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第3讲导数及其应用1．(2015·陕西）设f(x）＝x－sin x，则f（x）( ）A．既是奇函数又是减函数B．既是奇函数又是增函数C．是有零点的减函数D．是没有零点的奇函数2．(2014·课标全国Ⅰ）已知函数f（x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0〉0，则a的取值范围是（）A．(2，＋∞）B．（－∞,－2)C．（1,＋∞）D．（－∞，－1）3．(2014·辽宁)当x∈[－2,1］时,不等式ax3－x2＋4x＋3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（)A．［－5，－3］B．［－6，－9 8］C．[－6，－2] D．［－4,－3］4．（2013·安徽）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1,x2。
若f(x1）＝x1<x2,则关于x的方程3(f(x））2＋2af(x）＋b＝0的不同实根个数为( )A．3 B．4 C．5 D．61。
导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值最值是高考的常见题型.热点一导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f（x）在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′（x0)(x－x0）．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1 （1)（2015·课标全国Ⅰ)已知函数f（x）＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1)）处的切线过点（2，7），则a＝____________.（2）(2015·泸州市质量诊断）设函数f（x）＝ax3＋3x，其图象在点（1,f(1）)处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，则直线l与坐标轴围成的三角形的面积为（)A．1 B．3 C．9 D．12思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线"与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线，必以点P为切点．（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy中,设A是曲线C1：y＝ax3＋1（a>0）与曲线C2：x2＋y2＝错误!的一个公共点,若C1在A处的切线与C2在A处的切线互相垂直,则实数a的值是________．热点二利用导数研究函数的单调性1．f′（x）〉0是f(x）为增函数的充分不必要条件，如函数f（x)＝x3在（－∞,＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f′（x）＝0时,则f(x）为常函数，函数不具有单调性．例2 (2015·重庆）设函数f（x）＝错误!（a∈R）．（1)若f(x)在x＝0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线y＝f(x）在点（1，f(1）)处的切线方程；（2)若f（x)在[3，＋∞)上为减函数，求a的取值范围．思维升华利用导数研究函数单调性的一般步骤:（1）确定函数的定义域；(2)求导函数f′（x)；（3)①若求单调区间(或证明单调性），只要在函数定义域内解(或证明)不等式f′(x）〉0或f′(x)<0.②若已知函数的单调性，则转化为不等式f′（x）≥0或f′(x）≤0在单调区间上恒成立问题来求解．跟踪演练2 （1）函数f(x）＝错误!x2－ln x的单调递减区间为( ) A．（－1,1］B．（0，1]C．[1，＋∞）D．（0,＋∞）(2)若函数f(x）＝－错误!x3＋错误!x2＋2ax在［错误!,＋∞）上存在单调递增区间，则a的取值范围是________．热点三利用导数求函数的极值、最值1．若在x0附近左侧f′（x)>0，右侧f′（x）〈0，则f（x0)为函数f(x）的极大值;若在x0附近左侧f′（x)〈0,右侧f′(x)>0，则f(x0)为函数f（x）的极小值．2．设函数y＝f(x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，则f（x）在［a，b］上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得．例3 (2015·北京改编）设函数f（x)＝错误!－k ln x，k>0.（1）求f(x)的单调区间和极值；(2)当x∈［1，错误!]时,求f（x)的最小值．思维升华(1）求函数f(x)的极值，则先求方程f′（x）＝0的根，再检查f′(x）在方程根的左右函数值的符号．（2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f′（x)＝0根的大小或存在情况来求解．（3)求函数f（x）在闭区间[a，b］的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a），f（b）与f（x）的各极值进行比较得到函数的最值．跟踪演练3 已知函数f（x）＝ln x＋ax－a2x2(a≥0)．(1）若x＝1是函数y＝f（x)的极值点，求a的值；(2）若f（x）〈0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围．1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为（）A．e B．－eC.错误!D．－错误!2．已知函数f(x）＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10,则错误!的值为( )A．－错误!B．－2C．－2或－错误!D．2或－错误!3．已知函数f（x)＝x2－ax＋3在(0,1)上为减函数，函数g(x)＝x2－a ln x在(1，2)上为增函数，则a的值等于________．4．已知函数f(x)＝x－错误!，g(x）＝x2－2ax＋4，若任意x1∈［0，1]，存在x2∈［1,2]，使f(x1)≥g（x2），则实数a的取值范围是__________．提醒:完成作业专题二第3讲二轮专题强化练专题二第3讲导数及其应用A组专题通关1。
