【加练半小时】2017年高考数学全国理专题复习29专题4三角函数 word版含答案

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作一、选择题1．(2015·日照一模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a ≤1 C ．a <0D ．a ≤02．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是( )A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数3．偶函数f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，且在x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则关于x 的方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈[0,4]上解的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．(2015·银川一中二模)定义在[a ，b ](b >a )上的函数f (x )＝12sin x －32cos x 的值域是⎣⎡⎦⎤－12，1，则b －a 的最大值M 和最小值m 分别是( ) A ．m ＝π6，M ＝π3B ．m ＝π3，M ＝2π3C ．m ＝4π3，M ＝2πD ．m ＝2π3，M ＝4π35．(2015·温州二测)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．(18π－20)cm 3B ．(24π－20) cm 3C ．(18π－28) cm 3D ．(24π－28) cm 36．(2015·石家庄二检)已知函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，a ∈R ，且y ＝f (2x －3)是偶函数．又g (x )＝x 3＋ax 2＋x 2＋14，存在x 0∈⎝⎛⎭⎫k ，k ＋12，k ∈Z ，使得g (x 0)＝x 0，则满足条件的实数k 的个数为( )A ．3B ．2C ．4D ．17．(2015·湖北八校联考)已知点A 是抛物线C 1：y 2＝2px (p >0)与双曲线C 2：x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的一条渐近线的交点(异于原点)，若点A 到抛物线C 1的准线的距离为p ，则双曲线C 2的离心率等于( )A. 2 B ．2 C. 5 D ．48．(2015·广西二市联考)若数列{a n }满足a 1＝1，a n －1＋a n ＝a n a n －1(n 2－n )·(－1)n (n ∈N *，且n ≥2)，则数列{a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)}的前6项和为( )A ．－3B ．－115 C.115D ．39．(2015·台州调考)在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，若E ，F 为BD 1的两个三等分点，G 为长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1表面上的动点，则∠EGF 的最大值为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°10．已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则该椭圆的离心率为( ) A.53 B.54 C.56D.5711．直线y ＝2x －2交抛物线y 2＝ax (a >0)于A 、B 两点，若O 为原点，|AB |＝215，则|OA →＋OB →|等于( )A ．2 2 B. 2 C ．3 2D ．4 212．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ≤0，2x －y ≥0，x 2＋y 2－2x －2y ≤0，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题 13．(2015·南京调研)如图，过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左顶点A 作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q .若△AOP是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________．14．对正整数n ，设曲线y ＝x n (1－x )在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1的前n 项和S n ＝________.15．如图1，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，动点M ，N ，Q 分别在线段AD 1，B 1C ，C 1D 1上．当三棱锥Q —BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q —BMN 的正视图面积等于________．16．设过椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点F 的直线交椭圆于A ，B 两点，AB 的中点为P ，O 为坐标原点，则OP →PF →的取值范围为________． 三、解答题17．(2015·湖北七市联考)已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫cos x 2，－1，n ＝⎝⎛⎭⎫3sin x 2，cos 2x2，设函数f (x )＝m n ＋1.(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足a 2＋b 2＝6ab cos C ，sin 2C ＝2sin A sin B ，求f (C )的值． 18.如图，在四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且AB ＝BC ＝CA ＝3，AD ＝CD ＝1. (1)求证：BD ⊥AA 1；(2)若E 为棱BC 的中点，求证：AE ∥平面DCC 1D 1.19．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0.且a 2，a 5，a 14分别是等比数列{b n }的b 2，b 3，b 4.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }对任意自然数n 均有c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1成立，求c 1＋c 2＋…＋c 2 016的值．20．(2015·福建)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(0，2)，且离心率e ＝22.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线l ：x ＝my －1(m ∈R )交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G ⎝⎛⎭⎫－94，0与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．21．(2015·浙江绍兴一中交流卷)如图，四边形ABEF 是等腰梯形，AB ∥EF ，AF ⊥BF ，矩形ABCD 与梯形ABEF 所在的平面互相垂直，已知AB ＝2，EF ＝1. (1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角D —FE —B 的大小为60°？22．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，且经过点⎝⎛⎭⎫1，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆的短轴两端点分别为A ，B ，过椭圆C 外的一点T (0，m )是否存在一条直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，使得TP →·TQ →＝76TA →·TB →？若存在，请求出此直线；若不存在，请说明理由．答案解析1．D2．C [A 中，由D (x )的定义直接可得D (x )的值域为{0,1}．B 中，D (x )的定义域为R ，D (－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以D (x )为偶函数．C 中，D (x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，＝D (x )，所以可以确定1为D (x )的一个周期，D 中，D (1)＝1，D (2)＝0，D (2)＝1，…，所以D (x )不是单调函数．] 3．D 4.D 5.D6．A [由于函数f (x )的定义域为(4a －3,3－2a 2)，所以4a －3<3－2a 2，解得－3<a <1.又函数y ＝f (2x －3)是偶函数，所以4a －3<2x －3<3－2a 2⇒2a <x <3－a 2，且2a ＋3－a 2＝0⇒a ＝－1或3，所以a ＝－1，则g (x )＝x 3－x 2＋x 2＋14，令h (x )＝g (x )－x ＝x 3－x 2－x 2＋14，则h ′(x )＝3x 2－2x －12＝12(6x 2－4x －1)＝0⇒x ＝2±106，且当x ＝2－106时，h (x )取得极大值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－106>0，当x ＝2＋106时，h (x )取得极小值，且h ⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋106<0，所以函数h (x )有三个零点．又h (－1)<0，h ⎝⎛⎭⎫－12>0，h (0)>0，h ⎝⎛⎭⎫12<0，h (1)<0，h ⎝⎛⎭⎫32>0，所以k ＝－1,0,1，即满足条件的实数k 有3个，故选A.] 7．C8．B [由题意可得1a n ＋1a n －1＝1n (n －1)(－1)n ，则(－1)n a n －(－1)n －1a n －1＝1n －1－1n，累加得(－1)n a n ＝－1n ，a n ＝(－1)n －1n ，所以a n ＋1(2n ＋1)(2n ＋3)＝(－1)n (n ＋1)(2n ＋1)(2n ＋3)，则前6项的和为－23×5＋35×7＋－47×9＋59×11＋－611×13＋713×15＝－⎝⎛⎭⎫13×7＋17×11＋111×15＝－14×⎝⎛⎭⎫13－17＋17－111＋111－115＝－115，故选B.] 9．D10．D [依题意得，|PF 1|sin β＝|PF 2|sin α＝|F 1F 2|sin (α＋β)，所以|PF 1|＋|PF 2|sin α＋sin β＝|F 1F 2|sin (α＋β)，故e ＝|F 1F 2||PF 1|＋|PF 2|＝sin (α＋β)sin α＋sin β.由已知得0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，即cos(α＋β)<55，又cos 2(α＋β)＋sin 2(α＋β)＝1，所以cos(α＋β)＝－45，sin α＝1－cos 2α＝255，sin β＝sin [(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35×55＋45×255＝11525，故sin α＋sin β＝21525，e ＝sin (α＋β)sin α＋sin β＝57，即该椭圆的离心率为57.] 11．D12．D [不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据图形可知，只有直线z ＝x ＋y 在第一象限与圆x 2＋y 2－2x －2y ＝0相切时，z 最大．根据|1＋1－z |2＝2，解得z ＝4(z ＝0舍去)，故所求的最大值为4.]13.25514．2n ＋1－2解析 曲线y ＝x n (1－x )＝x n －x n ＋1，y ′＝nx n －1－(n ＋1)x n ，所以曲线在x ＝2处的切线斜率为k ＝n ×2n －1－(n ＋1)2n ＝－(n ＋2)2n －1，切点为(2，－2n )，所以切线方程为y ＋2n ＝－(n ＋2)2n－1·(x －2)，令x ＝0得，y ＋2n ＝(n ＋2)2n ，即y ＝(n ＋1)2n ，所以a n ＝(n ＋1)2n ，所以a nn ＋1＝2n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n ＋1是以2为首项，2为公比的等比数列，所以S n ＝2(1－2n)1－2＝2n ＋1－2.15.14a 2 解析 当俯视图如题中所示时，点Q 与点D 1重合、点N 与点C 重合，点M 为AD 1的中点，如图①所示，此时如果把正方体的侧面CDD 1C 1作为投影面，则三棱锥Q —BMN ，即三棱锥D 1—BMC 的正视图即为侧面CDD 1C 1上的三角形CD 1H ，如图②所示，其中H 为DD 1的中点，其面积为14a 2.16.⎣⎡⎦⎤0，18 解析 椭圆x 22＋y 2＝1的右焦点为F (1，0)，当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝k (x－1)，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1中，得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，所以x 0＝2k 21＋2k 2，y 0＝k (x 0－1)＝－k 1＋2k 2，OP →＝⎝⎛⎭⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，PF →＝⎝⎛⎭⎫11＋2k 2，k 1＋2k 2，所以OP →PF →＝2k 2(1＋2k 2)2－k 2(1＋2k 2)2＝k 2(1＋2k 2)2＝k 21＋4k 2＋4k4，当k ＝0时，OP →PF →＝0， 当k ≠0时，OP →PF →＝k 21＋4k 2＋4k 4＝14＋1k2＋4k 2≤18，当且仅当k 2＝12时等号成立，且OP →PF →>0. 当直线AB 的斜率不存在时，F 与P 重合， 所以OP →PF →＝0.综上，OP →PF →的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，18. 17．解 (1)f (x )＝3sin x 2cos x 2－cos 2x2＋1＝32sin x －12cos x ＋12＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6＋12. 令2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，则2k π－π3≤x ≤2k π＋2π3(k ∈Z )，∴所求增区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋2π3 (k ∈Z )． (2)由a 2＋b 2＝6ab cos C ， sin 2C ＝2sin A sin B ⇒c 2＝2ab ，∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝6ab cos C －2ab2ab ＝3cos C －1，即cos C ＝12，又∵0<C <π，C ＝π3，∴f (C )＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin(π3－π6)＋12＝1. 18．证明 (1)在四边形ABCD 中， 因为BA ＝BC ，DA ＝DC ， 所以BD ⊥AC ，又平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ， 且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥平面AA 1C 1C . 又因为AA 1⊂平面AA 1C 1C ， 所以BD ⊥AA 1.(2)在三角形ABC 中，因为AB ＝AC ，且E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC ， 又因为在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1， 所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°， 所以DC ⊥BC ，所以AE ∥CD ， 因为DC ⊂平面DCC 1D 1， AE ⊄平面DCC 1D 1， 所以AE ∥平面DCC 1D 1.19．解 (1)∵a 2＝1＋d ，a 5＝1＋4d ，a 14＝1＋13d ，且a 2，a 5，a 14成等比数列， ∴(1＋4d )2＝(1＋d )(1＋13d )， 解得d ＝2，d ＝0(舍去)． ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1， 又∵b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9.∴等比数列{b n }的公比q ＝3，b 1＝1，b n ＝3n －1.(2)∵c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c nb n ＝a n ＋1，①∴c 1b 1＝a 2，即c 1＝b 1a 2＝3. 又c 1b 1＋c 2b 2＋…＋c n －1b n －1＝a n (n ≥2)，② ①－②得，c nb n ＝a n ＋1－a n ＝2，∴c n ＝2b n ＝2×3n －1(n ≥2)，∴c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3 (n ＝1)，2×3n －1(n ≥2). 则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c 2 016＝3＋2×31＋2×32＋…＋2×32 016－1＝3＋2×(31＋32＋…＋32 015) ＝3＋2×3×(1－32 015)1－3＝32 016－3.20．解 方法一 (1)由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c a ＝22，a 2＝b 2＋c 2.解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，c ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点为H (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0. 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2，从而y 0＝mm 2＋2.所以|GH |2＝⎝⎛⎭⎫x 0＋942＋y 20 ＝⎝⎛⎭⎫my 0＋542＋y 20 ＝(m 2＋1)y 20＋52my 0＋2516. |AB |24＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)(y 1－y 2)24＝(1＋m 2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]4＝(1＋m 2)(y 20－y 1y 2)，故|GH |2－|AB |24＝52my 0＋(1＋m 2)y 1y 2＋2516 ＝5m 22(m 2＋2)－3(1＋m 2)m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0， 所以|GH |＞|AB |2. 故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 方法二 (1)同方法一．(2)设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则GA →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94，y 1， GB →＝⎝⎛⎭⎫x 2＋94，y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －1，x 24＋y 22＝1，得(m 2＋2)y 2－2my －3＝0， 所以y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－3m 2＋2， 从而GA →GB →＝⎝⎛⎭⎫x 1＋94⎝⎛⎭⎫x 2＋94＋y 1y 2 ＝⎝⎛⎭⎫my 1＋54⎝⎛⎭⎫my 2＋54＋y 1y 2 ＝(m 2＋1)y 1y 2＋54m (y 1＋y 2)＋2516＝－3(m 2＋1)m 2＋2＋52m 2m 2＋2＋2516 ＝17m 2＋216(m 2＋2)＞0， 所以cos 〈GA →，GB →〉＞0.又GA →，GB →不共线，所以∠AGB 为锐角．故点G ⎝⎛⎭⎫－94，0在以AB 为直径的圆外． 21．(1)证明 ∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF ＝AB ，CB ⊥AB ，CB ⊂平面ABCD ，∴CB ⊥平面ABEF .∵AF ⊂平面ABEF ，∴AF ⊥CB .又∵AF ⊥BF ，BF ∩CB ＝B ，∴AF ⊥平面CBF .∵AF ⊂平面DAF ，∴平面DAF ⊥平面CBF .(2)解取AB 的中点O ，DC 的中点H ，EF 的中点G ，以O 为坐标原点，OA →、OG →、OH →分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AD ＝t (t >0)，则点D 的坐标为(1,0，t )，易知等腰梯形ABEF 的高为32， 则F ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫－12，32，0， 所以DF →＝⎝⎛⎭⎫－12，32，－t ，DE →＝⎝⎛⎭⎫－32，32，－t . 设平面DFE 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 则n 1DF →＝0，n 1DE →＝0，即⎩⎨⎧ －12x ＋32y －tz ＝0，－32x ＋32y －tz ＝0.令z ＝3，解得x ＝0，y ＝2t ，∴n 1＝(0,2t ，3)．取平面BEF 的一个法向量n 2＝(0,0,1)，依题意得cos 60°＝|n 1n 2||n 1||n 2|，即12＝|0＋0＋3|4t 2＋3×1， 解得t ＝32(负值舍去)． 因此，当AD 的长为32时，二面角D —EF —B 的大小为60°. 22．解 (1)因为离心率e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝34a 2，又点⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上，所以1a2＋94b 2＝1，联立方程即可得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1. (2)由题意知，当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．假设存在直线l ，斜率为k ，直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入椭圆C 的方程3x 2＋4y 2＝12中， 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2，所以TP →TQ →＝(x 1，y 1－m )(x 2，y 2－m )＝x 1x 2＋y 1y 2－m (y 1＋y 2)＋m 2＝4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2， TA →TB →＝(0，3－m )(0，－3－m )＝m 2－3，若TP →TQ →＝76TA →TB →， 则4(1＋k 2)(m 2－3)3＋4k 2＝76(m 2－3)， 因为m 2≠3，所以4(1＋k 2)3＋4k 2＝76， 解得k 2＝34，所以k ＝±32， 所以存在过椭圆C 外的一点T (0，m )的直线l 满足题意，直线l 的方程为y ＝±32x ＋m .。

