第五章 电磁波的辐射

不存在纵场分量
亦是说
v v v BL , 则B = BT
代入上面麦氏方程组
v v ∂B 1> ∇ × E = − ∂t v v v v v v ∂BT ∇ × ( E L + E T ) = ∇ × E L + ∇ × E T = ∇ × ET = − ∂t v ρ v v v v v 2> ∇ ⋅ E = ∇ ⋅ ( E L + ET ) = ∇ ⋅ E L + ∇ ⋅ ET = ∇ ⋅ E L = ρ
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第五章
电磁波的辐射
1. 若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分
写出 E 和
v
v B 的这两部分在真空所满足的方程式 并证明电场的无旋部分对应于库仑场
解 在真空中的麦克斯韦方程组是
v v v v v ∂B ∂E ∇× E = − ∇ × B = µ0 J + ε 0 µ0 ∂t ∂t v v ∇ ⋅ E = ρ ,∇ ⋅ B = 0
v
证明 k ⋅ a k = 0
v v
v
v
v
v*
v v
∑ [a
k
v
k
vv vv v* (t )e ik ⋅ x + a k (t )e − ik ⋅ x ]
∴ 根据傅立叶级数得正交性 必有 vv v v v v a k (t ) = ∫ A( x , t )e ik ⋅ x dx v v v v d 2 a k (t ) ∂ 2 A( x , t ) ikv⋅ x ∴ =∫ e dx 2 2 dt ∂t
可见 如果令 kA0 = B0 , ωA0 = E 0 表达式 1 2
1
2 可表示的波正是符合条件的平面波
所以命题得证 4. 设真空中矢势 A( x , t ) 可用复数傅立叶展开为 A( x , t ) =
v v
v v
∑ [a
k
k
* (t )e ik ⋅ x + a k (t )e −ik ⋅ x ] ,其中
v
v
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电磁波的辐射
如果取 ϕ = 0
有
v v B = ∇× A v v ∂A E=− ∂t
代入方程
v v ∂D ∇× H = ∂t v ∇⋅D = 0
有
v v ∂D 1> ∇ × H = ∂t
v v ∂E ∇ × B = εµ ∂t
v v ∂ ∂A ⇒ ∇ × (∇ × A) = −εµ ( ) ∂t ∂t v v ∂2 A ⇒ ∇ × (∇ × A) + εµ 2 = 0 ∂t
v v* Q a k (t ), a k (t ) 是线性无关的正交组 v v v v* ∴ 要使上式成立 仅当 k ⋅ a k = k ⋅ a k = 0时 v v v ∴ 故 证得当取 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 k ⋅ a k = 0 vv vv v v v v* ik ⋅ x 3 已知 A( x , t ) = ∑ [a k (t )e + ak (t )e −ik ⋅ x ]
1
v v v 1 ∂2 A v 2 而洛仑兹变换时 矢势 A 满足方程 ∇ A − 2 = − µ J 0 c ∂t 2
在真空中
v J =0
v v 1 ∂2 A 故 ∇ A= 2 c ∂t 2
2
v vv v v d 2 a k (t ) ik ⋅ x ∴ 1 式化为 = e (c 2 ∇ 2 A)dx 2 ∫ dt vv v v 2 2v 2 2 ik ⋅ x v 而 k c a k (t ) = ∫ k c A( x , t )e dx v vv v v v v d 2 a k (t ) 2 2v 2 2 2 2 ik ⋅ x v 于是 + k c a ( t ) = [ c ∇ A ( x , t ) + k c A ( x , t )] e dx k ∫ dt 2 vv vv v v v v* Q A( x , t ) = ∑ [a k (t )e ik ⋅ x + a k (t )e − ik ⋅ x ]
真空中为 c
v v E , B 同相 振幅比为 υ v v
z − iω ( t − ) c
故
不妨取 A = A0 e x e
v = A0 e x e i ( kz −ωt ) ,
k=
ω c
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电磁波的辐射
v ∂A v v v ∴ B = ∇ × A = x e y = ikA0 e y e i ( kz −ωt ) ∂z v ∂A v E=− = iωA0 e x e i ( kz −ωt ) ∂t