第3讲 圆锥曲线的综合问题1．(2014·福建)设P ，Q 分别为圆x 2＋(y －6)2＝2和椭圆x 210＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离是( )A ．5 2 B.46＋ 2 C ．7＋ 2 D ．6 22．(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.1.圆锥曲线的综合问题一般以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，考查范围、最值问题，定点、定值问题，探索性问题.2.试题解答往往要综合应用函数与方程、数形结合、分类讨论等多种思想方法，对计算能力也有较高要求，难度较大.热点一范围、最值问题圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1(2014·北京)已知椭圆C：x2＋2y2＝4.(1)求椭圆C的离心率；(2)设O为原点，若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．思维升华 解决范围问题的常用方法：(1)数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后，数形结合求解．(2)构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解．(3)构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域．跟踪演练1 已知椭圆C 的左，右焦点分别为F 1，F 2，椭圆的离心率为12，且椭圆经过点P (1，32)． (1)求椭圆C 的标准方程；(2)线段PQ 是椭圆过点F 2的弦，且PF 2→＝λF 2Q →，求△PF 1Q 内切圆面积最大时实数λ的值．热点二 定点、定值问题1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2 椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，其左焦点到点P (2,1)的距离为10. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．思维升华 (1)动直线l 过定点问题解法：设动直线方程(斜率存在)为y ＝kx ＋t ，由题设条件将t 用k 表示为t ＝mk ，得y ＝k (x ＋m )，故动直线过定点(－m,0)．(2)动曲线C 过定点问题解法：引入参变量建立曲线C 的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点．跟踪演练2 已知直线l ：y ＝x ＋6，圆O ：x 2＋y 2＝5，椭圆E ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，直线l 被圆O 截得的弦长与椭圆的短轴长相等． (1)求椭圆E 的方程；(2)过圆O 上任意一点P 作椭圆E 的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值．热点三探索性问题1．解析几何中的探索性问题，从类型上看，主要是存在类型的相关题型，解决这类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．2．反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法．例3如图，抛物线C：y2＝2px的焦点为F，抛物线上一定点Q(1,2)．(1)求抛物线C的方程及准线l的方程；(2)过焦点F的直线(不经过Q点)与抛物线交于A，B两点，与准线l交于点M，记QA，QB，QM的斜率分别为k1，k2，k3，问是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3成立，若存在λ，求出λ的值；若不存在，说明理由．思维升华 解决探索性问题的注意事项：存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．(1)当条件和结论不唯一时，要分类讨论．(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．跟踪演练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是22，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 23＝1(a >0)与抛物线C 2：y 2＝2ax 相交于A ，B 两点，且两曲线的焦点F 重合．(1)求C 1，C 2的方程；(2)若过焦点F 的直线l 与椭圆分别交于M ，Q 两点，与抛物线分别交于P ，N 两点，是否存在斜率为k (k ≠0)的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．提醒：完成作业 专题六 第3讲二轮专题强化练专题六第3讲 圆锥曲线的综合问题A 组 专题通关1．(2015·北京西城区期末)若曲线ax 2＋by 2＝1为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ，b 满足( )A ．a 2>b 2B.1a <1b C ．0<a <b D ．0<b <a2．已知椭圆x 24＋y 2b 2＝1(0<b <2)的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若|BF 2|＋|AF 2|的最大值为5，则b 的值是( )A ．1B.2C.32D. 3 3．已知F 为抛物线y 2＝8x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，则||F A |－|FB ||的值为( )A ．42B ．8C ．82D ．164．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2内B ．必在圆x 2＋y 2＝2上C ．必在圆x 2＋y 2＝2外D ．以上三种情形都有可能5．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．86．已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则P A 1→·PF 2→的最小值为_______________________________________________________________．7．已知A (1,2)，B (－1,2)，动点P 满足AP →⊥BP →.若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与动点P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．8．在直线y ＝－2上任取一点Q ，过Q 作抛物线x 2＝4y 的切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 恒过定点________．9．已知抛物线x 2＝2py (p >0)，过点M (0，m )的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，又过A ，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线相交于点P .(1)求证：两条切线的斜率之积为定值；(2)当p ＝m ＝4时，求△P AB 面积的最小值．10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．B组能力提高11．