一、选择题1．(2015·浙江六校联考)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0}，B ＝{y |y ＝log 2(x ＋3)，x ∈A }，则集合A ∩(∁U B )等于( ) A ．{x |－2≤x <0} B ．{x |0≤x ≤1} C ．{x |－3<x ≤－2}D ．{x |x ≤－3}2．给出下列两个命题，命题p 1：函数y ＝ln [(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题p 2：函数y ＝ln 1－x1＋x是奇函数，则下列命题为假命题的是( ) A ．p 1∧p 2 B ．p 1∨(綈p 2) C ．p 1∨p 2D ．p 1∧(綈p 2)3．(2014·课标全国Ⅱ)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，则z 1z 2＝( ) A ．－5 B ．5 C ．－4＋iD ．－4－i4．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象上各点的横坐标缩小为原来的12，再向右平移φ(φ>0)个单位后得到的图象关于直线x ＝π2对称，则φ的最小值是( )A.π4B.π3C.3π4D.3π85．(2015·河南实验中学质检)已知数列{a n }的通项为a n ＝log (n ＋1)(n ＋2) (n ∈N *)，我们把使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的n 叫做“优数”，则在(0,2 016]内的所有“优数”的和为 ( ) A ．1 024 B ．2 012 C ．2 026 D ．2 0366．(2014·课标全国Ⅰ)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.787．设随机变量X ～B (6，12)，则P (X ＝3)等于( )A.516B.316C.58D.388．设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A ．m ，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β B ．m ⊂α，α∥β，则m ∥βC ．若m ⊥α，α⊥β，n ∥β，则m ⊥nD ．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β9．设F 1，F 2分别为等轴双曲线x 2－y 2＝a 2的左，右焦点，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于M ，N 两点，则cos ∠MAN 等于( )A.25 B ．－25 C.55 D ．－5510．设a ＝(sin cos )x x dx π+⎰，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6的展开式中的常数项是( )A ．160B ．－160C ．26D ．－2611．执行如图所示的程序框图，若输出的k ＝5，则输入的整数p 的最大值为( )A ．7B ．15C ．31D ．6312．已知函数f (x )对任意的x ∈R ，都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，函数f (x ＋1)是奇函数，当－12≤x ≤12时，f (x )＝2x ，则方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．6二、填空题13．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且函数图象关于点(x 0,0)成中心对称，若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则x 0＝________. 14．(2015·金华十校模拟)已知三角形ABC 的三个顶点都在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)上，且AB⊥x 轴，AC ∥x 轴，则|AC |·|AB ||BC |2的最大值为________．15．(2014·福建)如图，在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为________．16．已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的x ∈(0，＋∞)，都有f (f (x )－log 2x )＝3，则方程f (x )－f ′(x )＝2的解所在的区间是________．(填序号) ①(0,1)；②(1,2)；③(2,3)；④(3,4)． 三、解答题17．(2015·乌鲁木齐三诊)若函数f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12 (a >0)的图象与直线y ＝b 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列．(1)求a ，b 的值；(2)若x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，且x 0是y ＝f (x )的零点，试写出函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤x 0，x 0＋π2上的单调增区间．18．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．(1)求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；(2)记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列及均值．19．(2015·内江期末)如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，∠BAC ＝30°，BM ⊥AC 于点M ，EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，AC ＝4，EA ＝3，FC ＝1. (1)证明：EM ⊥BF ；(2)求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．20．(2015·晋江第四次联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝103，a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0 (n ≥2，且n ∈N *)．(1)若数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，求实数λ； (2)求数列{a n }的通项公式； (3)设S n ＝∑ni ＝1 1a i ，求证：S n<32.21．(2015·郑州二检)已知函数f (x )＝ax ＋ln(x －1)，其中a 为常数． (1)试讨论f (x )的单调区间； (2)当a ＝11－e 时，存在x 使得不等式|f (x )|－ee －1≤2ln x ＋bx 2x 成立，求b 的取值范围．22．(2015·山东滕州第三中学第一学期期末)如图，直线l ：y ＝x ＋b (b >0)，抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，已知点P (2，2)在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l 的距离的最小值为324.(1)求直线l 及抛物线C 的方程；(2)过点Q (2,1)的任一直线(不经过点P )与抛物线C 交于A ，B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．答案解析1．A 2.D 3.A 4.D 5.C 6.D 7.A8．B [对于A ，根据面面平行的判断定理可知缺少条件“m 与n 相交”，故A 不正确；对于B ，若α∥β，则α，β无交点，又m ⊂α，所以m ，β无交点，即m ∥β，故B 正确；对于C ，若α⊥β，n ∥β，则n 可以垂直于α，又m ⊥α，所以m 可以平行于n ，故C 不正确；对于D ，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D 不正确．] 9．D 10．B [a ＝(sin cos )x x dx π+⎰＝(－cos x ＋sin x )|π0＝2，则⎝⎛⎭⎫a x －1x 6＝⎝⎛⎭⎫2x －1x 6，它的展开式的通项公式为T r ＋1＝(－1)r C r 626－rx 3－r ，令3－r ＝0，得r ＝3，故展开式中的常数项是－C 3626－3＝－160，选B.] 11．B12．C [因为函数f (x ＋1)是奇函数，所以函数f (x ＋1)的图象关于点(0,0)对称，把函数f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数f (x )的图象，所以函数f (x )的图象关于点(1,0)对称，可得－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ， 所以－f ⎝⎛⎭⎫32＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ， 再令x 取x ＋1可得－f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫32＋x ， 所以有f ⎝⎛⎭⎫52＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12＋x ，可得f (x )＝f (x ＋2)，所以函数f (x )的周期为2，图象如图所示，故方程f (x )＝－12在区间[－3,5]内的所有零点之和为12×2×4＝4.]13.π3解析 ∵函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3图象的两条相邻的对称轴之间的距离为π2， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. ∵f (x )的图象关于点(x 0,0)成中心对称，∴f (x 0)＝0，即2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π3＝0，∴2x 0＋π3＝k π，k ∈Z ，∴x 0＝k π2－π6，k ∈Z ， ∵x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴x 0＝π3. 14.12解析 不妨设椭圆上的点A (m ，n ) (m >0，n >0)，由题意得B (m ，－n )，C (－m ，n )，则|AC |＝2m ，|AB |＝2n ，|BC |＝2m 2＋n 2，则|AC |·|AB ||BC |2＝2m ·2n 4(m 2＋n 2)＝mn m 2＋n 2≤mn 2mn ＝12(当且仅当m ＝n ，即△ABC 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形时等号成立)． 15.2e 2 16．②解析 根据题意，f (x )－log 2x >0且是唯一的值，设t ＝f (x )－log 2x ，则f (x )＝t ＋log 2x ，又f (t )＝3，所以3＝t ＋log 2t ，此方程有唯一解t ＝2，所以f (x )＝2＋log 2x .方程f (x )－f ′(x )＝2，即方程log 2x －1x ln 2＝0.设h (x )＝log 2x －1x ln 2，则该函数为(0，＋∞)上的增函数． 又h (1)＝－1ln 2<0，h (2)＝1－12ln 2>0，所以方程f (x )－f ′(x )＝2的解在区间(1,2)内．17．解 (1)f (x )＝sin 2ax －3sin ax ·cos ax －12＝1－cos 2ax 2－32sin 2ax －12＝－sin ⎝⎛⎭⎫2ax ＋π6， ∵y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 相切， ∴b 为f (x )的最大值或最小值， 即b ＝－1或b ＝1.∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π2，即T ＝2π|2a |＝π2，a >0， ∴a ＝2，即f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π6. (2)由题意知sin ⎝⎛⎭⎫4x 0＋π6＝0， 则4x 0＋π6＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π24 (k ∈Z )，由0≤k π4－π24≤π2 (k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2， 因此x 0＝5π24 或x 0＝11π24.当x 0＝5π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤5π24，π3和⎣⎡⎦⎤7π12，17π24； 当x 0＝11π24时，y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤7π12，5π6. 18．解 记第i 名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A i ，B i ，C i ，i ＝1,2,3.由题意知A 1，A 2，A 3相互独立，B 1，B 2，B 3相互独立，C 1，C 2，C 3相互独立，A i ，B j ，C k (i ，j ，k ＝1,2,3，且i ，j ，k 互不相同)相互独立，且P (A i )＝12，P (B i )＝13，P (C i )＝16. (1)他们选择的项目所属类别互不相同的概率 P ＝3！P (A 1B 2C 3) ＝6P (A 1)P (B 2)P (C 3)＝6×12×13×16＝16.(2)设3名工人中选择的项目属于民生工程的人数为η， 由已知，η～B ⎝⎛⎭⎫3，13，且ξ＝3－η. 所以P (ξ＝0)＝P (η＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫133＝127， P (ξ＝1)＝P (η＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫132×23＝29， P (ξ＝2)＝P (η＝1)＝C 13×13×⎝⎛⎭⎫232＝49， P (ξ＝3)＝P (η＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫233＝827. 故ξ的分布列是ξ 0 1 2 3 P1272949827ξ的均值E (ξ)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2.19．(1)证明 ∵EA ⊥平面ABC ，BM ⊂平面ABC ， ∴EA ⊥BM .又∵BM ⊥AC ，EA ∩AC ＝A ，∴BM ⊥平面ACFE ，而EM ⊂平面ACFE ， ∴BM ⊥EM .∵AC 是圆O 的直径，∴∠ABC ＝90°. 又∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴AB ＝23，BC ＝2，AM ＝3，CM ＝1. ∵EA ⊥平面ABC ，FC ∥EA ，FC EA ＝13，∴FC ⊥平面ABC ，∴△EAM 与△FCM 都是等腰直角三角形， ∴∠EMA ＝∠FMC ＝45°， ∴∠EMF ＝90°，即EM ⊥MF . ∵MF ∩BM ＝M ，∴EM ⊥平面MBF . 而BF ⊂平面MBF ，∴EM ⊥BF .(2)解 如图，延长EF 交AC 的延长线于G ，连接BG ，过C 作CH ⊥BG ，连接FH .由(1)知FC ⊥平面ABC ，BG ⊂平面ABC ，∴FC ⊥BG . 而FC ∩CH ＝C ，∴BG ⊥平面FCH . ∵FH ⊂平面FCH ，∴FH ⊥BG ，∴∠FHC 为平面BEF 与平面ABC 所成的二面角的平面角． 在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝30°，AC ＝4，∴BM ＝AB sin 30°＝3， 由FC EA ＝GC GA ＝13，得GC ＝2. ∵BG ＝BM 2＋MG 2＝2 3. 又∵△GCH ∽△GBM ， ∴GC BG ＝CH BM ，则CH ＝GC BM BG ＝2×323＝1. ∴△FCH 是等腰直角三角形，∠FHC ＝45°， ∴平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值为22. 20．(1)解 由数列{a n ＋1＋λa n }是等比数列，可设a n ＋1＋λa n ＝μ(a n ＋λa n －1) (n ≥2)． ∴a n ＋1＋(λ－μ)a n －λμa n －1＝0， ∵a n ＋1－103a n ＋a n －1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－μ＝－103，λμ＝－1，∴λ＝－13或λ＝－3.(2)解 由(1)知，n ≥2，λ＝－13时，a n －13a n －1＝3n －1，①n ≥2，λ＝－3时，a n －3a n －1＝13n －1.②由①②可得a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n (n ≥2)，当n ＝1时，也符合． a n ＝38(3n －13n )，n ∈N *.(3)证明 由(2)知，a n ＝38⎝⎛⎭⎫3n －13n >0， ∵a n －3a n －1＝13n －1，∴a n >3a n －1，∴1a n <13·1a n －1(n ≥2)． ∴S n <1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＝1a 1＋13⎝⎛⎭⎫1a 1＋1a 2＋…＋1a n －1＋1a n －13a n <1a 1＋13S n. ∴S n <32.21．解 (1)由已知得函数f (x )的定义域为{x |x >1}， f ′(x )＝a ＋1x －1＝ax －a ＋1x －1.当a ≥0时，f ′(x )>0在定义域内恒成立，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)， 当a <0时，由f ′(x )＝0得x ＝1－1a >1，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，1－1a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞时，f ′(x )<0， f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1，1－1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1－1a ，＋∞. 综上，当a ≥0时，f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)；当a <0时，f (x )的单调递增区间为(1,1－1a )，单调递减区间为(1－1a ，＋∞)．(2)由(1)知当a ＝11－e 时，f (x )的单调递增区间为(1，e)，单调递减区间为(e ，＋∞)．所以f (x )max ＝f (e)＝e1－e＋ln(e －1)<0， 所以|f (x )|≥－f (e)＝ee －1－ln(e －1)恒成立，当x ＝e 时取等号． 令g (x )＝2ln x ＋bx 2x ，则g ′(x )＝1－ln xx 2，当1<x <e 时，g ′(x )>0；当x >e 时，g ′(x )<0，从而g (x )在(1，e)上单调递增，在(e ，＋∞)上单调递减， 所以g (x )max ＝g (e)＝1e ＋b2，所以，存在x 使得不等式|f (x )|－e e －1≤2ln x ＋bx 2x 成立， 只需e e －1－ln(e －1)－e e －1≤1e ＋b 2， 即b ≥－2e－2ln(e －1)． 22．解 (1)∵点P (2,2)在抛物线C 上，∴p ＝1.设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l ′的方程为y ＝x ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y 2＝2x ，得x 2＋(2m －2)x ＋m 2＝0， Δ＝(2m －2)2－4m 2＝4－8m ，由Δ＝0，得m ＝12，则直线l ′的方程为y ＝x ＋12. 两直线l ，l ′间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，有⎪⎪⎪⎪b －122＝324， 解得b ＝2或b ＝－1(舍去)．∴直线l 的方程为y ＝x ＋2，抛物线C 的方程为y 2＝2x .(2)∵直线AB 的斜率存在，且k ≠0，∴设直线AB 的方程为y －1＝k (x －2)(k ≠0)，即y ＝kx －2k ＋1.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y 2＝2x ，得ky 2－2y －4k ＋2＝0(k ≠0)， 设点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2k (k ≠0)，y 1y 2＝2－4k k(k ≠0)． ∵k 1＝y 1－2x 1－2＝y 1－2y 212－2＝2y 1＋2，k 2＝2y 2＋2， ∴k 1＋k 2＝2y 1＋2＋2y 2＋2＝2(y 1＋y 2)＋8y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝2·2k ＋82－4k k ＋2·2k ＋4(k ≠0)＝4k ＋23. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －2k ＋1，y ＝x ＋2，得x M ＝2k ＋1k －1，y M ＝4k －1k －1，∴k 3＝4k －1k －1－22k ＋1k －1－2＝2k ＋13， ∴k 1＋k 2＝2k 3.∴存在实数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3成立，且λ＝2.。

