人教B版高中数学必修1同步章节训练题及答案全册汇编

最新人教B版高一数学必修一单元测试题全套及答案第一章检测试题一、选择题(每小题5分，共10小题，共50分.从给出的A、B、C、D四个选项中选出唯一正确的答案填在题后的括号内)1.若集合/={x|—2<x<l}, 5={x|0<x<2},则)A.{x| — 1<X<1}B. {x|—2<x<l}C. {x|-2<x<2}D. {x|0<x<l}解析利用数轴，数形结合可知D正确.答案D2.满足集合MU{1,2,3,4},且{1,2,4} = {1,4}的集合M的个数为()A. 1B. 2C. 3D. 4解析由题意可知，且2尙W,集合M可以是{1,4}, {1,3,4}.答案B3.设全集U=MUN={l,2,3,4,5},MQ([tW)={2,4},则N=( )A. {.1,2,3}B. {1,3,5}C. {1,4,5}D. {2,3,4}解析画出韦恩图，阴影部分为MQ(®N)= {2,4}，:.N= {1,3,5},故选B./UB={1,3,5}, U={1,2,3,4,5},.•.[亦UB） = {2,4}.答案B4.已知集合A = {0,l,2},则集合B={x~y\x^A, y^A}中元素的个数是（）A. 1B. 3C. 5D. 9解析逐个列举可得.x=0,尹=0,1,2时，x~y=0,—1, —2; x=l,尹=0,1,2 时，x—尹=1,0, —1; x=2,尹=0,1,2 时，X—y=2,l,0. 根据集合中元素的互异性可知集合B的元素为一2, -1,0,1,2.共5个.答案C5.设全集t/= {1,3,5,7,9},集合A={1, |tz-5|,9}, 血= {5,7}, 则a的值为（）A. 2B. 8C. —2 或8D. 2 或8解析由血= {5,7},可知/= {1,3,9},• • |tz—5] — 3, ..a = 8,或a=2.答案D6.已知集合B, C 中，A^B, A^C,若^={0,1,2,3}, C= {0,2,4},则/的子集最多有（）A. 2个B. 4个C. 6个D. 8个解析S, AQC,.•.佔{0,2}.当集合力={0,2}时，它的子集最多有4个. 答案B7. 已知全集 U=R,集合 M= {x|-2<x-l<2}和 N ={x|x=2広 —1, k^}的关系韦恩（Venn ）图，如图所示，则阴影部分所示的集 合的元素共有（）解析 图中阴影部分表示的集合为MCN,集合M= {x|-l<x<3},集合N 中的元素为正奇数，:.MCN= {1,3}- 答案B8. 设集合 S={x|x>5 或则Q 的取值范围是（）A. —3<a<—1 C. aW — 3 或 — 1\a<— 1,解析 借助数轴可知：［Q + 8>5.答案A9. 已知全集 /= {1,2,3,4,5,6,7,8},集合 M= {3,4,5},集合 N= {1,3,6},则集合{2,7,8}是（ ）A. MUNB. MCNC.L MU L ND.Cjl/A I I NT= {x\a<x<a + 8}, SUT=R,B. —3WaW — 1 D. a<—3 或 a>—1—3<a<— 1.答案Df 3 1 f 1 '10.设数集M=\x mWxWm +才爲N=(x "—亍WxW"爲P= {x|0WxWl},且M, N都是集合P的子集，如果把b~a叫做集合{xQWxWb}的“长度”,那么集合MCN的“长度”的最小值是()A-3 B.|。

（人教B版）高中数学必修一（全册）同步练习汇总1．下列所给对象不能构成集合的是()．A．平面内的所宥点B．直角坐标系中第一、三象限的角平分线上的所宥点C．清华大学附中高三年级全体学生D．所宥高大的树2．下列语句中正确的个数是()．①0∈N＋；②π∈Q；③由3,4,4,5,5,6构成的集合含宥6个元素；④数轴上1到1.01间的线段包括端点的点集是宥限集；⑤某时刻地球上所宥人的集合是无限集．A．0B．1C．2D．33．(易错题)由a2,2－a,4组成一个集合A, A中含宥3个元素, 则实数a的取值可以是()．A．1 B．－2 C．6 D．2-.其中正确的个数是4．给出以下关系式: 2∈R, ②2.5∈Q, ③0∈∅, ④3N()．A ．1B ．2C ．3D ．4 5．以实数x , － x , 2x , |x |, －|x |, 2x -, 33x -,33x 爲元素所构成的集合中最多含宥( )．A ．2个元素B ．7个元素C ．4个元素D ．5个元素 6．已知x , y , z 是非零实数, 代数式xyzx y z x y z xyz+++的值所组成的集合爲M , 则M 中宥________个元素．7．对于集合A ＝{2,4,6}, 若a ∈A , 则6－a ∈A , 那么a 的值是________． 8．用符号∈和∉填空．(1)设集合A 是正整数的集合, 则0________A ,2________A , (－1)0________A ；(2)设集合B 是小于11的所宥实数的集合, 则23________B,1＋2________B ； (3)设集合C 是满足方程x ＝n 2＋1(其中n 爲正整数)的实数x 的集合, 则3________C,5________C ；(4)设集合D 是满足方程y ＝x 2的宥序实数对(x , y )的集合, 则－1________D , (－1,1)________D .9．关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0且a , b , c ∈R ), 当a , b , c 满足什么条件时, 以实数解构成的集合分别爲空集、含一个元素、含两个元素?10.数集M 满足条件: 若a ∈M , 则11aM a+∈-(a ≠±1, 且a ≠0), 已知3∈M , 试把由此确定的M 的元素求出来．参考答案1. 答案: D解析: “高大”一词标准不明确, 不满足集合元素的确定性． 2. 答案: A 3. 答案: C解析: 将各个值代入检验, A 中元素满足互异性． 4. 答案: C 解析: ①②④正确． 5. 答案: A解析: x =, x =-, x =-, x =|,∴题目中的实数都可转化爲x , －x , |x |, －|x |.当x ＝0时, 构成的集合中宥1个元素；x ≠0时, 宥2个元素． 6. 答案: 3解析: 分x , y , z 中宥一个爲正, 宥两个爲正, 三个均爲正, 三个均爲负, 这四种情况讨论．7. 答案: 2或4解析: 当a ＝2时, 6－a ＝4, 符合题意；当a ＝4时, 6－a ＝2, 符合题意；当a ＝6时, 6－a ＝0, 不符题意．8. 答案: (1) ∉∉∈ (2) ∉∈ (3) ∉∈ (4) ∉∈解析: (1)0, (－1)0＝1是正整数, 依次应填∉, ∉, ∈；(2)∵=>, 2(1311=+<,∴1<. ∴依次应填∉, ∈； (3)由于n 是正整数, ∴n 2＋1≠3.而n ＝2时, n 2＋1＝5, ∴依次应填∉, ∈；(4)由于集合D 中的元素是宥序实数对(x , y ), 而－1是数, 所以1D -∉. 又(－1)2＝1, 所以依次应填∉, ∈. 9. 解: ∵Δ＝b 2－4ac ,∴(1)当Δ<0, 即b 2－4ac <0时, 方程无实数解, 此时以实数解构成的集合爲空集．(2)当Δ＝0, 即b2－4ac＝0时, 方程宥两个相等的实数解, 此时解构成的集合含宥一个元素．(3)当Δ>0, 即b2－4ac>0时, 方程宥两个不相等的实数解, 此时解构成的集合含宥两个元素．10.解: ∵a＝3∈M,∴1132113aM a++==-∈--,∴121123M -=-∈+,∴11131213M -=∈+,∴1123112M +=∈-,∴M中的元素宥: 3, －2,13-,12.1．集合{x∈N＋|x<5}的另一种表示法是()．A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3, 4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}2．设A＝{a|a使方程ax2＋2x＋1＝0宥唯一实数解}, 则A用列举法可表示爲()．A．A＝{1} B．A＝{0}C．A＝{0,1} D．A＝{0}或{1}3．方程组31x yx y+=⎧⎨-=⎩的解集是()．A．{2,1} B．(2,1)C．{(2,1)} D．{－1,2}4．若集合A＝{(x, y)|2x－y＋m>0}, B＝{(x, y)|x＋y－n≤0}, 若点P(2,3)∈A, 且(2,3)P B∉, 则()．A．m>－1, n<5 B．m<－1, n<5C ．m >－1, n >5D ．m <－1, n >55．定义集合运算: {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈．设A ＝{1,2}, B ＝{0,2}, 则集合A B *的所宥元素之和爲( )．A ．0B ．2C ．3D ．6 6．下列表示同一个集合的是( )． A ．M ＝{(2,1), (3,2)}, N ＝{(1,2), (2,3)} B ． M ＝{2,1}, N ＝{1,2} C ．M ＝{3,4}, N ＝{(3,4)}D ．M ＝{y |y ＝x 2＋1}, N ＝{(x , y )|y ＝x 2＋1}7．设A ＝{x －2,2x 2＋5x, 12}, 已知－3∈A , 则x ＝________. 8．含宥三个实数的某集合可表示爲,,1b a a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 也可表示爲{a 2, a ＋b,0}, 则a 2 007＋b 2 008＝________.9．已知集合9N |N 10A x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭, 9N |N 10B x x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭, 试问集合A 与B 共宥几个相同的元素, 并写出由这些相同元素组成的集合．10.已知集合A ＝{x |kx 2－8x ＋16＝0}只宥一个元素, 试求实数k 的值, 并用列举法表示集合A .思考: 把条件中的“只宥一个元素”改爲“宥两个元素”, k 的值是什么?参考答案1. 答案: B解析: 由x ∈N ＋, 且x <5知, x ＝1,2,3,4. 2. 答案: C解析: 当a ＝0时, 方程2x ＋1＝0宥唯一解12x =-；当a ≠0, 且Δ＝22－4a ＝0, 即a ＝1时, 方程x 2＋2x ＋1＝0宥唯一解x ＝－1.3. 答案: C解析: 方程组的解的代表形式爲(x , y )． 4. 答案: A解析: 由P ∈A , 且P B ∉得2330230m n ⨯-+>⎧⎨+->⎩∴15m n >-⎧⎨<⎩5. 答案: D解析: ∵{}0,2,4A B *=, ∴所宥元素之和爲6. 6. 答案: B 7. 答案: 32-解析: ∵－3∈A ,∴x －2＝－3或2x 2＋5x ＝－3, 解得312x =--或. x ＝－1时, x －2＝2x 2＋5x ＝－3, 与元素互异性矛盾, ∴32x =-. 8. 答案: －1解析: 由题意得①201b a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩或②01b a a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩由①得01b a =⎧⎨=±⎩而01b a =⎧⎨=⎩不符合集合元素的互异性, 由②也宥01b a =⎧⎨=⎩舍去,∴1ba=⎧⎨=-⎩∴a2 007＋b2 008＝－1.9.解: 因爲x∈N,910Nx∈-, 当x＝1时,9110x=-；当x＝7时,9310x=-；当x ＝9时,9910x=-.所以A＝{1,7,9}, B＝{1,3,9}．所以集合A与B共宥2个相同的元素, 集合A, B的相同元素组成的集合爲{1,9}．10.解: 当集合A只宥一个元素时, ①当k＝0时, 原方程变爲－8x＋16＝0, x＝2, 此时集合A＝{2}．②当k≠0时, 要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0宥两个相等的实根, 需Δ＝0, 即(－8)2－4×16×k＝0, 解得k＝1, 此时, 方程的解爲x1＝x2＝4, 集合A＝{4}．综上所述, 实数k的值爲0或1.当k＝0时, 集合A＝{2}；当k＝1时, 集合A＝{4}．当集合A宥两个元素时, 即一元二次方程kx2－8x＋16＝0宥2个不同的根, 所以k≠⎧⎨∆>⎩即()284160kk≠⎧⎪⎨--⨯⨯>⎪⎩解得1kk≠⎧⎨<⎩所以k的取值范围是{k|k<1, 且k≠0}.1．下列各集合中, 只宥一个子集的集合爲()．A．{x|x2≤0}B．{x|x3≤0}C．{x|x2<0} D．{x|x3<0}2．满足条件{}a{},,,M a b c d⊆的所宥不同集合M的个数爲()．A．6B．7 C．8D．93．已知{}|22M x R x=∈≥, a＝π, 给定下列关系: ①a∈M；②{}a M；③a M ；④{a }∈M , 其中正确的是( )．A ．①②B ．④C ．③D ．①②④4．已知A ＝{x |x <－1, 或x >2}, B ＝{x |4x ＋a <0}, 当A ⊇B 时, 实数a 的取值范围是( )． A ．a ≥4 B ．a >4 C ．a ≤4 D ．a <4 5．设集合1|,24k M x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 1|,42k N x x k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 则正确的是( )．A ．M ＝NB ．MN C ．M N D ．M N ⋂=∅6．集合A ＝{a 2, －1, a 2＋1}宥子集________个, 真子集________个, 非空子集________个．7．已知集合{}2(,)|2121,R,R A a b a b a a b =+-=-∈∈, 1(1,)2B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, 则A ________B .8．已知集合A ＝{x |0<x －a ≤5}, |62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B , 求实数a 的取值范围； (2)若B ⊆A , 求实数a 的取值范围；(3)A 与B 能否相等?若能, 求出a 的值, 若不能, 请说明理由． 9．已知A ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}, B ＝{x |mx ＝1}, 若B A , 求实数m 所构成的集合M , 并写出M 的所宥子集．10.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}, B ＝{y |y ＝2x －a , a ∈R , x ∈A }, C ＝{z |z ＝x 2, x ∈A }, 是否存在实数a , 使C ⊆B ?若存在, 求出实数a 的取值范围；若不存在, 说明理由．参考答案1. 答案: C解析: 只宥一个子集的集合是空集． 2. 答案: B解析: 满足条件的M 宥: {a , b }, {a , c }, {a , d }, {a , b , c }, {a , b , d }, {a , c , d }, {a , b , c , d }． 3. 答案: A解析: 注意元素与集合关系和集合与集合关系的区别． 4. 答案: A解析: 数形结合知, 14a-≤-, ∴a ≥4. 5. 答案: B解析: ∵1|(21),4M x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭, 1|(2),4N x x k k Z ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭∴MN .6. 答案: 8 7 7解析: 无论a 爲何值, 集合A 中一定宥3个元素． 7. 答案: ＝解析:∵221a a +=-,∴2(21)0a a +-+=,即2(1)0a -+=.∴a －1＝0, 且2b －1＝0, 解得a ＝1, 且12b =, ∴1(1,)2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭, ∴A ＝B .8. 解: A ＝{x |a <x ≤a ＋5}, |62a B x x ⎧⎫=-<≤⎨⎬⎩⎭． (1)若A ⊆B , 则0012156a a a a a a ⎧≥≥-⎧⎪⇒⇔≤≤⎨⎨≤⎩⎪+≤⎩, 即所求a 的范围是{a |0≤a ≤1}．(2)若B ⊆A , 则62a -≥, 或62256a a a a ⎧-<⎪⎪⎪≤-⎨⎪+≥⎪⎪⎩解得a ≤－12, 或1012a a a ≥⎧⎪≤⎨⎪>-⎩故a ≤－12,即B ⊆A 时, a 的取值范围是{a |a ≤－12}． (3)若A ＝B , 即{}|5|62a B x a x a x x ⎧⎫=<≤+=-<≤⎨⎬⎩⎭, ∴256a a a ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩即01a a =⎧⎨=⎩ 这不可能同时成立． ∴A ≠B .9. 解: 由x 2－5x ＋6＝0, 得x ＝2或x ＝3, ∴A ＝{2,3}． 由BA 知B ＝{2}, 或B ＝{3}, 或B =∅,若B =∅, 则m ＝0；若B ＝{2}, 则12m =, 若B ＝{3}, 则13m =, 故110,,)23M ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭． 