已知直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则a的取值范围为________．12．直线3x－4y＋4＝0与抛物线x2＝4y和圆x2＋(y－1)2＝1从左到右的交点依次为A、B、C、D，则|AB||CD|的值为________．13．已知P 、Q 、M 、N 四点都在以中心为坐标原点，离心率为22，左焦点为F (－1,0)的椭圆C 上，已知PF →与FQ →共线，MF →与FN →共线，PF →·MF →＝0. (1)求椭圆C 的方程；(2)试用直线PQ 的斜率k (k ≠0)表示四边形PMQN 的面积S ，并求S 的最小值．学生用书答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题高考真题体验 1．D[如图所示，设以(0,6)为圆心，以r 为半径的圆的方程为x 2＋(y －6)2＝r 2(r >0)，与椭圆方程x 210＋y 2＝1联立得方程组，消掉x 2得9y 2＋12y ＋r 2－46＝0. 令Δ＝122－4×9(r 2－46)＝0， 解得r 2＝50，即r ＝5 2.由题意易知P ，Q 两点间的最大距离为r ＋2＝62， 故选D.]2．(1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2， 所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0， 则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2)1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－kx 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2 ＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2.热点分类突破例1 解 (1)由题意，得椭圆C 的标准方程为x 24＋y 22＝1，所以a 2＝4，b 2＝2，从而c 2＝a 2－b 2＝2. 因此a ＝2，c ＝ 2.故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝22.(2)设点A ，B 的坐标分别为(t,2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0. 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，解得t ＝－2y 0x 0.又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2 ＝⎝⎛⎭⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2 ＝x 20＋y 20＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2(4－x 20)x 20＋4＝x 202＋8x 20＋4(0<x 20≤4)． 因为x 202＋8x 20≥4(0<x 20≤4)，且当x 20＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8.故线段AB 长度的最小值为2 2.跟踪演练1 解 (1)e ＝c a ＝12，P (1，32)满足1a 2＋(32)2b 2＝1，又a 2＝b 2＋c 2，∴a 2＝4，b 2＝3， ∴椭圆标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)显然直线PQ 不与x 轴重合， 当直线PQ 与x 轴垂直时， |PQ |＝3，|F 1F 2|＝2， 1PFQ S ＝3； 当直线PQ 不与x 轴垂直时，设直线PQ ：y ＝k (x －1)，k ≠0代入椭圆C 的标准方程，整理，得(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2＝0， Δ>0，y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2，y 1·y 2＝－9k 23＋4k 2.1PFQ S ＝12·|F 1F 2|·|y 1－y 2|＝12k 2＋k 4(3＋4k 2)2，令t ＝3＋4k 2，∴t >3，k 2＝t －34，∴1PFQ S ＝3－3(1t ＋13)2＋43，∵0<1t <13，∴1PFQ S ∈(0,3)， ∴当直线PQ 与x 轴垂直时1PFQ S 最大，且最大面积为3. 设△PF 1Q 内切圆半径为r ，则1PFQ S ＝12(|PF 1|＋|QF 1|＋|PQ |)·r ＝4r ≤3. 即r max ＝34，此时直线PQ 与x 轴垂直，△PF 1Q 内切圆面积最大，∴PF 2→＝F 2Q →，∴λ＝1.例2 解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)，由e ＝c a ＝12，得a ＝2c ，∵a 2＝b 2＋c 2，∴b 2＝3c 2， 则椭圆方程变为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又由题意知(2＋c )2＋12＝10， 解得c 2＝1， 故a 2＝4，b 2＝3，即得椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0.则⎩⎨⎧Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k 2.①又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2 ＝3(m 2－4k 2)3＋4k 2.∵椭圆的右顶点为A 2(2,0)，AA 2⊥BA 2， ∴(x 1－2)(x 2－2)＋y 1y 2＝0， ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0，∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0，解得m 1 ＝－2k ，m 2＝－2k 7，由①，得3＋4k 2－m 2>0，②当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾． 当m 2＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎫27，0，且满足②， ∴直线l 过定点，定点坐标为⎝⎛⎭⎫27，0. 跟踪演练2 (1)解 设椭圆的半焦距为c ， 圆心O 到直线l 的距离d ＝61＋1＝3， ∴b ＝5－3＝ 2. 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝33，a 2＝b 2＋c 2，b ＝2，∴a 2＝3，b 2＝2.∴椭圆E 的方程为y 23＋x 22＝1.