- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
学们可以尝试着计算π的近似值.特别将不足近似
值和过剩近似值相结合,通过近似值的上下限
S2n<S<S2n+(S2n-Sn)(n=6,12,…).
2020/12/10
5
第一，从半径为1的圆内接正六边形开始， 计算它的面积S6；
第二，逐步加倍圆内接正多边形的边数， 分别计算圆内接正十二边形，正二十四边形， 正四十八边形，…的面积，到一定的边数 （设为2m）为止，得到一列递增的数，
【分析】由于63不是偶数,把98和63以大数
减小数,并辗转相减.
【解析】98-63=35,63-35=28,35-28=7,
28-7=14,14-7=7，所以98和63的最大公约数为
7.
【评析】等值算法是当大数减去小数的差等
于小数时停止减法,较小的数就是所求的最大
公约数. 2020/12/10
9
例2、设计程序,求两正整数m,n的最小公倍数.
2020/12/10
4
所谓辗转相除法,就是对于给定的两个数,用较大 的数除以较小的数,若余数不为零,则将余数和较 小的数构成新的一对数,继续上面的除法,直到大 数被小数除尽,这时较小的数就是原来两个数的最 大公约数.
(2)割圆术
π是数学上最重要的常数之一,我国古代数学家在
割圆术上取得了巨大的成就.通过学习割圆术,同
v6=2 369×3+1=7 108,
v7=7 108×3=21 324,
∴f(3)=21 2020/12/10 324.
12
【评析】利用秦九韶算法计算多项式的 值关键是能正确地将所给多项式改写,然 后由内向外逐次计算,由于后项计算需用 到前项的结果,故应认真、细心,确保中间 结果的准确性.
2020/12/10
13
练习、设计求多项式f(x)=2x5－5x4－4x3+3x2 －6x+7当x=5时的值的算法，并写出程序.
解：
用提取公因式的方法多项式变形为
f(x)= 2x5－5x4－4x3+3x2－6x+7
=x4(2x－5)－4x3+3x2－6x+7
=x3((2x－5)－4)+3x2－6x+7
…………
=((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7
做上面的除法,直到大数被小数除尽,这个较小的
数就是最大公约数.
2020/12/10
2
3.割圆术是我国魏晋时期的数学家刘徽在注 《九章算术》中采用正多边形面积逐渐逼近 圆面积的算法计算圆周率π的一种方法.
2020/12/10
3
难点
(1)更相减损之术 所谓更相减损之术,就是对于给定的两个数,
以两数中较大的数减去较小的数,然后将所得的差 和较小的数构成一对新数,再用这对新数中的较大 的数减去较小的数,反复执行此步骤直到差数和较 小的数相等为止,此时相等的数便为原来两个数的 最大公约数.
xn 2
2
1hn
2
(n6)
7
容易知道x6=1,
正2n边形的面积等于正n边 形的面积加上n个等腰三角 形的面积，即
S 2 n S n n .1 2 .x n .(1 h n ) (n 6 )
正2n边形的边长为
x2n
(x2n)2(1hn)2
2020/12/10
8
求最大公约数
例1、用更相减损之术求98和63的最大公约数.
2020/12/10
14
计算的过程可以列表表示为： f(x) =((((2x－5)x－4)x+3)x－6)x+7, x=5
多项式x系
数
2 －5 －4 3 －6 7
10 25 105 540 2670
变形后x的
"系数"
2 5 21 108 534 2677
2020/12/10
15
中国古代数学中的算法案例学习的意义是什 么?
1.学习更相减损之术与辗转相除 法时,要注意两种方法的相通之处.
2.要深切体会刘徽的“割之弥细， 所失弥少”的思想方法,利用正多 边形面积随边数增多,逐渐逼近圆 面积来计算圆周率π.
2020/12/10
17
3.学习秦九韶算法时,注意通过分析秦九韶算 法的运算次数,感悟算法思想的优越性和先进 性,算法的关键是采用逐步提出因式x的方法 对多项式进行改写.
【分析】明确项数与次数→正确改写所给多项式 →从内向外逐次求值.
【解析】
f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
v0=7，v1=7×3+6=27,
v2=27×3+5=86, v3=86×3+4=262,
v4=262×3+3=789,
v5=789×3+2=2 369,
中国古代数学中的算法案例
2020/12/10
1
导入
1.用两数中较大的数减去较小的数,再用差数和较 小的数构成新的一对数,再用大数减小数,以同样
的操作一直做下去,直到产生一对相等的数,这个
数就是最大公约数.
2.古希腊求两个正整数的最大公约数的方法是:辗 转相除法（欧几里得算法）用较大的数除以较小
的数所得的余数和较小的数构成新的一对数,继续
; end s
T= m
print(%io(2),T)
10
（3）秦九韶算法 秦九韶算法是求一元n次多项式的一种算法, 通过一次多项式的反复计算,逐步得出高次 多项式的值,对于一个n次多项式,只需做n次 乘法和n次加法即可.
2020/12/10
11
例3、用秦九韶算法求多项式
f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x在x=3时的值.
我国古代数学中算法的内容十分丰富,成
就辉煌.课本中的更相减损之术、割圆术、秦
九韶算法，就是很好的代表.我国古代数学主
要特征是算法化,现代信息技术的发展也使算
法焕发了生机.通过本部分的学习,体会中国
古代数学对世界数学发展的贡献,增强民族自
豪感,努力学习,为国家的发展贡献力量.
2020/12/10
16
课程总结
S6，S12，S24，S48，…，S2m.
第三，S2m近似等于圆面积.
2020/12/10
6
下面的关键是找出正n边形的面积与正2n边 形的面积之间的关系，以便递推.
设圆的半径为1，正n边形
的边长AB为xn，弦心距
OG为hn；面积为Sn，根据
勾股定理，得：
hn
1
பைடு நூலகம்
xn 2
2
,
2020/12/10
x2n
解：由于m,n的最小公倍数,即为m与n的乘积
除以m与n的最大公约数.因此,可先求出m与n
的最大公约数,再用m.n去除以这个最大公约数
即可.
程序如下:
m=input(“m=”) n=input(“n=”)
S=m*n;
while m<>n
if m>n
m=m-n;
else
n=n-m;
end
2020/12/10