从而M 的所宥子集爲∅, {0}, 12⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 13⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 10,3⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭, 110,,)23⎧⎫⎨⎬⎩⎭．10. 解: A ＝{x |－1≤x ≤2}, 当x ∈A 时, －2－a ≤2x －a ≤4－a,0≤x 2≤4； ∴B ＝{y |－2－a ≤y ≤4－a , a ∈R , y ∈R }, C ＝{z |0≤z ≤4, z ∈R }． 若C ⊆B , 则应宥20220440a a a a a --≤≥-⎧⎧⇔⇔-≤≤⎨⎨-≥≤⎩⎩.所以存在实数a ∈{a |－2≤a ≤0}时, C ⊆B .1．设集合A＝{4,5,7,9}, B＝{3,4,7,8,9}, 全集U＝A∪B, 则集合∁U(A∩B)中的元素共宥()．A．3个B．4个C．5个D．6个2．若集合A＝{1,3, x}, B＝{1, x2}, A∪B＝{1,3, x}, 则满足条件的实数x的个数爲()．A．1B．2 C．3D．43．(创新题)设A, B, I均爲非空集合, 且满足A⊆B⊆I, 则下列各式中错误．．的是()．A．(∁I A)∪B＝IB．(∁I A)∪(∁I B)＝IA B=∅C．()ID．(∁I A)∪(∁I B)＝∁I A4．设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}, N＝{n∈Z|－1≤n≤3}, 则M∩N＝________.5．已知全集U＝{1,2,3,4,5}, 集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}, B＝{x|x＝2a, a∈A}, 则集合∁(A∪B)中的元素个数爲________．U6．(实际应用题)某班宥50名学生报名参加两项比赛, 参加A项的宥30人, 参加B项的宥33人, 且A, B都不参加的同学比A, B都参加的同学的三分之一多一人, 则只参加A项没宥参加B项的学生宥________人．7．已知集合A＝{x|3≤x<7}, B＝{x|2<x<10}, C＝{x|5－a<x<a}．(1)求A∪B, (∁R A)∩B；(2)若C⊆(A∪B), 求a的取值范围．8．已知全集U＝{1,3, x3＋3x2＋2x}, A＝{1, |2x－1|}, 若∁U A＝{0}, 则这样的实数x是否存在?若存在, 求出x；若不存在, 请说明理由．9.方程x2－ax＋b＝0的两实根爲α, β, 方程x2－bx＋c＝0的两实根爲γ, δ, 其中α, β, γ, δ互不相等, 设集合M＝{α, β, γ, δ}, 集合S＝{x|x＝u＋v, u∈M, v∈M, u≠v}, P＝{x|x＝u v, u∈M, v∈M, u≠v}, 若S＝{5,7,8,9,10,12}, P＝{6,10,14,15,21,35}, 求a, b, c.参参考答案1.答案: A解析: U＝{3,4,5,7,8,9}, A∩B＝{4,7,9},∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．2.答案: C解析: 由题意知x2＝x或x2＝3.∴x＝0或x＝1或3x=±.又由元素互异性知x≠1.∴满足条件的实数x宥3个．3.答案: B解析: 如图所示, 通过维恩(Venn)图判断．4.答案: {－1,0,1}解析: M＝{－2,－1,0,1}, N＝{－1,0,1,2,3},∴M∩N＝{－1,0,1}．5.答案: 2解析: A＝{1,2}, B＝{2,4},∴A∪B＝{1,2,4}．∁U(A∪B)＝{3,5}．6.答案: 9解析: 用维恩(Venn)图法．设U＝{50名学生}, A＝{参加A项的学生}, B＝{参加B项的学生}, A, B都参加的宥x人, 都不参加的宥y人, 如图所示．∴()()303350113x x x yy x-++-+=⎧⎪⎨=+⎪⎩解得x＝21.∴30－x＝9(人)．只参加A项不参加B项的学生宥9人．7.解: (1)A∪B＝{x|2<x<10},∵∁R A＝{x|x<3, 或x≥7},∴(∁R A)∩B＝{x|2<x<3, 或7≤x<10}．(2)由(1)知, A∪B＝{x|2<x<10},①当C=∅时, 满足C⊆(A∪B),此时5－a≥a, 得52a≤；②当C≠∅时, 若C⊆(A∪B),则55210a aaa-<⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩解得532a<≤.由①②, 得a≤3.8.解: ∵∁U A＝{0},∴0∈U, 但0A∉.∴x3＋3x2＋2x＝0, 即x(x＋1)(x＋2)＝0,∴x＝0或x＝－1或x＝－2,当x＝0时, |2x－1|＝1, A中已宥元素1, 舍去；当x＝－1时, |2x－1|＝3,3∈U；当x＝－2时, |2x－1|＝5, 但5U∉, 舍去．∴实数x的值存在, 它只能是－1.9.解: ∵b＝αβ∈P, b＝r＋δ∈S,∴b∈P∩S＝{10}, 故b＝10.∵S的元素是α＋β, α＋γ, α＋δ, β＋γ, β＋δ, γ＋δ, 它们的和是3(α＋β＋γ＋δ)＝5＋7＋8＋9＋10＋12＝51,由已知, 得α＋β＝a, γ＋δ＝b.∴a＋b＝17.∵b＝10,∴a＝7.∵P的元素是αβ, αγ, αδ, βγ, βδ, γδ, 它们的和是αβ＋(γ＋δ)．(α＋β)＋γδ＝6＋10＋14＋15＋21＋35.由根与系数的关系, 得b＋ab＋c＝101.∵b＝10, a＝7,∴c＝21.1．函数023x y x x+=-( )．A ．{x |x ＜0, 且32x ≠-} B ．{x |x ＜0} C ．{x |x ＞0} D ．{x |x ≠0, 且32x ≠-, x ∈R } 2．设集合M ＝R , 从M 到P 的映射21:1f x y x →=+, 则映射f 的值域爲( )． A ．{y |y ∈R } B ．{y |y ∈R ＋} C ．{y |0≤y ≤2} D ．{y |0＜y ≤1} 3．若1()x f x x-=, 则方程f (4x )＝x 的根是( )． A.12 B ．12- C ．2 D ．－24．下列从集合A 到集合B 的对应法则爲映射的是( )． A ．A ＝B ＝N ＋, 对应法则:3f x y x →=-B ．A ＝R , B ＝{0,1}, 对应法则()()10:00x f x y x ≥⎧⎪→=⎨<⎪⎩C ．A ＝B ＝R , 对应法则:f x y x →=D ．A ＝Z , B ＝Q , 对应法则1:f x y x→=5．已知集合A ＝[1,4], B ＝(－∞, a ), 若A ⊆B , 则实数a 的取值范围是________．(用区间表示)6．(拓展题)若函数y ＝f (x )对于一切实数a , b 都满足f (a ＋b )＝f (a )＋f (b ), 且f (1)＝8, 则f (－12)＝________. 7．若f : y ＝3x ＋1是从集合A ＝{1,2,3, k }到集合B ＝{4,7, a 4, a 2＋3a }的一个映射, 求自然数a , k 及集合A 、B .8．(1)已知1)f x =-求f (x )； (2)已知f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1, 求f (x )； (3)已知213()()f x f x x-=, 求f (x )．参考答案1. 答案: A解析: 由230x x x +≠⎧⎪⎨->⎪⎩得x ＜0且32x ≠-.2. 答案: D解析: ∵x ∈R , x 2＋1≥1, ∴(]210,11y x =∈+． 3. 答案: A 解析: 41(4)4x f x x x-==, ∴4x 2－4x ＋1＝0, ∴12x =. 4. 答案: B解析: 在A 项中, 当x ＝3时, |x －3|＝0, 于是集合A 中宥一个元素在集合B 中没宥元素和它对应, 故不是映射；在C 项中, 集合A 中的负数在集合B 中没宥元素和它对应, 故也不是映射；在D 项中, 集合A 中的元素0, 其倒数不存在, 因而0在集合B 中无对应元素, 故同样不是映射；只宥B 项符合定义, 故选B.5. 答案: (4, ＋∞) 解析: ∵A ⊆B , ∴a ＞4.6. 答案: －4解析: 令a ＝b ＝0得f (0＋0)＝f (0)＋f (0), ∴f (0)＝0.令12a b ==, 得11(1)()()22f f f =+, ∴1()42f =. 令12a =, 12b =-, 则11()()(0)022f f f -+==, ∴11()()422f f -=-=-. 7. 解: ∵1的象是4,7的原象是2,∴可判断A 中元素3的象10要么是a 4, 要么是a 2＋3a . 由a 4＝10且a ∈N , 知不存在a . ∴a 2＋3a ＝10, 即a 1＝－5(舍去), a 2＝2. 又集合A 中元素k 的象只能是a 4＝16, ∴3k ＋1＝16. ∴k ＝5. ∴A ＝{1,2,3,5}, B ＝{4,7,16,10}． 8. 解: (1)凑配法:∵21)1)1)3f x =-=-+,∴f (x )＝x 2－4x ＋3.11≥,∴f (x )＝x 2－4x ＋3(x ≥1)． (2)换元法:∵f (3x ＋1)＝3x 2－x ＋1, 令3x ＋1＝t , ∴13t x -=. ∴221135()3()1333t t t t f t ---+=-+= ＝21533t t -+. ∴215()33f x x x =-+. (3)构造法:∵213()()f x f x x-=, ① ∴2113()()f f x x x-=. ② ①×3＋②, 得2218()3f x x x=+, ∴2231()88f x x x=+. 又x ≠0, ∴2231()88f x x x=+ (x ≠0)．1．下列表格中的x与y能构成函数的是()．A.x 非负数非正数y 1－1B.x 奇数0偶数y 10－1C.x 宥理数无理数y 1－1D.x 自然数整数宥理数y 10－12．函数22,01()2,123,2x xf x xx⎧≤≤⎪=<<⎨⎪≥⎩的值域是()．A．R B．[0, ＋∞)C．[0,3] D．{x|0≤y≤2或y＝3}3．函数y＝f(x)与函数y＝f(x＋1)所表示的是()．A．同一个函数B．定义域相同的两个函数C．值域相同的两个函数D．图象相同的两个函数4．一个高爲H, 水量爲V的鱼缸的轴截面如下图所示, 其底部宥一个洞, 满缸水从洞中流出, 如果水深爲h时水的体积爲v, 则函数v＝f(h)的大致图象是()．5．如果函数f (x )满足方程1()()af x f ax x+=, x ∈R , 且x ≠0, a 爲常数, 且a ≠±1, 则f (x )＝________.6．已知(1)232x f x -=+, 且f (m )＝6, 则m 等于________． 7．作出下列函数图象:(1)()()()21,02,0x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩ (2)2211x x y x -=-.8．某市规定出租车收费标准: 起步价(不超过2 km)爲5元．超过2 km 时, 前2 km 依然按5元收费, 超过2 km 部分, 每千米收1.5元．你能写出打车费用关于路程的函数解析式吗?又规定: 若遇堵车, 每等待5分钟(不足5分钟按5分钟计时)乘客需交费1元．某乘客打车共跑了20 km, 中途遇到了两次堵车, 第一次等待7分钟, 第二次等待13分钟, 该乘客到达目的地时, 该付多少车钱?9.国家规定个人稿费的纳税办法爲: 不超过800元的不纳税；超过800元不超过4 000元的按超过800元的部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿费的11%纳税．(1)试根据上述规定建立某人所得稿费x 元与纳税额y 元的函数关系式； (2)某人出了一本书, 共纳税420元, 则这个人的稿费是多少元?参考答案1.答案: C解析: A中, x＝0时, y＝±1；B中, x＝0时, y＝0和－1；D中, x＝0时, y＝1,0, －1, 均不符合函数定义．2.答案: D解析: ∵0≤x≤1时, y＝2x2,∴0≤y≤2,∴x≥0时函数f(x)的值域爲{y|y＝3或0≤y≤2}．3.答案: C解析: 特例法．设f(x)＝x(x>0)则f(x＋1)＝x＋1(x>－1)由图象可知C正确．4.答案: D解析: 随着水从洞中流出,vh∆∆的值的变化情况是先慢后快, 然后又变慢．5.答案:() ()2211a axa x--解析: ∵1()()af x f axx+=, ①将x换成1x, 则1x换成x, 得1()()aaf f xx x+=, ②由①②消去f(1x), 即1×a－②得22(1)()aa f x a xx-=-.∵a≠±1,∴22()1aa xx f xa-=-,即()()221()1a axf xa x-=-(x∈R, 且x≠0)．6.答案: －1 4解析: 令2x＋3＝6, 得32x=, 所以1131112224m x=-=⨯-=-.也可先求出f(x)再把x＝m代入求解．7. 解: (1)用分段函数作图法作函数()()()21,02,0x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩的图象, 如图(1)所示, 这是由一段抛物线弧和一条射线 (无端点)所组成的．(1)(2)(2)所给函数可化爲()()(),,11,,1,1x x y x x ∈-∞-⋃+∞⎧⎪=⎨-∈-⎪⎩图象如图(2)所示．8. 解: 设乘车x km, 乘客需付费y 元, 则当0＜x ≤2时, y ＝5； 当x ＞2时,y ＝5＋(x －2)×1.5＝1.5x ＋2.∴5,021.52,2x y x x <≤⎧=⎨+>⎩爲所求函数解析式．当x ＝20 km 时, 应付费y ＝1.5×20＋2＝32(元)．另外, 第一次堵车等待: 7分钟＝5分钟＋2分钟, 故需付费2元． 第二次堵车等待: 13分钟＝(2×5)分钟＋3分钟, 需付费3元． 所以, 该乘客到达目的地后应付费32＋2＋3＝37(元)． 9. 解: (1)纳税额y 元与稿费x 元之间的函数关系爲:()()()()1,080080014%,800400011%,4000x y x x x x <≤⎧⎪=-⨯<≤⎨⎪⨯>⎩(2)令(x －800)×14%＝420, 解得x ＝3 800∈(800, 4 000], 而令x ×11%＝420, 解得23818(4000,)11x =∉+∞, 故2381811x = (舍去)．∴这个人的稿费爲3 800元.1．下列说法正确的是( )．A ．定义在(a , b )上的函数f (x ), 若存在x 1, x 2∈(a , b ), 且当x 1<x 2时, 宥f (x 1)<f (x 2), 那么f (x )在(a , b )上爲增函数B ．定义在(a , b )上的函数f (x ), 若宥无穷多对x 1, x 2∈(a , b ), 且当x 1<x 2时, 宥f (x 1)<f (x 2), 那么f (x )在(a , b )上爲增函数C ．若f (x )在区间I 1上爲增函数, 在区间I 2上也爲增函数, 那么f (x )在I 1∪I 2上也一定爲增函数D ．若f (x )在区间I 上爲增函数且f (x 1)<f (x 2)(x 1, x 2∈I ), 那么x 1<x 22．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3, 当x ∈[－2, ＋∞)时是增函数, 当x ∈(－∞, －2]时是减函数, 则f (1)等于( )．A ．－3B ．13C ．7D ．由m 的值而定的常数3．已知函数f (x ), g (x )定义在同一区间上, 且f (x )是增函数, g (x )是减函数, g (x )≠0, 则在该区间上( )．A ．f (x )＋g (x )爲减函数B ．f (x )－g (x )爲增函数C ．f (x )·g (x )爲减函数 D.()()f xg x 爲增函数 4．下列函数爲增函数的是( )． A ．2()f x x = (x >0) B ．()f x x =C ．1()f x x x =-+D ．()1f x x =+5．若函数3by x=+在(0, ＋∞)上爲单调递减函数, 则实数b 的取值范围是________． 6．已知y ＝f (x )在[0, ＋∞)上是减函数, 则f (34)与f (a 2－a ＋1)的大小关系爲________． 7．函数1()1f x x =-在区间[2,6]上的最大值和最小值分别是( )．A.15, 1 B ．1, 15 C.17, 1 D ．1, 178．已知f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数, 求实数a 的取值范围．9．已知f (x )是定义在(0, ＋∞)上的增函数, 且()()()xf f x f y y=-, f (2)＝1, 解不等式1()()23f x f x -≤-.10.求函数22y x x -+参考答案1. 答案: D2. 答案: B解析: 由单调性知, 二次函数图象的对称轴爲()24m --=-,∴m ＝－8,∴f (x )＝2x 2＋8x ＋3, f (1)＝2＋8＋3＝13. 3. 答案: B 4. 答案: D解析: 由题可知函数()1f x =[0, ＋∞), 所以在区间[0, ＋∞)上爲增函数, 故选D.5. 答案: b >0解析: 由于原函数的单调性与函数by x=相同, 所以当b >0时, 原函数在区间(0, ＋∞)上爲减函数, b <0时, 在(0, ＋∞)上爲增函数．6. 