k
2
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电磁波的辐射
v v v v ∴ ∇ 2 A( x , t ) = − k 2 A( x , t ) ∴
2 式右边的积分式中 被积函数为 0 积分为 0
v d 2 a k (t ) v ∴ + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0
vv
vv
v* v 是 a k 的复共轭 ak v d 2 a k (t ) v v 1 证明 a k 满足谐振子方程 + k 2 c 2 a k (t ) = 0 2 dt
2 当选取规范 ∇ ⋅ A = 0, ϕ = 0 时 3 把 E和B 用 a k 和 a k 表示出来 解 1 证明 Q A( x , t ) =
麦氏方程表示为
v v ∂B ∇× E = − ; ∂t v v 其中 D = εE
由 则
v v ∂D ∇× H = ∂t v v B H=
v ∇⋅D = 0
v ∇⋅B = 0
µ
v ∇⋅B = 0
引入矢势 A
v
使B = ∇× A
v
v
v v ∇ ⋅ B = ∇ ⋅ (∇ × A) = 0 故
v v B 由矢势 A 完全决定
v
∇ 2ϕ = −
电荷在真空中产生的电势分布
那么 E L 即对应静止电荷产生的库仑场 若 ρ = 0, J = 0, 则 E 和 B 可完全由矢势 A 决
v
2. 证明在线性各向同性均匀非导电介质中 定 解 若取 ϕ = 0, 这时 A 满足哪两个方程 在线性各向同性均匀非导电介质中
r
如果令
v J = 0, ρ = 0
ε0
ε0
v v v ∂E 3> ∇ × B = µ 0 J + ε 0 µ 0 ∂t
v v v v ∂ v ∇ × BT = µ 0 ( J L + J T ) + ε 0 µ 0 ( E L + ET ) ∂t
v v v v ∂ET ∂E L ) + (µ 0 J L + ε 0 µ 0 = (µ 0 J T + ε 0 µ 0 ∂t ∂t
1 ∂ 2ϕ ρ =− 2 2 ε0 c ∂t

故
v v ∇ 2ϕ = ∇ 2 (−∇ ⋅ Ζ) = −∇ ⋅ (∇ 2 Ζ) v v ∂ 2ϕ ∂ 2 ∂2Ζ = (−∇ ⋅ Ζ) = −∇ ⋅ ( 2 ) ∂t 2 ∂t 2 ∂t
代入原方程
v v 1 ∂2Ζ ρ − [∇ ⋅ (∇ Ζ) − 2 ∇ ⋅ ( 2 )] = − ε0 c ∂t
若两边同时取散度
v ∇ ⋅ (∇ × BT ) = 0 v v ∂ET ∇ ⋅ (µ 0 J T + ε 0 µ 0 )=0 ∂t
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电磁波的辐射
v v ∂E L ∴当且仅当µ 0 J L + ε 0 µ 0 ∂t
综上 得麦氏方程的新表示方法
0时
上式方成立
v v ∂BT ∇ × ET = − ∂t
v v v v ∂B 把 B = ∇ × A 代入 ∇ × E = − ; 有 ∂t v v v ∂A v ∂A ∇ × (E + ) = 0 令 E + = −∇ϕ ∂t ∂t
则
v v ∂A 则 ∇ × (E + ) = ∇ × (−∇ϕ ) = 0 ∂t
v v ∂A E = −∂ϕ − ∂t
故 E 有标势 A 完全决定
ε0
如果把此方程组中所有的矢量都分解为
无旋的纵场 无散的横场
用角标 L 表示 用角标 T 表示
那么
v v v E = E L + ET v v v J = J L + JT v v v B = BL + BT
且 ∇ × EL = 0
v
v ∇ ⋅ ET = 0
由于 ∇ × B = 0
v
即 B 无源场
v
vv vv vv v v v* ∴ B = ∇ × A = ∑ [ik a k (t )e ik ⋅ x − ika k (t )e −ik ⋅ x ] k k
v v v* v v v da k (t ) ikv⋅ x da k (t ) −ikv⋅x ∂A E = −∇ϕ − = −∑ [ e + e ] ∂t dt dt k
v
其中 τ = t − z
c
A 垂直于 z
v v
可写作
v v E = E 0 e x e i ( kz −ωt ) v v B = B0 e y e i ( kz −ωt )
满足 1 2 3
v v v E , B 均垂直于传播方向 e z v v E , B 相互垂直 v v v E × B 沿 k 方向
v ∇ ⋅ EL = ρ
ε0