当前位置：文档之家 › 上海交通大学大学概率论与数理统计教学PPT15

上海交通大学大学概率论与数理统计教学PPT15

  • 格式：ppt
  • 大小：1.66 MB
  • 文档页数：39

下载文档原格式

  / 39

合集下载

概率论与数理统计课件ppt

概率论与数理统计课件ppt
简化数据结构，解释变量间的关系。
操作步骤
计算相关系数矩阵、求特征值和特征 向量、确定主成分个数。
实例
分析消费者对不同品牌手机的偏好。
聚类分析
聚类分析
常见方法
目的
实例
将类似的对象归为同一 组，即“簇”，不同簇
的对象尽可能不同。
层次聚类、K均值聚类、 DBSCAN等。
揭示数据的内在结构， 用于分类、猜测和决策
用数学符号表示一个随机实验的结果 。
随机变量可以取到任何实数值，且取 每个结果的概率为一个确定的函数。
离散型随机变量
随机变量可以取到所有可能的结果， 且取每个结果的概率为一个确定的数 。
随机变量的函数变换
线性变换
对于随机变量X和常数a、b，有 aX+b的散布与X的散布不同。
非线性变换
对于随机变量X和函数g(x)，g(X)的散 布与X的散布不同。
置信区间
根据样本数据对总体参数进行估计的一个范围，表示我们对 估计的可靠程度。
假设检验与置信水平
假设检验
通过样本数据对总体参数或散布进行 假设，然后根据检验结果判断假设是 否成立。
置信水平
假设检验中，我们相信结论正确的概 率，通常表示为百分比。
05 数理统计的应用
方差分析
方差分析（ANOVA）
随机进程在通讯、气象、物理等领域有广泛应用。
马尔科夫链蒙特卡洛方法
01
马尔科夫链蒙特卡洛方法是一种 基于蒙特卡洛模拟的统计推断方 法，通过构造一个马尔科夫链来 到达近似求解复杂问题的目的。
02
马尔科夫链蒙特卡洛方法在许多 领域都有应用，如物理学、化学 、经济学等。
04 数理统计基础
样本与样本空间

《概率论与数理统计》高教版PPT

《概率论与数理统计》高教版PPT

P(A) = A中样本点的个数 / 样本点总数
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第35页
注 意
• 抛一枚硬币三次 抛三枚硬币一次
• Ω1={(正正正), (反正正), (正反正), (正正反),
(正反反), (反正反), (反反正), (反反反)}
此样本空间中的样本点等可能. • Ω2={(三正), (二正一反), (二反一正), (三反)} 此样本空间中的样本点不等可能.
第一章 随机事件与概率
第30页
注 意
求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第31页
加法原理
完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方 法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类 途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+…+mn种 不同的方法.
事件运算的图示
AB
AB
AB
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
第16页
德莫根公式
A B A B;
A B A B
A A;
i 1 i i 1 i
n
n
A A
i 1 i i 1
n
n
i
30 July 2013
华东师范大学
第一章 随机事件与概率
六根草，头两两相接、 尾两两相接。求成环的概率.
解：用乘法原则直接计算
所求概率为
6 4 4 2 2 1 8 6 5 4 3 2 1 15

