云南省昆明市高三上学期摸底调研统测数学(理)试题 Word版含解析

云南昆明第一中学2014届高中新课程高三第一次摸底测试数学（理）试题注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．11ii+- （ ）A ．iB ．－iC ． 1－iD ．1+i2．已知集合|0,,1x M x x R x ⎧⎫=≥∈⎨⎬+⎩⎭集合{||1,},N x x x R =≤∈则M N =（ ）A ．{|01}x x <≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{111}x x -<≤D ．{111}x x -<≤3．已知椭圆22214x y m+=的一个焦点为(0,3)F ，则m= （ ） A ．5 B ． 7 C ． 9D ．25 4．下列函数中，既是奇函数又是定义域上的增函数的是 （ ）A ．y=x+1B ．xxy e e -=- C ．2y x-=D ．y =5． “01a <≤”是方程“2210ax a ++=”有实根的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．曲线cos sin cos x y x x =+在1(,)42p π点处的切线的斜率为（ ）A ．2 B ．12C ． —12D ．－27．执行如图所示的程序框图，则输出的数等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．88．已知过点A （－1，－1）的直线l 与圆22(1)1x y +-=相切， 且与直线1:10l x my ++=平行，则m= A ．0 B ．34C ．－34D ． 34±9．若函数322()f x x ax bx a =--+在x=1处有极值10， 则b―a = （ ） A ．－6 B ．15C ． －9或12D ． －6或1510．有四个函数：①sin cos ;y x x =+②sin cos ;y x x =-③2(sin cos );y x x =+ ④22sin cos y x x =- ；其中在(0,)2π上不单调函数是（ ）A ． ①和④B ． ②和③C ．①和③D ． ②和④11．设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过F 的直线交抛物线C 于A 、B 两点，其中点A 在x 轴的下方，且满足4AF FB =，则直线AB 的方程为 （ ）A ． 4x －3y －4=0B ．4x+3y －4=0C ． 3x －4y －4=0D ．3x+4y －4=012．已知01,()4,()14,xa a a f x a x m g x og x x n >≠=+-=+-且函数的零点为函数的零点为12m n +则的最小值为 （ ）A ．12B ．32C ．14+ D ．34+ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量(2,1),(1,),()(),a b x a b a b x ==-+⊥-=若共线 。

昆明市第一中学2021届摸底考试参考答案（理科数学）一、选择题1.解析：因为112+=，所以1i i z ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-，选B ．2. 解析：因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，选A ．3. 解析：因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为d ==0p >，所以2p =，选C ． 4. 解析：由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数，选C ．5. 解析：由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8，另外中间一位数有10种可能，所以有41040⨯=个，选A ．6. 解析：函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<，故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减，选D ． 7. 解析：由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120︒的扇形，故该几何体的体积为π91642π31312=⨯⨯⨯=V ，选C ． 8. 解析：令0y =，4x =；0x =，2y =.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB ==，选C ． 9. 解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，选C ．10. 解析：由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面⊥SAB 平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径3333=⨯=R ，故该三棱锥外接球的半径3=R ，其表面积π12π42==R S ，选D ．11. 解析：解析：因为)(x f 的最小正周期为π，故2=ω，将其向右平移3π后所得图像对应的解析式为)32π2sin()(-+=ϕx x g ，又)(x g 为奇函数，所以π32πk =-ϕ，2π<ϕ，解得3π-=ϕ，故)3π2sin()(-=x x f .令π2π3π2k x +=-（Z ∈k ），解得2π125πk x +=（Z ∈k ），取1-=k ，12π-=x ，故①正确；令π3π2k x =-（Z ∈k ），解得2π6πk x +=（Z ∈k ），)(x f 的对称中心为⎪⎭⎫ ⎝⎛+0,2π6πk （Z ∈k ），②正确；又由π22π3π2π22π3k x k +-≤-≤+-（Z ∈k ），取0=k 知⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,12π7是原函数的一个单调递减区间，又⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⊆⎥⎦⎤⎢⎣⎡--12π,2π712π,2π，故③正确；对于④，函数在此区间上的零点只有3π2，6π7两个，故错误，综上所述正确结论的编号为①②③，选A ．12. 解析：依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4，作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象，关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根，可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，选B ．二、填空题13. 解析：如图所示y x z +=2在()2,2A 处取得最大值，且2226z =⨯+=．14. 解析：由b a b a 2-=+平方可得：21122a b b ⋅==，所以a 在b 方向上的投影是12a b b ⋅=． 15. 解析：由题意可得，直线:210l x --=过抛物线2:4C y x =的焦点(1,0)F ，设P 、Q 在l 上的射影分别是1P 、1Q ，过Q 作1QM PP ⊥于M ．由抛物线的定义可得出Rt PQM △中，得45BAE ∠=︒，1112cos451PP QQ PM PF QF PQ PF QF PF QF λλ---︒=====+++323λ=+ 16. 解析：因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对.所以正确结论是①②③④．HGA 1EB 1CD F AD 1C 1三、解答题 （一）必考题17. 解：（1）由1121S a =-得：11a =，因为11(2)(2(1))n n n n S S a n a n ---=---- (2)n ≥，所以121n n a a -=+ (2)n ≥，所以2121=3a a =+，3221=7a a =+； 由此猜想数列{}n a 的通项公式21n n a =-；证明：因为121n n a a -=+ (2)n ≥，所以112(1)n n a a -+=+， 所以1121n n a a -+=+(2)n ≥，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12n n a +=，即：21n n a =-.（用数学归纳法证明也可） ………6分 （2）由（1）得21n n a =-，所以()32313523222(2)n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+22(14)(2)14n n +-=-+-252383n n +--=. ………12分18. 解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且121===CD AD AB ，可得2BD BC ==，2=CD ，所以BD BC ⊥又平面⊥ADEF 平面ABCD ，平面 ADEF 平面AD ABCD =，四边形ADEF 是矩形，AD ED ⊥，⊂ED 平面ABCD ，可得⊥ED 平面ABCD ，⊂BC 平面ABCD ，则ED BC ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，D ED BD = ，故⊥BC 平面BDE ， BC ⊂平面BCE ，所以，平面BCE ⊥平面BDE ． ………6分（2）由（1）知△BCE ，△BDE ，△CDE 都是直角三角形，030BEC ∠=．设a ED =，则42+=a CE ，2=BC ，BC CE 2=， 2442⨯=+a ，解得2=a ，如图以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系.可得)0,1,1(B ，)0,2,0(C ，)2,0,0(E ，)2,0,1(F ， 故），，（211-=EB ，），，（001=EF ， ），，（220-=EC ， 设），，（z y x m =为平面BEF 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0EF m EB m ，得），，（120--=m ，同理可得平面BCE 的一个法向量为），，（111=n ， 设二面角C BE F --的平面角为α， nm n m n m ⋅>=<,cos 35120⋅-+-+=）（）（551-=， =αcos ><n m ,cos 515-=， 所以，二面角M CN A --的余弦值为515-. ………12分19. 解：（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=.因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. ………6分 （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.所以三人考试后恰有两人获得合格证书的概率是1130. ………12分20. 解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =，所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=， 由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆，其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=. ………5分 （2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在， 设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2221222122222438434343641630340k k k mk x x k m x x k m m m ⎧+⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪∆=-->⇒+⎩->+ 因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=， 则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-，所以直线AD 恒过定点()1,0 ………12分21. 解：（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a 时，()0f x ，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a 时，令()0f x ，得ln()x a ． 所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．综上所述，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a 时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增．………6分（2）当0,x时，11x ，所以()ln(1)0g x x ．设()ln(1)h x x x (0)x ， 则1()111xh x x x '=-=++，当0x 时，()0h x '>，()h x 在0,上单调递增，所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x ， 故0()g x x ．由（1）可知，当0a 时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增． 所以(())()f g x f x <成立；当10a 时，ln()0a -≤，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立； 当1a时，()f x 在0,ln()a 上单调递减；则有(())()f g x f x >，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞. ………12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。