答案: 23(1)()4f a a f -+≤ 解析: ∵221331()244a a a -+=-+≥, ∴由单调性知23(1)()4f a a f -+≤． 7. 答案: B解析: f (x )在[2,6]上爲减函数, ∴最大值爲f (2)＝1, 最小值爲f (6)＝15. 8. 解: 在(0,1)上任取x 1, x 2, 使0<x 1<x 2＜1. ∵f (x )＝－x 3＋ax 在(0,1)上是增函数, ∴宥f (x 1)－f (x 2)<0,即331122()x ax x ax -+--+ ＝332112()x x a x x -+-＝2221112212()()()x x x x x x a x x -+++- ＝22211122()()0x x x x x x a -++-<.∵0<x 1<x 2<1, ∴x 2－x 1>0.∴2211220x x x x a ++-<.∴221122a x x x x >++恒成立, 又∵2211223x x x x ++<,∴a ≥3.∴a 的取值范围是[3, ＋∞)． 9. 解: ∵()()()x f f x f y y=-,∴()()()x f y f f x y+=． 在以上等式中取x ＝4, y ＝2, 则宥f (2)＋f (2)＝f (4), ∵f (2)＝1, ∴f (4)＝2. ∴1()()23f x f x -≤-可变形爲f [x (x －3)]≤f (4)． 又∵f (x )是定义在(0, ＋∞)上的增函数,∴()34030x x x x -≤⎧⎪>⎨⎪->⎩解得3<x ≤4. ∴原不等式的解集爲{x |3<x ≤4}． 10.解: 函数的定义域爲[0,2], 设y u =, u ＝－x 2＋2x , 函数u ＝－x 2＋2x 的单调递增区间爲(－∞, 1), 单调递减区间是[1, ＋∞), 则函数22y x x =-+的单调递增区间是(－∞, 1)∩[0,2]＝[0, 1), 单调递减区间是[1, ＋∞)∩[0,2]＝[1,2]．1．奇函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象必过点( )． A ．(a , f (－a )) B ．(－a , f (a )) C ．(－a , －f (a )) D ．(a , 1()f a)2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数, x ≥0时, f (x )＝x 2－2x , 则在R 上f (x )的表达式是( )．A ．y ＝x (x －2)B ．y ＝x (|x |－2)C ．y ＝|x |(x －2)D ．y ＝|x |(|x |－2)3．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数, 在(－∞, 0]上是减函数, 且f (2)＝0, 则使得f (x )＜0的x 的取值范围是( )．A ．(－∞, 2)B ．(2, ＋∞)C ．(－∞, －2)∪(2, ＋∞)D ．(－2,2)4．已知f (x ), g (x )均爲奇函数, 且F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0, ＋∞)上宥最大值5(ab ≠0), 则F (x )在(－∞, 0)上的最小值爲________．5．已知f (x )是偶函数, g (x )是奇函数, 它们的定义域均爲{x |x ≠±1}, 若1()()1f xg x x +=-, 则f (x )＝________, g (x )＝________. 6．函数f (x )＝a (a ≠0)的奇偶性爲________, 若a ＝0, 奇偶性爲________．7．设f (x )在R 上是偶函数, 在区间 (－∞, 0)上递增, 且宥f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3), 求a 的取值范围．8．已知函数21()ax f x bx c+=+ (a 、b 、c ∈Z )是奇函数, 又f (1)＝2, f (2)＜3.(1)求a 、b 、c 的值；(2)判定f (x )在(－∞, 0)上的单调性．9.已知y ＝f (x )是奇函数, 它在(0, ＋∞)上是增函数, 且f (x )＜0, 试问()1()F x f x =在(－∞, 0)上是增函数还是减函数?证明你的结论．参考答案1. 答案: C解析: 奇函数f (x )满足f (－a )＝－f (a )． 2. 答案: B解析: x ＜0时, f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－2(－x )]＝－x 2－2x , 验证知, B 正确． 3. 答案: D解析: ∵f (x )在R 上爲偶函数, 又f (2)＝0, ∴f (－2)＝0, 又f (x )在(－∞, 0]上是减函数． ∴f (x )在[0, ＋∞]上爲增函数, ∴x ∈(－2,2)时, f (x )＜0. 4. 答案: －1解析: F (－x )＝af (－x )＋bg (－x )＋2＝－af (x )－bg (x )＋2＝－[af (x )＋bg (x )]＋2, ∵F (x )在(0, ＋∞)上宥最大值5, ∴af (x )＋bg (x )宥最大值3.∴F (x )在(－∞, 0)上宥最小值－3＋2＝－1. 5. 答案:211x - 21xx - 解析: ∵1()()1f xg x x +=-, ① ∴1()()1f xg x x -+-=--, 即1()()1f xg x x -=--.② 由①②联立方程组可求得答案．6. 答案: 偶函数 既是奇函数又是偶函数解析: f (－x )＝f (x )＝a (a ≠0)；a ＝0时, f (－x )＝f (x )＝0且f (－x )＝－f (x )＝0. 7. 解: ∵f (x )在R 上是偶函数, 在区间(－∞, 0)上递增, ∴f (x )在(0, ＋∞)上递减． ∵2217212()048a a a ++=++>, 22152232()022a a a -+=-+>,且f (2a 2＋a ＋1)＜f (2a 2－2a ＋3),∴2a 2＋a ＋1＞2a 2－2a ＋3, 即3a －2＞0.解得23a >. 8. 解: (1)∵函数21()ax f x bx c+=+ (a 、b 、c ∈Z )是奇函数,∴f (－x )＝－f (x )．故2211ax ax bx c bx c++=--++,即－bx ＋c ＝－bx －c . ∴c ＝0.∴21()ax f x bx+=.又f (1)＝2, 故12a b +=.而f (2)＜3, 即4132a b +<, 即4131a a +<+, ∴－1＜a ＜2. 又由于a ∈Z , ∴a ＝0或a ＝1. 当a ＝0时, 12b =(舍去)； 当a ＝1时, b ＝1. 综上可知, a ＝b ＝1, c ＝0.(2)211()x f x x x x +==+.设x 1、x 2是(－∞, 0)上的任意两个实数, 且x 1＜x 2, 则 121212121212121212121211111()()()()()()x x x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ---=+-+=-+-=--=-当x 1＜x 2≤－1时, x 1x 2＞1, x 1x 2－1＞0, 从而f (x 1)－f (x 2)＜0, 即f (x 1)＜f (x 2)．所以函数21()x f x x+=在(－∞, －1]上爲增函数．当－1≤x 1＜x 2＜0时, 0＜x 1x 2＜1, x 1x 2－1<0, 从而f (x 1)－f (x 2)＞0, 即f (x 1)＞f (x 2)．所以函数21()x f x x+=在[－1,0)上爲减函数．9. 解: F (x )在(－∞, 0)上是减函数, 证明如下: 任取x 1、x 2∈(－∞, 0), 且x 1＜x 2, 则宥－x 1＞－x 2＞0. ∵y ＝f (x )在(0, ＋∞)上是增函数, 且f (x )＜0,∴f (－x 2)＜f (－x 1)＜0, ① ∵f (x )是奇函数,∴f (－x 2)＝－f (x 2), f (－x 1)＝－f (x 1), ② 由①②得, f (x 2)＞f (x 1)＞0. 于是()()()()()()2112121211()()0f x f x F x F x f x f x f x f x --=-=>, 即F (x 1)＞F (x 2)． ∴()1()F x f x =在(－∞, 0)上是减函数．1．下列说法正确的是( )．①y ＝kx (k 爲常数)是正比例函数；②y ＝kx (k 爲常数)一定是奇函数；③若a 爲常数y ＝a －x 是一次函数；④一次函数的一般式是y ＝kx ＋bA ．②③B ．②④C ．仅③D ．①③ 2．若函数221(2)m m y m x m -+=-+爲一次函数, 则此函数爲( )．A ．增函数B ．减函数C ．在(－∞, 0]上增, 在[0, ＋∞)上减D ．以上都不对3．(创新题)若一元二次方程x 2－2x －m ＝0无实数根, 则一次函数y ＝(m ＋1)x ＋m －1的图象不经过( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．若函数y ＝ax －2与y ＝bx ＋3的图象与x 轴交于同一点, 则ab＝________. 5．某班学生委员带3元人民币帮同学买作业本, 若每本作业本0.25元, 则买作业本的本数x 与所剩人民币y (元)之间的函数关系式爲____________________．6．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称, 当－1≤x ＜0时, f (x )＝x ＋1, 求当0＜x ≤1时, f (x )的表达式．7．已知不等式ax －2a ＋3＜0的解集爲(6, ＋∞), 试确实实数a 的大小．8．某地的水电资源丰富, 并且得到了较好的开发, 电力充足．某供电公司爲了鼓励居民用电, 采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x(度)与相应电费y(元)之间的函数关系的图象如下图所示．(1)月用电量爲100度时, 应交电费________元；(2)当x≥100时, 求y与x之间的函数关系式；(3)月用电量爲260度时, 应交电费多少元?9．已知一次函数y＝kx＋b的图象与函数6yx的图象交于A、B两点, 点A的横坐标是3, 点B的纵坐标是－3.(1)求一次函数的解析式；(2)画出一次函数的图象；(3)当x爲何值时, 一次函数的值小于零?10.设f(x)＝2－ax, 若在[1,2]上, f(x)＞1恒成立, 求a的取值范围．参考答案1.答案: A解析: 说法①中, k≠0时y＝kx是正比例函数；②中k≠0时, y＝kx是奇函数；k＝0时, y ＝kx既是奇函数, 又是偶函数；④中k≠0时, y＝kx＋b是一次函数．∴只宥③正确．2.答案: B解析: 由221120m mm⎧-+=⎨-≠⎩得m＝0.∴y＝－2x在定义域内爲减函数．3.答案: A解析: ∵方程无实数根,∴(－2)2－4(－m)＝4＋4m＜0,∴m＜－1.从而y＝(m＋1)x＋m－1中, m＋1＜0, m－1＜－2, ∴图象不经过第一象限．4.答案:2 3 -解析: 由23y axy bx=-⎧⎨=+⎩得532xa ba bya b⎧=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩∵交点在x轴上,∴y＝0.即3a＋2b＝0,∴23 ab=-.5.答案: y＝3－0.25x(0≤x≤12且x∈N)6.解: 当0＜x≤1时, －1≤－x＜0,∴f(－x)＝－x＋1.又∵f(x)的图象关于y轴对称,∴f(x)爲偶函数．∴f(x)＝f(－x)＝－x＋1,即当0＜x≤1时, f(x)＝－x＋1.7. 解: 令y ＝ax －2a ＋3, 则一次函数y ＝ax －2a ＋3与x 轴的交点爲(6,0), 如图所示, 由ax －2a ＋3＝0得326ax a-+==, ∴34a =-. 8. 解: (1)60(2)设所求的函数关系式爲y ＝kx ＋b . ∵直线过点(100,60)和点(200,110), ∴10060200110k b k b +=⎧⎨+=⎩解得12k =, b ＝10.∴y 与x 的函数关系式爲1102y x =+(x ≥100)． (3)∵260＞100, ∴将x ＝260代入1102y x =+, 得y ＝140. ∴月用电量爲260度时, 应交电费140元． 9. 解: (1)由题意知当x ＝3时, y ＝2, ∴A (3,2), 当y ＝－3时, x ＝－2, ∴B (－2, －3), ∴2332k bk b=+⎧⎨-=-+⎩, 解得k ＝1, b ＝－1,∴y ＝x －1. (2)如图(3)当x ＜1时, 一次函数的值小于零．10. 解: 要使f (x )＞1在[1,2]上恒成立, 只需f (x )的最小值大于1. ∴当a ＜0时, f (x )在[1,2]上单调递增．∴f (x )的最小值爲f (1)＝2－a .∴2－a ＞1, 即a ＜1.∴a ＜0； 当a ＞0时, f (x )在[1,2]上单调递减, ∴f (x )的最小值爲f (2)＝2－2a . ∴2－2a ＞1.解得12a <.∴102a <<. 当a ＝0时, f (x )＝2＞1恒成立． 综上, a 的取值范围爲{}11(,0)(0,)0(,)22-∞=-∞．1．若抛物线y ＝x 2＋6x ＋c 的顶点恰好在x 轴上, 则c 的值爲( )． A ．0 B ．3 C ．6 D ．92．如图所示, 坐标系中抛物线是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象, 则下列式子能成立的是( )．A ．abc ＞0B ．b ＜a ＋cC ．a ＋b ＋c ＜0D ．2c ＜3b3．函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2在(－∞, 6)内是减函数, 则实数a 的取值范围是( )． A ．[3, ＋∞) B ．(－∞, 3] C ．[－3, ＋∞) D ．(－∞, －3]4．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴爲x ＝2, 且经过点(1,4)和点(5,0), 则该抛物线的解析式爲________．5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表:x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6－4－6－6－46则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx (ab ≠0), 若f (m )＝f (n ), 且m ≠n , 则f (m ＋n )＝________. 7．已知函数215()322f x x x =---. (1)求这个函数的顶点坐标和对称轴方程； (2)已知715()28f -=, 不计算函数值, 求5()2f -的值； (3)不直接计算函数值, 试比较1()4f -与15()4f -的大小． 8．已知函数f (x )＝x 2＋2(a ＋1)x ＋2, x ∈[－2,3]．(1)当a＝－2时, 求函数f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围, 使y＝f(x)在区间[－2,3]上是单调函数．参考答案1. 答案: D解析: ∵y ＝x 2＋6x ＋c ＝(x ＋3)2＋c －9, ∴c －9＝0, c ＝9. 2. 答案: D解析: 观察图象开口向下, ∴a ＜0. 又∵对称轴12bx a=-=, ∴b ＝－2a ＞0.由图象观察与y 轴交点(0, c )在x 轴上方 ∴c ＞0, ∴abc ＜0； 又∵f (1)＞0, ∴a ＋b ＋c ＞0； 又∵f (－1)＜0, ∴a －b ＋c ＜0； 又∵f (3)＜0, ∴9a ＋3b ＋c ＜0. 又∵12b a -=, ∴2ba =-代入9a ＋3b ＋c ＜0, ∴302b c -+<, ∴32c b <.即2c ＜3b . 3. 答案: D解析: f (x )＝x 2＋4ax ＋2＝(x ＋2a )2＋2－4a 2, ∵f (x )在(－∞, 6)内是减函数, ∴－2a ≥6, ∴a ≤－3. 4. 答案: 215222y x x =-++ 解析: 由题意知: 2242550b a a b c a b c ⎧-=⎪⎪++=⎨⎪++=⎪⎩解得12252a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩∴抛物线的解析式爲215222y x x =-++. 5. 答案: {x |x ＜－2或x ＞3}解析: 由表中的二次函数对应值可得, 二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根爲－2和3, 又根据f (0)＜f (－2)且f (0)＜f (3)可知a ＞0.∴不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集爲{x |x <－2或x >3}． 6. 答案: 0解析: f (m )－f (n )＝am 2＋bm －an 2－bn ＝a (m ＋n )(m －n )＋b (m －n )＝(m －n )[a (m ＋n )＋b ]＝0.由于m ≠n , 所以a (m ＋n )＋b ＝0.从而f (m ＋n )＝(m ＋n )[a (m ＋n )＋b ]＝0. 7. 