概率论与数理统计 第二章1

概率论与数理统计 第二章1
College of Science
理学院
概率论与数理统计
定义若随机变量 的可能取值是有限个 可列个, 有限个或 定义若随机变量 X 的可能取值是有限个或可列个 则称 X 为离散型随机变量
为了研究离散型随机变量的统计规律性， 为了研究离散型随机变量的统计规律性，给出分布律的概念 是一个离散型随机变量， 的所有可能取值为 的所有可能取值为x 定义 设X=X(ω)是一个离散型随机变量，X的所有可能取值为 1， ω 是一个离散型随机变量 x2，…，xn，…，称X取值为 i时的概率 取值为x ， ， 取值为
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology
College of Science
理学院
概率论与数理统计
是随机变量， −∞， ， 定义 设X是随机变量，对于任意实数 ∈(−∞，∞)，称函数 是随机变量 对于任意实数x∈ −∞ F(x)=P{X≤x } ≤ 为X的分布函数 的 分布函数有下列性质： 分布函数有下列性质： 1、F(x)单调不减，即任意 1<x2，则F(x1) ≤ F(x2)； 单调不减， 、 单调不减 即任意x ； 2、F(x)非负 且不超过1， 2、F(x)非负，且不超过1，即0≤F(x) ≤1； 非负， 1； ≤
P( X = xk ) = pk , k =1 2,⋯ ,
为X的分布律。 的分布律。 分布律也可以用表格形式表示： 分布律也可以用表格形式表示：
X P
x1
p1
x2 ⋯ xk ⋯
p2 ⋯ pk ⋯
上海理工大学
University of Shanghai for Science and Technology

上海交通大学概率论与数理统计习题全解

上海交通大学概率论与数理统计习题全解
P A P AB P AC P ABC 0.45 0.1 0.08 0.03 30%。
(2) 因 为 P ABC P ABC P AB ， 故 所 求 P ABC P AB P ABC
0.1 0.03 7% 。
(3)类似(1)计算可得， P ABC 0.23, P ABC 0.2 ，故所求 P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC
解：(1) ABC 表示非平装的中文数学书； (2)若 C B ，则说明非平装图书都是中文图书； (3) A B A B ，即所有数学书都不是中文版的。
证：(1) A B AB, A A B A A B A A B AA AB AB AB ，
所以 A B A A B 。
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
习题 1
解：(1) 1,2,3 ； (2) 2,3, 4,5,6,7,8,9,10,11,12；
(3) n n为自然数； (4) 1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5；
(5) 合格,合格,合格,不合格,不合格,不合格； (6) t1,t2 t1 9, t2 19 ；
2
概率。 解：
上海交通大学《概率论与数理统计(第二版)》习题全解
设两艘船的到达时刻为 x, y ，则 0 x, y 24 ，两船相会的条件为 0 x y 1，
0 y x 2 。如图，由几何概率知，所求概率为
1 232 1 222
22 242
0.879 。
3. 两人约好在某地相会，两人随机地在下午 1 点与 2 点之间到达相会地点，求
PBi 0.51,0.49, P A Bi 0.05, 0.025 。
2

上海交通大学概率统计课件独立事件

上海交通大学概率统计课件独立事件
21
P(B A1 A2 )

P(B)P( A1A2 B)
P(B)P( A1A2 B) P(B)P( A1A2 B)

P(B)P(A1 B)P(A2 B)
P(B)P(A1 B)P(A2 B) P(B)P(A1 B)P(A2 B)

0.005 0.952
0.6446
0.005 0.952 0.995 0.052
是指下面的关系式同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
P( AC) P( A)P(C)
(1)
P(BC) P(B)P(C)
P(ABC) P(A)P(B)P(C) (2)
注：1) 关系式(1) (2)不能互相推出
2)仅满足(1)式时,称 A, B, C 两两独立
A, B, C 相互独立
本例说明 不能由 A, B, C 两两独立 A, B, C 相互独立 8
定义 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立 是指下面的关系式同时成立
P(Ai Aj ) P(Ai )P(Aj ), 1 i j n P(Ai Aj Ak ) P(Ai )P(Aj )P(Ak ), 1 i j k n
P(A)P(B) P(C) P(BC)
P(A)P(B C)
10
命题
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立,将这 n 个事件任意分成 k 组,同一个事件不能 同时属于两个不同的组,则对每组的事件 进行求和、积、差、对立等运算所得到 的 k 个事件也相互独立.
11
解 古典概型
设 B 表示4个球中恰有2个白球
首先将球编号
n 54
nB C42 3222