第五章 三角函数高考导航考纲要求备考策略1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化.2.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.3.能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.4.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在()－π2，π2上的单调性. 5.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin xcos x＝tan x .6.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义，能画出函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响.7.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.8.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式；会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题，能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.三角函数是物理学的重要工具，也是高中数学的主干之一，高考中一般以选择、填空题的形式考查三角函数的图象和性质，三角恒等变换，以解答题形式考查三角函数与解三角形结合的综合题，属中、低档题.复习时采用以下应对策略： 1.有关三角函数最小正周期的求法，主要是通过等价变形，化归为基本初等函数或形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，然后套用公式求解，也可利用图象法或定义法.2.求三角函数的值域或最值，需要用三角函数式的恒等变形，基本三角函数的定义域和值域、单调性等性质，常用的方法有换元法、均值不等式法和图象法.3.掌握好平行移动中三角函数的图象、表达式及性质的对应变化规律，学会收集信息和处理信息的方法，注意整体思想的运用.4.加大力度训练三角函数与解三角形的综合问题，熟练掌握正弦定理、余弦定理以及它们的恒等变形. 5.加强三角函数的二倍角、两角和与差等重要公式及变形式的记忆和熟练应用.知识网络5.1 任意角的三角函数的概念考点诠释重点：任意角三角函数的概念，弧度制及相关公式.难点：弧度制的概念，综合运用公式进行求值等，对三角函数线的理解及应用.典例精析题型一 象限角及终边相同的角【例1】(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；(2)若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0,2π)内终边与θ3角的终边相同的角；(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限.【解析】(1)因为(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，所以终边在直线y ＝3x 上的角的集合为.(2)因为θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，所以θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z ).依题意0≤2π7＋2k π3＜2π⇒－37≤k ＜187，k ∈Z .所以k ＝0,1,2，即在[0,2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)由α是第三象限角，得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z ).所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴.【方法归纳】由α所在的象限，确定αn或nα所在象限的方法(1)由角α的范围，求出αn或nα所在的范围；(2)通过分类讨论把角写成θ＋k ·360°(k ∈Z )的形式，然后判断αn或nα所在的象限.【举一反三】1.已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝＋的值为( B )A.1B.－1C.3D.－3 【解析】由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，α的终边在第四象限，又θ与α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ＜0，cos θ＞0，tan θ＜0.因此y ＝－1＋1－1＝－1.故选B . 题型二 三角函数的定义【例2】已知角α的终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，则sin α＋1tan α＝ .【思路分析】先根据三角函数的定义，求出cos α的值，然后解出x ，从而解出sin α和tan α的值.【解析】－65＋66或65－66.因为P (x ，－2)(x ≠0)， 所以点P 到原点的距离r ＝x 2＋2，所以cos α＝x x 2＋2，又因为cos α＝36x ，所以xx 2＋2＝36x ， 因为x ≠0，所以x ＝±10，r ＝2 3. 当x ＝10时，sin α＝－66，1tan α＝－5， 所以sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66，当x ＝－10时，同理可求sin α＋1tan α＝65－66.故sin α＋1tan α的值为－65＋66或65－66.【方法归纳】三角函数定义的实质是利用角的终边上一点的坐标来表示各个三角函数值，因此其坐标的比值与三角函数值有密切联系.【举一反三】2.已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值.【解析】因为角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上， 所以在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ， 所以r ＝PO ＝x 2＋y 2＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34，或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.题型三 弧长、扇形面积公式的应用【例3】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积； (2)若扇形的周长是一定值C (C ＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值？并求出这个最大值.【思路分析】(1)弓形面积等于扇形面积与三角形面积的差；(2)用圆心角α表示扇形面积，转化为求关于α的函数的最大值问题.【解析】(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，因为α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，所以l ＝10π3 cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×10×10π3－12×102×sin π3＝50⎝⎛⎭⎫π3－32(cm 2).(2)因为C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，所以R ＝C2＋α，S 扇＝12αR 2＝12α⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2＝C 22·αα2＋4α＋4＝C 22·1α＋4α＋4≤C 216，当且仅当α＝4α，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形的面积有最大值为C 216.【方法归纳】合理选择参数，运用函数思想、转化思想解决扇形的有关最值问题，可用基本不等式或二次函数配方法求最值，但要注意，在用弧长公式l ＝|α|R 与扇形面积公式S＝12lR ＝12R 2|α|时，α的单位必须是弧度. 【举一反三】3.已知一扇形的面积为定值S ，当圆心角α为多少弧度时，该扇形的周长C 有最小值？并求出最小值.【解析】因为S ＝12Rl ，所以Rl ＝2S ，所以周长C ＝l ＋2R ≥22Rl ＝24S ＝4S ， 当且仅当l ＝2R 时，等号成立，此时C ＝4S ，所以当α＝lR＝2时，周长C 有最小值4S .体验高考(2015广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.【解析】(1)因为m ⊥n ，所以m·n ＝22sin x －22cos x ＝0. 即sin x ＝cos x ，又x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 所以tan x ＝sin xcos x＝1.(2)易求得|m |＝1，|n |＝sin 2x ＋cos 2x ＝1.因为m 与n 的夹角为π3，所以cos π3＝m·n|m |·|n |＝22sin x －22cos x 1×1，则22sin x －22cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12.又因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以x －π4∈⎝⎛⎭⎫－π4，π4. 所以x －π4＝π6，解得x ＝5π12.【举一反三】(2015福建)若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( D )A.125B.－125C.512D.－512【解析】因为sin α＝－513，α为第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝1213，所以tan α＝sin αcos α＝－512.故选D.5.2 同角三角函数的关系式、诱导公式考点诠释重点：同角三角函数关系式，诱导公式的记忆和推导. 难点：同角三角函数关系式，诱导公式的灵活运用.典例精析题型一 同角三角函数的基本关系式的应用 【例1】已知sin α＝2cos α，求： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋2sin αcos α的值.【思路分析】直接代入可以化为“同名三角函数”，约分可得.也可用同除转化法“化弦为切”代入计算.【解析】(1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.【方法归纳】1.由条件可得tan α＝2，所以本题属于“已知角α的一个三角函数值，求其他函数值”的问题，其一般解法是由tan α＝2，通过同角三角函数关系式，求出sin α，cos α代入求解.但在本题中，考虑到由tan α＝2不能确定角α所在的象限，需要分类讨论，比较麻烦，所以可从整体上观察结构；2.如果所给分式的分子、分母是关于sin α和cos α的齐次式，则可通过同除以关于cos α的最高次幂将分式转化成关于tan α的分式，然后代入求值.【举一反三】1.已知α是第四象限角，且tan α＝－34，则sin α等于( A )A.－35B.35C.45D.－45【解析】因为tan α＝sin αcos α＝－34，所以cos α＝－43sin α，因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋169sin 2 α＝1，即sin 2α＝925，因为α是第四象限角，所以sin α＝－925＝－35，故选A.题型二 利用诱导公式化简与求值【例2】(1)化简：sin(k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos(k π＋α)，k ∈Z ；(2)化简：tan (2π－α)·cos(2π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫－α＋3π2cos(－α＋π)·sin(－π＋α)；(3)如果α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α＝45，那么sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－22cos(π－α)等于( ) A.225 B.－25 C.25 D.－225【思路分析】(1)式中需用“同名诱导公式”化简，但与k 的奇偶性有关，故按k 的奇偶性分类讨论；(2)式中既用“同名诱导公式”，也用“异名诱导公式”，同时要化切为弦，变为“同角、同名”，最后化简；(3)先利用同角三角函数关系式求cos α，再利用诱导公式化简求值.【解析】(1)当k 为偶数时，记k ＝2n (n ∈Z )， 原式＝sin(2n π－α)cos[(2n －1)π－α]sin[(2n ＋1)π＋α]cos(2n π＋α)＝sin(－α)cos(－π－α)sin(π＋α)cos α＝－sin α(－cos α)－sin αcos α＝－1；当k 为奇数时，记k ＝2n ＋1(n ∈Z )， 原式＝sin[(2n ＋1)π－α]cos [(2n ＋1－1)π－α]sin[(2n ＋1＋1)π＋α]cos[(2n ＋1)π＋α]＝sin(π－α)cos αsin αcos(π＋α)＝sin αcos αsin α(－cos α)＝－1. 综上，原式＝－1.(2)原式＝－tan α·cos α·sin ⎝⎛⎭⎫π＋π2－α－cos α·[－sin(π－α)]＝tan α·⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫π2－α－sin α＝tan α·(－cos α)－sin α＝tan α·cos αsin α＝1.(3)B.由α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝45，得cos α＝－35，原式＝22(sin α＋2cos α)＝－25，故选B.【方法归纳】用诱导公式化简来求值，一般从正面直接应用公式进行化简，在此种情况下最容易出错的地方是三角函数的符号，为此需要牢记诱导公式，可通过“奇变偶不变，符号看象限”这一简便记法理解记忆.【举一反三】2.已知sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35，则cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的值是.【解析】cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π6－x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π6－x ＝35. 题型三 sin α±cos α与sin αcos α关系的应用【例3】已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值；(2)求1cos 2x －sin 2x的值.【思路分析】形如sin x ＋cos x ＝t ，一般先平方后求sin x cos x 的值，再由sin x －cos x ＝±1－2sin x cos x 求解，也可直接解由sin x ＋cos x ＝t 和sin 2x ＋cos 2x ＝1组成的方程组，求sin x 及cos x .【解析】(1)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15， ①sin 2x ＋cos 2x ＝1， ②由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得25cos 2x －5cos x －12＝0.因为－π2＜x ＜0，所以所以sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)可知所以1cos 2x －sin 2x ＝257.【方法归纳】对于这类利用已知α的一个三角函数值或者几种三角函数值之间的关系及α所在的象限，求其他三角函数值的问题，我们可以利用平方关系和商数关系求解.其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找出解决问题的突破口.【举一反三】3.已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝3－12，则tan θ的值为( C ) A.－3或－33B.－33C.－ 3D.－32【解析】解法一：由sin θ＋cos θ＝3－12， 两边平方得，sin θcos θ＝－34，由sin θ·cos θ＝sin θ·cos θsin 2θ＋cos 2θ＝tan θ1＋tan 2θ＝－34，解得tan θ＝－3或tan θ＝－33， 因为θ∈(0，π),0＜sin θ＋cos θ＝12(3－1)＜1，所以θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，|sin θ|＞|cos θ|，所以|tan θ|＞1，所以tan θ＝－33舍去，故tan θ＝－ 3.故选C.解法二：由sin θ＋cos θ＝3－12， 两边平方得sin θ·cos θ＝－34，所以(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θ·cos θ＝ 1＋32＝4＋234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122. 因为θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝12(3－1)＜1，所以θ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin θ－cos θ＞0， 所以sin θ－cos θ＝3＋12. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝3－12，sin θ－cos θ＝3＋12，解得⎩⎨⎧sin θ＝32，cos θ＝－12，所以tan θ＝－ 3.故选C.体验高考(2015四川)已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos 2α的值是 . 【解析】－1.由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos 2α＝2sin αcos α－cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－1tan 2α＋1＝2×(－2)－1(－2)2＋1＝－55＝－1.【举一反三】(2015重庆)若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5等于( C )A.1B.2C.3D.4【解析】cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎣⎡⎦⎤π2＋⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π5sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsin π5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan α＋tan π5tan α－tan π5， 因为tan α＝2tan π5，所以cos ⎝⎛⎭⎫α－3π10sin ⎝⎛⎭⎫α－π5＝3tan π5tan π5＝3.故选C.5.3 两角和与差、二倍角的三角函数考点诠释重点：掌握两角和与差及二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用三角函数公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.难点：能灵活运用上述公式化简、求值和恒等式证明，解决一些相关的实际问题，熟悉等价化归思想方法及方程和分类讨论的思想方法.典例精析题型一 给角求值【例1】化简：(1＋sin θ＋cos θ)⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22＋2cos θ(0＜θ＜π).【思路分析】本题中角不同先“化同角”，化θ为θ2，遇到根号可利用升幂公式1＋cos θ＝2cos 2θ2开方化简，要注意角的范围对符号的影响.【解析】因为0＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，所以原式＝⎝⎛⎭⎫2sin θ2cos θ2＋2cos 2θ2⎝⎛⎭⎫sin θ2－cos θ22cos 2θ2＝2cos θ2⎝⎛⎭⎫sin 2θ2－cos 2θ22cosθ2＝－cos θ.