2021-2022学年云南省昆明市“三诊一模”高三（上）统测数学试卷（理科）（1月份）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|−1≤x ≤3}，则A ∩B =( )A. {−2,−1,0,1}B. {0,1,2,3}C. {−1,0,1,3}D. {−1,0,1,2}2. 已知复数z 满足iz =1+3i ，则z =( )A. 3+iB. 3−iC. −3−iD. −3+i3. 为了解学生参加知识竞赛的情况，随机抽样了甲、乙两个小组各100名同学的成绩，得到如图的两个频率分布直方图，记甲、乙的平均分分别为x −甲、x −乙，标准差分别为s 甲、s 乙，根据直方图估计甲、乙小组的平均分及标准差，下列描述正确的是( )A. x −甲<x −乙，s 甲<s 乙 B. x −甲<x −乙，s 甲>s 乙 C. x −甲>x −乙，s 甲<s 乙D. x −甲>x −乙，s 甲>s 乙4. 已知各项均为正数的等比数列{a n }的前3项和为14，a 1=2，则数列{a n }的公比等于( )A. 4B. 3C. 2D. 15. 执行如图所示的程序框图，若输入N =5，则输出S =( )A. 34B. 45C. 56D. 676. 在△ABC 中，点D 满足AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =34CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +23CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 7. 已知OA 为球O 的半径，M 为线段OA 上的点，且AM =2MO ，过M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为8π，则OA =( )A. 2√2B. 3C. 2√3D. 48. 抛物线有一条性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C ：y 2=4x ，在抛物线内，平行于x 轴的光线射向C ，交C 于点P ，经P 反射后与抛物线交于点Q ，则|PQ|的最小值为( )A. 1B. 2C. 4D. 89. 在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，M 是棱AA 1的中点，G 在线段B 1M 上，且D 1G ⊥B 1M ，则三棱锥M −A 1D 1G 的体积为( )A. 415B. 15C. 215D. 11510. 2021年10月16日0时23分，长征二号F 遥十三运载火箭在酒泉卫星发射中心点火升空，582秒后，神舟十三号载人飞船进入预定轨道，顺利将翟志刚、王亚平、叶光富三名航天员送入太空．在不考虑空气阻力的条件下，从发射开始，火箭的最大飞行速度v 满足公式：v =wln(1+Mm )，其中M 为火箭推进剂质量，m 为去除推进剂后的火箭有效载荷质量，w 为火箭发动机喷流相对火箭的速度．当M =3m 时，v =5.544千米/秒．在保持w 不变的情况下，若m =25吨，假设要使v 超过第一宇宙速度达到8千米/秒，则M 至少约为( )(结果精确到1，参考数据：e 2≈7.389，ln2≈0.693)A. 135吨B. 160吨C. 185吨D. 210吨11. 经过双曲线C ：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)右焦点F 的直线l 与C 的两条渐近线l 1，l 2分别交于A ，B 两点，若l ⊥l 1，且BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则该双曲线的离心率等于( ) A. √62B. 2√63C. √2D. 212. 若函数f(x)=x 2−4x +alnx 有两个极值点，设这两个极值点为x 1，x 2，且x 1<x 2，则( )A. x 1∈(1,2)B. x 1+x 2<2C. f(x 1)<−3D. f(x 1)>−3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知x ，y 满足{x ≥yx +y −2≤0y ≥−1，则z =x +2y 的最大值为______．14. 抽奖箱里有大小相同、质地均匀的红球、白球、黑球各2个，抽奖规则为：每次从中随机抽取2个小球，按抽到小球的颜色及个数发放奖品，抽到每个红球获得价值5元的奖品，每个白球获得价值1元的奖品，黑球不能获得奖品．抽奖一次，所得奖品的价值为6元的概率是______．15. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n +a n+1=n ，则a 20=______．16. 已知函数f(x)=sin(ωx +π3)−ω(ω>0)在区间(0,7π3ω)上有且仅有4个零点，则ω的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，四棱锥P −ABCD 的底面是平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，AD ⊥BD ，M 是PA的中点．(1)证明：PC//平面BDM ；(2)若PD =AD =BD ，求直线AB 与平面BDM 所成角的大小．18. 在能源和环保的压力下，新能源汽车无疑将成为未来汽车的发展方向．2016年4月，为促进新能源汽车发展，实施差异化交通管理政策，公安部启用新能源汽车专用号牌．2020年11月，国务院办公厅印发《新能源汽车产业发展规划(2021−2035年)》，要求深入实施发展新能源汽车国家战略，推动中国新能源汽车产业高质量可持续发展．下表是2016年至2020年新能源汽车年销量(单位：十万辆)情况：年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份编号x 1 2 3 4 5 年销量y 57121214(1)完成下表； 年份编号x1 2 3 4 5x i −x −y i −y −(2)试建立年销量y 关于年份编号x 的线性回归方程y ̂=b ̂x +a ̂； (3)根据(2)中的线性回归方程预测2023年新能源汽车的年销量． 参考公式：b ̂=∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x −)2，a ̂=y −−b ̂x −．19.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足①C=2B；②bcosA=acosB；③b2−c2=a2−√2ac．(1)从①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立；∠B，CD=4，求△BCD的面积．(2)若D为线段AB上一点，且∠BCD=12+y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，下、上顶点分别为B1、B2.记20.已知椭圆C：x23四边形A1B1A2B2的内切圆为E．(1)求E的方程；(2)过点M(m,0)(m>0)作E的切线l交C于A、B两点，求|AB|的最大值．21.设函数f(x)=x2−axlnx，a∈R．(1)若a=1，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若存在x0∈[1,e]，使得f(x0)<−e(a+e)成立，求a的取值范围．22. 已知圆C 的方程为(x −1)2+(y −1)2=9，直线l 的参数方程为{x =tcosαy =tsinα，(t 为参数，0≤α<π).以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求圆C 的极坐标方程；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，当|OA|+|OB|=2√7时，求l 的极坐标方程．23. 已知f(x)=|x −2|+|x −3|．(1)解不等式f(x)≥3；(2)记f(x)的最小值为m ，若a ，b 都是正数，且1a +2b =m ，证明：a +2b ≥9．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A ={−2,−1,0,1,2}，B ={x|−1≤x ≤3}， 则A ∩B ={−1,0,1,2}． 故选：D ．利用交集定义直接求解．本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵iz =1+3i ， ∴z =1+3i i=(1+3i)i i 2=3−i ．故选：B ．根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解． 本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：x 甲−=1.5×0.12+2.5×0.64+3.5×0.12+4.5×0.08+5.5×0.04=2.78， x 乙−=1.5×0.15+2.5×0.20+3.5×0.27+4.5×0.23+5.5×0.15=3.53， 故x 甲−<x 乙−；由频率分布直方图知甲小组数据更集中， 故s 甲<s 乙． 故选：A ．由频率分布直方图求平均数，再直接比较标准差的大小即可． 本题考查了频率分布直方图的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：各项均为正数的等比数列{a n }的前3项和为14，a 1=2， ∴{q >0S 3=2(1−q 3)1−q=14， 解得数列{a n }的公比q =2． 故选：C ．利用等比数列的前n 项和公式列方程能求出公比．本题考查等比数列的公比的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.【答案】B【解析】解：当k =1时，满足进行循环的条件，S =0+11×2=12， 当k =2时，满足进行循环的条件，S =12+12×3=23， 当k =3时，满足进行循环的条件，S =23+13×4=34， 当k =4时，满足进行循环的条件，S =34+14×5=45， 当k =5时，满足进行循环的条件，不满足进行循环的条件， 故输出的S =45． 故选：B ．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．6.【答案】A【解析】解：CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=14CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +34CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据平面向量的线性运算及平面向量基本定理即可得出答案．本题考查了平面向量的线性运算，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵圆M 的面积为8π， ∴设圆M 的半径为r =BM ， 则πr 2=8π，得r 2=8， 设球半径为R ，则OA =OB =R ， ∵AM =2MO ，∴OM =13OA =13R ， 则直角三角形OMB 中， OB 2=BM 2+OM 2， 即R 2=r 2+19R 2， 即89R 2=8，得R 2=9， 得R =3， 即OA =3， 故选：B ．求出圆M 的半径，然后在直角三角形OMB 中，根据勾股定理建立方程关系进行求解即可． 本题主要考查球的性质，根据球半径和截面圆半径之间的关系建立方程是解决本题的关键，是中档题．8.【答案】C【解析】解：由抛物线的光学性质可得，PQ 必过抛物线的焦点F(p2,0)， 当直线PQ 斜率不存在时，易得|PQ|=2p ；当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为x =tx +p2，P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)， 由{y 2=2pxx =ty +p 2，得y 2−2pty −p 2=0， 所以y 1+y 2=2pt ，y 1y 2=−p 2，所以|PQ|=√1+t 2⋅√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=2p(1+t 2)≥2p ， 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短， 又因为两平行光线间的最小距离为4，故选：C ．先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，得出PQ 的最小值，进而可求出p 的值，得出抛物线方程．本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：以A 1为坐标原点，分别以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则B 1(2,0,0)，D 1(0,2,0)，M(0,0,1)，∴B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,1)，设B 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λB 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则B 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,0,λ)，∴B 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2λ,0,λ)，∴G(2−2λ,0,λ)， ∴D 1G⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−2λ,−2,λ)， ∵D 1G ⊥B 1M ，∴D 1G ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−2(2−2λ)+0×(−2)+λ=0，解得λ=45，∴G(25,0,45)， ∴点G(25,0,45)，∴点G 到平面A 1D 1M 的距离为d =25， ∴三棱锥M −A 1D 1G 的体积为：V M−A 1D 1G =V G−A 1D 1M =13S △A 1D 1M ⋅d =13×12×2×1×25=215． 故选：C ．以A 1为坐标原点，分别以A 1B 1，A 1D 1，A 1A 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥M −A 1D 1G 的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．10.【答案】B【解析】解：因为当M =3m 时，v =5.544千米/秒， 所以5.544=wln(1+3mm)=2wln2，所以w =5.5442ln2≈4，所以v =4ln(1+Mm )，当m =25吨，v =8千米/秒时，有8=4ln(1+M25)，所以M =25(e 2−1)≈160吨． 故选：B ．把M =3m ，v =5.544千米/秒，代入函数式中可得w =4，再代入m =25吨，v =8千米/秒，即可求得M 的值．本题考查函数的实际应用，熟练掌握指数和对数的运算是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的渐近线为y =±ba x ，焦点F(c,0)， 设直线l 方程：x =ty +c ， 联立方程{x =ty +c y =ba x，解得y A =bca−bt ，同理可得，y B =−bca+bt ， ∵BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴bca+bt =3bca−bt ，解得t =−a2b ，则k AF =−2b a，∵k l 1=b a ，l ⊥l 1， ∴k AF ⋅k l 1=ba ⋅(−2ba)=−1，即a 2=2b 2， ∵c 2=a 2+b 2， ∴c 2=32a 2， ∴e =ca =√62． 故选：A ．设直线l 方程：x =ty +c ，联立方程{x =ty +c y =ba x，解得y A =bc a−bt ，同理可得，y B =−bca+bt，再结合向量的相等性准则，以及斜率公式，即可求解． 本题主要考查双曲线的性质，考查转化能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：∵f(x)=x 2−4x +alnx ， ∴f′(x)=2x −4+ax =2x 2−4x+ax，令f′(x)=0，则方程2x 2−4x +a =0两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2， ∴Δ=42−4×2a >0，a <2，∴x 1+x 2=2，x 1⋅x 2=a2<1，∴0<x 1<1，1<x 2<2 ∴x 1为f(x)的极大值点，即f(x 1)>f(1)=−3． 故选：D ．根据条件求出函数f(x)的极大值点即可判断． 本题考查了利用导数研究函数的极值，属基础题．13.【答案】3【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立{y =xx +y −2=0，解得A(1,1)，由z =x +2y ，得y =−x2+z2，由图可知，当直线y =−x2+z2过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为1+2×1=3． 故答案为：3．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．14.【答案】415【解析】解：设所得奖品的价值为6元为事件A ，∵基本事件总数为C 62=15，事件A 包含的基本事件数为C 21⋅C 21=4，∴P(A)=415，故答案为：415．先求出基本事件总数和事件A 包含的基本事件数，再利用古典概型的概率公式求解即可． 本题主要考查古典概型的概率公式，熟记概率的计算公式即可，属于基础题．15.【答案】9【解析】解：由a n +a n+1=n 可得{a 2m +a 2m+1=2m a 2m+1+a 2m+2=2m +1，下式减去上式得a 2m+2−a 2m =1，∴数列{a n }的偶数项成等差数列，首项为a 2=1−a 1=0，公差为1， ∴a 20=a 2+9×1=0+9=9， 故答案为：9．由题意可得{a 2m +a 2m+1=2ma 2m+1+a 2m+2=2m +1，两式相减可得a 2m+2−a 2m =1，所以数列{a n }的偶数项成等差数列，再结合等差数列的通项公式进行求解．本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的通项公式，属于中档题．16.【答案】(√32,1)【解析】解：根据题意，函数f(x)=sin(ωx +π3)−ω(ω>0)， 若f(x)=0，即sin(ωx +π3)=ω，必有0<ω≤1， 令t =ωx +π3，x ∈(0,7π3ω)，则π3<t <8π3，设g(t)=sint ，t ∈(π3,8π3)，则函数y=g(t)和y=ω在区间(π3,8π3)有4个交点，又由sinπ3=sin8π3=√32，必有√32<ω<1，即ω的取值范围是(√32,1)，故答案为(√32,1)．根据题意，令t=ωx+π3，求出t的取值范围，设g(t)=sint，分析可得函数y=g(t)和y=ω在区间(π3,8π3)有4个交点，结合三角函数的图象分析可得答案．本题考查三角函数的图象以及性质的应用，涉及函数零点的定义，属于基础题．17.【答案】(1)证明：连接AC交BD于点O，连接MO．因为AM=PM，AO=OC，所以MO//PC．又MO⊂平面，PC⊄平面BDM，所以PC//平面BDM．(2)解：设PD=AD=BD=1，因为PD⊥平面ABCD，所以PD⊥BD，∴PB=√2．因为AD⊥BD，所以AB=√2．因为AM=PM，∴MB⊥AM．因为PD=AD，AM=PM，∴AM=√22,AM⊥DM，又AM∩BM=M，AM，BM⊂平面BDM，所以AM⊥平面BDM，所以∠ABM就是直线AB与平面BDM所成的角，由题得sin∠ABM=√22√2=12，∴∠ABM=30°所以直线AB与平面BDM所成的角为30°．【解析】(1)证明MO//PC ，原题即得证；(2)证明∠ABM 就是直线AB 与平面BDM 所成的角，再解三角形得解．本题考查空间中线面的位置关系及线面角，考查学生的运算能力，属于中档题．18.【答案】(1)解：x −=1+2+3+4+55=3,y −=5+7+12+12+145=10，填表如下：(2)解：b =∑(n i=1x i −x −)(y i −y −)∑(n i=1x i −x)2=10+3+0+2+84+1+0+1+4=2.3，a ̂=y −−b ̂x −=10−2.3×3=3.1，所以年销量y 关于年份编号x 的线性回归方程为y ̂=2.3x +3.1； (3)解：2023年的年份编号为8， 当x =8时，y ̂=21.5，所以预浻2023年新能源汽车的年销量为215万辆．【解析】(1)分别求出年份编号和年销量的平均数，完成表格即可；(2)根据公式分别求出b ̂,a ̂，即可得出答案；(3)2023年的年份编号为8，将x =8代入回归方程即可得解． 本题考查线性回归方程，考查学生的运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：①③⇒②，由③以及余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac =√22，又B ∈(0,π)，所以B =π4，又由①C =2B 可得：C =2B =π2，所以A =B =π4，则有a =b ，所以bcosA =acosB ； ①②⇒③，由②以及正弦定理可得：sinBcosA =sinAcosB ，所以sin(A −B)=0， 又A ，B ∈(0,π)，所以A −B =0，即A =B ， 又由①C =2B ，可得C =2B =π2，所以A =B =π4，由余弦定理可得a 2+c 2−b 2=2accosB =√2ac ，即b 2−c 2=a 2−√2ac ； ②③⇒①，由③以及余弦定理可得cosB =a 2+c 2−b 22ac=√22，又B ∈(0,π)，所以B =π4，由②以及正弦定理可得sinBcosA =sinAcosB ，所以sin(A −B)=0， 又A ，B ∈(0,π)，所以A −B =0，即A =B =π4，所以C =π2=2B ；(2)由(1)可知B =π4，所以∠BCD =12∠B =π8，则∠BDC =5π8，由于S △BCD =12BC ⋅CDsin∠BCD =2BCsin π8=2CDsin∠BDC sin∠CBD×sin π8=8√2sin π8sin 5π8=8√2sin π8cos π8=4√2sin π4=4， 所以三角形BCD 的面积为4．【解析】(1)利用正弦定理，余弦定理，以及三角形的内角和定理化简即可证明；(2)根据角B 求出角BCD 以及角bBC 的大小，然后再利用三角形的面积公式化简即可求解． 根据考查了正弦定理以及余弦定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)因为A 2，B 2分别为椭圆C 的右顶点与上顶点，则A 2(√3,0)，B 2(0,1)，则直线A 2B 2的方程为：√3y =1， 则原点O 到直线A 2B 2的距离为d =√13+1=√32，所以圆E 的半径为r =d =√32，所以圆E 的方程为x 2+y 2=34；(2)由题意：m ≥√32，设直线l 的方程为：x =ty +m ，则√1+t 2=√32，即4m 2=3+3t 2，所以m 2=3t 2+34，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立方程组{x =ty +mx 23+y 2=1，消去x 可得：(3+t 2)y 2+2mty +m 2−3=0，Δ=4m 2t 2−4(t 2+3)(m 2−3)=12(t 2−m 2+3)=3(t 2+9)，所以|AB|=√1+t 2|y 1−y 2|=√1+t 2⋅√3(t 2+9)t 2+3=√3⋅√1+4t2t 4+6t 2+9=√3⋅√1+4t 2+9t2+6，当且仅当t 2=9t 2，即t =±√3时，|AB|最大，且最大值为2．【解析】(1)由已知先求出A2，B2的坐标，由此可以得到直线A2B2的方程，进而可以求出来圆E的半径，从而可以求解；(2)设出直线l的方程，并联立直线l与椭圆的方程，利用韦达定理以及弦长公式求出|AB|，然后利用基本不等式即可求解．本题考查了直线与椭圆的位置关系的应用，涉及到求解圆的方程以及基本不等式的应用，查了学生的运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，当a=1时，f(x)=x2−xlnx.则f′(x)=2x−lnx−1，所以f′(1)=1，切点(1,1)，从而切线方程为y=x．(2)由不等式f(x)<−e(a+e)，整理得x2−axlnx+e(a+e)<0，等价于x−alnx+e2+aex<0，设g(x)=x−alnx+e2+aex，g′(x)=1−ax −e2+aex2=(x−e−a)(x+e)x2，因为x>0，所以x+e>0，令g′(x)=0，得x=e+a，①当e+a≤1，即a≤1−e时，g(x)在[1,e]单调递增，只需g(1)=1+e2e+ea<0，得a<−1−e2e =−e−1e，②当e+a≥e，即a≥0时，g(x)在[1,e]单调递减，只需g(e)=e−a+e+a<0，不成立．③1<e+a<e，即1−e<a<0时，g(x)在[1,e]上的极小值为g(e+a)=a+e−aln(a+e)+e，只需a+e−aln(a+e)+e<0，即a+2ea>ln(a+e)，∵1−e<a<0，∴a+2ea<0，ln(a+e)>0，∴a+e−aln(a+e)+e<0不可能成立，综上，a的取值范围是(−∞,−e−1e).【解析】(1)利用导数的几何意义求解；(2)等价于x−alnx+e2+aex <0，设g(x)=x−alnx+e2+aex，利用导数求得g(x)的最小值，只需最小值小于0即可．本题考查了导数的应用，考查了导数的几何意义、恒成立问题，考查了计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(1)圆C 的方程整理可得，x 2+y 2−2x −2y −7=0，∵x =ρcosθ，y =ρsinθ， ∴ρ2−2ρcosθ−2ρsinθ−7=0． (2)设直线l 的极坐标方程为θ=α， A(ρ1,α)，B(ρ2,α)，联立方程{θ=αρ2=2ρcosθ+2ρsinθ+7，化简可得，ρ2−2(cosα+sinα)ρ−7=0，∴Δ=(2cosα+2sinα)2+28>0，而ρ1ρ2<0，则|OA|+|OB|=|ρ1|+|ρ2|=|ρ1−ρ2|=√(2cosα+2sinα)2+28=2√7， ∴2cosα+2sinα=0，tanα=−1， ∵0≤α<π， ∴α=3π4，故直线l 的极坐标方程为θ=3π4(ρ∈R)．【解析】(1)根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解． (2)根据已知条件，结合极坐标的几何意义，即可求解． 本题主要考查极坐标的应用，考查计算能力，属于中档题．23.【答案】(1)解：因为函数f(x)=|x −2|+|x −3|={2x −5,x >31,2≤x ≤3−2x +5,x <2，不等式f(x)≥3等价于{x <2−2x +5≥3或{2≤x ≤31≥3或{x >32x −5≥3，解得x ≤1或无解或x ≥4；所以不等式f(x)≥3的解集为{x|x ≤1或x ≥4}；(2)证明：因为f(x)=|x −2|+|x −3|≥|(x −2)−(x −3)|=1， 所以f(x)的最小值为m =1， 所以1a +2b =m =1，所以a +2b =(a +2b)(1a +2b )=2a b+2b a+5≥2√2a b ⋅2b a+5=9，当且仅当2ab =2b a，即a =b =3时等号成立．【解析】(1)利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f(x)≥3的解集；(2)利用绝对值不等式求出f(x)的最小值m，再利用基本不等式求a+2b的最小值即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是中档题．。

昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,6}B =，则()U A B ⋂=ð（）A .{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{3,4,5}2.复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则||MF =（）A. B. C.3D.44.在ABC 中，点D 满足4AD DB =，则（）A.1344CD CA CB=+ B.3144CD CA CB=+C.1455CD CA CB=+D.4155CD CA CB=+5.某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C.若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =6.已知函数()sin cos f x x x =+，若存在[0,2π]x ∈，使得方程()f x m =有三个不等的实根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，则321x x x --=（）A.2πB.3π2 C.πD.π27.若将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，则称函数()f x 和()g x 互为“平行函数”.已知1()221x f x =-+，2(2)2x x m g x ⋅=+互为“平行函数”，则m =（）A.2B.1C.1- D.2-8.第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt AOB △，1OA =，30AOB ∠=︒，再依次作相似三角形BOC △，COD △，DOE △，……，直至最后一个三角形的斜边OM 与OA 第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）A.111⎤⎥-⎢⎥⎝⎭⎣⎦B.11413⎤⎛⎫-⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.121⎤⎥-⎢⎥⎝⎭⎣⎦D.12413⎤⎛⎫-⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1BD 与平面11BCC B 所成的角为π6，底面ABCD 是正方形，则（）A.1AA = B.1BD 与平面1111D C B A 所成的角为π4C.11BD DA ⊥ D.1AB ⊥平面1BCD 10.已知圆22:1O x y +=，直线:40l x y --=，点P 在直线l 上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当APB ∠最大时，则（）A.直线AB 的斜率为1B.四边形PAOB 的面积为72C.14||2AB =D.sin APB ∠=811.古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A.crd3030︒=B.若crd 120α=，则180α=︒C .crd α=D.crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）12.已知函数()121,0e 1,0xx x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，()(())()g x f f x f x a =--，则（）A .当0a =时，()g x 有2个零点B.当32a =时，()g x 有2个零点C.存在a ∈R ，使得()g x 有3个零点D.存在a ∈R ，使得()g x 有5个零点三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是______.（写一个即可）14.春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为______.（用数字作答）15.已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心作与C 的渐近线相切的圆，该圆与C 的一个交点为P ，若12F PF △为等腰三角形，则C 的离心率为______.16.已知球O 的表面积为36π，正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，则该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为______.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，cos 10BAC ∠=-，5sin 5ACB ∠=，AB =.（1）求ABC △的面积；（2）如图，//CD AB ，CB BD ⊥，求AD .18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，124n n a S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1{}nd 的前2024项和.19.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E 是线段PC 的中点，F 是线段BC 上一点，112PA AC BC ===，PB =（1）证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）是否存在点F ，使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3？若存在，求CF ；若不存在，说明理由.20.聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X ，事件X k =（0,1,,8k = ）的概率为()P X k =，求当()P X k =最大时k 的值.21.已知F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的右焦点，点0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在不过原点O 的直线l 上，l 交C 于A ，B 两点.当AOF ∠与BOF ∠互补时，||3AB =，||||AF BF +=.（1）求C 的方程；（2）证明：tan AOB S AOB∠△为定值.22.已知函数()()2212ln 22f x x ax x x ax =--+，R a ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()()211ln 2f x a a ≥-恒成立，求a 的取值范围.昆明市2024届高三“三诊一模”摸底诊断测试数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡交回.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{1,2,3,5}A =，{2,6}B =，则()U A B ⋂=ð（）A.{1,2,3}B.{2,3,5}C.{1,3,5}D.{3,4,5}【答案】C 【解析】【分析】先求集合B 的补集，再求交集即可.【详解】由题U B =ð{1,3,4,5}，则()U A B ⋂=ð{1,3,5}.故选：C 2.复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A 【解析】【分析】由复数的四则运算以及复数的几何意义即可得解.【详解】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i+在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3.已知F 是抛物线2:4C x y =的焦点，点M 在C 上，且M 的纵坐标为3，则||MF =（）A. B. C.3 D.4【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解.【详解】由已知得()0,1F ，由于M 的纵坐标为3，结合抛物线定义可得2||3422M p MF y =+=+=，故选：D4.在ABC 中，点D 满足4AD DB =，则（）A.1344CD CA CB=+B.3144CD CA CB=+C.1455CD CA CB=+D.4155CD CA CB=+【答案】C 【解析】【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB +=+=++=+-+==+；即可得1455CD CA CB =+.故选：C5.某学校运动会男子100m 决赛中，八名选手的成绩（单位：s ）分别为：13.09，13.15，12.90,13.16，12.96，13.11，x ，13.24，则下列说法错误的是（）A.若该八名选手成绩的第75%百分位数为13.155，则13.15x =B.若该八名选手成绩的众数仅为13.15，则13.15x =C.若该八名选手成绩的极差为0.34，则12.9013.24x ≤≤D.若该八名选手成绩的平均数为13.095，则13.15x =【答案】A 【解析】【分析】举反例判断A,利用众数和平均数定义判断B 、D,分情况讨论x 判断C.【详解】对A,因为875%6⨯=，当13x =,八名选手成绩从小到大排序12.90,12.96,13,13.09,13.11,13.15,13.16,13.24,，故该八名选手成绩的第75%百分位数为13.1513.1613.1552+=，但1313.15x =≠，故A 错误；对B,由众数是出现次数最多的数据，B 正确；对C,当12.9x <，极差为13.240.34x ->，不符合题意舍去；当12.9013.24x ≤≤，极差为13.2412.90.34-=，符合题意当13.24x >，极差为12.90.34x ->不符合题意舍去，综上，12.9013.24x ≤≤，C 正确；对D,平均数为12.9012.9613.0913.1113.1513.1613.2413.095,8x+++++++=解得13.15x =，故D 正确.故选：A6.已知函数()sin cos f x x x =+，若存在[0,2π]x ∈，使得方程()f x m =有三个不等的实根1x ，2x ，3x 且123x x x <<，则321x x x --=（）A.2πB.3π2 C.πD.π2【答案】B 【解析】【分析】利用辅助角公式变形为π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，画出[0,2π]x ∈图像，找到两函数交点位置，求出结果即可.【详解】π()sin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，作出[0,2π]x ∈的图像，可知当1m =时，有三个根，π214x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即ππ2π44x k +=+或32ππ,Z 4k k +∈，解得根分别为π0,,2π2，又因为123x x x <<，所以3213π2x x x --=，故选：B.7.若将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，则称函数()f x 和()g x 互为“平行函数”.已知1()221x f x =-+，2(2)2x x m g x ⋅=+互为“平行函数”，则m =（）A.2B.1C.1- D.2-【答案】B 【解析】【分析】根据“平行函数”的定义，结合函数图象的变换关系求解即可.【详解】因为1()221x f x =-+，()111112122()22212121x x x x x x x m m m m m g x m -----+-⋅⋅====-++++，而将函数()y f x =的图象平移后能与函数()y g x =的图象重合，所以1m =，经检验符合题意，故选：B .8.第七届国际数学大会（ICNE7）的会徽图案是由若干三角形组成的.如图所示，作Rt AOB △，1OA =，30AOB ∠=︒，再依次作相似三角形BOC △，COD △，DOE △，……，直至最后一个三角形的斜边OM 与OA 第一次重叠为止.则所作的所有三角形的面积和为（）A.11123⎡⎤⎛⎢⎥- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦B.114123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦C.12123⎡⎤⎛⎢⎥- ⎢⎥⎝⎭⎣⎦D.124123⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】【分析】设第()*,112n n n ≤≤∈N 三角形的斜边长为n a ，面积为n b ，根据题意分析可知数列{}n b是以首项16b =，公比为43的等比数列，结合等比数列求和公式运算求解.【详解】因为3601230︒=︒，设第()*,112n n n ≤≤∈N 三角形的斜边长为n a ，面积为n b ，由题意可知：11cos30a ==︒，1cos30n n n a a +==︒，21122n n n n b a =⨯=，则10b =≠，2211243n n n n n b b a ++⎫⎪⎪⎝⎭==，可知数列{}n b是以首项1b =43的等比数列，所以所作的所有三角形的面积和为12124134142313⎤⎛⎫-⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-.故选：D.二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9.在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知1BD 与平面11BCC B 所成的角为π6，底面ABCD 是正方形，则（）A.1AA = B.1BD 与平面1111D C B A 所成的角为π4C.11BD DA ⊥D.1AB ⊥平面1BCD 【答案】AB 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，运用向量法逐个分析即可.【详解】易知正四棱柱1111ABCD A B C D -是长方体1111ABCD A B C D -，故以D 为原点建立空间直角坐标系，连接1BD ，设1AA z =，AD x =，CD y =，1BD 与平面11BCC B 所成的角为θ，故1(0,0,)z D ，(00)A x ，，,(,,0)B x y ，1(,,)D B x y z =- ，易知面11BCC B 的法向量(010)n = ，，,易知π6θ=，故1sin 2θ=，可得12=，化简得2223y x z =+，结合底面ABCD 是正方形，可得x y =，故222z y =，z =，即1AA =，故A 正确，易知面1111D C B A 的法向量(001)m =，，，1(,,)D B x y z =- ，设1BD 与平面1111D C B A 所成的角为α，故sin α==sin 2α=，故π4α=，故B 正确，易知1(,0,)A x z ，1(,0,)DA x z = ，故222110DA D B x z y ⋅=-=-≠，即11,BD DA 不垂直，故C 错误，易知1(,)B y y ，(00)A y ，，，故1(0,)AB y = ，1(,,)D B y y =-，1)D ，(0,,0)C y ，1(0,,)D C y =- ，设面1BCD 的法向量(,,)a a b c =，故0ay by +=，0by =，解得0a =，b =，1c =，即a = ，则a 与1AB不平行，故1AB 与面1BCD 不垂直，故D 错误，故选：AB10.已知圆22:1O x y +=，直线:40l x y --=，点P 在直线l 上运动，过点P 作圆O 的两条切线，切点分别为A ，B ，当APB ∠最大时，则（）A.直线AB 的斜率为1B.四边形PAOB 的面积为2C.||AB =D.sin APB ∠=78【答案】AC 【解析】【分析】由题意分析得OP l ⊥，结合OP AB ⊥，即可判断A ，求出min OP d ===，结合三角函数即可判断D ，算出AP ==即可得四边形PAOB 的面积，由此即可判断B ，结合等面积法即可判断C.【详解】若要APB ∠最大，则只需锐角APO ∠最大，只需1sin OA APO OPOP∠==最大，即OP 最小，所以若OP 最小，则OP l ⊥，由垂径分线定理有OP AB ⊥，所以//AB l ，所以1AB l k k ==，故A 正确；由题意min OP d ===，此时12sin 4APO OP ∠==，cos 4APO ∠==，所以此时sin 2sin cos 2444APB APO APO ∠∠∠=⋅=⨯⨯=，故D 错误；而当OP =时，AP ==，所以四边形PAOB 的面积为1212⎛⨯⨯⨯= ⎝故B 错误；由等面积法有四边形PAOB 的面积为12AB OP ⋅=，又由题意OP =，所以||2AB =，故C正确.故选：AC.11.古希腊数学家托勒密（Ptolemy 85-165）对三角学的发展做出了重要贡献，他研究出角与弦之间的对应关系，创造了世界上第一张弦表.托勒密用圆的半径的160作为一个度量单位来度量弦长，将圆心角 α（0360α︒<<︒）所对的弦长记为crd α.例如60︒圆心角所对弦长等于60个度量单位，即crd6060︒=.则（）A.crd3030︒=B.若crd 120α=，则180α=︒C.crd α=D.crd crd crd()αβαβ+>+（0360αβ︒<+<︒）【答案】BCD 【解析】【分析】根据所给定义即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，30︒圆心角所对弦长为()12sin152sin 6045222222R R R R ⎛=-=⨯⨯⨯=⎪⎝⎭若crd3030︒=，则弦长为12R ,显然122R R ≠,故A 错误，对于B ，若crd 120α=，则弦长为2R ,而直径为2R ，故180α=︒，B 正确，对于C ，圆心角 α所对的弦长为2sin2R α，故crd 2sin 602αα=⨯=，C 正确，对于D,根据三角形两边之和大于第三边可知：,αβ所对的弦长之和大于αβ+所对的弦长，所以crd crd crd()αβαβ+>+，（0360αβ︒<+<︒），故D 正确，故选：BCD12.已知函数()121,0e 1,0x x x f x x ⎧-+<=⎨-≥⎩，()(())()g x f f x f x a =--，则（）A.当0a =时，()g x 有2个零点B.当32a =时，()g x 有2个零点C.存在a ∈R ，使得()g x 有3个零点D.存在a ∈R ，使得()g x 有5个零点【答案】BCD 【解析】【分析】令()t f x =，可得()y f t t a =--，结合图象分析方程()f t t a =+的根的分布，再结合图象分析()t f x =的交点个数，即可得解.