概率论与数理统计_15_均匀分布

概率论与数理统计_15_均匀分布

这时，可以认为随机变量 X 在区间a， b上取值是等可能的．
P{c X c l}

c l c
c l
c
f ( x)dx
X a l 0 l X b x
1 l dx . ba ba
均匀分布的累积分布函数（CDF）
若随机变量 X 服从区间
a ， b 上的均匀分布，
1 y2 x 1 y2 其它
即当 1 y 1 时，X 在 Y y下的条件分布是区间

1 y2 ,
1 y 2 上的均匀分布．

均匀分布的期望与方差
1 /( b a ), a x b f ( x) 。 0, 其它

EX


1 ab xf ( x )dx x dx ba 2
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
练习3解答
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
上的均匀分布，试求条件密度函数 f X Y x y ．
解：
二维随机变量 X ， Y 的联合密度函数为 1 f x， y p 0 x y 1
2
则
P A P 4 4 4 2 0
2


P 1或 2 1 6 1 1 dx dx 9 9 3 2 2 4 2 9 9 3
P 1 2 0
练习3
2 2 X Y 设二维随机变量 ， 服从圆域：x y 1
1 y 1 其它
y
x2 y2 1
x
由此得，当 1 y 1时，fY y > 0
练习3解答（续2）

概率论与数理统计-上海交通大学数学系

第三章 多维随机变量及其概率分布 教学内容：
1. 二维随机变量及其概率分布 。 2. 二维离散型随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布。 3. 二维连续型随机变量的联合概率密度、边缘密度和条件密度，常用二维随机变量的概
率分布。 4. 随机变量的独立性和相关性。 5. 两个随机变量函数的分布。 教学要求： 1. 理解二维随机变量的概念、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及两种基本形
Lindberg）定理。 教学要求：
1. 了解切比雪夫大数定律、伯努利大数定律和辛钦大数定律（独立同分布随机变量的大 数定律）。
2. 了解棣莫弗－拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）和列维－林德伯格定 理（独立同分布的中心极限定理）。
本章的重点是：会用契比雪夫不等式估计有关事件的概率。领会大数定律的实质。 掌握用中心极限定理计算概率的近似值的方法。
式： 2. 理解离散型联合概率分布，边缘分布和条件分布；连续型随机变量的联合概率密度、
边缘密度和条件密度。 3. 会利用二维概率分布求有关事件的概率。 4. 理解随机变量的独立性概念，掌握离散型和连续型随机变量独立的条件。 5. 掌握二维均匀分布，了解二维正态分布的联合概率密度，理解其中参数的意义。 6. 会求两个随机变量的简单函数的分布。
教学要求： 1. 理解随机变量及其概率分布的概念；理解分布函数的概念及性质；会计算与随机变量 相联系的事件的概率。 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握 0－1 分布、二项分布、超几何分布、 泊松（Poisson）分布及其应用。 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布。
4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布 N(μ，σ 2 )、

概率论与数理统计课件最新完整版


时间序列分析是一种统计学方法，用于分析和预测时间序列数据。随机过程在时间序列分析中用于描述数据随时间变化的随机性质。
随机过程在时间序列分析中用于建模和预测时间序列数据。通过使用随机过程，可以描述数据在不同时间点的变化和相关性，并基于历史数据预测未来的发展趋势。
THANK YOU
概率论与数理统计课件最新完整版
概率论基础数理统计初步概率论的应用数理统计的应用概率论与数理统计的交叉应用
01
概率论基础
概率是描述随机事件发生可能性大小的数值，通常用P表示。概率的取值范围在0到1之间，其中0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。
概率的定义
概率具有可加性、可减性和有限可加性。可加性是指互斥事件的概率之和等于该事件的总概率；可减性是指对立事件的概率之和等于1；有限可加性是指任意有限个两两互斥事件的概率之和等于这些事件的总概率。
02
统计决策理论的基本思想是通过建立概率模型来描述不确定性，然后利用这些模型进行决策分析。
03
在统计决策理论中，常用的方法包括贝叶斯分析、假设检验和置信区间估计等。
04
统计决策理论在经济学、金融学、管理学等领域有广泛的应用，例如风险评估、投资组合优化和市场营销策略等。
01
试验设计涉及到如何选择合适的实验方法、如何分配实验对象、如何控制实验条件等问题。
03
概率论的应用
贝叶斯推断是一种基于概率的推理方法，它通过将先验知识与新获取的数据相结合，对未知参数进行估计和预测。
通过将先验概率分布和似然函数结合，可以得到后验概率分布，从而对未知参数进行推断。
在贝叶斯推断中，先验概率分布反映了在获取新数据之前对未知参数的认知，而似然函数则描述了数据与未知参数之间的关系。