解: 22151()3(3)2222f x x x x =---=-++. (1)这个二次函数的顶点坐标和对称轴方程分别爲(－3,2)和x ＝－3. (2)∵7115()(3)(3)()2222f f f f -=--=-+=-, ∴515()28f -=. (3)∵15339()(3)(3)()4444f f f f -=--=-+=-． 又∵14-, 94-∈[－3, ＋∞), ∵102a =-<, ∴y ＝f (x )在[－3, ＋∞)上是单调递减的． ∵1944->-, ∴19()()44f f -<-．即115()()44f f -<-． 8. 解: (1)当a ＝－2时, f (x )＝x 2－2x －2＝(x －1)2＋1, ∴f (x )的图象的对称轴是x ＝1.∴f (x )在[－2,1]上递减, 在(1,3]上递增． ∴当x ＝1时, y min ＝1. ∵f (－2)＝10, f (3)＝5, ∴f (－2)＞f (3)＞f (1)． ∴当x ＝－2时, y m ax ＝10.(2)∵f (x )＝[x ＋(a ＋1)]2＋2－(a ＋1)2, ∴函数f (x )的图象对称轴爲x ＝－(a ＋1)．当f (x )在[－2,3]上单调递减时, 宥－(a ＋1)≥3, 即a ≤－4； 当f (x )在[－2,3]上单调递增时, 宥－(a ＋1)≤－2, 即a ≥1.综上所述, 当a ≤－4或a ≥1时, 函数f (x )在[－2,3]上是单调函数．1．已知二次函数顶点爲(0,4), 且过点(1,5), 则解析式爲( )．A ．2114y x =+ B ．2144y x =+ C ．y ＝4x 2＋1 D ．y ＝x 2＋42．已知x 3＋2x 2－5x －6＝(x ＋a )(x ＋b )(x ＋c ), 则a , b , c 的值分别爲( )． A ．1,2,3 B ．1, －2, －3 C ．1, －2,3 D ．1,2, －33．已知抛物线经过(－1,0), (2,7), (1,4)三点, 则其解析式爲( )． A ．215233y x x =-+ B ．215233y x x =++ C ．215233y x x =+- D ．215233y x x =--4．下图爲二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象, 则该函数的解析式爲________．5．若二次函数f 1(x )＝a 1x 2＋b 1x ＋c 1和f 2(x )＝a 2x 2＋b 2x ＋c 2, 若F (x )＝f 1(x )＋f 2(x ), 则F (x )在(－∞, ＋∞)上单调递增的条件是________．6．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c , 若f (0)＝0且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1, 则f (x )＝________. 7．如图所示爲某桥桥洞的横断面, 桥下水面宽16米, 当水面上涨2米后达到警戒水位, 水面宽变爲12米, 此时桥洞顶部距水面高度爲________米．(精确到0.1米)8．已知二次函数y ＝x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3, 其中m 爲实数． (1)求证: 不论m 取何实数, 这个二次函数的图象与x 轴必宥两个交点； (2)设这个二次函数的图象与x 轴交于点A (x 1,0)、B (x 2,0), 且x 1、x 2的倒数和爲23, 求这个函数的解析式．9．已知函数f(x)＝|x－a|, g(x)＝x2＋2ax＋1(a爲正常数), 且函数f(x)与g(x)的图象在y 轴上的交点的纵坐标相等．(1)求a的值；(2)求函数f(x)＋g(x)的单调递增区间．参考答案1. 答案: D解析: 设二次函数爲y ＝ax 2＋4, x ＝1时, y ＝a ＋4＝5, ∴a ＝1. 2. 答案: C解析: (x ＋a )(x ＋b )(x ＋c )＝x 3＋ (a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x ＋abc , ∵(x ＋a )(x ＋b )(x ＋c )＝x 3＋2x 2－5x －6,∴256a b c ab bc ca abc ++=⎧⎪++=-⎨⎪=-⎩解得a ＝1, b ＝－2, c ＝3. 3. 答案: B解析: 设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0), 则宥07424a b c a b c a b c =-+⎧⎪=++⎨⎪=++⎩∴13253a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩4. 答案: 224233y x x =-- 解析: 设二次函数爲y ＝a (x ＋1)(x －3),∵点(0, －2)在图象上, ∴－2＝a (0＋1)(0－3)．解得23a = ∴2224(1)(3)2333y x x x x =++=--. 5. 答案: a 1＋a 2＝0, b 1＋b 2>0解析: ∵F (x )＝f 1(x )＋f 2(x )＝(a 1＋a 2)x 2＋(b 1＋b 2)x ＋c 1＋c 2在(－∞, ＋∞)上单调递增, ∴F (x )一定不是二次函数, 只可能是一次函数, ∴a 1＋a 2＝0, b 1＋b 2>0. 6. 答案:21122x x +解析: 由题意得220(1)(1)()1c a x b x c ax bx c x =⎧⎪++++-++⎨⎪=+⎩即021c ax b x a =⎧⎨+=+-⎩∴0211c a b a=⎧⎪=⎨⎪=-⎩解得12a =, 12b =, c ＝0.∴211()22f x x x =+. 7. 答案: 2.6解析: 设抛物线解析式爲y ＝ax 2(a <0), 设点(8, y )(y <0), (6, y ＋2)在抛物线上,∴64236y a y a =⎧⎨+=⎩∴114118236()147a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⨯-=-⎪⎩由题意知, 桥洞顶部距达到警戒水位时高度爲182 2.6()7y +=-≈米． 8. 解: (1)证明: 和这个二次函数对应的一元二次方程是x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0. ∵Δ＝4(m －1)2－4(m 2－2m －3)＝4m 2－8m ＋4－4m 2＋8m ＋12＝16>0, ∴方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0必宥两个不相等的实数根． ∴不论m 取何值, 这个二次函数的图象与x 轴必宥两个交点．(2)由题意, 可知x 1、x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m 2－2m －3＝0的两个实数根, ∴x 1＋x 2＝2(m －1), x 1·x 2＝m 2－2m －3. ∵121123x x +=, 即121223x x x x +=⋅, ∴22(1)2233m m m -=--. 解得m ＝0, 或m ＝5.经检验, m ＝0, m ＝5都是方程的解．∴所求二次函数的解析式是y ＝x 2＋2x －3, 或y ＝x 2－8x ＋12. 9. 解: (1)由题意, f (0)＝g (0), 即|a |＝1, 又a >0, 所以a ＝1. (2)f (x )＋g (x )＝|x －1|＋x 2＋2x ＋1.当x ≥1时, f (x )＋g (x )＝x 2＋3x , 它在[1, ＋∞)上单调递增； 当x <1时, f (x )＋g (x )＝x 2＋x ＋2, 它在[－12, 1)上单调递增； 综上, 结合f (x )＋g (x )的图象知f (x )＋g (x )的单调递增区间是[－12, ＋∞)．1．已知直角梯形OABC中, AB∥OC, BC⊥OC, AB＝1, OC＝BC＝2, 直线x＝t截这个梯形位于此直线左方的图形的面积(如图中阴影部分)爲y, 则函数y＝f(t)的大致图象爲()．2．一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车, 当他距汽车25 m时, 交通灯由红变绿, 汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走, 则()．A．人可在7 s内追上汽车B．人可在10 s内追上汽车C．人追不上汽车, 其间最近距离爲10 mD．人追不上汽车, 其间最近距离爲7 m3．爲了稳定市场, 确保农民增收, 某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格宥关, 且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格:月份1234567价格(元/担)687867717270则7月份该产品的市场收购价格应爲()．A．69元B．70元C．71元D．72元4．北京电视台每星期六播出《东芝动物乐园》, 在这个节目中曾经宥这样一个抢答题: 小蜥蜴体长15 c m, 体重15 g, 问: 当小蜥蜴长到体长爲20 c m时, 它的体重大约是()．A．20 g B．25 gC．35 g D．40 g5．某商人购货, 进价已按原价a扣去25%, 他希望对货物订一新价, 以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利, 则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y 之间的函数关系是________．6．如图, 大海中的两艘船, 甲船在A处, 乙船在A处正东50 km的B处, 现在甲船从A。

A级:“四基”巩固训练一、选择题1．设集合U＝{1,2,3,4,5,6},A＝{1,3,5},B＝{3,4,5},则∁U(A∪B)＝( )A．{2,6} B．{3,6}C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}答案 A解析因为A＝{1,3,5},B＝{3,4,5},所以A∪B＝{1,3,4,5},因为U＝{1,2,3,4,5,6},则∁U(A∪B)＝{2,6}．故选A.2．图中的阴影部分表示的集合是( )A．A∩(∁U B) B．B∩(∁U A)C.∁U(A∩B)D.∁U(A∪B)答案 B解析由维恩图可知,阴影部分的元素属于B但不属于A,所以用集合表示为B∩(∁U A)．故选B.3．已知U为全集,集合M,N⊆U,若M∩N＝N,则( )A.∁U N⊆∁U M B．M⊆∁U NC.∁U M⊆∁U ND.∁U N⊆M答案 C解析根据M,N⊆U,M∩N＝N,画出维恩图,如图所示,由图可知∁U M⊆∁U N.故选C.4．已知全集U＝{1,2,3,4,5},集合A＝{x|x2－3x＋2＝0},B＝{x|x＝2a,a∈A},则集合∁U(A∪B)中元素的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析∵A＝{1,2},∴B＝{2,4},∴A∪B＝{1,2,4},∴∁U(A∪B)＝{3,5}．故选B.5．已知集合A,B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集,且∁U(A∪B)＝{4},B＝{1,2},则A∩(∁U B)＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3,4}D ．∅答案 A 解析 ∵∁U (A ∪B)＝{4},U ＝{1,2,3,4},∴A ∪B ＝{1,2,3},又∵B ＝{1,2},∴A ＝{1,3}或A ＝{2,3}或A ＝{1,2,3}或A ＝{3},∴∁U B ＝{3,4},∴A∩(∁U B)＝{3},故选A.二、填空题6．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．答案 12解析 设两项运动都喜爱的人数为x,画出维恩图得到方程15－x ＋x ＋10－x ＋8＝30⇒x ＝3,所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.7．设全集U ＝{2,4,－(a －3)2},集合A ＝{2,a 2－a ＋2},若∁U A ＝{－1},则实数a 的值为________． 答案 2解析 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧ －(a －3)2＝－1，a 2－a ＋2＝4，解得a ＝2.8．已知M ＝{x|x<－2或x≥3},N ＝{x|x －a≤0},若N∩(∁R M)≠∅(R 为实数集),则a 的取值范围是________．答案 [－2,＋∞)解析 由题意,得∁R M ＝{x|－2≤x<3},借助数轴可得a≥－2.三、解答题9．已知全集U ＝{x|x≤4},集合A ＝{x|－2<x<3},B ＝{x|－3≤x≤2},求A∩B ,(∁U A)∪B,A∩(∁U B),∁U (A ∪B)．解 把集合A,B,U 表示在同一数轴上,如图所示,由图可得∁U A ＝{x|x≤－2或3≤x≤4},∁U B ＝{x|x<－3或2<x≤4}．A∩B＝{x|－2<x≤2},A ∪B ＝{x|－3≤x<3}．故(∁U A)∪B ＝{x|x≤2或3≤x≤4},A∩(∁U B)＝{x|2<x<3}．∁U (A ∪B)＝{x|x<－3或3≤x≤4}．10．已知全集U ＝R,集合A ＝{x|－2≤x≤5},B ＝{x|a ＋1≤x≤2a－1}且A ⊆∁U B,求实数a 的取值范围． 解 若B ＝∅,则a ＋1>2a －1,则a<2,此时∁U B ＝R,∴A ⊆∁U B,满足条件；若B≠∅,则a ＋1≤2a－1,即a≥2,此时∁U B ＝{x|x<a ＋1或x>2a －1},由于A ⊆∁U B,∴⎩⎪⎨⎪⎧ a≥2，5<a ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧ a≥2，2a －1<－2，解得a>4,综上,实数a 的取值范围为{a|a<2或a>4}．B 级:“四能”提升训练1．若三个关于x 的方程x 2－2ax －3＋a 2＝0,x 2－(a ＋2)x ＋14a 2＝0,x 2＋x －3a ＝0中至多有两个方程有实根,求实数a 的取值范围．解 设已知三个方程都有实根,此时a 的取值范围为集合D.则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ1＝(－2a )2－4×(－3＋a 2)≥0，Δ2＝(a ＋2)2－a 2≥0，Δ3＝12－4×(－3a )≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧12≥0，a≥－1，a≥－112⇒a≥－112. ∴D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a≥－112. ∴使三个方程中至多有两个方程有实根的a 的取值范围是D 的补集,即⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ a<－112. 2．设U ＝R,集合A ＝{x|x 2＋3x ＋2＝0},B ＝{x|x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0}．若(∁U A)∩B＝∅,求m 的值．解 A ＝{－2,－1},由(∁U A)∩B＝∅,得B ⊆A,∵方程x 2＋(m ＋1)x ＋m ＝0的判别式Δ＝(m ＋1)2－4m ＝(m －1)2≥0,∴B≠∅.∴B ＝{－1}或B ＝{－2}或B ＝{－1,－2}．①若B ＝{－1},则m ＝1；②若B＝{－2},则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4,且m＝(－2)×(－2)＝4,这两式不能同时成立, ∴B≠{－2}；③若B＝{－1,－2},则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3,且m＝(－1)×(－2)＝2,由这两式得m＝2. 经检验知m＝1或m＝2符合条件．综上可得m＝1或m＝2.。