【详解】由()f x 的图象可知，()f x 的值域为R ，对于选项AC ：令()e 1,0xh x x x =--≥，则()e 10xh x ='-≥在[)0,∞+上恒成立，可知()h x 在[)0,∞+上单调递增，则()()00h x h ≥=，即e 1,0x x x -≥≥当且仅当0x =等号成立，令()t f x =，若0a =，可得()y f t t =-，令()0y f t t =-=，当0t ≥，则e 10t t --=，可知0=t ；当0t <，结合图象可知当且仅当12t ≤-，方程()1210f t t t t -=++-=有根，解得2t =-；即()2f x =-或()0f x =，结合图象可知：()2f x =-有1个根；()0f x =有2个根；综上所述：当0a =时，()g x 有3个零点，故A 错误，C 正确；对于选项B ：令()t f x =，若32a =，可得3()2y f t t =--，令3()02y f t t =--=，即3()2f t t =+，注意到()31e 112f =-<+，由图象可知方程3()2f t t =+有两个根为一根为12-，另一根不妨设为,1m m >，即()12f x =-或()f x m =，结合图象可知：()12f x =-有1个根；()1f x m =>有1个根；综上所述：当32a =时，()g x 有2个零点，故B 正确；对于选项D ：令()t f x =，若0.2a =，可得()0.2y f t t =--，令()0.20y f t t =--=，即()0.2f t t =+，令e 11x -=，解得ln 2x =，由图象可设方程()0.2f t t =+有三个根为123,,t t t ，且1230ln 21t t t <<<<<，即()1f x t =或()2f x t =或()3f x t =，结合图象可知：()1f x t =或()2f x t =有1个根；()3f x t =有3个根；综上所述：当0.2a =时，()g x 有5个零点，故D 正确；故选：BCD.【点睛】易错点睛：利用数形结合求方程解应注意两点1.讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．2.正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知角θ的顶点为坐标原点O ，始边与x 轴的非负半轴重合，点(1,)A a （a ∈Z ）在角θ终边上，且3OA ≤，则tan θ的值可以是______.（写一个即可）【答案】1（0，1±，2±均可）【解析】【分析】由3OA ≤求得a 的取值范围，结合三角函数的定义进而可得解.【详解】3OA ≤，即219a +≤，解得a -≤≤，又a ∈Z ，故a 的值可为2-、1-、0、1、2，则tan 1aa θ==，即tan θ的值可以是0或1±或2±.故答案为：1（0，1±，2±均可）.14.春节前夕，某社区安排小王、小李等5名志愿者到三个敬老院做义工，每个敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一个敬老院，且这5名志愿者全部安排完，则所有不同的安排方式种数为______.（用数字作答）【答案】18【解析】【分析】先把小王、小李视为1组，再把剩下的3人分成2组，把这3组全排列即可.【详解】把小王、小李视为1组，剩下的3个人先分成2组，分组的方式是：1，2；则有1232C C 3⋅=，把这3组人再分配给3个敬老院，则333A 18⋅=.故答案为：1815.已知双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心作与C 的渐近线相切的圆，该圆与C 的一个交点为P ，若12F PF △为等腰三角形，则C 的离心率为______.【答案】53##213【解析】【分析】利用点到直线的距离公式求出2PF 的长，再利用双曲线的定义结合等腰三角形列式计算即得.【详解】双曲线2222: 1 (0,0)x y C a b a b-=>>的半焦距为c ，渐近线方程为0bx ay ±=，点2(,0)F c 到渐近线距离为222||bc PF b a b==+，由双曲线定义得1||2PF a b =+，由12F PF △为等腰三角形，得121||||F F PF =，即22c a b =+，因此22224()c a b c a -==-，则53c a =，所以C 的离心率为53c e a ==.故答案为：5316.已知球O 的表面积为36π，正四棱锥P ABCD -的所有顶点都在球O 的球面上，则该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为______.【答案】643【解析】【分析】由球的表面积计算出球的半径，设出该正四棱锥底面边长及高，由球的半径可得底面边长与高的关系，求出该正四棱锥体积的表达式，结合导数计算即可得.【详解】由236π4πr S ==表，故该球半径3r =，设正四棱锥P ABCD -底面边长为AB a =，高为PM h =，则2AM ==，3OM h r h =-=-，则有()222332a h ⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得22212a h h =-+，()22321122124333P ABCD V a h h h h h h -==-+=-+，令()()322403f h h h h =-+>，则()()22824f h h h h h '=-+=--，故当04h <<时，()0f h '>，当4h >时，()0f h '<，即()f h 有极大值()32264444433f =-⨯+⨯=，即该正四棱锥P ABCD -体积的最大值为643.故答案为：643.【点睛】关键点睛：本题关键在于得出体积的表达式后构造函数，借助导数研究函数单调性后可得最值.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC △中，10cos 10BAC ∠=-，sin 5ACB ∠=，AB =.（1）求ABC △的面积；（2）如图，//CD AB ，CB BD ⊥，求AD .【答案】（1）32（2）AD =【解析】【分析】（1）根据同角关系求解正余弦值，即可根据正弦定理求解3BC =，进而有和差角公式以及三角形面积公式求解即可，（2）根据边角关系以及余弦定理即可求解.因为cos 010BAC ∠=-<，π,π2BAC ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以sin 10BAC ∠=，因为sin 5ACB ∠=，π0,2ACB ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以cos 5ACB ∠=，在ABC △=3BC =.又因为310251052sin sin()1051052ABC BAC ACB ∠=∠+∠=⨯-⨯=，所以1233222ABC S =⨯=△.【小问2详解】由（1）可知，π4ABC ∠=，因为//CD AB ，所以π4BCD ∠=，又因为CB BD ⊥，即π2CBD ∠=，故π4CDB ∠=，所以3π4ABD ABC CBD ∠=∠+∠=，3BD BC ==，在ABD △中，由余弦定理可得2223π323cos4AD =+-，解得AD =.18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和，124n n a S =+.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n d 的等差数列，求数列1{}nd 的前2024项和.【答案】18.1(1)2n n a --=19.1012【解析】【分析】（1）先计算1a ，再利用()12n n n a S S n -=-≥得11nn a a -=-进而证明{}n a 等比数列，可得通项公式；（2）先求出n d ，再利用并项求和法求1{}nd 的前2024项和.当1n =时，11124a a =+，所以112a =，当2n ≥时，1111()2424n n n n n a a a S S --=-=+-+，所以11nn a a -=-，所以数列{}n a 是以12为首项，1-为公比的等比数列，即1(1)2n n a --=.【小问2详解】由题意，11(1)(1)(1)22111n n nn n n a a d n n n -+-----===+++，则11(1)nn n d +=-，记数列1{}nd 的前n 项和为n T ，所以20242024234520242025110122T =-+-++-+=⨯= .19.如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，E 是线段PC 的中点，F 是线段BC 上一点，112PA AC BC ===，PB =（1）证明：平面AEF ⊥平面PBC ；（2）是否存在点F ，使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3？若存在，求CF ；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，22CF =．【解析】【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定线线垂直，得出线面垂直再证面面垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量研究面面夹角，计算即可.【小问1详解】因为PA AC =，E 是PC 的中点，所以AE PC ⊥，在直角PAB 中，1PA =，PB =AB =，在ABC △中，1AC =，2BC =，所以222AC BC AB +=，得ACBC ⊥，又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以PA BC ⊥，又AC BC ⊥，PA AC A = ，所以BC ⊥平面PAC ，由AE ⊂平面PAC 得AE BC ⊥，又PC BC C ⋂=，所以⊥AE 平面PBC ，由AE ⊂平面AEF 得，平面AEF ⊥平面PBC ．【小问2详解】存在点F 满足条件，以C 为原点，建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，设()02CF t t =≤≤，则()0,1,0A ，110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(),0,0F t，110,,22AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，()=,1,0AF t - ，设平面AEF 的法向量为(),,n x y z =，则110220y z tx y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，令1x =得y z t ==，所以平面AEF 的一个法向量为()1,,n t t = ，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =，由已知得π132m n cos m n ⋅===⋅，解得2t =，即2CF =，所以存在点F 使平面AEF 与平面ABC 的夹角为π3，此时2CF =．20.聊天机器人（chatterbot ）是一个经由对话或文字进行交谈的计算机程序.当一个问题输入给聊天机器人时，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答.在对某款聊天机器人进行测试时，如果输入的问题没有语法错误，则应答被采纳的概率为80%，若出现语法错误，则应答被采纳的概率为30%.假设每次输入的问题出现语法错误的概率为10%.（1）求一个问题的应答被采纳的概率；（2）在某次测试中，输入了8个问题，每个问题的应答是否被采纳相互独立，记这些应答被采纳的个数为X ，事件X k =（0,1,,8k = ）的概率为()P X k =，求当()P X k =最大时k 的值.【答案】（1）0.75（2）6【解析】【分析】（1）根据全概率公式即可求解，（2）根据二项分布的概率公式，利用不等式即可求解最值.【小问1详解】记“输入的问题没有语法错误”为事件A ，“一次应答被采纳”为事件B ，由题意()0.1P A =，()0.8P B A =，()0.3P B A =，则()1()0.9P A P A =-=，()()()()()()()0.90.80.10.30.75P B P AB P AB P A P B A P A P B A =+=+=⨯+⨯=.【小问2详解】依题意，3(8,)4X B ，8831()()()44k k k P X k -==C ，当()P X k =最大时，有()()()()1,1,P X k P X k P X k P X k ⎧=≥=+⎪⎨=≥=-⎪⎩即8171888191883131C C ,44443131C C ,4444k k k k k k k k k k k k -+-+----⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩解得：232744k ≤≤，k ∈N ，故当()P X k =最大时，6k =.21.已知F 是椭圆2222: 1 (0)x y C a b a b +=>>的右焦点，点0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在不过原点O 的直线l 上，l 交C 于A ，B 两点.当AOF ∠与BOF ∠互补时，||3AB =，||||AF BF +=.（1）求C 的方程；（2）证明：tan AOBS AOB ∠△为定值.【答案】（1）2212x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由AOF ∠与BOF ∠互补，故OA 与OB 关于y 轴对称，可得l 的方程，即可得A 点坐标，结合椭圆定义及A 点坐标计算即可得C 的方程；（2）设出点的坐标与直线方程，与曲线方程联立后可得与横坐标有关一元二次方程，借助韦达定理表示出A ，B 两点横坐标关系，由题意将tan AOBS AOB ∠△化简后结合韦达定理计算即可得.【小问1详解】因为AOF ∠与BOF ∠互补，由椭圆的对称性可得OA 与OB 关于y 轴对称，所以AB y ⊥轴，又因为直线l过0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故l的方程为3y =，设A在第一象限，因为3AB =，则,33A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，设F '为C 的左焦点，则||||BF AF '=，故||||||||2AF BF AF AF a '+=+=，即a =因为A 在C 上，2223312b +=，解得1b =，所以C 的方程为2212x y +=；【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由题意知直线l 斜率存在，设直线3:3l y kx =+，联立22312y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得223(21)40k x ++-=，()22Δ4848210k k =++>，则12x x +=12243(21)x x k -=+，所以21212261(3(21)k y y kx kx k -+==+，故12121||||sin 112||||cos sin tan 222cos AOB OA OB AOB S x x y y OA OB AOB OB AOB AOB AOB∠+==∠=⋅=∠∠∠ △222224613(21)13(21)3(21)3(21)222k k k k k --+-+++++===-，所以tan AOB S AOB ∠△为定值12-.【点睛】关键点睛：本题关键在于将tan AOB S AOB ∠△通过化简得到1212tan 2AOB S x x y y AOB +=∠△，再结合韦达定理进行计算.22.已知函数()()2212ln 22f x x ax x x ax =--+，R a ∈.（1）讨论()f x 的单调性；（2）当0a >时，若()()211ln 2f x a a ≥-恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）2[e,e ]【解析】【分析】（1）求导后对a 分类讨论即可得；（2）由函性质可得0x →时，()0f x →，则21(1ln )02a a -≤，再结合函数单调性进行分类讨论计算即可得.【小问1详解】函数()f x 的定义域为,()0x ∈+∞，21()(22)ln (2)22()ln f x x a x x ax x a x a x x'=-+-⋅-+=-，①当0a ≤时，令()0f x '=，得1x =，则当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，②当0a >时，令()0f x '=，得1x =或x a =，ⅰ）当01a <<时，则当0x a <<或1x >时，()0f x '>，当1<<a x 时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)a 和(1,)+∞上单调递增，在(,1)a 上单调递减，ⅱ）当1a =时，当0x >时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增，ⅲ）当1a >时，则当01x <<或x a >时，()0f x '>，当1x a <<时，()0f x '<，所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 上单调递减，【小问2详解】当0x >时，令1e t x =，则1ln e ln e et t t t x x -==，0x →时，t →+∞，则0e t t→，故ln 0x x →，则2ln 0x x →，故当0x →时，221ln 2ln 2(2)0x x ax x x x a f x --+=→，所以当0x →时，21(1ln )02a a -≤，解得e a ≥，由（1）可知，当1a >时，()f x 在(0,)+∞上的极小值为21()(32ln )2f a a a =-，由题，则有2211(32ln )(1ln )22a a a a -≥-，解得21e a <≤，当21()(32ln )02f a a a =-=，解得32e a =，①当32e e a ≤<时，21()(32ln )02f a a a =->，21()0(1ln )2f x a a >≥-，符合题意，②当322e e a ≤≤时，21()(32ln )02f a a a =-≤，2min 1()()(1ln )2f x f a a a =≥-，符合题意.综上，当2[e,e ]a ∈时，21()(1ln )2f x a a ≥-恒成立.【点睛】恒成立问题解题思路：（1）参变量分离：（2）构造函数：①构造函数，研究函数的单调性，求出函数的最值，解不等式即可；②构造函数后，研究函数单调性，利用单调性解不等式，转化之后参变分离即可解决问题.。