上海交通大学大学概率论与数理统计教学PPT19

ˆ (X , X , 1 1 2 , X n ),
与置信上限,
1 - 称为置信水平或. 置信度
几点说明:
ch7-75
ˆ ˆ 反映了估计的精度 置信区间的长度 2 1 ˆ ˆ 越小, 估计的精度越高. 2 1
反映了估计的可靠程度, 越小, 越可靠.
越小, 1- 越大, 估计的可靠程度越高, ˆ ˆ 往往增大,因而估计的精度降低 但这时, 2 1 确定后, 置信区间的选取方法常不唯一 ,
, X n 是一个样本
是一给定的数, 0 < < 1
若能找到两个统计量
ˆ (X , X , , X ) 2 1 2 n ˆ ˆ ) 1 使得 P ( 1 2 ˆ , ˆ )为参数 的置信度为 则称随机区间 ( 1 2 ˆ , ˆ 为置信下限 分别称 1 - 的置信区间, 1 2
( X1 , X 2 , 使得 P ( ) 1
, Xn )
例 已知灯泡的寿命X 服从正态分布, 从灯泡中随机
地抽取5只作寿命试验, 测得寿命(以小时记)为
1050 , 1100 , 1120 , 1250 , 1280
ch7-96
求灯泡寿命均值的置信度为0.95的单侧置信下限
(5)
2 0975
由给定数据算得
6 1 s 2 ( xi2 6 x 2 ) 0.051 5 i 1
则 2 的置信区间为
5s2 5s2 ( 2 , 2 ) 0.025 (5) 0.975 (5) (0.0199, 0.3069)
ch7-86
(二) 两个正态总体的情形 设X ~ N ( 1 12)
2
n )

大学概率论与数理统计第一章(2)-56页PPT资料


练习
等可能概型
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”，
B= “ 取到的两只球颜色相同 ”，
C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
42
4222
P(A) 62 0.444 P(B) 62 0.556
22 P(C)1P(C)1620.889
例(会面问题) 两人约定在早上8点至9点在某地会
面，先到者等15分钟离去。假定每人在1小时的任 何时刻到达都是等可能的，求两人会面的概率。
解：设两人的到达时刻分别为x和y,则
0 x 6,0 0 y 60
两人能会面的充要条件是
xy 15
如图，问题转化为平面区域：
{x ( ,y)0x 6,0 0 y 6}0
n! n 1 !.... n m !
4 随机取数问题
例4 从1到200这200个自然数中任取一个,
(1)求取到的数能被6整除的概率 (2)求取到的数能被8整除的概率 (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率
解:N(S)=200, N(1)=[200/6]=33,
N(2)=[200/8]=25
频率的性质
(1) 0 fn(A) 1； (2) fn(S)＝1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB＝ ，则
fn(AB)＝ fn(A) ＋fn(B).
实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，即可将 P(A)作为事件A的概率
四. 概率的公理化定义（数学定义）
练习
等可能概型
例 2 一口袋装有6只球,其中4只白球、2只红球。从 袋中取球两次，每次随机的取一只。考虑两种取球方 式：
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

