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《多元统计分析》课程教学大纲（Mutilvariate Analysis For Economics）一、课程基本信息1、课程类别：专业限选课2、课程学时：总学时643、学分：34、适用专业：5、大纲执笔者：6、修订时间：2009.10二、课程教学目的多元统计分析引进数理统计的多元分析方法对社会经济现象进行多维度、深层次分析、刻画、综合的方法。
是以统计学方法中的综合指标法为基础，对现象用指标进行描述，然后再考虑指标的引进与删除、指标的抽象与综合、样本的聚类和类间的差异、以及回归模型的建立等问题，可以对经济问题深入剖析，纵向横向对比研究。
本课程在方法的数理推导上不作较高要求，主要弄清方法的原理和基本思路；重点是方法的适应范围、解决问题的实质是什么、各种方法之间的相互关系是什么、各种方法在计算机上怎么实现、特别在SPSS如何操作、输出结果的数学意义是什么、经济上又如何解析。
在掌握上述各基本问题以后，本课程着重培养学生的口头表述能力和书面表达能力，口头上要能针对一个问题，提出解决思路，讲述途径和分析可能性，大致判断最后结果，必需上讲台讲。
多元统计分析是高年级专业课程，要为学生写作毕业论文和参加其它科研创作活动作好准备。
三、课程教学的基本要求第一章多元正态分布学生搜集现象的多指标数据，简单验证大样本情况下绝大部分问题是可用多元正态分布来描述现象的特征的。
第二章多元正态总体均值向量和协差阵的假设检验1．了解几个常见的统计检验量服从的概率分布；2．深刻理解样本统计量和根据显著性水平查表所得值之间的比较与最终接受或拒绝原假设之间的关系；3．学生必需举例说明均值向量检验在实际经济研究中的应用和其已知与未知的意义和存在性分析，理解两总体及多总体均值向量检验的应用意义；4．理解协方差阵检验的应用意义，特别要学会两个检验结合运用。
第三章聚类分析1．理解各种距离和相似系数的意义和其各种定义计算方法下表现出来的数量特征；2．理解R型和Q型聚类的区别和联系；3．深刻理解样本间距离计算与聚类时类间距离的规定之间的关系；掌握八种系统聚类法在实际应用中各自的特点和适应范围；4．选择一个问题，每人写出一篇关于聚类问题分析的小论文，论文在5000字左右，要求有问题的提出、指标选择和数据收集，聚类分析结论等四个部分。
《多元统计分析》5.5 若干补充及主成分应用中需注意的问题一、主成分的保留个数应保留多少个主成分要视具体情况，很难一概而论，最终一般还得依赖于主观判断。
单从保留信息量的角度通常有以下几种选择主成分个数的方法：(1)保留的前几个主成分能使其累计贡献率达到一个较高的比例，具体需看随着主成分个数的增加累计贡献率的相应变化而主观判断确定，这是我们最为推荐的方法。
(2)当从S （或）出发求主成分时，有一个经验规则是只保留特征值大于其平均值（或1）的主成分。
这是一个粗略的经验规则，只宜作为选择主成分个数的初步参考。
(3)一种能够帮助我们确定主成分个数的视觉工具，即所谓的陡坡图（或碎石图）。
ˆR 11p i i p λ=∑上一讲的例2：如果我们需要对主成分进行解释，则选用多少个主成分就还需考虑所选主上一讲的例3：成分是否都能作出成功的解释，有时可能会为此降低了点累计贡献率。
如果不需要对主成分作出解释（此时的主成分得分通常只是作为进入下一阶段分析的输入数据，即主成分仅是整个分析的中间结果），则主成分个数的选择一般更倾向于保持一个足够高的累计贡献率，除非需要画平面散点图。
取多少个主成分有时也要视作图或排序的需要而定。
当取三个和四个主成分都可行时，选取三个有一大好处，就是可以利用三维旋转图对所有样品的三个主成分得分进行直观的比较分析。
当取两个和三个主成分都可行时，选取两个的主要好处是，平面散点图可以比三维旋转图观测得更为清楚和方便，且可打印输出，降低主观性。
当取一个和两个主成分都可行时，取一个的优点是可以对各样品进行综合排序（如果这种排序是有实际意义的），取两个的优点是可以画散点图及保留更多的信息。
如果我们对样品的排序不感兴趣，则一般应考虑取两个主成分，哪怕第二主成分的贡献率明显偏低些，因为取一个主成分不利于作图。
此外，通过对前两个（或三个）主成分的作图，除可用于聚类外，还可有助于从直觉上发现异常值、评估正态性以及进行其他的探索性分析等。
主成分分析和聚类分析的比较摘要：主成分分析和聚类分析方多元统计中两种重要的分析方法，但却容易在使用中混淆。
本文从基本思想，应用的优缺点、应用实例中讨论两者的异同，并简述两种方法在实际问题中的应用。
关键词：主成分分析；聚类分析一、引言主成分分析是利用降维的思想，在缺失很少信息的前提下，把多个指标转化为几个综合指标的多元统计方法。