2019－2020学年云南省昆明市三诊一模高三（上）1月摸底数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.（5分）已知集合2{|1}A x N x =∈，集合{|13}B x Z x =∈-，则图中阴影部分表示的集合为( )A .[1，3]B .(1，3]C .{1-，2，3}D .{1-，0，2，3}【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行补集的运算即可求出阴影部分表示的集合为B A 。

【解答】解：{0A =，1}，{1B =-，0，1，2，3}，∴阴影部分表示的集合为{1BA =-，2，3}。

故选：C 。

Z 本题考查了描述法、列举法的定义，补集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题。

2.（5分）在复平面内，复数1z i =+的共轭复数对应的向量为OZ '为( )A .B .C .D .【分析】由已知求得z 的坐标得答案。

【解答】解：由1z i =+，得1z i =-， 则z 在复平面内对应点的坐标为(1,1)-，∴OZ'为C。

故选：C。

Z本题考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题。

3.（5分）已知(,)2παπ∈，3sin5α=，则cos()(πα-=)A.45B.35C.45-D.35【分析】由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求值得解。

【解答】解：(,)2παπ∈，3sin5α=，4cos5α∴==-，4cos()cos5παα∴-=-=。

故选：A。

Z本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题。

4.（5分）根据中国生态环境部公布的2017年、2018年长江流域水质情况监测数据，得到如图饼图：则下列说法错误的是()A.2018年的水质情况好于2017年的水质情况B.2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加C.2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅳ类水质D.2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比超过60%【分析】根据图象所给信息逐一进行判断即可【解答】解：根据图象中的数据可知2018年的水质情况好于2017年的水质情况，同时2018年与2017年相比较，Ⅰ、Ⅱ类水质的占比明显增加，故A、B对；而2018年与2017年相比较，占比减小幅度最大的是Ⅲ类水质，故C 错； 2018年Ⅰ、Ⅱ类水质的占比等于5.7%54.7%60%+>，故D 对， 故选：C 。