人教B 选择性必修第一册综合测验第一章 空间向量与立体几何............................................................................................ 1 第二章 平面解析几何 .................................................................................................... 15 模块综合测验 . (28)第一章 空间向量与立体几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 是( ) A.有相同起点的向量 B .等长的向量C.共面向量 D .不共面向量AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 显然不是有相同起点的向量,A 不正确; 由该平行六面体不是正方体可知,这三个向量不是等长的向量,B 不正确. 又∵AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =B 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共面,C 正确,D 不正确. 2.已知a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),则下列结论正确的是( ) A.a ∥c ,b ∥c B.a ∥b ,a ⊥c C.a ∥c ,a ⊥b D.以上都不对a =(-2,-3,1),b =(2,0,4),c =(-4,-6,2),∴a ·b =-4+0+4=0,∴a ⊥b .∵-4-2=-6-3=21,∴a ∥c .3.在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ( ) A.D 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B.D 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.DB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D.BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗,长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .4.如图所示,已知空间四边形ABCD ,连接AC ,BD.M ,G 分别是BC ,CD 的中点,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 等于 ( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗B.GA ⃗⃗⃗⃗⃗C.AG ⃗⃗⃗⃗⃗D.MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗M ,G 分别是BC ,CD 的中点,∴12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MG ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AG⃗⃗⃗⃗⃗ . 5.在四棱锥P-ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,-2,3),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,1,0),AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-6,2,-8),则这个四棱锥的高h 等于 ( )A.1 B .2C.13D .26ABCD 的法向量为n =(x ,y ,z ),则{n ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{4x -2y +3z =0,-4x +y =0.不妨令x=3,则y=12,z=4,可得n =(3,12,4), 四棱锥的高h=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n ||n |=2613=2.6.已知两不重合的平面α与平面ABC ,若平面α的法向量为n 1=(2,-3,1),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,1),则( ) A.平面α∥平面ABC B.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC 相交但不垂直D.以上均有可能,n 1·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×0+1×(-2)=0,得n 1⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n 1·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×1+(-3)×1+1×1=0,得n 1⊥AC⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以n 1⊥平面ABC ,所以平面α的法向量与平面ABC 的法向量共线,则平面α∥平面ABC.7.直线AB 与直二面角α-l-β的两个面分别交于A ,B 两点,且A ,B 都不在棱l 上,设直线AB 与α,β所成的角分别为θ和φ,则θ+φ的取值范围是( ) A.0°<θ+φ<90° B.0°<θ+φ≤90° C.90°<θ+φ<180° D.θ+φ=90°,分别过点A ,B 向平面β,α作垂线,垂足为A 1,B 1,连接BA 1,AB 1.由已知α⊥β,所以AA 1⊥β,BB 1⊥α,因此∠BAB 1=θ,∠ABA 1=φ.由最小角定理得∠BAA 1≥θ,而∠BAA 1+φ=90°,故θ+φ=θ+90°-∠BAA 1≤90°,当AB ⊥l 时,θ+φ=90°,应选B .8.长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,则集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}中元素的个数为( )A.1 B .2 C .3 D .4长方体A 1A 2A 3A 4-B 1B 2B 3B 4的底面为边长为1的正方形,高为2,∴建立如图的空间直角坐标系, 则A 1(1,1,0),A 2(0,1,0),A 3(0,0,0),A 4(1,0,0), B 1(1,1,2),B 2(0,1,2),B 3(0,0,2),B 4(1,0,2), 则A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2),与A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)相等的向量为A 2B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 3B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 4B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,2)相等的向量为A 2B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4, 与A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,2)相等的向量为A 3B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2×2=4,与A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,2)相等的向量为A 3B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,与A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,2)相等的向量为A 4B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,体对角线向量为A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,2),此时A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2B 4⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3,A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 3B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-1+4=3, A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,2),A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 4B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1+4=5,综上集合{x|x=A 1B 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A i B j ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,i ∈{1,2,3,4},j ∈{1,2,3,4}}={3,4,5},集合中元素的个数为3个.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.设向量a ,b ,c 可构成空间一个基底,下列选项中正确的是( ) A.若a ⊥b ,b ⊥c ,则a ⊥cB.则a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面C.对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z cD.则a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底a,b,c是空间一个基底,知:在A中,若a⊥b,b⊥c,则a与c相交或平行,故A错误;在B中,a,b,c两两共面,但a,b,c不可能共面,故B正确;在C中,对空间任一向量p,总存在有序实数组(x,y,z),使p=x a+y b+z c,故C正确;在D中,a+b,b+c,c+a一定能构成空间的一个基底,故D正确.10.已知向量a=(1,2,3),b=(3,0,-1),c=(-1,5,-3),下列等式中正确的是()A.(a·b)c=b·cB.(a+b)·c=a·(b+c)C.(a+b+c)2=a2+b2+c2D.|a+b+c|=|a-b-c|左边为向量,右边为实数,显然不相等,不正确;B.左边=(4,2,2)·(-1,5,-3)=0,右边=(1,2,3)·(2,5,-4)=2+10-12=0,∴左边=右边,因此正确.C.a+b+c=(3,7,-1),左边=32+72+(-1)2=59,右边=12+22+32+32+0+(-1)2+(-1)2+52+(-3)2=59,∴左边=右边,因此正确.D.由C可得左边=√59,∵a-b-c=(-1,-3,7),∴|a-b-c|=√59,∴左边=右边,因此正确.故BCD正确.11.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AB,CC1,A1D1,C1D1的中点,则下列结论正确的是 ()A.A1E⊥AC1B.BF∥平面ADD1A1C.BF⊥DGD.A1E∥CH解析设正方体的棱长为1,以D 为原点,DA ,DC ,DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A 1(1,0,1),E (1,12,0),C (0,1,0),F (0,1,12),C 1(0,1,1),H 0,12,1,G (12,0,1),A (1,0,0),B (1,1,0),D (0,0,0),则A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,-1),AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1),BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12),DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,0,1),CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-12,1), 所以A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12,所以A 1E 与AC 1不垂直,故A 错误; 显然平面ADD 1A 1的一个法向量v =(0,1,0), 有BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·v =0,所以BF ∥平面ADD 1A 1,故B 正确; BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·DG ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,所以BF ⊥DG ,故C 正确; A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-CH⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以A 1E ∥CH ,故D 正确. 12.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A -BD -C ,有如下四个结论:①AC ⊥BD ;②△ACD 是等边三角形;③AB 与平面BCD 所成的角为60°;④AB 与CD 所成的角为60°.其中正确的结论有( ) A.① B.②C.③D.④,建立空间直角坐标系Oxyz ,设正方形ABCD 的边长为√2,则D (1,0,0),B (-1,0,0),C (0,0,1),A (0,1,0),所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-1),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,0),AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,故AC ⊥BD ,①正确.又|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2, 所以△ACD 为等边三角形,②正确. 对于③,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 为平面BCD 的一个法向量, cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||OA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√1=√2=-√22.因为直线与平面所成的角∈[0°,90°],所以AB 与平面BCD 所成的角为45°,故③错误.又cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2·√2=-12,因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB 与CD 所成的角为60°,故④正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.在棱长为a 的正四面体中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . -a 22a 的正四面体中,AB=BC=a ,且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°,AC ⊥BD.∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ·a cos120°+0=-a22.14.已知a =(1,2,-y ),b =(x ,1,2),且(a +2b )∥(2a -b ),则xy= .2a +2b =(1+2x ,4,-y+4),2a -b =(2-x ,3,-2y-2),因为(a+2b )∥(2a-b ),所以存在λ∈R 使得1+2x=λ(2-x )且4=3λ且-y+4=λ(-2y-2),所以λ=43,x=12,y=-4,所以xy=-2.15.设PA ⊥Rt △ABC 所在的平面α,∠BAC=90°,PB ,PC 分别与α成45°和30°角,PA=2,则PA 与BC 的距离是 ;点P 到BC 的距离是 . √3 √7AD ⊥BC 于点D ,∵PA ⊥面ABC ,∴PA ⊥AD.∴AD 是PA 与BC 的公垂线.易得AB=2,AC=2√3,BC=4,AD=√3,连接PD ,则PD ⊥BC ,P 到BC 的距离PD=√7. 16.已知向量m =(a ,b ,0),n =(c ,d ,1),其中a 2+b 2=c 2+d 2=1,现有以下命题:①向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值(即与c ,d 无关); ②m ·n 的最大值为√2;③<m ,n >(m ,n 的夹角)的最大值为3π4;④若定义u ×v =|u |·|v |sin <u ,v >,则|m×n |的最大值为√2. 其中正确的命题有 .(写出所有正确命题的序号)取z 轴的正方向单位向量a =(0,0,1),则cos <n ,a >=n ·a|n ||a |=√c 2+d 2+12×1=√2=√22,∴向量n 与z 轴正方向的夹角恒为定值π4,命题正确;②m ·n =ac+bd ≤a 2+c 22+b 2+d 22=a 2+c 2+b 2+d 22=1+12=1,当且仅当a=c ,b=d 时取等号,因此m ·n 的最大值为1,命题错误;③由②可得|m ·n |≤1,∴-1≤m ·n ≤1, ∴cos <m ,n >=m ·n|m ||n | =√a 2+b 2·√c 2+d 2+12≥-1×√2=-√22, ∴<m ,n >的最大值是3π4,命题正确; ④由③可知:-√22≤cos <m ,n >≤√22,∴π4≤<m ,n >≤3π4,√22≤sin <m ,n >≤1,∴m×n =|m|×|n|×sin <m ,n >≤1×√2×1=√2,命题正确.