cos A ＝32， 又A ∈(0°，180°)，∴A ＝30°，故选A ．3．三角形两边之差为2，夹角的余弦值为35，面积为14，那么这个三角形的此两边长分别是导学号 54742174( D )A ．3和5B ．4和6C ．6和8D ．5和7[解析] 设夹角为A ，∵cos A ＝35，∴sin A ＝45，S ＝12bc sin A ＝14，∴bc ＝35，又b －c ＝2，∴b ＝7，c ＝5.4．设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为导学号 54742175( B )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定[解析] 由正弦定理，得sin B cos C ＋sin C cos B ＝sin 2A ，所以sin(B ＋C )＝sin 2A ，∴sin A ＝sin 2A ，而sin A >0，∴sin A ＝1，A ＝π2，所以△ABC 是直角三角形．5．如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算A 、B 两点的距离为导学号 54742176( A )A ．502mB ．503mC ．252mD ．2522m[解析] 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理得，AC sin ∠ABC ＝ABsin ∠ACB ，∴AB ＝AC ·sin∠ACBsin ∠ABC ＝50×2212＝502(m)．6．(2015·合肥市质检)已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，且满足b ＋c ≤3a ，则c a的取值范围为导学号 54742177( B )A ．(1，＋∞)B ．(0,2)C ．(1,3)D ．(0,3)[解析] 依题意得c <a ＋b .∴c ＋c <a ＋b ＋c ≤a ＋3a ，于是有2c <4a,0<c a <2，即c a的取值范围是(0,2)，故选B ． 二、填空题7．(2015益阳模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＋b sin B －c sin C ＝3a sin B ，则角C 等于π6.导学号 54742178[解析] 由正弦定理，得a 2＋b 2－c 2＝3ab ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝32，又0＜C ＜π，所以C ＝π6.8．(2015福州模拟)在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，则sin C ＝23913.导学号 54742179 [解析] 因为在△ABC 中，BC ＝1，B ＝π3，△ABC 的面积S ＝3，所以S △ABC ＝12BC ×BA sin B＝3，即12×1×BA ×32＝3，解得BA ＝4.又由余弦定理，得AC 2＝BC 2＋BA 2－2BC ·BA cos B ，即得AC ＝13，由正弦定理，得BA sin C ＝AC sin B ，解得sin C ＝23913.三、解答题9．(2015·山东青岛市质检)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＋b sin A ＋B ＝a －csin A －sin B，b ＝3.导学号 54742180(1)求角B ； (2)若sin A ＝33，求△ABC 的面积． [解析] (1)∵a ＋b sin A ＋B ＝a －csin A －sin B，∴a ＋bc ＝a －c a －b.∴a 2－b 2＝ac －c 2，即a 2＋c 2－b 2＝ac ， ∴cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝ac 2ac ＝12.∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)由b ＝3，sin A ＝33，sin B ＝32，a sin A ＝bsin B，得a ＝2. 由a <b 得A <B ，从而cos A ＝63， 故sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝3＋326. ∴△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝3＋322.10．(2016·四川文，18)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c.导学号 54742181(1)证明：sin A sin B ＝sin C ；(2)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B ．[解析] (1)根据正弦定理，可设a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝k (k >0)．则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ．代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C ． (2)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(1)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin Bcos B＝4.能 力 提 升一、选择题11．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于导学号 54742182( B ) A ．32 B ．332C ．3＋62D ．3＋394[解析] 设AB ＝c ，BC 边上的高为h .由余弦定理，得AC 2＝c 2＋BC 2－2BC ·c cos60°，即7＝c 2＋4－2c ，即c 2－2c －3＝0，∴c ＝3(负值舍去)．又h ＝c ·sin60°＝3×32＝332，故选B ． 12．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且a ＝λ，b ＝3λ(λ>0)，A ＝45°，则满足此条件的三角形个数是导学号 54742183( A )A ．0B ．1C ．2D ．无数个[解析] 直接根据正弦定理可得asin A＝bsin B，可得sin B ＝b sin A a ＝3λsin45°λ＝62>1，没有意义，故满足条件的三角形的个数为0. 