昆明市2018届高三摸底调研测试理科数学试卷第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1)设全集U=R，集合A={x| x(x -3)>0}，则C A=(A) [0，3] (B)(0，3)(C) (-∞,0) (3,+ ∞) (D) (-∞,0][3,+ ∞)(2) 设复数z满足(13)3,i z i z-=+=则(A)一i (B) i (C) 3455i-(D) 3455i+(3)设命题p：∀x∈R ，2x>0，则⌝p为(A) ∀x∈R, 2x<0(B) ∀x∈R, 2x<0(C) ∃xo∈R, 2 xo <0 (D)∃3xo∈R, 2xo <0(4) 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于(A) 8+4π(B) 8+2π(C) 8+43π(D) 8+23π(5)设a ，b ∈N*，记R(a\b)为a 除以b 所得的余数．执行 如图所示的程序框图，若输入a= 243，b=45，则输 出的值等于 (A) 0 (B) 1 (C) 9 (D) 18(6)已知ω>0，在函数y=sin ωx 与y=cos ωx 的图像的交点中，相邻两个交点的横坐标之差为1，则ω=(A)1 (B)2 (C)π (D) 2π(7)己知四边形ABCD 为正方形，3BP CP =，AP 与CD 交于点E ，若PE mCP nPD =+ 则m-n= (A)一23(B)23(C) —13(D) 13(8)己知a ∈（0，2π），cos(a +4π)= 一35，则tan a =(A) 17(B) 7 (C) 34(D) 43(9)四人进行一项游戏，他们约定：在一轮游戏中，每人掷一枚质地均匀的骰子1次，若某人掷出的点数为5或6，则此人游戏成功，否则游戏失败．在一轮游戏中，至少有2 人游戏成功的概率为(A) 127 (B) 827(C) 1127(D)89(10)已知F1，F2为双曲线C的左，右焦点，过F1的直线分别交C的左，右两支于A，B两点，若△AF2B为等腰直角三角形，且∠AF2B=90°，那么C的离心率为(11)已知曲线f(x)=e2x- 2e x+ax -1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围为(A)(3，+∞) (B) [3，72] (C) (一∞，72](D)(0，3)(12)棱长为a的正方体可任意摆放，则其在水平平面上投影面积的最大值为2：22 (D) 2a2第II卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019-2020学年云南省昆明一中高三（上）第一次摸底数学试卷（理科）（9月份）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合0，，，则A. 0，B.C.D.2.若，则A. B. C. D.3.“二万五千里长征”是1934年10月到1936年10月中国工农红军进行的一次战略转移，是人类历史上的伟大奇迹，向世界展示了中国工农红军的坚强意志，在期间发生了许多可歌可泣的英雄故事．在中国共产党建党98周年之际某中学组织了“长征英雄事迹我来讲”活动，已知该中学共有高中生2700名，用分层抽样的方法从该校高中学生中抽取一个容量为45的样本参加活动，其中高三年级抽了12人，高二年级抽了16人，则该校高一年级学生人数为A. 720B. 960C. 1020D. 16804.的展开式中含项的系数为A. B. C. 6 D. 75.函数的图象大致为A.B.C.D.6.已知等差数列的前n项和为，若，则A. B. 3 C. D. 67.在正方体中，E为的中点，F为BD的中点，则A. B.C. 平面D. 平面8.已知函数，若是的一个极小值点，且，则A. B. 0 C. 1 D.9.执行如图所示的程序框图输出的S的值为A. 25B. 24C. 21D. 910.偶函数在上为减函数，若不等式对任意的恒成立，则实数a的取值范围是A. B. C. D.11.设抛物线C：的焦点为F，准线为l，点A为C上一点，以F为圆心，FA为半径的圆交l于B，D两点，若，的面积为，则A. 1B.C.D. 212.若存在，满足，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题）13.已知，为单位向量，且，的夹角为，则______．14.公比为3的等比数列的各项都是正数，且，则______．15.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，以为圆心，为半径的圆交双曲线C的右支于A，B两点，若，则双曲线C的离心率为______．16.在三棱锥中，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，若三棱锥的四个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题）17.某学校为了解本校文理科学生的学业水平模拟测试数学成绩情况，分别从理科班学生中随机抽取60人的成绩得到样本甲，从文科班学生中随机抽取n人的成绩得到样本乙，根据两个样本数据分别得到如下直方图：已知乙样本中数据在的有10个．求n和乙样本直方图中a的值；试估计该校理科班学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数同组中的数据用该组区间中点值为代表．18.已知在中，，．求tan A的值；若，的平分线CD交AB于点D，求CD的长．19.图1是由正方形ABCG，直角梯形ABED，三角形BCF组成的一个平面图形，其中，，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．证明：图2中的D，E，C，G四点共面，且平面平面DEC；求图2中的二面角的大小．20.过的直线l与抛物线C：交于A，B两点，以A，B两点为切点分别作抛物线C的切线，设与交于点求；过Q，F的直线交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN面积的最小值．21.已知函数，．讨论的单调性；是否存在a，b，使得函数在区间的最小值为且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，请说明理由．参考数据：．22.如在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为．写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；若点Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l的距离的最小值．23.已知正数a，b，c满足等式证明：；．答案和解析1.【答案】B【解析】解：0，，，．故选：B．可以求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，指数函数的单调性，以及交集的运算．2.【答案】B【解析】解：由，得．故选：B．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：设该校高一年级学生人数为x人，由题意得：，解得．故选：C．设该校高一年级学生人数为x人，由此利用列举法得，由此能求出该校高一年级学生人数．本题考查高一年级学生人数的求法，考查分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4.【答案】A【解析】解：的展开式中含项的系数为，故选：A．把按照二项式定理展开，可得结论．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：函数定义域为；且，函数为偶函数，排除选项D；将表达式的分子分母均乘以，可得且当时，，故选项A，C不成立．故选：B．首先利用函数的奇偶性排除选项D，再将原函数的分子分母同乘进行化简，最后利用特殊值法即可判断．本题考查函数的奇偶性及图象对称性的综合应用，属于中档题6.【答案】A【解析】解：等差数列的前n项和为，，，解得，．利用等差数列的前n项和公式推导出，再由，能求出结果．本题考查等差数列的前n项和公式、通项公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.【答案】D【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为2，则0，，1，，2，，0，，0，，在A中，1，，，与不平行，故A错误；在B中，0，，，与不垂直，故B错误；在C中，平面的法向量1，，，与平面不平行，故C错误；在D中，0，，2，，，，，，，平面D.故选：D．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.【答案】C【解析】解：，，又，或，当，时，，在区间上，在区间上，是极大值点，不符合题意．当，时，，在区间上，在区间上，是极小值点，符合题意．，故选：C．先写出导函数，得，又因为，所以或，分别代入解析式，检验哪个符合题意．本题考查导数的应用，极值，属于中档题．9.【答案】A【解析】解：初始值，；第一步，，，此时，故；第二步：，，此时，故；第三步：，，此时，故；第四步：，，此时，故；第五步：，，此时，故输出；根据程序框图依次写出每次循环的结果，再根据判断框内的条件，确定输出的S的值即可．本题考查程序框图，难度较小，属于基础题．10.【答案】D【解析】解：是偶函数，图象关于y轴对称．在的单调性与的单调性相反，可得在上是增函数．不等式恒成立，等价于恒成立．即不等式恒成立，的解集为R，结合一元二次方程根的判别式，得：且解之得．故选：D．根据偶函数图象关于y轴对称，得在上是单调减函数，且在上单调增，由此结合是正数，将原不等式转化为恒成立，去绝对值再用一元二次不等式恒成立的方法进行处理，即得实数a的取值范围．本题给出偶函数的单调性，叫我们讨论关于x的不等式恒成立的问题，着重考查了函数的单调性与奇偶性、一元二次不等式解法等知识，属于基础题．11.【答案】D【解析】解：如图所示，设l与x轴交于H，且，l：，因为，在直角三角形FBH中，可得，所以圆的半径为，，由抛物线的定义知，点A到准线l的距离为，所以的面积为，解得．故选：D．根据题意画出图形，结合图形求出，，由抛物线的定义可得点A到准线l的距离，运用三角形的面积公式可得的面积，从而求出p的值．本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了数形结合思想应用，是中档题．12.【答案】A【解析】解：设，，则是单调增函数，且的值域为；设，则恒过定点，又，，且，存在，不等式时，即，不等式不成立，由此得，解得，所以a的取值范围是．故选：A．设，，，对求导数，利用导数的几何意义列不等式求出a的取值范围．本题主要考查对数函数与不等式的应用问题，也考查了利用导数研究函数的单调性问题，是中档题．13.【答案】【解析】解：已知，为单位向量，且，的夹角为，，则，故答案为：．由题意利用两个向量的数量积的定义求出，再根据求向量的模的方法，求出本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．14.【答案】3【解析】解：公比为3的等比数列的各项都是正数，且，，且，解得，，．故答案为：3．由公比为3的等比数列的各项都是正数，且，求出，从而，由此能求出的值．本题考查等比数列的第9项的对数值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.【答案】【解析】解：设，由，且圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，在等腰三角形中，，，可得，则A的横坐标为，即，代入双曲线的方程可得，由，，可得，化为，由，可得，解得．故答案为：．设，圆和双曲线关于x轴对称，可得A的纵坐标为，再由等腰三角形的性质和勾股定理，求得A的横坐标，将A的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，解方程即可得到所求值．本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，考查圆和双曲线的对称性，等腰三角形的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，如图所示，取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，是边长为的等边三角形，外接圆半径为，且，，平面平面ABC，和均为边长为的等边三角形，在直角中，平面ABC，且，在直角中，，且，在直角中，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，该球的表面积．故答案为：．取AB中点E，连结PE，DE，延长CE，交外接圆于点D，连结PD，外接圆半径为2，且，，求出，，，在直角中，由正弦定理得，该球的半径，由此能求出该球的表面积．本题考查球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17.【答案】解：由频率分布直方图得：乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，则，解得，由乙样本数据直方图得：，解得．甲样本数据的平均值估计值为：，乙样本数据直方图中前三组的频率之和为：，前四组的频率之和为：，乙样本数据的中位数在第4组，设中位数为，由，解得，中位数为．根据样本估计总体思想，可以估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值约为，文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数约为82．【解析】由频率分布直方图得乙样本中数据在的频率为，这个组学生有10人，由此能求出n，由乙样本数据直方图能求出a．利用甲、乙样本数据频率分布直方图能估计估计该校理科学生本次模拟测试数学成绩的平均值和文科班学生本次模拟测试数学成绩的中位数．本题考查实数值、平均数、中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：，由正弦定理，可得，，可得，是角平分线，，由，可得，，，由，可得．【解析】由已知利用正弦定理，三角形内角和定理可得，利用两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tan A的值．由已知可求，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，cos A的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，根据正弦定理即可解得CD的值．本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19.【答案】解：证明：由正方形ABCG中，直角梯形ABED中，．，E，C，G四点共面．，，，，平面ADG．平面ADG，．在直角梯形ABED中，，可得，同理直角梯形GCED中，可得，．，．，，平面DEG，平面ADB，平面平面DEG．平面平面DEC；解：过点D作的垂线，垂足为O，过点O作BC的垂线，垂足为H，则，，故以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则0，，0，，2，，2，，0，，1，．所以，．设平面ACE的法向量为y，，由．设平面BCE的法向量为b，，由．，二面角的大小为．【解析】根据面面垂直的判定定理即可证明平面平面DEC；建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角的大小．本题主要考查空间平面和平面垂直的判定，以及二面角的求解，综合考查学生的计算能力．20.【答案】解：设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，可得，即有，，由的导数为，可得的方程为，化为，同理可得的方程为，联立两直线方程解得，，故；由，，，可得，即，，，则四边形AMBN的面积，当且仅当时，四边形AMBN的面积取得最小值32．【解析】设，，直线l的方程为，联立抛物线方程，运用韦达定理，以及导数的几何意义，求得两条切线的方程，联立求得交点，可得所求值；求得，的坐标和数量积，可得，即，运用抛物线的弦长公式可得，，由四边形的面积公式，结合基本不等式可得所求最小值．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，以及导数的几何意义，考查切线方程的求法，以及向量垂直的性质，考查基本不等式的运用：求最值，属于中档题．21.【答案】解：，令，，，在上单调递增，，，若时，恒成立，即在区间上单调递增，若时，则，则，则在区间上单调递减，若，则，，又在上单调递增，结合零点存在性定理知，存在唯一的实数，使得，当时，，则，则在上单调递减，当时，，则，则在上单调递增，综上所述：若时，在区间上单调递增，若时，在区间上单调递减，若时，存在唯一的实数，，在上单调递减，在上单调递增．由可得：若，则，则，而，解得满足题意，若时，则，则时，而，解得满足题意，若时，令，，则，在上单调递减，，令，，由可知，令，，由可知，，，，，综上：当且，或当且时，使得在区间的最小值为且最大值为1．【解析】先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性的关系即可求出，对a分类讨论，利用的结论即可得出．本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解：由为参数，消去参数t，可得直线l的普通方程为，由，且，，，得曲线C的直角坐标方程为；点P的极坐标为，则点P的直角坐标为，点Q为曲线C上的动点，设，则PQ中点M为，则点M到直线l的距离：，点M到直线l的最小距离为．【解析】直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，由已知结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C的直角坐标方程；化P为直角坐标，设出Q的坐标，由中点坐标公式求得M的坐标，再由点到直线的距离公式写出距离，利用三角函数求最值．本题考查点的直角坐标、曲线的直角坐标方程的求法，考查点到直线的距离的中小值的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：要证不等式等价于，因为，，当且仅当时取等号．，，又，，当且仅当时取等号．【解析】利用基本不等式即可证明结论；利用基本不等式即可证明结论．本题考查用分析法证明不等式，关键是寻找不等式成立的充分条件，属于中档题．。

云南省昆明市2014届高三数学上学期第一次摸底调研测试 理（含解析）新人教A 版第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知复数：21iz i=+，则z 的共轭复数为（ ） （A ）12i - (B) 12i + (C) 1i - (D) 1i +（2）已知集合{}{}|3,|20A x x B x x =<=-≤，则AB 等于（ ）（A ）(],3-∞ (B) (),3-∞ (C) [)2,3 (D) (]3,2-（3）已知,x y 满足约束条件010220x y x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩若的最小值为4，则3z x y m =++，则m =（ ）（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4（4）已知,l m 是两条不同的直线，a 是个平面，则下列命题正确的是（ ） （A ）若//,//l a m a ，则//l m (B) 若,//l m m a ⊥，则l a ⊥ (C) 若,l m m a ⊥⊥，则//l a (D) 若//,l a m a ⊥，则l m ⊥（5）已知ABC ∆中，内角,,A B C 所对边长分别为,,a b c ，若,2cos ,13A b aB c π=== ，则ABC ∆的面积等于（ ）（A（6）已知斜率为2的直线l双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>交,A B两点，若点(2,1)P是AB的中点，则C的离心率等于（）（A)（7）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，且该几何体的四个点在空间直角坐标系O xyz-中构坐标分别是(0，0，0)，(2，0，0)，(2，2，0)，(0，2，0)，则第五个顶点的坐标可能为（）（A ）（1，1，1） （B ）(1,1 (C) (1,1 (D)（8）设0.30.20.12,3,7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）（A ）c a b << (B) a c b << (C) a b c << (D) c b a <<（9）已知函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>的最小正周期为2，且1()16f =，则函数()y f x =的图象向左平移13个单位所得图象的函数解析式为（ ）（A ）2sin()3y x ππ=+ (B) 1sin()23y x ππ=-(C) 12sin()3y x π=+ (D) 11sin()23y x π=-（10）执行右面的程序框图，如果输入的10N ．那么输出的S=（）（A）10 9(B) 16 9(C) 9 5(D) 20 11【解析】（11）己知函数1()ln ln f x x x=+，则下列结论中正确的是（ ） (A)若1212,()x x x x < 是()f x 的极值点，则()f x 在区间12(,)x x 内是增函数 (B) 若1212,()x x x x < 是()f x 的极值点，则()f x 在区间12(,)x x 内是减函数 (C) 0x ∀>，且1,()2x f x ≠≥(D)00x ∃>，()f x 在0(,)x +∞上是增函数（12）过椭圆2214xy+=的左焦点作互相垂直的两条直线，分别交椭圆于,,,A B C D四点，则四边形ABCD面积的最大值与最小值之差为（）（A）1725(B)1825(C)1925(D)45【解析】因而max min3218 22525S S-=-=，故选B.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） （13）在ABC ∆中，90,1C B A A B B C ∠===．点M 满足2B M A M=，则C M C A ⋅=______.（14）42()(1x x+的展开式中x 的系数是__________.（15）一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O 的球面上，则该圆锥的表面积与球O 的表面积的比值为_____________.（16）设区域{}(,)|02,02x y x y Ω=≤≤≤≤，区域{}(,)|1,(,)A x y xy x y =≤∈Ω，在区域Ω中随机取一个点，则该点恰好在区域A 中的概率为__________.三、解答题（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） (17)（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 中，24a =；4a 是2a 与8a 的等比中项．(I)求数列{}n a 的通项公式：(II)若1n n a a +≠．求数列1{2}n n a -⋅的前n 项和.(18)（本小题满分12分）在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如下茎叶图所示：(Ⅰ)从甲、乙两人中选择1人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由；(II)从乙的6次培训成绩中随机选择2个，记被抽到的分数超过115分的个数为ξ，试求ξ的分布列和数学期望．22222221=[(99112)(107112)(108112)(115112)(119112)(124112)]6S -+-+-+-+-+-甲2063=(19)（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别为1CC 、AD 的中点，F 为1BB 上的点，且13B F BF =(I)证明：EF∥平面ABC ；(Ⅱ)若12,AC CC BC ==3ACB π∠=，求二面角B AD C --的大小.(20)（本小题满分12分）设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l ，M C ∈，以M 为圆心的圆M与l 相切于点Q ，Q ，(5,0)E 是圆M 与x 轴除F 外的另一个交点.(I)求抛物线C 与圆M 的方程；( II)已知直线:(1)(0)n y k x k =->，n 与C 交于,A B 两点，n 与l 交于点D ,且FA FD =， 求ABQ ∆的面积．(21)（本小题满分12分）己知函数()ln x af x x e+=- .(I)若1x =是，()f x 的极值点，讨论()f x 的单调性；( II)当2a ≥-时，证明：()0f x <.选考题（本小题满分10分）请考生在第(22)、(23)、(24)三道题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡第1卷选择题区域内把所选的题号涂罢.注意：所做题目必须与所涂题号一致.如果多做，则按所做的第一题计分.(22)（本小题满分10分）选修4.1：几何证明选讲 如图所示，己知D 为ABC ∆的BC 边上一点，1O 经过点,B D ，交AB 于另一点E ，2O 经过点C ，D ，交AC 于另一点F ，1O 与2O 的另一交点为G .(I)求证：,,,A E G F 四点共圆； （II)若AG 切2O 于G ，求证：AEF ACG ∠=∠.(23)（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，l 是过定点(4,2)P 且倾斜角为α的直线；在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，取相同单位长度）中，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=.(I)写出直线l 的参数方程；并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；( II)若曲线C 与直线相交于不同的两点,M N ，求PM PN +的取值范围．【解析】(24)（本小题满分10分）选修4-5,不等式选讲己知函数()2123f x x x =++-.(I)若关于x 的不等式()12f x a <-的解集不是空集，求实数a 的取值范围；(II)若关于t 的一元二次方程2()0t f m -+=有实根，求实数m 的取值范围.。