p( X (1) 2) P (
3 统计中几个常用的分布
(上侧) 分位数的概念 设X 为连续型随机变量,其概率密度函数为f ( x ) 为给定常数, 0 < <1 若 则称 x 为X 所服从的分布的上 分位数. 如果 X 的概率密度函数为偶函数,则对于满足
P ( X x )
E( X k ) k
1 n k P M k X i k n i 1
即
0 1 n k lim P X i k 0 n n i 1 k 1,2,
注2
样本方差S 2与样本的二阶中心矩CM2的区别
注3
(X
i 1
解 p( X (1) 0) P (
1
X 1 , X 2 , X 3 中一个为零全体)
2
p( X (1) 1) P ( X , X
P( P(
19 27
, X 3 全为1全体)
X1 , X 2 , X 3
7 两个为1一个为2的全体) 27 1 全为2） 27
X 1 , X 2 , X 3 一个为1两个为2的全体) X1 , X 2 , X 3
0
t x 1e t dt
0.4
n=2
0.3
n=3
0.2 0.1
n=5
n = 10 n = 15
5
10
15
20
25
2 ( n) 分布的性质:
1 E 2 ( n ) n, D 2 ( n ) 2 n
2 2 X ~ ( n ), X ~ ( n2 ), 且相互独立 2. 若 1 1 2
N ( i , 2i )
特别地, 若 X1 , X 2 ,
, X n 相互独立,且
X i ~ N ( , 2 ) i = 1,2,, n,
则
2 1 n Xi ~ N , n i 1 n
标准正态分布的上 分位数 z
0.4 0.3 0.2 0.1
0 < < 1/2 的 ,
若
P ( X x / 2 )
则称 x /2 为X 所服从的分布的双侧 分位数
0.4 0.3 0.2 0.1

1
-2
-1 0.4 0.3
z• 2
/2
-2
0.2 0.1
/2
1 2 z• / 2
• -1 -z / 2
下面介绍抽样分布，何为抽样分布? 为何需知道抽样分布？
, X n ) 取值为 ( x1 , x2 ,
,n
x
* n
当 ( X1 , X 2 ,
, x n ) 时,
* 定义随机变量 X ( k ) xk , k 1, 2,
则称统计量 X (1) , X ( 2) ,
1 k n
, X ( n ) 为顺序统计量.
1 k n
其中,X (1) min{ X k }, X ( n ) max{ X k } 称 Dn X ( n ) X (1) 为极差
样本—— 从总体中抽取部分个体，称为样本. 若抽取了 n 个个体,依次对他们进行观察 得到n个数据, x1 , x2 , , xn , 称 这个n 维实向量 为总体 X 的一个容量为n 的样本观测值,或 简称样本值. 可以将它们看作是n维随机向量
( X1 , X 2 , , X n )
的一组可能的取值, 称 ( X 1 , X 2 ,
则 X 1＋X 2 ~ 2 ( n1＋n2 )
2 (n) 的可加性
3. 当n 时，2(n) 正态分布 N(n,2n) 4. 2(n)的上侧 分位数可查表
0.1
例如
0.08