13．一艘海轮从A 处出发，以每小时40n mile 的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是导学号 54742184( A )A ．102n mileB ．103n mileC ．203n mileD ．202n mile[解析] 如图所示，易知，在△ABC 中，AB ＝20n mile ，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin30°＝ABsin45°，解得BC ＝102(n mile)．二、填空题14．(2015·天津十二区县联考)已知△ABC 中，AB ＝1，sin A ＋sin B ＝2sin C ，S △ABC ＝316sin C ，则cos C ＝13.导学号 54742185[解析] 设△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，因为sin A ＋sin B ＝2sin C ，则由正弦定理得a ＋b ＝2c ＝2，又因为S △ABC ＝12ab sin C ＝316sin C ，所以ab ＝38，故cos C＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ a ＋b 2－2ab －12ab ＝13.15．已知平面内四点O 、A 、B 、C 满足OA →＋OB →＋OC →＝0，OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →＝－1，则△ABC 的面积为332.导学号 54742186[解析] 由OA →＋OB →＋OC →＝0知O 为△ABC 的重心， 又由OA →·OB →＝OB →·OC →得 OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝0，所以OB →⊥CA →，同理OA →⊥BC →，OC →⊥AB →，所以O 为△ABC 的垂心．故△ABC 为正三角形． 即OC →·OA →＝|OC →|·|OA →|·cos120°＝－1， ∴|OC →|·|OA →|＝2.∴S △AOC ＝12|OC →|·|OA →|sin120°＝32，∴S △ABC ＝332.三、解答题16．(2015·武汉市调研)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b cos 2A＝a (2－sin A sin B )，c ＝7，cos B ＝277.导学号 54742187(1)求sin A ； (2)求a ，b 的值．[解析] (1)在△ABC 中，由正弦定理及b cos 2A ＝a (2－sin A sinB )知sin B ·cos 2A ＝sin A (2－sin A sinB )，∴sin B ·co s 2A ＋sinB sin 2A ＝2sin A ， ∵sin 2A ＋cos 2A ＝1，∴sinB ＝2sin A ， 又∵cos B ＝27，∴sin B ＝1－27 2＝217. ∴sin A ＝12sin B ＝2114.(2)由(1)可知b ＝2a ，∴由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac ·cos B 及b ＝2a ，c ＝7得(2a )2＝a 2＋7－2a ·7·cos B ． 而cos B ＝27，∴3a 2＋4a －7＝0，即(3a ＋7)(a －1)＝0，∴a ＝1，b ＝2.17．如右图所示，甲船以每小时302n mile 的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20n mile.当甲船航行20min 到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102n mile ，问乙船每小时航行多少n mile ？导学号 54742188[解析] 解法一：如图，连结A 1B 2，由题意知A 2B 2＝102n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile.所以A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°， 所以△A 1A 2B 2是等边三角形． 所以A 1B 2＝A 1A 2＝102n mile.由题意知，A 1B 1＝20n mile ，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理，得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1B 2·cos45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200. 所以B 1B 2＝102n mile.因此，乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile. 解法二：如下图所示，连结A 2B 1，由题意知A 1B 1＝20n mile ，A 1A 2＝302×2060＝102n mile ，∠B 1A 1A 2＝105°， 又cos105°＝cos(45°＋60°) ＝cos45°cos60°－sin45°sin60°＝2 1－34，sin105°＝sin(45°＋60°)＝sin45°cos60°＋cos45°sin60° ＝2 1＋34，在△A 2A 1B 1中，由余弦定理，得A 2B 21＝A 1B 21＋A 1A 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos105°＝202＋(102)2－2×20×102×2 1－34＝100(4＋23)，所以A 2B 1＝10(1＋3)n mile 由正弦定理，得sin ∠A 1A 2B 1＝A 1B 1A 2B 1·sin∠B 1A 1A 2＝2010 1＋3×2 1＋3 4＝22， 所以∠A 1A 2B 1＝45°，即∠B 1A 2B 2＝60°－45°＝15°，cos15°＝sin105°＝2 1＋34.在△B 1A 2B 2中，由题知A 2B 2＝102n mile ，由余弦定理，得B 1B 22＝A 2B 21＋A 2B 22－2A 2B 1·A 2B 2·cos15°＝102(1＋3)2＋(102)2－2×10(1＋3)×102×2 1＋34＝200，所以B 1B 2＝102n mile ，故乙船速度的大小为10220×60＝302(n mile/h)．答：乙船每小时航行302n mile.。