2021届云南省昆明市第一中学高三高中新课标第一次摸底测试数学（理）试题一、单选题1．复数z 满足122z i ⋅=+，则复数z 在复平面内对应的点的坐标为（ ） A ．(1，0) B ．(0，1)C ．(1-，0)D ．(0， 1-)【答案】D【解析】求出左边复数的模，利用除法运算化简复数z ，可得复数z 的坐标，从而可得答案. 【详解】因为122z i ⋅=+1==， 所以1iz i ==-，所以复数z 在复平面内对应的点的坐标为()0,1-， 故选：D ． 【点睛】本题主要考查复数的模与复数的除法运算，考查了复数的坐标表示，属于基础题.2．已知集合A ={}221x x y +=，集合B = {y y =，则A B =（ ）A ．[0，1]B ．[- 1，1]C ．[-1，0)D ．[- 1，0]【答案】A【解析】先根据圆的范围和值域的求法，化简两个集合，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为集合{}[]2211,1A x x y =+==-，集合{[)0,B y y ===+∞，所以[]0,1AB =，故选：A ． 【点睛】本题主要考查结合的基本运算以及值域的求法和圆的范围，属于基础题.3．抛物线22(0)y px p =>的焦点到双曲线221x y -=的渐近线的距离为22，则p =（ ） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】C【解析】因为抛物线的焦点为(,0)2p，双曲线的渐近线为0x y ±=利用点到直线的距离公式，即可得解. 【详解】因为抛物线的焦点为(,0)2p， 双曲线的渐近线为0x y ±=，所以抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2222211p d ==+， 又因为0p >，所以2p =， 故选：C . 【点睛】本题考查了抛物线基本量的计算，考查双曲线的渐近线和距离公式，属于基础题. 4．我国目前部分普通高中学生在高一升高二时面临着选文理科的问题，某学校抽取了部分男、女学生意愿的一份样本，制作出如下两个等高堆积条形图根据这两幅图中的信息，下列统计结论正确的是（ ） A ．样本中的男生数量多于女生数量B ．样本中有理科意愿的学生数量少于有文科意愿的学生数量C ．对理科有意愿的男生人数多于对文科有意愿的男生人数D ．对文科有意愿的女生人数多于对理科有意愿的女生人数【答案】C【解析】由等高条形图的特点和性质进行判断， 【详解】由等高堆积条形图1可知，不管是文科还是理科，女生占比均高于男生，故样本中的女生数量多于男生数量，A 错误；从图2可以看出男生和女生中选择理科的人数均高于选择文科的人数， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了独立性检验中利用等高条形图判断两个变量之间的差异，属于基础题. 5．数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343 ，12521等.两位数的回文数有11 ，22 ，3，……，99共9个，则在三位数的回文数中偶数的个数是（ ） A ．40 B ．30C ．20D ．10【答案】A【解析】根据回文数定义，确定首位，再确定中间数，最后根据分步乘法计数原理得结果. 【详解】由题意，若三位数的回文数是偶数，则末（首）位可能为2，4，6，8.如果末（首）位为2，中间一位数有10种可能，同理可得，如果末（首）位为4或6或8， 中间一位数均有10种可能，所以有41040⨯=个， 故选：A 【点睛】本题考查分步计数原理实际应用，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．函数4()3ln f x x x x=+-的单调递减区间是（ ） A ．(1,4)- B ．(0,1)C ．(4,)+∞D ．(0,4)【答案】D【解析】求导，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，由()0f x <＇即可得解. 【详解】函数的定义域是(0,)+∞，2243(1)(4)()1x x f x x x x +-=--=＇，令()0f x <＇，解得04x <<， 故函数4()3ln f x x x x=+-在(0,4)上单调递减， 选：D . 【点睛】本题考查了利用导数求函数单调性，考查了导数的基本能应用，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．163πB ．643πC ．169πD ．649π【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，结合图中所给数据，即可得解. 【详解】由三视图可知，该几何体是圆锥的一部分，观察到正视图中1和2的分界线可知俯视图是圆心角为120︒的扇形，故该几何体的体积为21116π24π339V =⨯⨯⨯=， 故选：C . 【点睛】本题考查了三视图，考查了锥体体积的计算公式，属于基础题.8．已知圆C : 22420x y x y +--=与x 轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，则弦长AB =（ ）A ．B ．5C ．D ．【答案】A【解析】分别令0x =和0y =，从而求出A ，B 两点的坐标，由两点的距离公式可求出弦长. 【详解】令0y =，解得4x =或0；令0x =，解得2y =或0.所以(4,0)A ，(0,2)B ，所以AB =故选:A 【点睛】本题考查了两点的距离公式，属于基础题.本题的关键是求出A ，B 两点的坐标. 9．将多项式26576510a x a x a x a x a +++++分解因式得25(2)(1)x x -+，则5a =（ ） A ．16 B ．14C ．6-D ．10-【答案】C【解析】将()51x +展开，观察345,x x x , 的系数，对应()22x -的展开相乘，相加得到答案. 【详解】解析：由题意，()()()()255221441x x x x x -+=-++，52232551a x x C x =⋅⋅14541x C x -⋅⋅055546C x x +⨯=-，所以56a =-，故选：C. 【点睛】本题考查了二项式定理,考查计算能力，属于基础题.10．在三棱锥S -ABC 中，平面SAB ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为3的等边三角形，△SAB 是以AB 为斜边的直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） A ．32π B ．16π .C ．24πD ．12π【答案】D【解析】先根据题意确定三棱锥外接球的球心为△ABC 外接圆圆心，再根据正弦定理求得求半径，最后根据球表面积公式得结果. 【详解】由题意，△SAB 是以AB 斜边的直角三角形，以三角形SAB 所在平面截球所得的小圆面圆心在AB 中点，又因为平面SAB ⊥平面ABC ，所以平面ABC 截球所得平面即为大圆.因为△ABC 是边长为3的正三角形，其外接圆半径33R =⨯=锥外接球的半径R =，其表面积24π12πS R ==， 故选：D 【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，考查空间想象能力，属基础题.11．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，把它图象向右平移3π个单位后得到的图象所对应的函数为奇函数.现有下列结论： ①函数()f x 的图象关于直线12x π=-对称.；②函数()f x 的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减；④函数()f x 在3,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有3个零点.正确的结论是（ ） A ．①②③ B ．①②④C ．②③D ．②【答案】A【解析】利用函数()y f x =的最小正周期以及平移后的函数的奇偶性求出ω、ϕ的值，可求得函数()y f x =的解析式，利用正弦型函数的对称性可判断①②的正误；利用正弦型函数的单调性可判断③的正误；当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，解方程()0f x =可判断④的正误. 【详解】因为函数()y f x =的最小正周期为π，则22πωπ==，则()()sin 2f x x ϕ=+， 将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位后得到函数2sin 2sin 233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+-⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由于函数2sin 23y x πϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数，则()23k k Z πϕπ-=∈，可得2,3k k Z πϕπ=+∈. 22ππϕ-<<，1k ∴=-，则3πϕ=-，()sin 23f x x π⎛⎫∴=-⎪⎝⎭. 对于命题①，()min sin 2sin 1121232f f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，①正确； 对于命题②，sin 2sin 00663f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，②正确；对于命题③，当212x ππ-≤≤-时，42332x πππ-≤-≤-， 所以，函数()y f x =在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，③正确； 对于命题④，当3,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，82333x πππ≤-≤，由()0f x =可得23x ππ-=或223x ππ-=，解得23x π=或76x π=，④错误. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数的对称性、单调性与零点个数的判断，同时也考查了利用正弦型函数的周期和图象变换求函数解析式，考查计算能力，属于中等题.12．已知定义在R .上的偶函数f (x )， 对任意x ∈R ，都有f (2-x ) =f (x +2)，且当[2,0]x ∈-时()21xf x -=-.若在a > 1时，关于x 的方程()()log 20a f x x -+=恰有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(1，2) B ．(232，2)C ．23(,2)-∞(2， +∞) D ．(2，+∞)【答案】B【解析】由函数的奇偶性和周期性作()f x 的图象，将方程的根的问题转化为两函数图象交点的问题，从而得log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，进而可求出实数a 的取值范围.【详解】依题意函数()f x 的图象关于y 轴及直线2x =对称，所以()f x 的周期为4， 作出[]2,0x ∈-时()f x 的图象，由()f x 的奇偶性和周期性作出()f x 的图象， 关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=恰有三个不同的实数根， 可转化为函数()f x 与log (2)a y x =+的图象有三个不同的交点，由数形结合可知log (22)3log (62)3a a +<⎧⎨+>⎩，解得2322a <<，故选:B ．【点睛】本题考查了数形结合的思想，考查了函数的奇偶性和周期性，考查了函数的零点与方程的根，考查了对数不等式的求解，属于中档题.画出函数的图象是本题的关键.二、填空题13．若x ， y 满足约束条件33040x y x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则z =2x +y 的最大值是__________. 【答案】6【解析】画出不等式组对应的可行域，平移动直线20x y z +-=可得z 的最大值. 【详解】不等式组对应的可行域如图所示： 由40x y x y +-=⎧⎨=⎩可得22x y =⎧⎨=⎩，故()2,2A .平移动直线2z x y =+至()2,2A 处时，z 取得最大值，且最大值为2226⨯+=． 故答案为： 6.【点睛】本题考查线性规划，注意利用它来求最值时，应挖掘目标函数的几何意义，本题属于基础题.14．已知(2,3),(1,3)a b =-=，则a 在b 方向上的投影为_________. 【答案】12【解析】利用数量积的几何意义可求投影的值. 【详解】a 在b 方向上的投影是()2221331213a bb⋅-⨯+⨯==+．故答案为：12. 【点睛】本题考查数量积的几何意义，考查学生对概念的理解与掌握，本题属于基础题. 15．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l ：210x -=与C 交于P 、Q (P 在x 轴上方)两点，若PF FQ λ=，则实数λ的值为_______ 【答案】526+【解析】先求出(526,23)P +、(526,223)Q --、(1,0)F ，再求出(426,2223)PF =---和(426,2223)FQ =-，最后建立方程求λ即可.【详解】解：由题意联立方程组24210y x x y ⎧=⎪⎨--=⎪⎩，解得5262223x y ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩或5262223x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩因为P 在x 轴上方，所以(526,2223)P ++、(526,2223)Q --, 因为抛物线C 的方程为24y x =，所以(1,0)F ，所以(426,2223)PF =----，(426,2223)FQ =--因为PF FQ λ=，所以(426,2223)(426,2223)λ----=--， 解得：22235262223λ--==+-，故答案为：526+ 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系、抛物线的几何性质、利用共线向量求参数，是中档题16．如图，正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1的棱长为1 ，线段AC 1上有两个动点E 、F ，且EF 3=3，给出下列四个结论:①CE ⊥BD②三棱锥E - BCF 的体积为定值③∆BEF 在底面ABCD 内的正投影是面积为定值的三角形 ④在平面ABCD 内存在无数条与平面DEA 1平行的直线 其中，正确的结论是____________ 【答案】①②③④【解析】根据棱柱的结构特征和线面关系逐项排除即可. 