通常把转化生成的综合指标称为主成分，其中每个主成分都是原始变量的线性组合，且各个主成分之间互不相关，使得主成分比原始变量具有某些更优越的性能。
聚类分析是依据实验数据本身所具有的定性或定量的特征来对大量的数据进行分组归类以了解数据集的内在结构，并且对每一个数据集进行描述的过程。
其主要依据是聚到同一个数据集的样本应该性质相似，而属于不同组的样本应该足够不相似。
两种方法既有区别又有联系，本文将两者的异同进行比较，并举例说明两者在实际应用中的联系，以便更好地理解这两种统计方法而为实际所应用。
二、基本思想的异同相同点：主成分分析方法是用少数的几个变量来综合反映原始变量的主要信息，变量虽然较原始变量少，但所包含的信息量却占原始信息的85%以上，因此其可信度很高。
通过主成分分析，可以将事物之间错综复杂的关系中找出一些主要成分，从而能有效利用大量统计数据进行定量分析，解释变量之间的内在关系。
因此主成分变量比原始变量少了很多，从而起到了降维的作用。
聚类分析的基本思想是采用多变量的统计值，定量的确定相互之间的亲疏关系，考虑对象多因素的联系和主导作用。
按它们亲疏差异程度，归类不同的分类中的一元。
使分类更具有客观实际并能反映事物的内在必然联系。
聚类分析是通过一种大的对称矩阵来探索相关关系的一种数学分析方法。
对变量分类后，我们对数据的处理难度也降低，所以从某种意义上说，聚类分析也起到了降维的作用。
不同点：主成分分析是研究如何通过原来变量的少数几个变量组合来解释原来变量绝大多数信息的一种多元统计方法。
统计学中的多元统计分析方法多元统计分析是统计学的一个重要分支，用于处理多个变量之间的关系和相互作用。
它提供了一种全面理解和解释数据的方式，使我们能够更好地理解现象和预测未来趋势。
在本文中，我们将介绍几种常见的多元统计分析方法，并讨论它们的应用场景和计算步骤。
一、主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）主成分分析是一种无监督学习方法，用于降低数据维度并发现主要成分。
其目标是通过线性变换将高维数据转化为低维表示，以便更好地解释数据的方差。
主成分分析通过计算特征值和特征向量来确定主要成分，并将数据投影到这些主成分上。
主成分分析常用于数据降维和可视化。
二、因子分析（Factor Analysis）因子分析是一种用于统计数据降维和变量关系分析的方法。
它通过将一组观测变量解释为一组潜在因子来发现数据背后的结构。
因子分析可以帮助我们理解变量之间的相关性，发现潜在的构成因素，并将多个变量归纳为更少的几个因子。
因子分析在市场研究、心理学和社会科学等领域得到广泛应用。
三、判别分析（Discriminant Analysis）判别分析是一种监督学习方法，用于寻找最佳分类边界，并将数据点分配到不同的类别中。
判别分析通过计算组间方差和组内方差来确定最优的分类边界。
它常用于模式识别、生物医学和金融领域等。
通过判别分析，我们可以了解变量对于区分不同类别的贡献程度，并进行有效的样本分类。
四、聚类分析（Cluster Analysis）聚类分析是一种无监督学习方法，用于将相似的数据点组合成不同的类别或群集。
聚类分析通过度量数据点之间的相似性来揭示数据的内在结构。
常见的聚类方法包括K均值聚类和层次聚类。
聚类分析在市场细分、图像分析和生物学分类等领域具有重要应用。
五、回归分析（Regression Analysis）回归分析是一种用于建立变量之间关系模型的方法。
它通过拟合一个数学模型来预测一个或多个自变量对应因变量的值。
第5章主成分分析与经验正交分解5.1主成分分析数学模型当存在若干个随机变量时，寻求它们的少量线性组合（即主成分），用以解释这些随机 变量，是很必要的。
首先我们看一个例子。
例5.1 为了调查学生的身材状况，可以测量他们的身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )。
可是用这4个指标表达学生身材状况不方便。
但若用1y =3.63561x +3.32422x +2.47703x +2.16504x表示学生身体魁梧程度;用2y =-3.97392x +1.35821x +3.73233x -1.57294x表示学生胖瘦程度。
则这两个指标(1y ,2y )很好概括了4个指标（1x -4x ）。
例5.1中，学生不同，身高(1x )、体重(2x )、胸围(3x )和坐高(4x )不同；（1x , 2x , 3x , 4x ）是4维随机向量；1y ,2y 是他们的2个线性组合，1y ,2y 能很好表示1x , 2x , 3x , 4x 的特性。