【方法归纳】三角函数式化简的基本思路(1)“化同名”，一般有弦化切或切化弦，使之统一函数名；(2)“化同角”，即涉及到单角、倍角等角时，可根据具体情况利用公式将角转化为同一个角；(3)“化同次”，即式子中各项次数大小不一时，可考虑升幂或降幂，使各项次数统一.【举一反三】1.求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°⎝⎛⎭⎫1tan 5°－tan 5°.【解析】原式＝2cos 2 10°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°⎝⎛⎭⎫cos 5°sin 5°－sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5° ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°12sin 10° ＝cos 10°2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°＝cos 10°－2sin(30°－10°)2sin 10°＝cos 10°－2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°2sin 10°＝3sin 10°2sin 10°＝32. 题型二 给值求值【例2】已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω＞0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617，求cos(α＋β)的值. 【思路分析】(1)由T ＝2πω，求ω；(2)先将已知条件化简，求出sin α，cos α，sin β，cosβ，再利用和角公式计算.【解析】(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω＞0)的最小正周期T ＝10π＝2πω，所以ω＝15. (2)由(1)知f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫15x ＋π6，而α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π＝1617， 即2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5α＋5π3＋π6＝－65，2cos ⎣⎡⎦⎤15⎝⎛⎭⎫5β－5π6＋π6＝1617， 即cos ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝－35，cos β＝817， 于是sin α＝35，cos α＝45，sin β＝1517，故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝45×817－35×1517＝－1385.【方法归纳】三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示. (1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差；(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍”的关系或“互余互补”关系； (3)常见的配凑技巧：α＝2·α2＝(α＋β)－β＝β－(β－α)＝12[(α＋β)＋(α－β)]，π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. 【举一反三】2.若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2等于( C )A.33B.－33C.539D.－69【解析】cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， 因为0＜α＜π2，则π4＜π4＋α＜3π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223. 又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2，则sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539，故选C. 题型三 给值求角【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.【思路分析】首先利用已知角的三角函数值求得tan(2α－β)的值，然后由已知缩小角α，β的范围，确定2α－β的范围从而求角.【解析】因为tan 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan 2(α－β)＝43，所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan 2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，因为α∈(0，π)，所以0＜α＜π4，又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4. 【方法归纳】已知三角函数值求角，选函数时，可按照下列原则：一般已知正切函数值，选正切函数；已知正、余弦三角函数值，选正弦或余弦函数，若角的范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，有时选正弦函数，有时选余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎫－π2，π2，选正弦函数较好；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好.【举一反三】3.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2.(1)求tan 2α的值； (2)求β.【解析】(1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2 α＝＝437.所以tan α＝sin αcos α＝437×71＝4 3.于是tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝2×431－(43)2＝－8347.(2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝＝3314. 由β＝α－(α－β)，得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12， 所以β＝π3.体验高考(2015广东)已知tan α＝2.(1)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值.【解析】(1)因为tan α＝2，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan α·tanπ4＝2＋11－2×1＝－3. (2)因为tan α＝2，所以sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－(cos 2α－sin 2α)－(sin 2α＋cos 2α)＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2 ＝2×222＋2－2＝1. 【举一反三】(2015江苏)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝17，则tan β的值为 3 .【解析】tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan(α＋β)－tan α1＋tan(α＋β)tan α＝17－(－2)1＋17×(－2)＝3.5.4 三角恒等变换考点诠释重点：加强对三角函数公式的理解，提高利用三角函数进行恒等变形推导数学公式的能力. 难点：灵活运用三角函数公式进行三角恒等变形.典例精析题型一 三角函数式的化简 【例1】化简下列各式：(1)21＋sin α＋2(1＋cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2； (2)2cos 4 x －2cos 2 x ＋122tan ⎝⎛⎭⎫π4－x sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋x .【思路分析】利用相关公式化简即可求解.【解析】(1)因为1＋sin α＝sin 2 α2＋cos 2 α2＋2sin α2·cos α2＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22， 2(1＋cos α)＝2⎝⎛⎭⎫1＋2cos 2 α2－1＝4cos 2 α2， 所以原式＝2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋2⎪⎪⎪⎪cos α2. 因为α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，所以α2∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. 所以sin α2＋cos α2＞0，cos α2＜0.故2⎪⎪⎪⎪sin α2＋cos α2＋2⎪⎪⎪⎪cos α2＝ 2sin α2＋2cos α2－2cos α2＝2sin α2.(2)原式＝12(4cos 4 x －4cos 2 x ＋1)2×sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x＝(2cos 2x －1)24sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x＝cos 22x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos 22x 2cos 2x ＝12cos 2x .【方法归纳】1.三角函数式的化简原则：一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分；2.三角函数式化简的方法主要是弦切互化，异名化同名，异角化同角.【举一反三】1.已知0＜x ＜e q【解析】原式＝lg(sin x ＋cos x )＋lg(sin x ＋cos x )－lg(1＋sin 2x )＝lg(sin x ＋cos x )21＋sin 2x＝lg 1＋sin 2x 1＋sin 2x ＝0. 题型二 a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用 【例2】已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)的值；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围.【思路分析】(1)先切化弦，然后通过x ＋π4与x －π4之间的关系及诱导公式把函数f (x )的解析式化为二次形式，然后通过降幂扩角化简函数解析式；(2)通过辅助角公式使函数解析式化简成A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，最后利用三角函数的性质求解. 【解析】(1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝12＋12(sin 2x －cos 2x )＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45.cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝－35.所以f (α)＝12(sin 2α＋cos 2α)＋12＝35.(2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4. 所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，所以0≤f (x )≤2＋12， 所以f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2＋12. 【方法归纳】公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)的应用及注意事项(1)利用a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)把形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋k 的函数化为一个角的某种函数的一次式，可以求三角函数的周期、单调区间、值域、最值和对称轴等.(2)该公式是逆用两角和的正弦公式得到的，当φ为特殊角，即⎪⎪⎪⎪a b 的值为1或3⎝⎛⎭⎫33时要熟练掌握，对φ是非特殊角时，只要求会求最值即可.【举一反三】2.已知函数f (x )＝sin 2x －23sin 2x ＋3＋1.(1)求f (x )的最小正周期及其单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6时，求f (x )的值域. 【解析】f (x )＝sin 2x ＋3(1－2sin 2x )＋1＝sin 2x ＋3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.由正弦函数的性质知，当2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )时，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3为单调递增函数，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z ).(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π6，所以2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤0，2π3，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3∈[0,1]， 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1∈[1,3].所以f (x )的值域为[1,3]. 题型三 三角恒等式的证明问题【例3】已知tan(α＋β)＝2tan β.求证：3sin α＝sin(α＋2β).【思路分析】观察条件与结论间的差异可知：(1)函数名称的差异是正弦与正切，可考虑用切化弦法化异为同；(2)角的差异是α＋β，β与α，α＋2β.通过观察可得已知角与未知角之间关系如下：(α＋β)－β＝α，(α＋β)＋β＝α＋2β，由此可化异为同.【证明】由已知tan(α＋β)＝2tan β可得sin(α＋β)cos(α＋β)＝2sin βcos β，所以sin(α＋β)·cos β＝2cos(α＋β)·sin β. 而sin(α＋2β)＝sin[(α＋β)＋β] ＝sin(α＋β)·cos β＋cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β＋cos(α＋β)·sin β ＝3cos(α＋β)·sin β， 又sin α＝sin[(α＋β)－β]＝sin(α＋β)·cos β－cos(α＋β)·sin β ＝2cos(α＋β)·sin β－cos(α＋β)·sin β ＝cos(α＋β)·sin β， 故sin(α＋2β)＝3sin α.【方法归纳】分析条件等式与论证式中角和函数名称的差异，从而进行配角，再利用同角三角函数关系式消除函数名称的差异.【举一反三】3.已知sin β＝m sin(2α＋β)，其中m ≠1，2α＋β≠k π，α≠k π＋π2，α＋β≠n π＋π2(k ，n ∈Z )，求证：tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α.【证明】由sin β＝m sin(2α＋β)， 得sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]， 即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝ m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，(1－m )sin(α＋β)cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α， 所以tan(α＋β)＝1＋m1－m·tan α.题型四 三角恒等变换的应用【例4】设函数f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x ).求g (x )在区间[－π，0]上的解析式.【思路分析】(1)先将函数f (x )化成一个角的一种三角函数，求最小正周期；(2)求解析式时注意分类讨论.【解析】(1)f (x )＝22cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin 2x ＝22⎝⎛⎭⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x . 故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故 当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎡⎦⎤0，π2. 由于对任意x ∈R ，g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝g (x )，从而 g (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x . 当x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎡⎭⎫0，π2. 从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x .综上得g (x )在[－π，0]上的解析式为g (x )＝⎩⎨⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎭⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，0.【方法归纳】解决本题的方法是利用公式将三角函数式化成一个角的一种三角函数. 【举一反三】4.已知函数f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12，x ∈R . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，5π12时，求函数f (x )的最小值和最大值； (2)设△ABC 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝3，f (C )＝0，sin B ＝2sin A ，求a ，b 的值. 【解析】(1)f (x )＝32sin 2x －cos 2x －12＝32sin 2x －1＋cos 2x 2－12＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－1， 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π12，5π12，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝－π12时，f (x )的最小值为－1－32；当x ＝π3时，f (x )的最大值是0.(2)由f (C )＝0，得f (C )＝sin ⎝⎛⎭⎫2C －π6－1＝0， 又C ∈(0，π)，则2C －π6∈⎝⎛⎭⎫－π6，11π6， 所以2C －π6＝π2，所以C ＝π3，则由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝2a ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2a ，3＝a 2＋b 2－ab ，解得a ＝1，b ＝2.体验高考(2015山东)设f (x )＝sin x cos x －cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求f (x )的单调区间；(2)在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若f ⎝⎛⎭⎫A 2＝0，a ＝1，求△ABC 面积的最大值.【解析】(1)由题意知，f (x )＝sin 2x2－1＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝sin 2x 2－1－sin 2x 2＝sin 2x －12. 由－π2＋2k π≤2x ≤π2＋2k π，k ∈Z ，可得－π4＋k π≤x ≤π4＋k π，k ∈Z ；由π2＋2k π≤2x ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，可得π4＋k π≤x ≤3π4＋k π，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π4＋k π，π4＋k π(k ∈Z )； 单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z ). (2)由f ⎝⎛⎭⎫A 2＝sin A －12＝0，得sin A ＝12， 由题意知A 为锐角，所以cos A ＝32.由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 可得1＋3bc ＝b 2＋c 2≥2bc ，即bc ≤2＋3，当且仅当b ＝c 时，等号成立. 因此12bc sin A ≤2＋34.所以△ABC 面积的最大值为2＋34. 【举一反三】(2015浙江)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调递减区间是.【解析】f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1＝12(sin 2x －cos 2x )＋32＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32. 易知最小正周期T ＝2π2＝π.