综上可知,正确的命题序号是①③④.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)如图所示,在四棱锥M-ABCD 中,底面ABCD 是边长为2的正方形,侧棱AM 的长为3,且AM 和AB ,AD 的夹角都是60°,N 是CM 的中点,设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,c =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试以a ,b ,c 为基向量表示出向量BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,并求BN 的长.⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CN ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12[AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ -(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )] =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12a+12b+12c , |BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-12a+12b+12c 2 =14(a 2+b 2+c 2-2a ·b-2a ·c+2b ·c )=174. 所以|BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√172,即BN 的长为√172.18.(12分)如图,正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,底面边长为√2. (1)设侧棱长为1,求证:AB 1⊥BC 1;(2)设AB 1与BC 1所成的角为π3,求侧棱的长.1=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .因为BB 1⊥平面ABC , 所以BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. 又△ABC 为正三角形,所以<AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-<BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC⃗⃗⃗⃗⃗ >=π-π3=2π3. 因为AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=-1+1=0, 所以AB 1⊥BC 1.(1)知AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |·cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ >+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1.又|AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=√2+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以cos <AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >=BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12+BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=12,所以|BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2,即侧棱长为2.19.(12分)已知空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)若|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ ,求向量c ; (2)已知向量k a +b 与b 互相垂直,求k 的值; (3)求△ABC 的面积.∵空间中三点A (2,0,-2),B (1,-1,-2),C (3,0,-4),设a =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,b =AC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴BC⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,0,-4)-(1,-1,-2)=(2,1,-2), ∵|c |=3,且c ∥BC⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴c =m BC⃗⃗⃗⃗⃗ =m (2,1,-2)=(2m ,m ,-2m ), ∴|c |=√(2m )2+m 2+(-2m )2=3|m|=3,∴m=±1,∴c =(2,1,-2)或c =(-2,-1,2). (2)由题得a =(-1,-1,0),b =(1,0,-2),∴k a +b =k (-1,-1,0)+(1,0,-2)=(1-k ,-k ,-2),∵向量k a +b 与b 互相垂直,∴(k a +b )·b =1-k+4=0,解得k=5.∴k 的值是5. (3)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,-2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,-2), cos <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2×√5=-√10,sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=√1-110=√10,∴S △ABC =12×|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |×|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |×sin <AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC⃗⃗⃗⃗⃗ >=12×√2×√5×√10=32.20.(12分)已知E ,F ,G ,H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ,BC ,CD ,DA 的中点.(1)用向量法证明E ,F ,G ,H 四点共面; (2)用向量法证明:BD ∥平面EFGH ;(3)设M 是EG 和FH 的交点,求证:对空间任一点O ,有OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).如图,连接BG ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则EG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BG ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ +EH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 由共面向量定理的推论知E 、F 、G 、H 四点共面.(2)因为EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 所以EH ∥BD ,又EH ⊂平面EFGH ,BD ⊄平面EFGH , 所以BD ∥平面EFGH.(3)连接OM ,OA ,OB ,OC ,OD ,OE ,OG , 由(2)知EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 同理FG ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =FG⃗⃗⃗⃗⃗ , EH ∥FG ,EH=FG ,所以EG 、FH 交于一点M 且被M 平分,所以OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OE ⃗⃗⃗⃗⃗ +OG ⃗⃗⃗⃗⃗ )=1212(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =14(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).21.(12分)(2021全国甲,理19)已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧面AA 1B 1B 为正方形,AB=BC=2,E ,F 分别为AC 和CC 1的中点,D 为棱A 1B 1上的点,BF ⊥A 1B 1. (1)证明:BF ⊥DE ;(2)当B 1D 为何值时,平面BB 1C 1C 与平面DFE 所成的二面角的正弦值最小?如图,连接A 1E ,取BC 中点M ,连接B 1M ,EM.∵E ,M 分别为AC ,BC 中点, ∴EM ∥AB.又AB ∥A 1B 1,∴A 1B 1∥EM ,则点A 1,B 1,M ,E 四点共面,故DE ⊂平面A 1B 1ME.又在侧面BCC 1B 1中,△FCB ≌△MBB 1,∴∠FBM=∠MB 1B. 又∠MB 1B+∠B 1MB=90°,∴∠FBM+∠B 1MB=90°,∴BF ⊥MB 1.又BF ⊥A 1B 1,MB 1∩A 1B 1=B 1,MB 1,A 1B 1⊂平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥平面A 1B 1ME ,∴BF ⊥DE.(2)∵BF ⊥A 1B 1,∴BF ⊥AB ,∴AF 2=BF 2+AB 2=CF 2+BC 2+AB 2=9. 又AF 2=FC 2+AC 2,∴AC 2=8,则AB ⊥BC.如图,以B 为原点,BC ,BA ,BB 1为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系,则B (0,0,0),C (2,0,0),A (0,2,0),E (1,1,0),F (2,0,1).则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,-1,1),ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,t-1,2),设DB 1=t ,则D (0,t ,2),0≤t ≤2.则平面BB 1C 1C 的法向量为m =(0,1,0),设平面DEF 的法向量为n =(x ,y ,z ),∴{EF⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{x -y +z =0,-x +(t -1)y +2z =0,∴n =(1+t ,3,2-t ). 则cos <m ,n >=√(1+t )+32+(2-t )=√2t 2-2t+14.要求最小正弦值,则求最大余弦值.当t=1时二面角的余弦值最大,2时二面角正弦值最小.则B1D=1222.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,∠ADC=90°,平AD=1,CD=√3.面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=12(1)求证:平面PBC⊥平面PQB;(2)当PM的长为何值时,平面QMB与平面PDC所成的角的大小为60°?AD,AD∥BC,Q为AD的中点,BC=12∴BC∥QD,BC=QD,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴BQ∥CD.∵∠ADC=90°,∴BC⊥BQ.∵PA=PD,AQ=QD,∴PQ⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,∴PQ ⊥BC.又∵PQ∩BQ=Q,∴BC⊥平面PQB.∵BC⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PQB.(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点,分别以QA,QB,QP所在直线为x轴,y 轴,z轴,建立空间直角坐标系,则Q(0,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,√3),B(0,√3,0),C(-1,√3,0),∴QB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,0),DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,√3),PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,√3,-√3), PC=√(-1)2+(√3)2+(-√3)2=√7.设PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,-√3λ),且0≤λ≤1,得M (-λ,√3λ,√3−√3λ),∴QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-λ,√3λ,√3(1-λ)).设平面MBQ 的法向量为m =(x ,y ,z ),则{QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,QB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·m =0,即{-λx +√3λy +√3(1-λ)z =0,√3y =0.令x=√3,则y=0,z=λ1-λ,∴平面MBQ 的一个法向量为m =√3,0,λ1-λ. 设平面PDC 的法向量为n =(x',y',z'),则{DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即{√3y '=0,x '+√3z '=0.令x'=3,则y'=0,z'=-√3,∴平面PDC 的一个法向量为n =(3,0,-√3).∴平面QMB 与平面PDC 所成的锐二面角的大小为60°, ∴cos60°=|n ·m ||n ||m |=|3√3-√3·λ1-λ|√12·√3+(λ1-λ) 2=12,∴λ=12.∴PM=12PC=√72.即当PM=√72时,平面QMB 与平面PDC 所成的角大小为60°.第二章 平面解析几何一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.在平面直角坐标系中,记d 为点P (cos θ,sin θ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值为 ( ) A.1 B.2C.3D.4cos 2θ+sin 2θ=1,∴P 为单位圆上一点,而直线x-my-2=0过点A (2,0),∴d 的最大值为|OA|+1=2+1=3,故选C .2.已知点P (-2,4)在抛物线y 2=2px (p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是( ) A.(0,2) B.(0,4) C.(2,0) D.(4,0)P (-2,4)在抛物线y 2=2px 的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).3.已知直线l 1:x cos 2α+√3y+2=0,若l 1⊥l 2,则l 2倾斜角的取值范围是( ) A.[π3,π2) B.[0,π6] C.[π3,π2] D.[π3,5π6]l 1:x cos 2α+√3y+2=0的斜率k 1=-2√3∈[-√33,0],当cos α=0时,即k 1=0时,k 不存在,此时倾斜角为12π,由l 1⊥l 2,k 1≠0时,可知直线l 2的斜率k=-1k 1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l 2倾斜角的取值范围为[π3,π2].4.(2021全国乙,文11)设B 是椭圆C :x 25+y 2=1的上顶点,点P 在C 上,则|PB|的最大值为( ) A.52 B.√6 C.√5 D.2方法一)由椭圆方程可得a=√5,b=1,故椭圆的上顶点为B (0,1).设P (x ,y ),则有x 25+y 2=1, 故x 2=5(1-y 2),由椭圆的性质可得-1≤y ≤1.则|PB|2=x 2+(y-1)2=5(1-y 2)+(y-1)2=-4y 2-2y+6=-4y 2+y2+6=-4y+142+254.