(2)证明 设点P (x 0，y 0)，过点P 的椭圆E 的切线l 0的方程为y －y 0＝k (x －x 0)，联立直线l 0与椭圆E 的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －x 0)＋y 0，y 23＋x 22＝1，消去y 得(3＋2k 2)x 2＋4k (y 0－kx 0)x ＋2(kx 0－y 0)2－6＝0， ∴Δ＝[4k (y 0－kx 0)]2－4(3＋2k 2)[2(kx 0－y 0)2－6]＝0，整理得，(2－x 20)k 2＋2kx 0y 0－(y 20－3)＝0，设满足题意的椭圆E 的两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－y 20－32－x 20，∵点P 在圆O 上，∴x 20＋y 20＝5，∴k 1·k 2＝－5－x 20－32－x 20＝－1.∴两条切线的斜率之积为常数－1.例3 解 (1)把Q (1,2)代入y 2＝2px ，得2p ＝4， 所以抛物线方程为y 2＝4x ，准线l 的方程为x ＝－1. (2)由条件可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，k ≠0. 由抛物线准线l ：x ＝－1， 可知M (－1，－2k )．又Q (1,2)，所以k 3＝2＋2k1＋1＝k ＋1，即k 3＝k ＋1.把直线AB 的方程y ＝k (x －1)，代入抛物线方程y 2＝4x ，并整理，可得k 2x 2－2(k 2＋2)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，知x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2，x 1x 2＝1.又Q (1,2)，则k 1＝2－y 11－x 1，k 2＝2－y 21－x 2.因为A ，F ，B 共线，所以k AF ＝k BF ＝k ， 即y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝2－y 11－x 1＋2－y 21－x 2＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－2(x 1＋x 2－2)x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝2k －2(2k 2＋4k 2－2)1－2k 2＋4k 2＋1＝2k ＋2，即k 1＋k 2＝2k ＋2.又k 3＝k ＋1，可得k 1＋k 2＝2k 3.即存在常数λ＝2，使得k 1＋k 2＝λk 3成立．跟踪演练3 解 (1)由已知，点C 、D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )， 又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧1－b 2＝－1，c a ＝22，a 2－b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋1，得(2k 2＋1)x 2＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2＋8(2k 2＋1)＞0， 所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1，从而，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝(－2λ－4)k 2＋(－2λ－1)2k 2＋1＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－12k 2＋1－λ－2＝－3，此时OA →·OB →＋λP A →·PB →＝－3为定值．当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ， 此时，OA →·OB →＋λP A →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3. 故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λP A →·PB →为定值－3. 高考押题精练解 (1)因为C 1，C 2的焦点重合， 所以a 2－3＝a2，所以a 2＝4. 又a >0，所以a ＝2.于是椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝4x . (2)假设存在直线l 使得|PN ||MQ |＝2，则可设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，M (x 3，y 3)，N (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，可得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 则x 1＋x 4＝2k 2＋4k 2，x 1x 4＝1，所以|PN |＝1＋k 2· (x 1＋x 4)2－4x 1x 4＝4(1＋k 2)k 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －1)，可得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 则x 2＋x 3＝8k 23＋4k 2，x 2x 3＝4k 2－123＋4k 2，所以|MQ |＝1＋k 2·(x 2＋x 3)2－4x 2x 3＝12(1＋k 2)3＋4k 2.若|PN ||MQ |＝2， 则4(1＋k 2)k 2＝2×12(1＋k 2)3＋4k 2，解得k ＝±62.故存在斜率为k ＝±62的直线l ，使得|PN ||MQ |＝2.二轮专题强化练答案精析第3讲 圆锥曲线的综合问题1．C [由ax 2＋by 2＝1，得x 21a ＋y 21b＝1，因为焦点在x 轴上，所以1a >1b >0，所以0<a <b .]2．D [由椭圆的方程，可知长半轴长a ＝2；由椭圆的定义，可知|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＝8，所以|AB |＝8－(|AF 2|＋|BF 2|)≥3.由椭圆的性质，可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，即2b 2a ＝3，可求得b 2＝3，即b ＝ 3.]3．C [依题意知F (2,0)，所以直线l 的方程为y ＝x －2，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －2，y 2＝8x消去y 得x 2－12x ＋4＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝4，则||AF |－|BF ||＝|(x 1＋2)－(x 2＋2)|＝|x 1－x 2| ＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝144－16＝8 2.] 4．A [∵x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝－ca.∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝b 2a 2＋2c a ＝b 2＋2ac a2. ∵e ＝c a ＝12，∴c ＝12a ，∴b 2＝a 2－c 2＝a 2－⎝⎛⎭⎫12a 2＝34a 2. ∴x 21＋x 22＝34a 2＋2a ×12a a 2＝74<2. ∴P (x 1，x 2)在圆x 2＋y 2＝2内．] 5．C [设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，即y 20＝3－3x 204，又因为F (－1,0)，所以OP →·FP →＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP →∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6.] 6．－2解析 由已知得A 1(－1,0)，F 2(2,0)．设P (x ，y ) (x ≥1)，则P A 1→·PF 2→＝(－1－x ，－y )·(2－x ，－y )＝4x 2－x －5.令f (x )＝4x 2－x －5，则f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以当x ＝1时，函数f (x )取最小值，即P A 1→·PF 2→取最小值，最小值为－2. 7．(1,2)解析 设P (x ，y )，由题设条件，得动点P 的轨迹为(x －1)(x ＋1)＋(y －2)·(y －2)＝0， 即x 2＋(y －2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1为半径的圆．又双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ，即bx ±ay ＝0，由题意，可得2a a 2＋b 2>1，即2ac >1，所以e ＝ca <2，又e >1，故1<e <2.8．(0,2)解析 设Q (t ，－2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，抛物线方程变为y ＝14x 2，则y ′＝12x ，则在点A处的切线方程为y －y 1＝12x 1(x －x 1)，化简得，y ＝12x 1x －y 1，同理，在点B 处的切线方程为y＝12x 2x －y 2.又点Q (t ，－2)的坐标满足这两个方程，代入得：－2＝12x 1t －y 1，－2＝12x 2t －y 2，则说明A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)都满足方程－2＝12xt －y ，即直线AB 的方程为y －2＝12tx ，因此直线AB恒过定点(0,2)．9．(1)证明 依题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＝2py ，得x 2－2pkx －2pm ＝0， 则由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2pm .对抛物线y ＝x 22p 求导，得y ′＝x p， 设两条切线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝x 1p ，k 2＝x 2p， 所以k 1k 2＝x 1p ·x 2p ＝－2pm p 2＝－2m p， 即两条切线的斜率之积为定值－2m p. (2)解 因为p ＝m ＝4，所以抛物线方程为x 2＝8y ，y ′＝x 4，x 1＋x 2＝8k ，x 1x 2＝－32， 则直线P A 的方程为y －x 218＝x 14(x －x 1)， PB 的方程为y －x 228＝x 24(x －x 2)． 将两方程联立，得P 点的坐标为(x 1＋x 22，x 1x 28)，所以P (4k ，－4)． 于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝81＋k 2·k 2＋2，又点P 到直线AB 的距离d ＝4(k 2＋2)1＋k 2， 所以S △P AB ＝16k 2＋2·(k 2＋2)．当k 2＝0，即k ＝0时，所求面积最小为32 2. 10．(1)解 由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22， 得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明 设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2， x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2. 由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)．令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1， 故直线AN 恒过定点(1,0)．11．[1，＋∞)解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，x 2＋(y －a )2＝a ， 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1≥0，解得a ≥1. 12.116解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＋4＝0，x 2＝4y 得x 2－3x －4＝0，∴x A ＝－1，x D ＝4，∴y A ＝14，y D ＝4. 直线3x －4y ＋4＝0恰过抛物线的焦点F (0,1)，∴|AF |＝y A ＋1＝54，|DF |＝y D ＋1＝5， ∴|AB ||CD |＝|AF |－1|DF |－1＝116. 13．解 (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2＝b 2＋c 2，又依题意，知c ＝1，c a ＝22，所以a ＝2，b ＝1.所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)依题意，易知PQ 与MN 垂直于点F .设PQ 的方程为y ＝k (x ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 22＋y 2＝1，消y ， 得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， 所以|PQ |＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2 ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝22(1＋k 2)1＋2k 2. 同理，可得|MN |＝22(1＋1k 2)1＋2k 2＝22(1＋k 2)2＋k 2， 所以四边形PMQN 的面积为S ＝12|PQ |·|MN |＝4(1＋k 2)2(1＋2k 2)(k 2＋2)＝2－2k 22k 4＋5k 2＋2＝2－22k 2＋2k2＋5≥169. 当且仅当k 2＝1时，取等号．所以四边形PMQN 的面积S 的最小值为169.。