当π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )， 即3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π(k ∈Z )时，f (x )单调递减， 所以f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤38π＋k π，78π＋k π(k ∈Z ).5.5 三角函数的图象和性质考点诠释重点：理解正弦、余弦、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦、余弦曲线，了解周期函数与最小正周期的意义.难点：灵活运用三角函数的性质解决简单三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等问题，并能解决与三角函数有关的实际问题.典例精析题型一 三角函数的定义域和值域【例1】(1)求函数y ＝lg(2sin x －1)＋1－2cos x 的定义域； (2)求函数y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域； (3)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x 的值域.【思路分析】(1)根据函数有意义列不等式组求解；(2)配方法；(3)换元法. 【解析】(1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧2sin x －1＞0，1－2cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ＞12，cos x ≤12，解得⎩⎨⎧π6＋2k π＜x ＜5π6＋2k π，π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π，(k ∈Z )，即π3＋2k π≤x ＜5π6＋2k π(k ∈Z ). 故所求函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π3＋2k π，5π6＋2k π(k ∈Z ). (2)y ＝2cos 2x ＋5sin x －4 ＝2(1－sin 2x )＋5sin x －4 ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －542＋98.故当sin x ＝1时，y max ＝1， 当sin x ＝－1时，y min ＝－9，故y ＝2cos 2x ＋5sin x －4的值域为[－9,1].(3)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－12，且|t |≤ 2.所以y ＝12(t 2－1)＋t ＝12(t ＋1)2－1，所以当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝2＋12.所以该函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2. 【方法归纳】1.三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.2.三角函数值域的求法求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求最值(值域)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【举一反三】1.(1)求函数的定义域； (2)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x 满足f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤π4，11π24上的最大值和最小值. 【解析】(1)要使函数有意义，则即⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ≤4，k π≤x ＜k π＋π2(k ∈Z ).利用数轴可得：所以函数的定义域是.(2)f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝⎛⎭⎫π2－x ＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2x＝a2sin 2x －cos 2x . 由于f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f (0)，所以a 2·sin ⎝⎛⎭⎫－2π3－cos ⎝⎛⎭⎫－2π3＝－1， 即－34a ＋12＝－1，得a ＝2 3.于是f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤π4，11π24，所以2x －π6∈⎣⎡⎦⎤π3，3π4， 因此当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取得最大值f ⎝⎛⎭⎫π3＝2，当2x －π6＝3π4即x ＝11π24时，f (x )取得最小值f ⎝⎛⎭⎫11π24＝ 2.题型二 三角函数的奇偶性、周期性及对称性【例2】(1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A.x ＝π4 B.x ＝π2C.x ＝－π4D.x ＝－π2(2)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ等于( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3(3)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4B.π3C.π2D.3π4【思路分析】(1)思路一是令x －π4＝k π＋π2，求出x ，再给k 赋值；思路二是根据f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的特点，对称轴对应的函数值为±1，利用排除法得正确选项，此法是解本类选择题型最有效的常用方法；(2)f (x )＝sin(ωx ＋φ)若是偶函数，则三角函数的名称需发生变化，只需令φ＝k π＋π2即可；(3)解题的关键是得到x ＝π4和x ＝5π4之间的距离是半个周期.【解析】(1)C.解法一(图象特征)：因为正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，所以x ＝k π＋3π4，k ∈Z ，取k ＝－1，则x ＝－π4.解法二(验证法)：x ＝π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－π4＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－π4＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4－π4＝－1，符合题意，C 正确；而x ＝－π2时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2－π4＝－22，不合题意，故D 也不正确. (2)C.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z ).又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.(3)A.2πω＝2⎝⎛⎭⎫5π4－π4，得ω＝1，所以f (x )＝sin(x ＋φ)，所以f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝±1，因为0＜φ＜π，所以π4＜φ＋π4＜5π4，所以φ＋π4＝π2，所以φ＝π4.【方法归纳】三角函数的奇偶性、周期性及对称性的处理方法(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝k π＋π2(k ∈Z )，同时，当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，同时，当x ＝0时，f (x )＝0； (2)求三角函数最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)，y ＝A tan(ωx ＋φ)的形式，再应用公式T ＝2π|ω|，T ＝2π|ω|，T ＝π|ω|分别求解；(3)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断.【举一反三】2.已知：a ＝(3sin x ，cos x )，b ＝(cos x ，cos x )，f (x )＝2a·b ＋2m －1(x ，m ∈R ).(1)求f (x )关于x 的表达式，并求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的最小值为5，求m 的值. 【解析】(1)f (x )＝23sin x cos x ＋2cos 2x ＋2m －1＝3sin 2x ＋cos 2x ＋2m ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2m .所以f (x )的最小正周期是π.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，函数f (x )取得最小值2m －1.因为2m －1＝5，所以m ＝3.题型三 三角函数的单调性【例3】求出下列函数的单调区间：(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3； (2)y ＝|tan x |；(3)y ＝log (sin 2x ).【思路分析】(1)化为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，再求单调区间； (2)画出草图，数形结合求单调区间； (3)复合函数可利用“同增异减”求单调区间. 【解析】(1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ；增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ；减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . (3)函数y ＝log u 为减函数，且u ＝sin 2x >0，u 的增区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈Z ；减区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z . 所以函数y ＝log (sin 2x )的减区间为⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈Z ；增区间为⎣⎡⎭⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z .【方法归纳】1.在解决y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关性质时，应将ωx ＋φ视为一个整体后再与基本函数y ＝sin x 的性质对应求解；2.在求三角函数的单调区间时，数形结合往往可加快解题速度；3.复合函数的单调性可通过“同增异减”来判断.【举一反三】3.(1)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( A )A.⎣⎡⎦⎤12，54B.⎣⎡⎦⎤12，34C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.(0,2) (2)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω＞0)的最小正周期为π. ①求ω的值；②讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的单调性. 【解析】(1)由π2＜x ＜π，ω＞0得，ωπ2＋π4＜ωx ＋π4＜ωπ＋π4，又y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫π2，3π2上递减，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A.(2)①f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4＝22sin ωx ·cos ωx ＋22cos 2ωx ＝2(sin 2ωx ＋cos 2ωx )＋2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋ 2. 因为f (x )的最小正周期为π，且ω＞0，所以有2π2ω＝π，故ω＝1.②由①知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋ 2. 若0≤x ≤π2，则π4≤2x ＋π4≤5π4.当π4≤2x ＋π4≤π2，即0≤x ≤π8时，f (x )单调递增； 当π2≤2x ＋π4≤5π4，即π8≤x ≤π2时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π8上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π8，π2上单调递减. 体验高考(2015四川)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( A )A.y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C.y ＝sin 2x ＋cos 2x D.y ＝sin x ＋cos x【解析】A.选项A 中，y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，符合题意，故选A. 【举一反三】(2015安徽)已知函数f (x )＝(sin x ＋cos x )2＋cos 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【解析】(1)因为f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)由(1)的计算结果知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1， 当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 由正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤π4，5π4上的图象知，当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，f (x )取最大值2＋1；当2x ＋π4＝5π4，即x ＝π2时，f (x )取最小值0.综上，f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为2＋1，最小值为0.5.6 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和性质考点诠释重点：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象和正弦函数图象的关系. 难点：函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换及三角函数的应用.典例精析题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的作法【例1】已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象.【思路分析】设x ′＝2x ＋π3，令x ′取0，π2，π，3π2，2π，解得相应x 值并列表求得对应y值，然后描点作图.【解析】(1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令x ′＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin x ′. 列表如下：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 x ′ 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin x ′ 01 0 －1 0 y ＝2sin ()2x ＋π32－2描点连线得函数图象：【方法归纳】用“五点法”作图应抓住四条：(1)先化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的形式；(2)求出周期T ＝2πω；(3)求出振幅A ；(4)列出一个周期内的五个特殊点，当画某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点.【举一反三】1.已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4，x ∈R . (1)画出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的简图； (2)将函数y ＝sin x 的图象作怎样的变换可得到f (x )的图象？【解析】(1)找出关键点并列表：x π2 3π2 5π2 7π2 9π2 12x －π4 0 π2 π 3π2 2π f (x )3－3(2)先把y ＝sin x 的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再把所有点的纵坐标伸长为原来的3倍(横坐标不变)，得到f (x )的图象.题型二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换【例2】将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移π4个单位，所得的图象解析式是( )A.y ＝sin xB.y ＝cos xC.y ＝sin 4xD.y ＝cos 4x【思路分析】根据图象变换的步骤可求解.【解析】A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象 y ＝sin x 的图象，故选A.【方法归纳】在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由y ＝A sin ωx 的图象得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω而不是|φ|.【举一反三】2.把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( A )【解析】函数y ＝cos 2x ＋1图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得到函数y ＝cos x ＋1的图象；再将函数图象向左平移1个单位长度，得到函数y ＝cos(x ＋1)＋1的图象；最后把函数图象向下平移1个单位长度即得到函数y ＝cos(x ＋1)的图象，可以看成是函数y ＝cos x 向左平移1个单位得到y ＝cos(x ＋1)的图象，可用特殊点验证函数的大致位置.故选A.题型三 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式【例3】(1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图(1)所示，则f (0)＝ ；(2)如图(2)所示是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|∈⎝⎛⎭⎫0，π2图象的一部分，则f (x )的解析式为 .【思路分析】(1)先求解析式再求值；(2)关键是求φ，把(0,2)代入f (x )求φ. 【解析】(1)62.由图可知A ＝ 2. 因为T 4＝7π12－π3＝π4，所以T ＝π，又因为T ＝2πω＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝0.。