因为-1≤y ≤1,所以当y=-14时,|PB|2取得最大值,且最大值为254,所以|PB|的最大值为52. (方法二)由题意可设P (√5cos θ,sin θ)(θ∈R ),又B (0,1),则|PB|2=5cos 2θ+(sin θ-1)2=5cos 2θ+sin 2θ-2sin θ+1=-4sin 2θ-2sin θ+6,于是当sin θ=-14时,|PB|2最大,此时|PB|2=-4×116-2×(-14)+6=-14+12+6=254,故|PB|的最大值为52.5.在一个平面上,机器人到与点C (3,-3)的距离为8的地方绕C 点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A (-10,0)与B (0,10)的直线的最近距离为( ) A.8√2-8 B.8√2+8C.8√2D.12√2C (3,-3)距离为8的地方绕C 点顺时针而行,在行进过程中保持与点C 的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示;∵A (-10,0)与B (0,10),∴直线AB 的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0, 则圆心C 到直线AB 的距离为d=√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.6.设P 是双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)上的点,F 1,F 2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F 1PF 2=90°,△F 1PF 2的面积是7,则a+b 等于( ) A.3+√7 B.9+√7C.10D.16,不妨设点P 是右支上的一点,|PF 1|=m ,|PF 2|=n ,则{ 12mn =7,m -n =2a ,m 2+n 2=4c 2,c a =43,∴a=3,c=4.∴b=√c 2-a 2=√7.∴a+b=3+√7.7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h ,跨径为a ,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A.a 28ℎ B.a 24ℎC.a 22ℎD.a 2ℎ,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x 2=-2py (p>0).∵该抛物线经过点(a2,-ℎ),代入抛物线方程可得a 24=2hp ,解得p=a 28ℎ.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a 28ℎ.8.平面直角坐标系中,设A (-0.98,0.56),B (1.02,2.56),点M 在单位圆上,则使得△MAB 为直角三角形的点M 的个数是( ) A.1 B.2C.3D.4,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则k AB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则k l1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x2,y2)两点,下列结论正确的有()A.a(x1-x2)+b(y1-y2)=0B.2ax1+2by1=a2+b2C.x1+x2=aD.y1+y2=2bAB的方程为a2+b2-2ax-2by=0,即2ax+2by=a2+b2,故B正确;分别把A(x1,y1),B(x2,y2)两点代入2ax+2by=a2+b2得2ax1+2by1=a2+b2,2ax2+2by2=a2+b2,两式相减得2a(x1-x2)+2b(y1-y2)=0,即a(x1-x2)+b(y1-y2)=0,故A正确;由圆的性质可知,线段AB与线段C1C2互相平分,∴x1+x2=a,y1+y2=b,故C正确,D错误.10.若P是圆C:(x+3)2+(y-3)2=1上任一点,则点P到直线y=kx-1距离的值可以为()A.4B.6C.3√2+1D.8y=kx-1恒过定点A(0,-1)点,当直线与AC垂直时,点P到直线y=kx-1距离最大,等于AC+r,圆心坐标为(-3,3),所以为√(-3)2+(3+1)2+1=6,当直线与圆有交点时,点P到直线的距离最小为0,所以点P到直线y=kx-1距离的范围为[0,6].11.在平面直角坐标系中,曲线C上任意点P与两个定点A(-2,0)和点B(2,0)连线的斜率之和等于2,则关于曲线C的结论正确的有()A.曲线C是轴对称图形B.曲线C上所有的点都在圆x2+y2=2外C.曲线C是中心对称图形D.曲线C上所有点的横坐标x满足|x|>2P(x,y),则k PA+k PB=2,即yx+2+yx-2=2(x≠±2),整理得x2-xy=4(x≠±2),所以曲线C 是中心对称图形,不是轴对称图形,故C 正确,A 错误;由x 2-xy=4>2=x 2+y 2,所以曲线C 上所有的点都在圆x 2+y 2=2外,故B 正确; 由x 2-xy=4可知,x ∈R 且x ≠0,x ≠±2,故D 错误. 12.已知P 是椭圆E :x 28+y 24=1上一点,F 1,F 2为其左右焦点,且△F 1PF 2的面积为3,则下列说法正确的是 ( )A.P 点纵坐标为3B.∠F 1PF 2>π2C.△F 1PF 2的周长为4(√2+1)D.△F 1PF 2的内切圆半径为32(√2-1)P 点坐标为(x ,y ),S=12×2c×|y|=12×4×|y|=3,得y=32或y=-32,故A 错误;椭圆中焦点三角形面积为S=b 2tan θ2(θ为焦点三角形的顶角),S=4tan θ2=3,得tan θ2=34,则θ2<π4,∠F 1PF 2<π2,故B 错误;C △F 1PF 2=2a+2c=4(√2+1),故C 正确;设△F 1PF 2的内切圆半径为R ,12R (4√2+4)=3,得R=32(√2-1),故D 正确. 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.经过点P (1,4),且在两坐标轴上的截距相反的直线方程是 .4x 或y=x+3,分2种情况讨论:①直线经过原点,则直线l 的方程为y=4x ;②直线不经过原点,设直线方程为x-y=a ,把点P (1,4)代入可得1-4=a ,解得a=-3,即直线的方程为y=x+3.综上可得,直线的方程为y=4x 或y=x+3.14.若双曲线x 2m −y 2m -5=1的一个焦点到坐标原点的距离为3,则m 的值为 .或-2c=3,当双曲线的焦点在x 轴上时,m>5,c 2=m+m-5=9,所以m=7;当双曲线的焦点在y 轴上时,m<0,c 2=-m+5-m=9,所以m=-2.综上,m=7或m=-2.15.如图,过抛物线y 2=4x 的焦点F 作直线,与抛物线及其准线分别交于A ,B ,C 三点,若FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则直线AB 的方程为 ,|AB|= .√3(x-1)163F (1,0),准线方程为x=-1,设C (-1,m ),B (a ,b ),∵FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3FB⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(-2,m )=3(a-1,b )=(3a-3,3b ),则3a-3=-2,m=3b ,即a=13,此时b 2=4×13,得b=-√43=-2√33,即m=-2√3,则C (-1,-2√3),则AB 的斜率k=2√32=√3,则直线方程为y=√3(x-1),代入y 2=4x ,得3x 2-10x+3=0,得x 1+x 2=103,即|AB|=x 1+x 2+2=103+2=163.16.已知点O (0,0),A (4,0),B (0,4).若从点P (1,0)射出的光线经直线AB 反射后过点Q (-2,0),则反射光线所在直线的方程为 ;若从点M (m ,0),m ∈(0,4)射出的光线经直线AB 反射,再经直线OB 反射后回到点M ,则光线所经过的路程是 (结果用m 表示).2y+2=0 √2m 2+32,设点P 1(a ,b )与点P (1,0)关于直线AB 对称,则P 1在反射光线所在直线上,又由A (4,0),B (0,4),则直线AB 的方程为x+y=4,则有{ba -1=1,a+12+b2=4,解得{a =4,b =3,即P 1(4,3), 反射光线所在直线的斜率k=3-04-(-2)=12, 则其方程为y-0=12(x+2),即x-2y+2=0;设点M 1(a 0,b 0)与点M 关于直线AB 对称,点M 2与M 关于y 轴对称,易得M 2(-m ,0); 线段M 1M 2的长度就是光线所经过的路程,则有{b 0a 0-m=1,m+a2+b 02=4,解得{a 0=4,b 0=4-m ,即M 1(4,4-m ),又由M 2(-m ,0),则|M 1M 2|=√(4+m )2+(4-m )2=√2m 2+32.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(10分)已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A (2,4),B (0,-5),C (10,0),线段AC 的垂直平分线为l.(1)求直线l 的方程;(2)点P 在直线l 上运动,当|AP|+|BP|最小时,求此时点P 的坐标.直线AC 的斜率为k AC =4-02-10=-12,所以直线l 的斜率为k 1=2,直线AC 的中点为(6,2),所以直线l 的方程为y-2=2(x-6),即2x-y-10=0.(2)由(1)得点A 关于直线l 的对称点为点C ,所以直线BC 与直线l 的交点即为|AP|+|BP|最小的点.由B (0,-5),C (10,0)得直线BC 的方程为x10+y-5=1,即x-2y-10=0,联立方程{x -2y -10=0,2x -y -10=0,解得{x =103,y =-103,所以点P 的坐标为(103,-103). 18.(12分)已知直线l :ax-y-3a+1=0恒过定点P ,过点P 引圆C :(x-1)2+y 2=4的两条切线,设切点分别为A ,B.(1)求直线AB 的一般式方程;(2)求四边形PACB 的外接圆的标准方程.∵直线l :y-1=a (x-3).∴直线l 恒过定点P (3,1).由题意可知直线x=3是其中一条切线,且切点为A (3,0). 由圆的性质可知AB ⊥PC ,∵k PC =1-03-1=12,∴k AB =-2,所以直线AB 的方程为y=-2(x-3),即2x+y-6=0. (2)由题意知|PC|=√(3-1)2+(1-0)2=√5.∵PA ⊥AC ,PB ⊥BC ,所以四边形PACB 的外接圆是以PC 为直径的圆,PC 的中点坐标为(2,12),所以四边形PACB 的外接圆为(x-2)2+(y -12)2=54.19.(12分)已知F 1,F 2分别是双曲线E :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是双曲线上一点,F 2到左顶点的距离等于它到渐近线距离的2倍, (1)求双曲线的渐近线方程;(2)当∠F 1PF 2=60°时,△PF 1F 2的面积为48√3,求此双曲线的方程.因为双曲线的渐近线方程为bx ±ay=0,则点F 2到渐近线距离为√b 2+a 2=b (其中c 是双曲线的半焦距),所以由题意知c+a=2b.又因为a 2+b 2=c 2,解得b=43a ,故所求双曲线的渐近线方程是4x ±3y=0.(2)因为∠F 1PF 2=60°,由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|cos60°=|F 1F 2|2,即|PF 1|2+|PF 2|2-|PF 1|·|PF 2|=4c 2. 又由双曲线的定义得||PF 1|-|PF 2||=2a ,平方得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1|·|PF 2|=4a 2,相减得|PF 1|·|PF 2|=4c 2-4a 2=4b 2.根据三角形的面积公式得S=12|PF 1|·|PF 2|sin60°=√34·4b 2=√3b 2=48√3,得b 2=48. 由(1)得a 2=916b 2=27,故所求双曲线方程是x 227−y 248=1.20.(12分)已知过抛物线x 2=2py (p>0)的焦点,斜率为√24的直线交抛物线于A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)(x 1<x 2)两点,且|AB|=9. (1)求该抛物线的方程;(2)O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求λ的值.抛物线x 2=2py 的焦点为(0,p2),所以直线AB 的方程为y=√24x+p 2, 联立{y =√24x +p2,x 2=2py ,消去x ,得4y 2-5py+p 2=0,所以y 1+y 2=5p4,由抛物线定义得|AB|=y 1+y 2+p=9,即5p4+p=9,所以p=4.所以抛物线的方程为x 2=8y. (2)由p=4知,方程4y 2-5py+p 2=0, 可化为y 2-5y+4=0,解得y 1=1,y 2=4,故x 1=-2√2,x 2=4√2. 所以A (-2√2,1),B (4√2,4).则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λOB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-2√2,1)+λ(4√2,4)=(-2√2+4√2λ,1+4λ).因为C 为抛物线上一点,所以(-2√2+4√2λ)2=8(1+4λ),整理得λ2-2λ=0,所以λ=0或λ=2.21.(12分)(2021全国乙,文20)已知抛物线C :y 2=2px (p>0)的焦点F 到准线的距离为2. (1)求C 的方程;(2)已知O 为坐标原点,点P 在C 上,点Q 满足PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求直线OQ 斜率的最大值.在抛物线C 中,焦点F 到准线的距离为p ,故p=2,C 的方程为y 2=4x.(2)设点P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).又F (1,0),则PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2-x 1,y 2-y 1),QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1-x 2,-y 2). 因为PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =9QF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,所以x 2-x 1=9(1-x 2),y 2-y 1=-9y 2, 得x 1=10x 2-9,y 1=10y 2.又因为点P 在抛物线C 上,所以y 12=4x 1,所以(10y 2)2=4(10x 2-9), 则点Q 的轨迹方程为y 2=25x-925. 易知直线OQ 的斜率存在.设直线OQ 的方程为y=kx ,当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,斜率取得最大值、最小值.由{y =kx ,y 2=25x -925,得k 2x 2=25x-925,即k 2x 2-25x+925=0,(*)当直线OQ 和曲线y 2=25x-925相切时,方程(*)的判别式Δ=0,即(-25)2-4k 2·925=0,解得k=±13,所以直线OQ 斜率的最大值为13. 22.(12分)如图所示,取同离心率的两个椭圆成轴对称内外嵌套得一个标志,为美观考虑,要求图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等.已知椭圆面积为圆周率与长半轴、短半轴长度之积,即椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)面积为S 椭圆=πab(1)求椭圆的离心率的值;(2)已知外椭圆长轴长为6,用直角角尺两条直角边内边缘与外椭圆相切,移动角尺绕外椭圆一周,得到由点M 生成的轨迹将两椭圆围起来,整个标志完成.请你建立合适的坐标系,求出点M 的轨迹方程.建立如图平面直角坐标系.设外椭圆的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0),∵内外椭圆有相同的离心率且共轴,可得内椭圆长轴为b ,设内椭圆短轴长为b',焦距长为c',得ca =c 'b ,c'=bca ,b'2=b 2-c'2=b 2-b 2c2a 2=b 2(a 2-c 2)a 2=b 4a 2.∴内椭圆的方程为y 2b 2+x 2b 4a 2=1.图中标记的①,②,③三个区域面积彼此相等,由对称性只需S 外=3S 内,即πab=3πb ·b 2a 得a 2=3b 2,即a 2=3(a 2-c 2),故e=√63.(2)同(1)建立如图平面直角坐标系,由于外椭圆长轴为6,∴a=3,又e=√63,∴c=√6,b 2=3. 则外椭圆方程为x 29+y 23=1.