P (10) 18.307 0.05
2
2 0.05
(10) 18.307
0.06 0.04 0.02 5 10
n
, X n 相互独立
且都服从标准正态分布N (0,1),则
2 2 X ~ ( n) i i 1
自由度为 n 的 密度函数为:
( n)
2
其中，
x n 1 2 1 2 e x , n n 2 2 ( 2) f ( x) 0,
x0 x0
( x )
, Xn )
n
的联合概率密度函数为
f ( x1 , x2 ,, xn ) f ( xi )
i 1
2 统计量 定义 设( X 1 , X 2 ,
g ( r1 , r2 ,
, X n ) 是取自总体X 的一个样本,
, rn )
为一实值连续函数,且不含有未知参数, 则称随机变量 g ( X 1 , X 2 , , X n ) 为统计量. 若 ( x1 , x2 , , xn ) 是一个样本值, 称
, X 50 ) , X 50 )
的分布密度函数 的样本空间
解(1) E ( X ) E ( X ) x x dx 0 1
1 D ( X ) E ( X ) x x dx 1 2 1 1 D( X ) D( X ) 50 100
2 1 2
1
1 (2) E ( S ) D( X ) E ( X ) 2
n = 10
• 20 15 (10) 20.05
(3) t 分布(Student 分布)
定义: 设 X ~ N (0,1) , Y ~ 2 ( n), X , Y 相互独立,
X T Y n
则T 所服从的分布称为自由度为 n 的T 分布 记 T～T (n). 其密度函数为
n1 n1 2 2 t 2 f (t ) 1 n n n 2


2
为样本方差
与D(X)的区别
S
1 n Xi X n 1 i 1


2
为样本标准差，
与总体标准差的区别
1 n k (3) M k X i n i 1
1 n (4) CM k X i X n i 1
为样本的k 阶原点矩
与总体k 阶原点矩 E(Xk) 的区别

数理统计的分类：
描述统计学
研究对随机现象进行观测、试验，以取得 有代表性的观测值
推断统计学
对已取得的观测值进行整理、分析，作 出推断、决策，推断出所研究的对象的规律性
参数估计
假设检验
推断统计学 方差分析 回归分析
1
总体和样本
总体: 所研究的对象的全体
所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体, 它是一个随机变量(或多维随机变量). 若为一个随机变量,可记为X . 主要讨论一维 随机变量的情形 .例如, 某钢铁厂生产的钢锭的 强度. X 的分布函数和数字特征称为总体的分布 函数和数字特征 个体 组成总体的每一个元素称为一个 个体, 即总体的每个数量指标, 可以看作随机变量 X 的某个取值.

1
-2
-1
z
•2
常用的分位数
z0.05 1.645 z0.025 1.96 z0.005 2.575
0.4 0.3
/2
-2
0.2 0.1
/2
1
-z/2
-1
•
z / 2
•2
-z/2 = z1-/2
(2) ( n) 分布 (n为自由度)
2
定义: 设 X 1 , X 2 ,


n 2 1 2 2 1 2 2 E X i nE X E( S ) E X i nX n 1 i 1 n 1 i 1 n


1 n 2 2 D( X ) E X n D( X ) E X 2 n 1 i 1
故
(CM )2 M 2 X
2
2 n n S (M2 X ) (CM )2 n1 n1
重要结论 设总体 X 的期望与方差存在, E ( X ) , D( X ) 2
n 1 则 E X E n Xi i 1 1 n 1 2 1 n D X D Xi 2 D Xi n n i 1 n i 1
2 2
(3)
1 X ~ N (0, ) 100
(近似),由中心极限定理
P ( X 0.02) 1 P ( X 0.02) 0.02 0 21 0.1 2 1 Φ 0.2 0.8414
(4)
f ( x1 , x2 ,
若 ( x1 , x2 , , xn )为样本值,则上述统计量 的样本值为
1 n x xi n i 1
n 1 s2 xi x n 1 i 1 1 n k mk xi n i 1


k
2
1 n cmk xi x n i 1


注1 若总体 X 的 k 阶矩 存在, 则
t
0.4 0.3 0.2 0.1
n= 1
n=20
-3 -2 -1 1 2 3
T分布的图形(红色的是标准正态分布)
n i 1
n
i
2 i
X ) (Xi 2Xi X X )
2 2 2 i 1
n n 2 i 1 i 1
n
X 2X Xi X
X 2n X n X
i 1 2 i 2
n
2
X nX
i 1 2 i
n
2
n( M 2 X )
2
2
50 x , x50 ) i 1 i 0