第四章 三角函数第一节 三角函数概念、同角三角函数关系式和诱导公式题型42 终边相同的角的集合的表示与识别——暂无 题型43 倍角、等分角的象限问题——暂无 题型44 弧长与扇形面积公式的计算——暂无 题型45 三角函数定义题——暂无 题型46 三角函数线及其应用——暂无题型47 象限符号与坐标轴角的三角函数值——暂无 题型48 诱导求值与变形——暂无题型49 同角求值——已知角与目标角相同——暂无第二节 三角函数的图像与性质题型50 已知解析式确定函数性质1.（2017全国3理6）设函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列结论错误的是（ ）.A ．()f x 的一个周期为2-πB ．()y f x =的图像关于直线83x π=对称 C ．()f x +π的一个零点为6x π=D ．()f x 在上π,2⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减解析 函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像可由cos y x =向左平移π3个单位长度得到，由图可知，()f x 在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上先递减后递增，所以D 选项错误.故选D.题型51 根据条件确定解析式1.（2017天津理7）设函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R ，其中0ω>，||ϕ<π.若528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()f x 的最小正周期大于2π，则（ ）. A.23ω=，12ϕπ=B.23ω=，12ϕ11π=-C.13ω=，24ϕ11π=-D.13ω=，24ϕ7π= 解析 解法一：由题意125π282118k k ωϕωϕπ⎧+=π+⎪⎪⎨π⎪+=π⎪⎩，其中12,k k ∈Z ，所以()2142233k k ω=--.又22T ωπ=>π，所以01ω<<，从而23ω=.由11212k ϕ=π+π，由ϕ<π，得π12ϕ=.故选A ．解法二：由528f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，08f 11π⎛⎫= ⎪⎝⎭，易知58x π=为()()2sin f x x ωϕ=+的一条对称轴，点11,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 的一个零点，则()11521884T k ππ-=+⨯，又因为2T ωπ= ，即()221=3k ω+.又0ω>，且()f x 的最小正周期大于2π，所以2=3ω，从而52+2832k ϕππ⨯=π+，又ϕ<π，所以=12ϕπ.故选A. 2.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22sin26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π. 由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟. 所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.题型52 三角函数的值域（最值)——暂无 题型53 三角函数图像变换1.（2017全国1理9）已知曲线1cos C y x =：，22πsin 23C y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭：，则下面结论正确的是（ ）.A.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CB.把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C C.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线2CD.把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线2C 解析 1:cos C y x =，22π:sin 23⎛⎫=+⎪⎝⎭C y x . 首先曲线1C ，2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理．πππcos cos sin 222⎛⎫⎛⎫==+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω，即112πππsin sin 2sin 2224C y x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+−−−−−−−−−−→=+=+→⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上各坐短到原的倍点横标缩来2ππsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 注意ω的系数，左右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+x 平移至π3+x ， 根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π12．故选D.2.（2017山东理1）设函数()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中03ω<<.已知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）求ω；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图像向左平移4π个单位，得到函数()y g x =的图像，求()g x 在3,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值. 解析 （1）因为()sin sin 62f x x x ωωππ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1cos cos 2f x x x x ωωω=--3cos 2x x ωω=-1sin 2x x ωω⎫==⎪⎪⎭sin 3x ωπ⎫-⎪⎭.由题设知06f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以63k ωππ-=π，k ∈Z . 故62k ω=+，k ∈Z ，又03ω<<，所以2ω=. （2）由（1）得()s i n 23fx π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()s i n 3s i n4312g x x πππ⎛⎛⎫=+=- ⎪⎝⎝⎭. 因为3,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以2,1233x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当123x ππ-=-，即4x π=-时，()g x 取得最小值32-.第三节 三角恒等变换题型54 化简求值1.（17江苏05）若π1tan 46α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α= ．解析 解法一（角的关系）：tan tan 44ααππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭7tan 1746551tan 64ααπ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭===π⎛⎫-- ⎪⎝⎭．故填75．解法二（直接化简）：πtan 11tan 41tan 6ααα-⎛⎫-== ⎪+⎝⎭，所以7tan 5α=．故填75．2.(2017北京理12)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=，()cos αβ-=___________. 解析 由题作出图形，如图所示，1sin 3α=，则cos 3α=，由于α与β关于y轴对称，则()1sin sin 3βα=π-=，cos 3β=-，故()117cos 339αβ⎛-=+⨯=- ⎝⎭.3.（2017全国2理14）函数()23sin 0,42f x x x x ⎛π⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是 ．解析 ()2233πsin 1cos 0442f x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=-=--∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，，令cos x t =且[]01t ∈，，214y t =-+21t ⎛=-+ ⎝⎭，当t =，即6x π=时，()f x 取最大值为1．4.(2017浙江理18)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求()f x 的最小正周期及单调递增区间.解析 （1）由2sin 3π=21cos 32π=-，得222112322f π⎛⎫⎛⎫⎛⎫=----= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. （2）由22cos 2cos sin x x x=-，sin 22sin cos x x x=，得()co 23s i n 22sin26fx x x x π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期是2π2T ==π.由正弦函数的性质得3222,262k x k k πππ+π++π∈Z 剟，解得2,63k x k k ππ+π+π∈Z 剟.所以()f x 的单调递增区间是2,63k k k ππ⎡⎤+π+π∈⎢⎥⎣⎦Z ，.第四节 解三角形题型55 正弦定理的应用1.（2017天津理15）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知a b >，5,6a c ==，3sin 5B =. （1）求b 和sin A 的值；（2）求πsin 24A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.解析 （1）在ABC △中，因为a b >，故由3sin 5B =，可得4cos 5B =.由已知及余弦定理，得2222cos 13b a c ac B =+-=，所以b =由正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 13a B Ab ==.（2）由（Ⅰ）及a c <，得cos A =，所以12sin 22sin cos 13A A A ==，25cos 212sin 13A A =-=-，故πππsin 2sin 2cos cos 2sin 44426A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.2.（2017山东理9）在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC △为锐角三角形，且满足()sin 12cos 2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）.A.2a b =B.2b a =C.2A B =D.2B A = 解析 因为s i n ()2s i n c o s 2s i n A C B C AC A C ++=+，所以2s i nc o s s i B C A C =，又02C π<<，得2sin sin B A =，即2b a =.故选A.题型56 余弦定理的应用题型57 判断三角形的形状——暂无 题型58 解三角形的综合应用1.（2017江苏18）如图所示，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，11E G 的长分别为14cm 和62cm ． 分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ． 现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm （容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）.（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱1CC 上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱1GG 上，求l 没入水中部分的长度．ACA 1C 1容器ⅠE G 1H 1容器Ⅱ解析 （1）由正棱柱的定义，1CC ⊥平面ABCD ，所以平面11A ACC ⊥平面ABCD ，1CC AC ⊥．记玻璃棒的另一端落在1CC 上点M 处，如图所示为截面11A ACC 的平面图形．因为AC =40AM =，所以30MC ==，从而3sin 4MAC ∠=.记AM 与水面的交点为1P ， 过点1P 作11PQ AC ⊥，1Q 为垂足，则11PQ ⊥平面ABCD ，故1112PQ =，从而11116sin PQ AP MAC==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ．问(1)AC 1A 1CMP 1Q 1（2）如图所示为截面11E EGG 的平面图形，O ，1O 是正棱台两底面的中心． 由正棱台的定义，1OO ⊥平面EFGH ， 所以平面11E EGG ⊥平面EFGH ，1O O EG ⊥．同理，平面11E EGG ⊥平面1111E FG H ，111O O E G ⊥．记玻璃棒的另一端落在1GG 上点N 处．过G 作11GK E G ⊥，K 为垂足，则132GK OO ==．因为 14EG =，1162E G =，所以16214242KG -==，从而1GG =40=．设1EGG α∠=，ENG β∠=，则114sin sin cos 25KGG KGG απ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭∠∠．因为2απ<<π，所以3cos 5α=-． 在ENG △中，由正弦定理可得4014sin sin αβ=，解得7sin 25β=． 因为02βπ<<，所以24cos 25β=， 于是()()sin sin sin =NEG αβαβ=π--=+∠sin cos cos sin αβαβ+4243735255255⎛⎫=⨯+-⨯= ⎪⎝⎭． 记EN 与水面的交点为2P ，过2P 作22PQ EG ⊥，2Q 为垂足，则22PQ ⊥平面EFGH ，故2212PQ =，从而22220sin P Q EP NEG==∠．答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为20cm ．问(2)G O E Q 2P 2NG 1KE 1O 1评注 此题本质上考查解三角形的知识，但在这样的大背景下构造的应用题让学生有畏惧之感，且该应用题的实际应用性也不强． 也有学生第（1）问采用相似法解决，解法如下：AC =40AM =，所以30CM ==，1112PQ =，所以由11AP A Q CM △△∽，111PQ AP CM AM =，即1123040AP =，解得116AP =． 答：玻璃棒l 没入水中部分的长度为16cm ． 2.(2017北京理15)在ABC △中，60A ∠= ，37c a =. （1）求sin C 的值；（2）若7a =，求ABC △的面积.解析 （1）在ABC △中，因为60A ∠= ，37c a =，所以由正弦定理得sin 3sin 7c A C a ===. （2）因为7a =，所以3737c =⨯=.由余弦定理2222c o s a b c b c A =+-，得222173232b b =+-⨯⨯，解得8b =或5b =-（舍）.所以ABC △的面积11sin 8322S bc A ==⨯⨯=.3.（2017全国1理17）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的面积为23sin a A.（1）求sin sin B C 的值；（2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长.分析 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.解析 （1）因为ABC △的面积23sin a S A =且1sin 2S bc A =，所以21sin 3sin 2a bc A A =，即223sin 2a bc A =.由正弦定理得223sin sin sin sin 2A B C A =，由sin 0A ≠，得2sin sin 3B C =. （2）由（1）得2sin sin 3B C =，又1cos cos 6B C =，因为πA B C ++=， 所以()()1cos cos πcos sin sinC cos cos 2A B C B C B B C =--=-+=-=.又因为()0πA ∈，，所以60A = ，sin A =，1cos 2A =.由余弦定理得2229a b c bc =+-=①由正弦定理得sin sin a b B A =⋅，sin sin a c C A =⋅，所以22sin sin 8sin a bc B C A=⋅= ② 由①，②，得b c +=3a b c ++=+ABC △周长为34.（2017全国2理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2s i n 8s i n 2BA C +=．(1)求cos B ;(2)若6a c +=，ABC △的面积为2，求.b 解析 （1）依题得21cos sin 8sin 84(1cos )22B B B B -==⋅=-． 因为22sin cos 1B B +=，所以2216(1cos )cos 1B B -+=，所以(17cos 15)(cos 1)0B B --=，得cos 1B =（舍去）或15cos 17B =. （2）由⑴可知8sin 17B =，因为2ABC S =△，所以1sin 22ac B ⋅=，即182217ac ⋅=，得172ac =.因为15cos 17B =，所以22215217a cb ac +-=，即22215a c b +-=，从而22()215a c ac b +--=， 即2361715b --=，解得2b =．5.（2017全国3理17）ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin 0A A =，a =2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积． 解析 （1）由sin 0A A =，得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，所以ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-⋅.又因为12,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，解得4c =.（2）因为2,4AC BC AB ===，由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-==. 因为AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，则cos AC CD C =⋅，得CD =从而点D 为BC的中点，111sin 222ABD ABC S S AB AC A ==⨯⨯⨯⨯=△6.(2017浙江理14)已知ABC △，4AB AC ==，2BC =. 点D 为AB 延长线上的一点，2BD =，联结CD ，则BD C △的面积是___________，cos BDC ∠=__________. 解析 如图所示，取BC 的中点为O ，在等腰ABC △中，A O O B⊥，所以AO =，sin sin CBD OBA?? 所以BDC △的面积为1sin 2BC BD OBA 创葱=2BC BD ==，所以BDC△是等腰三角形，所以2πCBD BDC ??，21cos cos(π2)12cos 4CBD BDC BDC?-?-?-，解得cos BDC ?．ODC BA。

训练目标 (1)三角函数的和差公式；(2)联系和转变的思想.训练题型(1)三角函数式的求值、化简； (2)协助角公式asinα＋bcosα＝a 2＋b 2sin(α＋φ)的应用；(3)三角变换的应用 .(1)应用三角函数公式化简求值的三步曲：一角二名三构造； (2)给值求角必定要解题策略求出角的范围.一、选择题1．(2015西·藏拉萨中学上学期第六次月考)已知α为第二象限角，sinα＝3，则sin2α等于()52412A ．－25B ．－2512 24 C.25D.25π7272．已知sin(α－4)＝10，cos2α＝25，则sin α等于() 4 4 A.5B ．－5 33C.5 D ．－53．化简cos(45－°α)cos(α＋15°)－sin(45 －°α)sin(α＋15°)的结果为() 1 1 A.2B ．－23 3C.2D ．－2π 4 37π )4．(2015郑·州一模)已知sin(＋α)＋sinα＝ 5 ，则sin(α＋ 6 )的值为(3A ．－2 5 3 B. 2 5 3 4 4 C.5D ．－511π5．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－3 ，且α，β∈(0， )，则cos(α－β)的值等于()321 1A ．－2B.21 23 C ．－3D.27π6．函数f(x)＝sinxsin(x －3)的最大值为()31A.4B．－43C．1 D.2510π3π7．(2015成·都一诊)若sin2α＝5，sin(β－α)＝10，且α∈[4，π]，β∈[π，2]，则α＋β的值是()7π9πA.4B.45π7π5π9πC.4或4D.4或428．(2015青·岛一模)设a＝cos50cos°127＋°cos40×°cos37，°b＝2(sin56－°cos56)°，c＝1－tan239°12°＋1)，则a，b，c，d的大小关系是() 2，d＝(cos80－°2cos501＋tan39°2A．a>b>d>c B．b>a>d>cC．a>c>b>d D．c>a>b>d二、填空题cos10－°3sin10°9.sin20°＝________.2ππ2sinx＋sin2x10．已知＝1(<x<)，则sinx－cosx＝________.1＋tanx24211．函数πf(x)＝sin(x＋4)＋π2cos(x＋2)在[0，π]上的最大值为________．12．设向量1πa＝(1，cos2θ)，b＝(2,1)，c＝(4sinθ，1)，d＝(2sinθ，1)，此中θ∈(0，4)．若f(x)＝x－1，f(a b)＋f(cd)＝6＋2，则cosθ－sinθ的值为________．22答案分析1． π5．D[∵α∈(0，2)，∴2α∈(0，π)． cos α＝1，3 cos2α＝2cos 2α－1＝－79，sin2α＝1－cos 22α＝492，π而α，β∈(0，2)，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝ 1－cos 2α＋β＝22，3∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)1422223(－9)×(－3)＋9×3＝27.]π16．A [f(x)＝sinxsin(x －3)3＝ sinx(2sinx －2cosx)232sinx －2sinxcosx＝11－cos2x －3 12 2 22sin2x1 1π＝ 4－2sin(2x ＋6)． 故函数的最大值为34.]7．A[由于α∈[ ππ，π]，因此 2α∈[，2π]，4 2又sin2α＝5，因此 π ππ2α∈[，π]，α∈[ ， ]，52 4 2故cos2α＝－25.又β∈[π， 3π π5π 5 2]，因此β－α∈[ ， 4 ]，2故cos(β－α)＝－310.10因此cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝ (－25)×(－310)－5×10510510＝2， 25π 7π且α＋β∈[ 4，2π]，故α＋β＝ 4.]8．C [a ＝cos50cos °127＋°cos40cos °37°sin40cos °127°＋cos40°sin127°sin(40°＋127°)＝sin167°＝sin13°，2 2 2b ＝2(sin56－°cos56)°＝2sin56－°2cos56°sin(56－°45°)＝sin11，°cos 239°－sin 239°1－tan 239° cos 239° c ＝2＝2 21＋tan39°cos39°＋sin39°2cos 239°－sin 239°＝cos78＝°sin12，°1 2d ＝2(cos80－°2cos50°＋1)1 12cos80－°2cos100＝°cos80°sin10，°故a>c>b>d ，选C.]9．22 11. 210.223－112.2 2分析 f(a b)＝ ab －11＋cos2θ＝ 2|cos θ|＝2cos θ，f(c d)＝cd －1＝2|sin θ|＝2sin θ，f(a b)＋f(c d)＝2(cos θ＋sin θ)＝ 6＋222.∴cos θ＋sin θ＝ 3＋1，∴ 2(cos θ＋sin θ)2＝1＋23，sin2θ＝3，2ππ又θ∈(0，)，∴2θ∈(0，)，42∴2θ＝ππ3，即θ＝6，∴cosθ－sinθ＝31－. 22。