【详解】因为BD ⊥平面1ACC ，所以BD CE ⊥，故①对；因为点C 到直线EF 的距离是定值，点B 到平面CEF 的距离也是定值，所以三棱锥B CEF -的体积为定值，故②对；线段EF 在底面ABCD 上的正投影是线段GH ，所以△BEF 在底面ABCD 内的正投影是△BGH .又因为线段EF 的长是定值，所以线段GH 是定值，从而△BGH 的面积是定值，故③对；设平面ABCD 与平面1DEA 的交线为l ，则在平面ABCD 内与直线l 平行的直线有无数条，故④对. 所以正确结论是①②③④．故答案为：①②③④ 【点睛】本题主要考查命题的真假判断，解题时要认真审题，要熟练掌握棱柱的结构特征，线与面之间的关系.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2()n n S a n n N *=-∈.（1）求123,,a a a 的值，猜想数列{}n a 的通项公式并加以证明； （2）求13523()n a a a a n N *+++++∈.【答案】（1）11a =，23a =，37a =；猜想数列{}n a 的通项公式21nn a =-；证明见解析；（2）252383n n +--. 【解析】（1）由1=(2)n n n a S S n --≥可猜测{}n a ，然后再利用等比数列定义证明； （2）利用等比数列求和即可. 【详解】（1）由1121S a =-得：11a =，因为11(2)(2(1))n n n n S S a n a n ---=----(2)n ≥， 所以121n n a a -=+(2)n ≥，所以2121=3a a =+，3221=7a a =+；由此猜想数列{}n a 的通项公式21nn a =-；证明：因为121n n a a -=+(2)n ≥，所以112(1)n n a a -+=+， 所以1121n n a a -+=+(2)n ≥，所以{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，所以12nn a +=，即：21n n a =-.（用数学归纳法证明也可） （2）由（1）得21nn a =-，所以()32313523222(2)n n a a a a n +++++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+-+22(14)(2)14n n +-=-+-252383n n +--=. 【点睛】本题考查了用1=(2)n n n a S S n --≥递推式求通项公式，等比数列求和公式. 18．如图，在六面体ABCDEF 中，AB //CD ，AB ⊥AD ，且112AB AD CD ===，四边形ADEF 是正方形，平面ADEF ⊥平面ABCD ．（1）证明：平面BCE ⊥平面BDE ；（2）若∆BCE 中，∠BEC =30°，求二面角C BE F --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3. 【解析】（1）先证明BC BD ⊥和BC ED ⊥，再结合BD ED D =，证明BC ⊥平面BDE ，最后证明平面BCE ⊥平面BDE 即可；（2）先建立空间直角坐标系，再求平面BEF 的一个法向量和平面BCE 的一个法向量，最后求二面角C BE F --的余弦值. 【详解】解：（1）证明：因为//AB CD ，AB AD ⊥，且112AB AD CD ===，所以2BD BC ==2CD =，则在BCD 中：222CD BD BC =+，所以BC BD ⊥ 又平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF平面ABCD AD =，四边形ADEF 是正方形，ED AD ⊥，ED ⊂平面ABCD ，可得ED ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，则BC ED ⊥，BD ，ED ⊂平面BDE ，BD ED D =，故BC ⊥平面BDE ，BC ⊂平面BCE ，所以，平面BCE ⊥平面BDE .（2）由（1）知ED DA ⊥、ED DC ⊥、DA DC ⊥，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DE 为z 轴建立空间直角坐标系，如图.可得(1,1,0)B 、(0,2,0)C 、(0,0,1)E 、(1,0,1)F ， 故(1,1,1)EB =-，(1,0,0)EF =，(0,2,1)EC =-， 设(,,)m x y z =为平面BEF 的一个法向量，则00m EB m EF ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得(0,1,1)m =，同理可得平面BCE 的一个法向量为(1,1,2)n =，01+11+123cos ,=226m n m n m n⋅⨯⨯⨯<>==⨯⋅ 二面角C BE F --的是钝二面角， 所以二面角C BE F --的余弦值为32-.【点睛】本题考查利用线面垂直证明面面垂直、利用空间向量求面面所成的角，是中档题. 19．计算机考试分理论考试与实际操作两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机考试“合格”，并颁发合格证书甲、乙、丙三人在理论考试中“合格”的概率依次为45，34，23，在实际操作考试中“合格”的概率依次为12，23，56，所有考试是否合格相互之间没有影响. （1）假设甲、乙、丙三人同时进行理论与实际操作两项考试，谁获得合格证书的可能性最大？（2）这三人进行理论与实际操作两项考试后，求恰有两人获得合格证书的概率. 【答案】（1）丙；（2）1130【解析】（1）分别计算三者获得合格证书的概率，比较大小即可（2）根据互斥事件的和,列出三人考试后恰有两人获得合格证书事件，由概率公式计算即可求解. 【详解】（1）设“甲获得合格证书”为事件A ，“乙获得合格证书”为事件B ，“丙获得合格证书”为事件C ，则412()525P A =⨯=，321()432P B =⨯=，255()369P C =⨯=. 因为()()()P C P B P A >>，所以丙获得合格证书的可能性最大. （2）设“三人考试后恰有两人获得合格证书”为事件D ，则21421531511()()()()52952952930P D P ABC P ABC P ABC =++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=.【点睛】本题主要考查了相互独立事件，互斥事件，及其概率公式的应用，属于中档题. 20．已知点Q 是圆M :22(1)16x y ++=上一动点(M 为圆心)，点N 的坐标为(1，0)，线段QN 的垂直平分线交线段QM 于点C ，动点C 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的轨迹方程;（2）直线l 过点P (4，0)交曲线E 于点A ，B ，点B 关于x 的对称点为D ，证明:直线AD 恒过定点.【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析. 【解析】（1）根据中垂线性质得CQ CN =，即得4CM CN +=，最后根据椭圆定义求方程;（2）先设直线AD 的方程y kx m =+，并与椭圆方程联立，再根据A ，B ，P 共线，结合韦达定理求得m k =-，即得定点. 【详解】解：（1）因为线段QN 的中垂线交线段QM 于点C ，则CQ CN =， 所以42CM CN CM CQ QM MN +=+==>=， 由椭圆定义知：动点C 的轨迹为以原点为中心的椭圆， 其中：24a =，22c =，又222=3b a c =-，所以曲线E 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设()11,D x y ，()22,A x y ，则()11,B x y -，由题意知直线AD 的斜率必存在， 设直线AD 的方程为：y kx m =+，由22+143y kx m x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，，消y 得：()()222438430k mk m x x +++-=，故()()()2222221222122641643303408434343m k k m k m mk x x k m x x k ⎧∆=-+->⇒+->⎪⎪⎪+=-⎨+⎪-⎪⋅=⎪+⎩因为A ，B ，P 共线，其中()224,PA x y =-，()114,PB x y =-- 所以()()()212144x y y x --=-，整理得()()12122480kx x m k x x m +-+-=， 则()()22224388044343k m mk m k m k k ⋅--⋅+-=++-，解得m k =-，此时2330k∆=+>则直线AD 的方程为：()1y k x =-， 所以直线AD 恒过定点()1,0 【点睛】本题考查椭圆标准方程、椭圆定义、直线过定点，考查综合分析求解能力，属中档题. 21．已知函数()1()x f x e ax a R =+-∈ （1）判断函数f (x )的单调性；（2）若()ln(1)g x x =+当(0,)x ∈+∞时，不等式(())()f g x f x <恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增；（2）[)1,-+∞.【解析】（1）先对()f x 求导，再分0a ≥和0a <两种情况进行讨论，利用()0f x '>和()0f x '<判断函数f (x )的单调性；（2）将当(0,)x ∈+∞时,不等式(())()f g x f x <恒成立,转化为()g x x <和()g x x >，下面先证明0()g x x （0x >），分左右两部分，证明再结合（1）的单调区间实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）因为函数()1()x f x e ax a R =+-∈，所以()f x 的定义域为(),-∞+∞，()e x f x a ，当0a ≥时，()0f x '>，()f x 在(),-∞+∞上单调递增； 当0a <时，令()0f x '=，得ln()x a =-，所以()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增.综上所述，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增；当0a <时，()f x 在,ln()a 上单调递减；在ln(),a 上单调递增.（2）当()0,x ∈+∞时，11x +>，所以()ln(1)0g x x . 设()ln(1)h x x x =-+(0)x >，则1()111xh x x x '=-=++， 当0x >时，()0h x '>，()h x 在()0,∞+上单调递增， 所以()(0)0h x h >=，所以ln(1)x x >+， 故0()g x x .由（1）可知，当0a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上单调递增，所以(())()f g x f x <成立； 当10a -≤<时，ln()0a ，且()f x 在ln(),a 上单调递增，所以(())()f g x f x <成立；当1a <-时，()f x 在0,ln()a 上单调递减； 则有(())()f g x f x >，不合题意.综上所述，实数a 的取值范围为[)1,-+∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式、导数的运算、利用导数判断函数的单调性、导函数研究不等式恒成立问题并求参数范围，是中档题.22．已知平面直角坐标系xOy 中，曲线221:1C x y +=经过伸缩变换2x x y y =''⎧⎨=⎩得到曲线C 2，直线l 过点P (-1，0)C 2交于A ，B 两点. （1）求曲线C 2的普通方程和直线l 的参数方程; （2）求PA PB ⋅的值.【答案】（1）1,21.2x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）；2214x y +=；（2）127. 【解析】(1)由变换规则可得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 可得C 2的普通方程，由已知条件即可写出直线的参数方程.(2) 设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C ，结合韦达定理和参数的几何意义即可求出PA PB ⋅的值. 【详解】（1）由2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得12x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'，代入曲线1C 得：()2212x y '⎛⎫'+= ⎪⎝⎭，所以曲线2C 的普通方程为2214x y +=.因为直线l 过点(1,0)P -所以l的参数方程为1,1.2x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.（2）设A ，B 所对应参数分别为1t ，2t ，将l 的参数方程代入曲线2C 得:27120t --=，则(247120∆=+⨯⨯>，且12127t t =-，所以，1212127PA PB t t t t ⋅=⋅==. 【点睛】本题考查了伸缩变换，考查了直线的参数方程，考查了参数的几何意义. 23．已知函数()22,0f x x x a a =+-->. （1）当a = 1时，求不等式f (x )≥2的解集;（2）若f (x )的图象与x 轴围成的三角形的面积大于6，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）()1,+∞.【解析】(1)代入1a =，通过讨论去掉绝对值号，从而求出解集.(2)讨论x 的取值范围，去掉函数的绝对值号，从而可得图象与x 轴所围成的三角形三个顶点的坐标，进而可求出面积表达式，由题意可写出关于a 的不等式，从而可求出实数a 的取值范围. 【详解】解：（1）1a =时，由不等式()2f x ≥可得：()2212f x x x =+--≥，可化为：22222x x x <-⎧⎨--+-≥⎩ 或212222x x x -≤≤⎧⎨++-≥⎩ 或12222x x x >⎧⎨+-+≥⎩，解得：x ∈∅ 或 213x ≤≤ 或 12x <≤，即：223x ≤≤，则不等式的解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）因为22,2,()322,2,22,,x a x f x x a x a x a x a --<-⎧⎪=+--≤≤⎨⎪-++>⎩所以()f x 的图象与x 轴所围成的三角形，三个顶点分别为22,03a A -⎛⎫⎪⎝⎭，(),2B a a +，()22,0C a +， 由题意，()()122222623a a a -⎡⎤+-+>⎢⎥⎣⎦，整理得：2450a a +->， 因为0a >，所以解得：1a >，所以，实数a 的取值范围为()1,+∞. 【点睛】本题考查利用零点分段法求解绝对值不等式，同时也考查了利用绝对值函数与坐标轴围成的三角形面积求参数，考查数形结合思想的应用，属于中等题.。