类似的问题在许多地方出现：可观测的随机变量很多,需要选出所有所有随机变量的少数线性组合，使之尽可能刻划全部随机变量的特性，选出的线性组合就是诸多随机变量的主成分，又称为主分量。
寻求随机向量主成分，并加以解释，称为主成分分析，又称为主分量分析。
主成分分析在许多学科中都有应用，细节可参看张尧廷（1991）、Richard(2003),主成分分析在气象等科学中称为PCA 方法，见吴洪宝（2005）。
主成分分析的数学模型是：对于随机向量X ，想选一些常数向量i c ，用X c i '尽可能多反映随机向量X 的主要信息。
也即)'(X c D i 尽量大。
但是i c 的模可以无限增大，从而使)'(X c D i 无限变大，这是我们不希望的；于是限定i c 模的大小，而改变i c 各分量的比例，使)'(X c D i 最大；通常取i c 的模为1最方便。
多元统计分析主成分分析一.主成分分析概念主成分分析是指通过考察变量间的相关性，找到少数几个主成分代表多个变量的一种多元统计方法。
主成分分析是通过考察变量之间的相关性找到少数几个主成分来代表原来大多数的变量，同时使它们尽可能保留原始变量的信息。
这些主成分之间彼此不相关，数量远远少于原始变量的个数，从而达到降维的目的（两个变量存在着相关关系，这意味着两个变量提供的信息有重叠，如果把两个变量用一个新变量来表示，同时这一新变量又尽可能包含原来的两个变量的信息，这就是降维的过程）。
如果想把现有的变量变成少数几个新的变量（新的变量几乎带有原来所有变量的信息）来进入后续的分析，可以使用主成分分析。
二.怎样选取主成分？载荷：各主成分和原来变量的线性相关系数。
系数越大说明主成分对该变量的代表性越强。
统计上降维的处理过程是将原始的变量进行线性组合作为新的变量（主成分），原来有多少变量就有多少主成分。
我们不能选择所有的主成分这样达不到降维的目的，选择的标准是所选择的主成分所代表的主轴长度之和应该占主轴总长度之和的大部分。
所选的第一个主成分应该是主轴最长的（方差最大的，主成分所代表的原始变量的信息用方差来表示），如果第一个主成分不足以代表原来变量的信息在考虑第二个。
主成分之间互不相关且方差递减。
标准：1.选择的主成分的方差之和占全部方差的80%以上即可；2.此外还可以考虑特征根的大小，如果特征根小于1，就不再选作主成分了，因为该主成分的解释力度还不如直接用原始变量的解释力度大；3.碎石图，从碎石图中我们可以看出主轴长度（特征根）的变化趋势，一般情况下，选择碎石图中主轴变化趋势出现拐点的前几个主成分作为原始变量的代表。
原始变量之间相关程度越高降维的效果越好，所选着的主成分也就越少。
如果原始变量之间不怎么相关不如用它们本身。
三.主成分建模的步骤特征根：又称方差，反应主成分对原始变量影响程度的一个量，表示引入改主成分后可以在多大程度上解释原始变量的信息。
多元统计分析公式主成分分析判别分析多元统计分析是一种通过收集和分析多个变量之间相互作用关系来帮助我们理解、解释和预测数据的方法。
其中，主成分分析和判别分析是常用的多元统计分析方法。
本文将对这两种方法的公式和应用进行介绍。
一、主成分分析主成分分析（Principal Component Analysis，简称PCA）是一种通过线性变换将一组可能存在相关性的变量转化为一组线性无关的新变量的方法。
它的基本思想是通过将原始变量进行线性组合来构建主成分，这些主成分能够解释原始数据中大部分的方差。
主成分分析的公式如下：X = A * T其中，X是原始数据矩阵，A是变量相关系数矩阵，T是主成分得分矩阵。
主成分分析的步骤如下：1. 标准化数据：将原始数据标准化，确保各个变量具有相同的尺度。
2. 计算相关系数矩阵：计算标准化后的数据的相关系数矩阵A。
3. 计算特征值和特征向量：对相关系数矩阵进行特征值分解，得到特征值和对应的特征向量。
4. 选择主成分：根据特征值的大小选择前n个主成分。
5. 计算主成分得分：将原始数据投影到所选的主成分上，得到主成分得分矩阵T。
主成分分析的应用十分广泛，常用于降维、数据可视化、变量选择等领域。
例如，在社会科学研究中，可以将大量的社会经济指标通过主成分分析进行降维，从而更好地理解社会现象。
二、判别分析判别分析（Discriminant Analysis）是一种帮助我们根据已知类别数据预测未知类别数据的方法。
判别分析通过寻找最佳投影方向，将不同类别的样本在投影后最大程度地分离开来，从而提高分类的准确性。
判别分析的公式如下：D = W * X其中，D是判别得分，W是权重系数，X是原始数据。
判别分析的步骤如下：1. 计算类内散度矩阵和类间散度矩阵：分别计算各个类别的散度矩阵。
2. 计算广义特征值和广义特征向量：对类内散度矩阵和类间散度矩阵进行广义特征值分解，得到广义特征值和对应的广义特征向量。