1．函数y ＝ sin x －12的定义域为( )A ．[π6，5π6]B ．[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z )C ．[π6，2π3]D ．[5π6，π]2．(2015·惠州模拟)下列函数中周期为π且为偶函数的是( ) A ．y ＝cos(2x －π2)B ．y ＝sin(2x ＋π2)C ．y ＝sin(x ＋π2)D ．y ＝cos(x －π2)3．函数f (x )＝sin(x ＋π6)的一个递减区间是( )A ．[－π2，π2]B ．[－π，0]C ．[－23π，23π]D ．[π3，43π]4．将函数y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图象，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图象关于点(－π2，0)对称5．使奇函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)在[－π4，0]上为减函数的θ值为( )A ．－π3B ．－π6 C.5π6 D.2π36．下列关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的说法正确的是( ) A ．在区间⎝⎛⎭⎫－π6，5π6上单调递增 B ．最小正周期是πC ．图象关于点⎝⎛⎭⎫π4，0成中心对称 D ．图象关于直线x ＝π6成轴对称7．设函数f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)(|φ|<π2)，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在(0，π2)上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在(0，π4)上为减函数8．(2015·上海闵行区下学期质量调研考试)函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为[－1，12]，则b －a 的最大值是( ) A ．π B.4π3 C.5π3D ．π二、填空题9．(2015·南京模拟)函数y ＝2sin(3x ＋φ)(|φ|<π2)图象的一条对称轴为直线x ＝π12，则φ＝________.10．(2015·湖南衡阳八中月考)设x ∈(0，π2)，则函数y ＝sin 2x2sin 2x ＋1的最大值为________．11．已知f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ，其中a ，b ∈R ，ab ≠0.若f (x )≤|f (π6)|对一切x ∈R 恒成立，且f (π2)>0，则f (x )的单调递增区间是________． 12．(2015·山东临沂一中二模)下列说法正确的是________(填上你认为正确说法的序号)． ①函数y ＝－sin(k π＋x )(k ∈Z )是奇函数；②函数y ＝－2sin(2x ＋π3)在区间(0，π12)上是增函数；③函数y ＝cos 2x －sin 2x 的最小正周期为π； ④函数y ＝2tan(x 2＋π4)的一个对称中心是(π2，0)．答案解析1．B 2.B 3.D 4.D 5.D6．B [令k π－π2<x ＋π3<k π＋π2，解得k π－5π6<x <k π＋π6，k ∈Z ，显然⎝⎛⎭⎫－π6，5π6不满足上述关系式，故A 错误；易知该函数的最小正周期为π，故B 正确；令x ＋π3＝k π2，解得x ＝k π2－π3，k∈Z ，任取k 值不能得到x ＝π4，故C 错误；正切曲线没有对称轴，因此函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象也没有对称轴，故D 错误．故选B.]7．B [f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋cos(2x ＋φ)＝2sin(2x ＋φ＋π6)，因为函数图象关于直线x ＝0对称， 所以函数f (x )为偶函数，所以φ＝π3，所以f (x )＝2cos 2x ，所以T ＝2π2＝π， 因为0<x <π2，所以0<2x <π，所以函数f (x )在(0，π2)上为减函数，故选B.]8．B [由于－1是函数y ＝sin x 的最小值，因此为了使b －a 最大，最小值点必须在区间[a ，b ]内， 又由于值域为[－1，12]，因此[a ，b ]上只能有一个最小值点，不妨设3π2∈[a ，b ]，则sin a ＝sin b ＝12，所以a ＝5π6，b ＝13π6，b －a ＝4π3，选B.]9.π4 10.3311．[k π＋π6，k π＋23π]，k ∈Z解析 f (x )＝a sin 2x ＋b cos 2x ＝a 2＋b 2sin(2x ＋φ)， 其中tan φ＝ba .∵f (x )≤|f (π6)|，∴x ＝π6是函数f (x )的图象的一条对称轴，∴π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋k π，k ∈Z . 又∵f (π2)>0，∴φ的取值可以是－5π6，∴f (x )＝a 2＋b 2sin(2x －5π6)． 由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z )．∴f (x )的单调递增区间是[k π＋π6，k π＋23π]，k ∈Z .12．①③④解析 对于①，函数y ＝－sin(k π＋x )＝±sin x (k ∈Z )是奇函数，故①正确； 对于②，当x ∈(0，π12)时，2x ＋π3∈(π3，π2)，所以函数y ＝2sin(2x ＋π3)在区间(0，π12)上是增函数，函数y ＝－2sin(2x ＋π3)在区间(0，π12)上是减函数，故②错误；对于③，函数y ＝cos 2x －sin 2x ＝cos 2x 的最小正周期为T ＝2π2＝π，故③正确；对于④，由x 2＋π4＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π－π2(k ∈Z )，所以函数y ＝2tan(x 2＋π4)的对称中心是(k π－π2，0)，当k ＝1时，(π2，0)为函数y ＝2tan(x 2＋π4)的一个对称中心，故④正确．综上所述，正确的说法是①③④.。

三角恒等变换1. (2015西藏拉萨中学上学期第六次月考)已知a为第二象限角，sin a= 5，贝卩sin 2 a=已知sin( a—4)=需,cos 2a= 25，贝V sin a=25'化简cos(45 —a)cos( a+ 15 ；—sin(45 —a)sin( a+ 15 ； = __(2015郑州一模)已知si门(扌+ a + sin a=七"3,贝V sin( a+甘 =1 2 2若cos( a— 3 = 3，贝V (sin a+ sin 3) + (cos a+ cos 3 =31 1 n6 .已知cos a= 3, cos(a+ 3=—3，且a, 3^ (0,刁，贝U COS(a— 3 =n7 .函数f(x)= sin xsin(x—3)的最大值为8.(2015 成都一诊)若sin 2 a= ■^5,s in( 3- ”二暫0,且a€ [j n 3 n，3€ [ n?]，则a+ 3=cos 10 —3sin 109 ------------ 1—sin 202一，2sin x+ sin 2x 1 n n …,10 .已知——= 了(；＜x＜；)，贝U sin x—cosx=1 + tan x 2'4 211. (2015 青岛-模)设a= cos 50 cos 127 4 cos 40，cos 37 , b=于(sin 56 - cos 56)；2 o1—tan 39 °. 1 c= 14tan239 °°d= 2(cos280 -2cos 500+ 1)，贝U a, b, c, d 的大小关系是12 .函数f(x) = sin(x + 2 册-2sin(j)cos(x+ 妨的最大值为13.若关于x的方程3sin(x + 10°) + 4cos(x+ 40°)—a= 0有实数解，则实数a的取值范围是1 n14.设向量a= (1, cos 2 0), b= (2,1), c= (4sin 0 , 1) , d= Qsin 0 , 1)，其中茨(0 ,：).若f(x) =p- 1, f(aL.b)+ f(cUd)=当4 卑,贝U cos 0—sin 0 的值为__________________ .1.— 24 2 3 3 1 25气％ 4 4.— 5 解析 si n(f + a+ sin a=役 3 3 53 • / 4.3 gSin a+ 2 cos a= 57 n 7 n 7 n•••Sin( a +§) = sin a cos 6 + cos a in 百3 1 4=—(宁 sin “+ 2cos a = — 5.=2sin 0,f(a b ) + f(c d ) = 2(cos 0+ sin 0)•cos 0+ sin 0="23+1，•••(COS 0+ sin 02= 1 + 孑■'■sin 2 0=孑,— n又 0€ (0, 4),./2 0€ (0,即 0=n ，x/3 i/•cos 0— Sin 0=亍一2..37 n7. 8. 9.24 4 11. a>c>b>d 12.1 答案解析.n n sin§cos a+ cos§sin a+ sin a= 4,3 5 ? _23 4sin a+ 2cos 4a = 5，6236.2713. [ —13, .13 ]解析 a = 3si n(x+ 10°+ 4cos(x+ 40°=3sin(x+ 10 )+ 4cos[(x+ 10)°30°=3sin(x+ 10 )+ 4cos(x+ 10 )cos 30 —4sin(x+ 10 )sin 30 =2 . 3cos(x+ 10 ) + sin(x+ 10 )=,13sin(x+ 10 + 妨(其中tan $= 2 .3),故一13W a w .13.14.解析f(a b)= a b—1 = -'1 + cos 2 0= 2|cos 0|= 2cos 0, f( c d) = \cd—1 = V2|sin 0|。

一、选择题1．(2015·青海西宁第四高级中学第一次月考)设全集为R ，集合M ＝{x |x 2>4}，N ＝{x |log 2x ≥1}，则M ∩N 等于( ) A ．[－2,2] B ．(－∞，－2) C ．(2，＋∞)D ．(－2，＋∞)2．(2016·河北保定重点中学联考)已知条件p ：x 2－2x －3<0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A ．a >3 B ．a ≥3 C ．a <－1D ．a ≤－13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x －1，x <0，则该函数是( )A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减4.如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱形桶中液面上升的速度是一个常量，H 是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H 与液体下落时间t (分钟)的函数关系表示的图象可能是( )5．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)有一个零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，－12B ．0，12C ．0,2D ．2，－126．(2015·北京朝阳区上学期期末)已知定义在R 上的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (|x |＋1)，x <1，2x －2，x ≥1，若直线y ＝a 与函数f (x )的图象恰有两个公共点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,2]D ．[1,2]7．(2015·河南中原名校上学期第一次摸底)已知函数f (x )＝x 2＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线l 与直线3x －y ＋2＝0平行，若数列{1f (n )}的前n 项和为S n ，则S 2 014的值为( )A.2 0142 015B.2 0122 013C.2 0132 014D.2 0152 0168．设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f ′(x )>0，且f (0)＝0，f (－12)＝0，则不等式f (x )<0的解集为( ) A ．{x |x <12}B ．{x |0<x <12}C ．{x |x <－12或0<x <12}D ．{x |－12≤x ≤0或x ≥12}9．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．210．设函数f (x )＝12x 2－9ln x 在区间[a －1，a ＋1]上单调递减，则实数a 的取值范围是( )A ．1<a ≤2B ．a ≥4C ．a ≤2D ．0<a ≤311．(2015·潍坊期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (π8x )，x <5，f (x －1)，x ≥5，则f (6)＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．412．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的封闭图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56 D.34二、填空题13．(2015·陕西宝鸡中学期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．14．某公司生产一种产品， 固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3900＋400x ，0≤x ≤390，90 090，x >390，则当总利润P 最大时，每年生产产品的单位数是________．15．已知函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0成立，a ＝20.2f (20.2)，b ＝log π3f (log π3)，c ＝log 39f (log 39)，则a ，b ，c 的大小关系是________．(用“＞”连接)16．已知函数f (x )的定义域为[－1,5]，部分对应值如下表：x －1 0 4 5 f (x )1221f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，给出如下关于f (x )的命题： ①函数f (x )的极大值点为0,4； ②函数f (x )在区间[0,2]上是减函数；③如果当x ∈[－1，t ]时，f (x )的最大值是2，那么t 的最大值为4.其中真命题的序号是________． 三、解答题17．已知函数f (x )＝a 2x ＋b 3x ，其中常数a ，b 满足ab ≠0. (1)若ab >0，判断函数f (x )的单调性；(2)若ab <0，求f (x ＋1)>f (x )时的x 的取值范围．18．已知函数f (x )＝k a －x (k ，a 为常数，a >0且a ≠1)的图象过点A (0,1)，B (3,8)．(1)求实数k ，a 的值；(2)若函数g (x )＝f (x )－1f (x )＋1，试判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．19．已知函数f (x )＝1－2a －2ax ＋2x 2(－1≤x ≤1)的最小值为f (a )． (1)求f (a )的表达式；(2)若a ∈[－2,0]，求f (a )的值域．20．旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为16 000元．旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过35人，则飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于35人，则予以优惠，每多1人，每个人的机票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人．设旅行团的人数为x 人，每个人的机票费为y 元，旅行社的利润为Q 元．(1)写出y 与x 之间的函数关系式(2)当旅行团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？并求出最大利润．21．(2015·辽宁朝阳三校下学期开学联考)已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)，曲线在点M 处的切线恰好与直线x ＋9y ＝0垂直． (1)求实数a ，b 的值；(2)若函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增，求m 的取值范围．22．设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3的零点的个数；(3)若对任意b >a >0，f (b )－f (a )b －a <1恒成立，求m 的取值范围．答案解析1．C 2.D 3.C 4.A 5.A 6.B 7.A 8．C 9.A 10.A 11.A 12.D 13．[0,1) 14.300 15．b >a >c解析 因为函数y ＝f (x )关于y 轴对称，所以函数y ＝xf (x )为奇函数．因为[xf (x )]′＝f (x )＋xf ′(x )，且当x ∈(－∞，0)时，f (x )＋xf ′(x )<0，所以函数y ＝xf (x )在(－∞，0)上单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝xf (x )单调递减．因为1<20.2<2,0<log π3<1，log 39＝2，所以0<log π3<20.2<log 39，所以b >a >c . 16．①② 解析由导函数的图象易得函数f (x )的图象，如图所示，故①为真命题，②为真命题．对于③，当t ＝5，即x ∈[－1,5]时，f (x )的最大值是2，故③为假命题．综上，真命题只有①②. 17．解 (1)当a >0，b >0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝a (2x 1－2x 2)＋b (3x 1－3x 2)． ∵2x 1<2x 2，a >0⇒a (2x 1－2x 2)<0， 3x 1<3x 2，b >0⇒b (3x 1－3x 2)<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，函数f (x )在R 上是增函数． 当a <0，b <0时，同理，函数f (x )在R 上是减函数．综上，a >0，b >0时，f (x )是R 上的增函数；当a <0，b <0时，f (x )是R 上的减函数． (2)f (x ＋1)－f (x )＝a 2x ＋2b 3x >0，当a <0，b >0时，⎝⎛⎭⎫32x >－a 2b ，则x >log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b ； 当a >0，b <0时，⎝⎛⎭⎫32x <－a 2b ，则x <log 32⎝⎛⎭⎫－a 2b . 综上，当a <0，b >0时，x 的取值范围是{x |x >log 32(－a2b )}；当a >0，b <0时，x 的取值范围是{x |x <log 32(－a2b)}．18．解 (1)把点A (0,1)，B (3,8)代入f (x )＝k ·a －x，得⎩⎪⎨⎪⎧k ·a 0＝1，k ·a －3＝8，解得k ＝1，a ＝12.(2)g (x )是奇函数．理由如下： 由(1)知f (x )＝2x ， 所以g (x )＝f (x )－1f (x )＋1＝2x －12x ＋1.函数g (x )的定义域为R ，又g (－x )＝2－x －12－x ＋1＝2x ·2－x －2x 2x ·2－x ＋2x ＝－2x －12x ＋1＝－g (x )，所以函数g (x )为奇函数．19．解 (1)函数f (x )＝1－2a －2ax ＋2x 2＝2(x －a 2)2－a 22－2a ＋1.其对称轴为x ＝a2.①当a2＜－1，即a ＜－2时，f (x )的最小值为f (－1)＝3；②当－1≤a 2≤1，即－2≤a ≤2时，f (x )的最小值为f (a 2)＝－a 22－2a ＋1；③当a2＞1，即a ＞2时，f (x )的最小值为f (1)＝3－4a .综上所述：f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧3， a ∈(－∞，－2)，－a22－2a ＋1， a ∈[－2，2]，3－4a ， a ∈(2，＋∞).(2)当a ∈[－2,0]时，f (a )＝－a 22－2a ＋1＝－12(a ＋2)2＋3，其对称轴的方程为a ＝－2，∴f (a )在[－2,0]上单调递减．∴f (a )max ＝f (－2)＝3，f (a )min ＝f (0)＝1. ∴f (a )∈[1,3]．20．解 (1)依题意知，1≤x ≤60，x ∈N *，又当1≤x <20时，800x <16 000，不符合实际情况，故20≤x ≤60，x ∈N *.当20≤x ≤35时，y ＝800；当35<x ≤60时，y ＝800－10(x －35)＝－10x ＋1 150.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧800， 20≤x ≤35，且x ∈N *，－10x ＋1 150，35<x ≤60，且x ∈N *. (2)当20≤x ≤35，且x ∈N *时，Q ＝yx －16 000＝800x －16 000， 此时Q max ＝800×35－16 000＝12 000；当35<x ≤60，且x ∈N *时，Q ＝yx －16 000＝－10x 2＋1 150x －16 000＝－10(x －1152)2＋34 1252，所以当x ＝57或x ＝58时，Q 取得最大值，且Q max ＝17 060.因为17 060>12 000，所以当旅行团的人数为57或58时，旅行社可获得最大利润，最大利润为17 060元．21．解 (1)∵f (x )＝ax 3＋bx 2的图象经过点M (1,4)， ∴a ＋b ＝4.①f ′(x )＝3ax 2＋2bx ，则f ′(1)＝3a ＋2b .由题设条件知f ′(1)·(－19)＝－1，即3a ＋2b ＝9.②由①②式解得a ＝1，b ＝3. (2)由(1)得，f (x )＝x 3＋3x 2， f ′(x )＝3x 2＋6x . 令f ′(x )＝3x 2＋6x ≥0， 得x ≥0或x ≤－2.∵函数f (x )在区间[m ，m ＋1]上单调递增， ∴[m ，m ＋1]⊆(－∞，－2]∪[0，＋∞)． ∴m ≥0或m ＋1≤－2， ∴m ≥0或m ≤－3.22．解 (1)当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex (x >0)，则f ′(x )＝x －ex 2(x >0)，∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0， ∴f (x )在(0，e)上单调递减； 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0， ∴f (x )在(e ，＋∞)上单调递增． ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值 f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设知，g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x3(x >0)．令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x >0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)， 当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )在(0,1)上单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0， ∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0≤m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m <0时，函数g (x )有且只有一个零点． 综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m <0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0≤m <23时，函数g (x )有两个零点．(3)对任意b >a >0，f (b )－f (a )b －a <1恒成立等价于f (b )－b <f (a )－a 恒成立．设h (x )＝f (x )－x ＝ln x ＋mx －x (x >0)，∵b >a >0，∴f (b )－b <f (a )－a 恒成立等价于h (x )在(0，＋∞)上单调递减，则h ′(x )＝1x －mx 2－1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即m ≥－x 2＋x ＝－(x －12)2＋14(x >0)恒成立，∴m ≥14(当x ＝12时，等号成立)，∴m 的取值范围是[14，＋∞)．。

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作一、选择题1．已知集合M ＝{x |12log x <0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]2．(2015·安徽)设p ：x <3，q ：－1<x <3，则p 是q 成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f (x )＝1lg x ＋2－x 的定义域为( ) A ．(－∞，2]B ．(0,1)∪(1,2]C ．(0,2]D ．(0,2)4．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x >0，都有f (x ＋4)＝f (x )，若f (－2)＝2，则f (2 018)等于( )A ．2 012B ．2C ．2 013D ．－25．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3a ，x <0，a x －2，x ≥0(a >0且a ≠1)是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．(0，23] B ．(0，13] C ．(0,1)D ．(0,2] 6．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝125-，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．c ＜b ＜a7．已知x 0是f (x )＝(12)x ＋1x的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( ) A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>08．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋6.x ≤0，－x ＋6，x >0，则不等式f (x )<f (－1)的解集是( ) A ．(－3，－1)∪(3，＋∞)B ．(－3，－1)∪(2，＋∞)C ．(－3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(－1,3)10．如果一个点是一个指数函数和一个对数函数的图象的交点，那么称这个点为“好点”．下列四个点P 1(1,1)，P 2(1,2)，P 3(12，12)，P 4(2,2)中，“好点”的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．(2015·宁夏育才中学第五次月考)若“x 2>1”是“x <a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－212．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23B ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫13C ．f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13<f ⎝⎛⎭⎫32D ．f ⎝⎛⎭⎫32<f ⎝⎛⎭⎫23<f ⎝⎛⎭⎫13 二、填空题13．(2015·湖北部分学校质检)已知集合A ＝{x |y ＝16＋x －x 2}，B ＝{x |y ＝log 2(2－x )}，则A ∩(∁R B )＝________.14．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______． 15．(2015·福建)若函数f (x )＝2|x －a |(a ∈R )满足f (1＋x )＝f (1－x )，且f (x )在[m ，＋∞)上单调递增，则实数m 的最小值等于________．16．(2015·四川成都第七中学期中)已知指数函数y ＝f (x )，对数函数y ＝g (x )和幂函数y ＝h (x )的图象都过点P (12，2)，如果f (x 1)＝g (x 2)＝h (x 3)＝4，那么x 1＋x 2＋x 3＝________. 三、解答题17．设命题p ：函数f (x )＝lg(ax 2－x ＋a 16)的定义域为R ；命题q ：3x －9x <a 对一切的实数x 恒成立，如果命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围．18．(2015·山东枣庄第八中学阶段检测)已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a是奇函数． (1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并求其值域；(3)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.19．已知函数f (x )＝log 2(2x ＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增；(2)若g (x )＝log 2(2x －1)(x >0)，此时关于x 的方程g (x )＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．20．(2016·山东日照校际联合检测)已知函数g (x )＝ax 2－2ax ＋1＋b (a >0)在区间[2,3]上有最小值1和最大值4，设f (x )＝g (x )x. (1)求a ，b 的值；(2)若不等式f (2x )－k 2x ≥0在区间[－1,1]上有解，求实数k 的取值范围．21．为了净化空气，某科研单位根据实验得出：在一定范围内，每喷洒1个单位的净化剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y ＝⎩⎨⎧ 168－x －1，0≤x ≤4，5－12x ，4<x ≤10.若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和．由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于4毫克/立方米时，它才能起到净化空气的作用．(1)若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达几天？(2)若先喷洒2个单位的净化剂，6天后再喷洒a (1≤a ≤4)个单位的净化剂，要使接下来的4天能够持续有效净化空气，则a 的最小值为多少？(精确到0.1，参考数据：2取1.4)22．(2015·浙江金华艾青中学期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值；(3)设a ≠0，函数f (x )在(m ，n )上既有最大值又有最小值，请分别求出m ，n 的取值范围(用a 表示)．答案解析1．C 2.C 3.B 4.D 5.B 6.C7．C [在同一坐标系下作出函数y ＝(12)x ，y ＝－1x的图象，由图象可知当x ∈(－∞，x 0)时，(12)x >－1x ，x ∈(x 0,0)时，(12)x <－1x， 所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，选C.]8．B [∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在区间(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递减．∵a ＝f (log 47)＝f (log 27)，b ＝f (12log 3)＝f (－12log 3)＝f (log 23)．又0<log 27<log 23<2,0.2－0.6＝50.6>50.5>40.5＝2，即0<log 27<log 23<0.2－0.6，∴a >b >c .]9．A 10．B [设指数函数和对数函数分别为y ＝a x (a >0，a ≠1)，y ＝log b x (b >0，b ≠1)．若为“好点”，则P 1(1,1)在y ＝a x 的图象上，得a ＝1与a >0，且a ≠1矛盾；P 2(1,2)显然不在y ＝log b x 的图象上；P 3(12，12)在y ＝a x ，y ＝log b x 的图象上时，a ＝14，b ＝14；易得P 4(2,2)也为“好点”．]11．B 12.B 13.[2,3)14．－34解析 首先讨论1－a,1＋a 与1的关系，当a <0时，1－a >1,1＋a <1，所以f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ；f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝3a ＋2.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以－1－a ＝3a ＋2，所以a ＝－34. 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，所以f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ；f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－3a －1.因为f (1－a )＝f (1＋a )，所以2－a ＝－3a －1，所以a ＝－32(舍去)． 综上，满足条件的a ＝－34. 15．1 16.3217．解 命题p ：对于任意的x ，ax 2－x ＋a 16>0恒成立， 则需满足⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝1－a 24<0⇒a >2， q ：g (x )＝3x －9x ＝－(3x －12)2＋14≤14⇒a >14， 因为“p 且q ”为假命题，所以p ，q 至少一假．(1)若p 真q 假，则a >2且a ≤14，a 是空集． (2)若p 假q 真，则a ≤2且a >14，得14<a ≤2. (3)若p 假q 假，则a ≤2且a ≤14，得a ≤14. 所以a ≤2.18．解 (1)∵f (x )是奇函数，∴f (1)＝－f (－1)，即－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.经检验，当a ＝2时，函数f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数． ∵函数f (x )的定义域为R ，∴2x >0,2x ＋1>1，∴0<12x＋1<1， ∴－12<－12＋12x ＋1<12， 函数f (x )的值域为(－12，12)． (3)∵f (x )是奇函数，∴不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)． ∵f (x )是减函数，∴t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式得{t |t >1或t <－13}． 19．(1)证明 任取x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝log 2(2x 1＋1)－log 2(2x 2＋1)＝log 22x 1＋12x 2＋1， ∵x 1<x 2，∴0<2x 1＋1<2x 2＋1，∴0<2x 1＋12x 2＋1<1， log 22x 1＋12x 2＋1<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内单调递增．(2)解 方法一 m ＝g (x )－f (x )＝log 2(2x －1)－log 2(2x ＋1)＝log 22x －12x ＋1＝log 2(1－22x ＋1)， 当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23， ∴13≤1－22x ＋1≤35， ∴m 的取值范围是[log 2 13，log 2 35]．方法二 解方程log 2(2x －1)＝m ＋log 2(2x ＋1)，得x ＝log 22m ＋11－2m，∵1≤x ≤2， ∴1≤log 22m ＋11－2m≤2， 解得log 2 13≤m ≤log 2 35. ∴m 的取值范围是[log 2 13，log 2 35]． 20．解 (1)g (x )＝a (x －1)2＋1＋b －a .∵a >0，∴g (x )在区间[2,3]上是增函数，故⎩⎪⎨⎪⎧ g (2)＝1，g (3)＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x ＋1，∴f (x )＝x ＋1x－2， ∴f (2x )－k ·2x ≥0可化为1＋(12x )2－2·12x ≥k ， 令t ＝12x ，则k ≤t 2－2t ＋1. ∵x ∈[－1,1]，∴t ∈[12，2]． 记h (t )＝t 2－2t ＋1，∵t ∈[12，2]， ∴h (t )max ＝1，∴k 的取值范围是(－∞，1]．21．解 (1)因为一次喷洒4个单位的净化剂，所以浓度为4y ＝⎩⎪⎨⎪⎧648－x －4，0≤x ≤4，20－2x ，4<x ≤10(毫克/立方米)， 则当0≤x ≤4时，由648－x－4≥4，解得x ≥0，所以此时0≤x ≤4； 当4<x ≤10时，由20－2x ≥4，解得x ≤8，所以此时4<x ≤8.综上得，0≤x ≤8.故若一次喷洒4个单位的净化剂，则有效净化时间可达8天．(2)设从第一次喷洒起，经x (6≤x ≤10)天，浓度为g (x )毫克/立方米，则g (x )＝2(5－12x )＋a [168－(x －6)－1]＝10－x ＋16a 14－x －a ＝(14－x )＋16a 14－x－a －4. 因为x ∈[6,10]，所以14－x ∈[4,8]，而1≤a ≤4，所以4a ∈[4,8]，当且仅当14－x ＝4a 时，g (x )取最小值，最小值为8a －a －4. 令8a －a －4≥4，解得24－162≤a ≤4，所以a 的最小值为24－162≈1.6.22．解 (1)当a ＝2时，f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －2)，x ≥2，x (2－x )，x <2. 由图象可知，单调递增区间为(－∞，1]和[2，＋∞)．(2)因为a >2，x ∈[1,2]，所以f (x )＝x (a －x )＝－x 2＋ax ＝－(x －a 2)2＋a 24. 当1<a 2≤32，即2<a ≤3时， f (x )min ＝f (2)＝2a －4；当a 2>32，即a >3时， f (x )min ＝f (1)＝a －1.f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2a －4，2<a ≤3，a －1，a >3. (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，x (a －x )，x <a . ①当a >0时，图象如图(1)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝a 24，y ＝x (x －a )，得x ＝(2＋1)a 2， ∴0≤m <a 2，a <n ≤2＋12a . ②当a <0时，图象如图(2)所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a 24，y ＝x (a －x )，得x ＝(2＋1)2a ， ∴1＋22a ≤m <a ，a 2<n ≤0.。

2017年高考数学理试题分类汇编：三角函数二填空选择题【答案】【答案】【解析】1. (2017年天津卷文)设函数f(X )2sin( x ),x R ，其中o’ 丨兀若 f(5n )2，f0,且f(x)的 最小正周期大2 n ,则2 3 1 3n12 11 n 24(B ) (D)2 3 1 311 n 72 7n 24【解析】由题意得58 11 82匕k2，其中k i ,k 2所以3(k 22kJ -，又 T —23，所以1，所以2k 1，由|也，故选A .2. (2017年天津卷理 )设函数f(x) 2si n(R ，其中)0，且f (x)的最小正周期大于2 ，则(A )12 (B )12 24(D)24【解析】由题意81182k 1 k2所以 2k 11 12 ，3.( 2017年全国川卷文22，其中 k 1,k 2 Z,所以故选A.ABC 内角 3(k2A, B,C 的对边分别为a,b,c ，已知2kJ ，又T 0■,所以015根据正弦定理有:sin 600sin B2 n已知曲线 C 1： y =cos x ，C 2： y =sin (2x +)，则下面结论正确的是3冗A •把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C 2450 A7504.(2017年新课标I ) 9.A.4B.2C.D.B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移n 个单位长度，得到曲线12 C 2C . 把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向右平移n个单位长度，得到曲线6C 2D . 把C 上各点的横坐标缩短到原来的1倍, 2纵坐标不变, 再把得到的曲线向左平移n个单位长度，得到曲线12C2【答案】D6.（2017年浙江卷）14 .已知△ABC , AB = AC =4 , BC =2.点D 为AB 延长线上一点，BD=2，连结CD ,贝U △BDC 的面积是 _____ cos Z BDC = _____ ,8.（ 2017年新课标n 文）16.△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c 若2b cosB= a cosC+c cosA,则B=— 39. （ 2017年新课标n 文）3.函数f x = sin （ 2x+—）的最小正周期为 （C ）3【解析】f x 1 cos 2 x , 3cosx3 cos 2x \ 3 cosx -44cosx乜21, x 0,：那么cosx 0,1，当 cosx3时函数取得最大值222【答案】11.【解析】取 BC 中点E , DC 中点F , 由题意：AE BC,BF CD , .15 △ ABE 中，BE 1DBC1DBC 1cos ABCcos一 ,siL 1—AB 44:164SA BCD5. （ 2017年新课标n 卷理）14•函数f x .2sin x 3 cosx 0,2的最大值是-BD BC sin DBC .2 22又 cos DBC 1 2s in DBF1, sin DBF 410 4cos BDC sin DBF综上可得，△ BCD 面积为cos BDC-10 47.（2017年新课标n 文）.13函数f x =2cosxsinx 的最大值为10.(2017年浙江卷)11.我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率 n,理论上能把n 的值计算到任意精度.【解析】本题选择D 选项.4]! tan( -)ta^ 1 丄 4 4 614.(2017年江苏卷 5. tan()若15. (2017年新课标I 文)11 . △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c 。