设点M (x 0,y 0),切线方程为y-y 0=k (x-x 0),代入椭圆方程得,(1+3k 2)x 2+6k (y 0-kx 0)x+3(y 0-kx 0)2-9=0.∴Δ=36k 2(y 0-kx 0)2-4(1+3k 2)[3(y 0-kx 0)2-9]=0.化简得(x 0-9)k 2-2x 0y 0k+y 02-3=0.∵两条切线互相垂直,∴k 1k 2=-1,即y 02-3x 02-9=-1,即x 02+y 02=12(x 0≠±3).当两切线与坐标轴垂直时,四点(3,±√3),(-3,±√3)也满足方程,∴轨迹方程为x 2+y 2=12.模块综合测验一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件两直线平行,∴斜率相等.即可得ab=4,又因为不能重合,当a=1,b=4时,满足ab=4,但是重合,故“ab=4”是“直线2x+ay-1=0与直线bx+2y-2=0平行”的必要不充分条件.2.如图,四面体S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,则SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.13SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SC ⃗⃗⃗⃗B.23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ C.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14SC ⃗⃗⃗⃗ D.12SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗S-ABC 中,D 为BC 中点,点E 在AD 上,AD=3AE ,∴SE ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA⃗⃗⃗⃗⃗ +13×12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +16AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16(SC ⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )+16(SB ⃗⃗⃗⃗⃗ −SA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=23SA ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SB ⃗⃗⃗⃗⃗ +16SC ⃗⃗⃗⃗ .3.圆P :(x+3)2+(y-4)2=1关于直线x+y-2=0对称的圆Q 的标准方程是( ) A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x+2)2+(y-5)2=1 C.(x-2)2+(y+5)2=1 D.(x-4)2+(y+3)2=1P :(x+3)2+(y-4)2=1,圆心(-3,4),半径1,关于直线x+y-2=0对称的圆半径不变,设对称圆的圆心为(a ,b ),则{a -32+b+42-2=0,b -4a+3=1,解得{a =-2,b =5,所求圆Q 的标准方程为(x+2)2+(y-5)2=1.4.(2021新高考Ⅰ,5)已知F 1,F 2是椭圆C :x 29+y 24=1的两个焦点,点M 在C 上,则|MF 1|·|MF 2|的最大值为( ) A.13 B.12 C.9 D.6|MF 1|+|MF 2|=2a=6,则√|MF 1|·|MF 2|≤|MF 1|+|MF 2|2=3,则|MF 1|·|MF 2|≤9,当且仅当|MF 1|=|MF 2|=3时,等号成立. 故|MF 1|·|MF 2|的最大值为9.故选C .5.坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,若点Q (-1,-1),那么|PQ|的取值范围为( ) A.[√2,3√2] B.[√2,2√2] C.[2√2,3√2] D.[1,3√2]mx+ny-2m-2n=0,可化为m (x-2)+n (y-2)=0,故直线过定点M (2,2),坐标原点O (0,0)在动直线mx+ny-2m-2n=0上的投影为点P ,故∠OPM=90°,所以P 在以OM 为直径的圆上,圆的圆心N为(1,1),半径为√2,根据点与圆的关系,|NQ|=√(1+1)2+(1+1)2=2√2, 故√2=2√2−√2≤|PQ|≤√2+2√2=3√2.6.正确使用远光灯对于夜间行车很重要.已知某家用汽车远光灯(如图)的纵断面是抛物线的一部分,光源在抛物线的焦点处,若灯口直径是20 cm,灯深10 cm,则光源到反光镜顶点的距离是()A.2.5 cmB.3.5 cmC.4.5 cmD.5.5 cmxOy,如图所示,设对应抛物线的标准方程为y2=2px,由题意知抛物线过点(10,10),得100=2p×10,得p=5,=2.5,即焦点坐标为(2.5,0),则p2则光源到反光镜顶点的距离是2.5cm.7.如图,四棱锥S-ABCD 中,底面是正方形,各棱长都相等,记直线SA 与直线AD 所成角为α,直线SA 与平面ABCD 所成角为β,二面角S-AB-C 的平面角为γ,则( ) A.α>β>γ B.γ>α>β C.α>γ>β D.γ>β>αAC ,BD ,交于点O ,连接OS ,则OA ,OB ,OS 两两垂直,以O 为原点,OA 为x 轴,OB 为y 轴,OS 为z 轴,建立空间直角坐标系,设|AB|=2,则S (0,0,√2),A (√2,0,0),D (0,-√2,0),B (0,√2,0),SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√2,0,-√2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√2,-√2,0),SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,-√2),cos α=|SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||SA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√4×√4=12,平面ABCD 的法向量n =(0,0,1),cos β=|n ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n |·|SA⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2√4=√22,设平面SAB 的法向量m =(x ,y ,z ),则{m ·SA ⃗⃗⃗⃗⃗ =√2x -√2z =0,m ·SB⃗⃗⃗⃗⃗ =√2y -√2z =0,取x=1,得m =(1,1,1),cos γ=|m ·n ||m |·|n |=√3=√33,∵cos α<cos γ<cos β,∴α>γ>β.8.设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P.若|PF 1|=√6|OP|,则C 的离心率为( ) A.√5 B.√3 C.2 D.√2|PF 2|=b ,|OF 2|=c ,∴|PO|=a.在Rt △POF 2中,cos ∠PF 2O=|PF 2||OF 2|=bc ,∵在△PF 1F 2中,cos ∠PF 2F 1=|PF 2|2+|F 1F 2|2-|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|=bc ,∴b 2+4c 2-(√6a )22b ·2c=bc ⇒c 2=3a 2,∴e=√3.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对得3分. 9.(2021新高考Ⅰ,11)已知点P 在圆(x-5)2+(y-5)2=16上,点A (4,0),B (0,2),则( ) A.点P 到直线AB 的距离小于10 B.点P 到直线AB 的距离大于2 C.当∠PBA 最小时,|PB|=3√2 D.当∠PBA 最大时,|PB|=3√2,记圆心为M ,半径为r ,则M (5,5),r=4.由条件得,直线AB 的方程为x4+y2=1,整理得x+2y-4=0,过点M 作MN 垂直于直线AB ,垂足为N ,直线MN 与圆M 分别交于点P 1,P 2,圆心M (5,5)到直线AB 的距离|MN|=√12+22=√5,于是点P 到直线AB 的距离最小值为|P 2N|=|MN|-r=√5-4,最大值为|P 1N|=|MN|+r=√5+4.又√5-4<2,√5+4<10,故A 正确,B 错误;过点B 分别作圆的两条切线BP 3,BP 4,切点分别为点P 3,P 4,则当点P 在P 3处时∠PBA 最大,在P 4处时∠PBA 最小.又|BP 3|=|BP 4|=√|BM |2-r 2=√52+(5-2)2-42=3√2,故C,D 正确.故选A,C,D .10.若a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,则λ的值为( ) A.17 B.-17 C.-1 D.1a =(-1,λ,-2),b =(2,-1,1),a 与b 的夹角为120°,∴cos120°=a ·b|a |·|b |=√5+λ2·√6,解得λ=-1或λ=17.11.已知P是椭圆C:x 26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则()A.C的焦距为√5B.C的离心率为√306C.圆D在C的内部D.|PQ|的最小值为2√55c=√6-1=√5,则C的焦距为2√5,e=√5√6=√306.设P(x,y)(-√6≤x≤√6),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x 26=56(x+65)2+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为√45−√15=√55.12.已知直线l过点P(1,0,-1),平行于向量a=(2,1,1),平面α过直线l与点M(1,2,3),则平面α的法向量可能是()A.(1,-4,2)B.(14,-1,12)C.(-14,1,-12) D.(0,-1,1),所研究平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和向量PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 而PM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2,3)-(1,0,-1)=(0,2,4),选项A,(2,1,1)·(1,-4,2)=0,(0,2,4)·(1,-4,2)=0满足垂直,故正确;选项B,(2,1,1)·(14,-1,12)=0,(0,2,4)·(14,-1,12)=0满足垂直,故正确;选项C,(2,1,1)·(-14,1,-12)=0,(0,2,4)·(-14,1,-12)=0满足垂直,故正确;选项D,(2,1,1)·(0,-1,1)=0,但(0,2,4)·(0,-1,1)≠0,故错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.过点(1,√2)的直线l将圆x2+y2-4x=0分成两段弧,当劣弧所对圆心角最小时,直线l的斜率k=.。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

第一章综合测试一、单选题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{}|13A x x =-＜＜，{}|2B x x =＞，则A B =U （ ）A .(1,3)-B .(2,3)C .(1,)-+¥D .(2,)+¥2.下列全称量词命题中真命题的个数是（ ）①2[2,)20x x x "Î+¥--，＞；②210x x "Î+R ，…；③所有的梯形都有一组对边平行；④{}{}{},,,,x a b c x a b c "Î，Þ.A .1B .2C .3D .43.设集合{}{}|12|A x x B x x a ==＜＜，＜，若A B Í，则实数a 的取值范围是（ ）A .{}|2a a ≥B .{}|1a a ≤C .{}|1a a ≥D .{}|2a a ≤4.命题“20,210x x x "-+＞＞”的否定是（ ）A .20210x x x $-+＞，≤B .20210x x x "-+＞，≤C .20210x x x $-+≤，≤D .20210x x x "-+≤，≤5.记全集{}{}{}1,2,3,4,5,6,7,81,2,3,52,4,6U M N ===，，，则图中阴影部分所表示的集合是（）A .{}4,6,7,8B .{}2C .{}7,8D .{}1,2,3,4,5,66.已知集合{1,1,4}B =-，则满足条件M B ÆÍÞ的集合M 的个数为（ ）A .3B .6C .7D .87.设集合{(,)|,}{(,)|20}{(,)|0}U x y x y M x y x y m N x y x y n =ÎÎ=-+=+-R R ，＞，≤，那么点()()2,3U M N ÎI ð的充要条件是（）A .1,5m n -＞＜B .1,5m n -＜＜C .1,5m n -＞＞D .1,5m n -＜＞8.已知全集U =R ，集合{|23}M x x =-≤≤，{|24}N x x x =-＜或＞，那么集合()()U U M N I ðð等于（ ）A .{|34}x x ＜≤B .{|34}x x x ≤或≥C .{|34}x x ≤＜D .{|13}x x -≤≤9.已知,M N 为集合I 的非空真子集，且,M N 不相等，若()I N M =ÆI ð，则M N U 等于（ ）A .MB .NC .ID .Æ二、多选题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）10.已知集合,{|(2)0}A B x x x ==-Z ≤，则下列元素是集和合A B I 中元素的有（ ）A .1B .0C .2D .2-E .1-11.设全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,3,4}S =，则U S Êð（ ）A .{}5B .{}1,2,5C .{2,3,4}D .ÆE .{}3,412.定义集合运算：{|()()}A B z z x y x y x A y B Ä==+´-ÎÎ，，，设{A B ==，，则（ ）A .当x =y =时，1z =B .x 可取两个值，y 可取两个值，()()z x y x y =+´-对应4个式子C .A B Ä中有4个元素D .A B Ä中所有元素之和为4E .A B Ä的真子集有7个三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上）13.设集合{}2{0,1,2,3}|0U A x U x mx ==Î+=，，若{1,2}U A =ð，则实数m =________.14.设:2p x ＞或2,:23x q x ＜＞或1x -＜，则p Ø是q Ø的________条件.15.已知集合{|260,}{|,}{|5}A x x x B x x a x R C x x =-Î=Î=R ＞，≥，≤，若(){|45}A B C x x =≤≤I I ，则实数a 的值是________.16.若命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，则实数a 的取值范围是________.四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）设集合{|4}{|12}{|13}U x x A x x B x x ==-=≤，≤≤，≤≤.求：（1）()U A B Èð；（2）()()U U A B Çðð.18.（12分）已知集合{}223,1,{3,21,+1}{3}A a a B a a a A B =-+=--=-，，I .（1）求实数a 的值；（2）写出集合A 的所有非空真子集.19.（12分）已知集合{|24},{|0}A x x B x x m =-=-＜＜＜.（1）若3m =，全集U A B =U ，试求()U A B I ð；（2）若A B =ÆI ，求实数m 的取值范围；（3）若A B A =I ，求实数m 的取值范围.20.（12分）已知m ÎR ，命题:[0,1]22p x m x "Î-，≥，命题:[1,1]q x m x $Î-，≤.（1）若p 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 与q 一真一假，求实数m 的取值范围.21.（12分）设集合{}{222|280|120}A x x x B x x ax a =--==++-=，，且A B A =U ，求满足条件的a 组成的集合.22.（12分）设,x y ÎR ，求证||||||x y x y +=+成立的充要条件是0xy ≥.第一章综合测试答案解析一、单选题1.【答案】C【解析】Q 集合{13}{|2}A x B x x =-=＜＜，＞，{}|1A B x x \=-＞U ，故选C .2.【答案】C【解析】①中，2x =时，220x x --=，故220x x --＞不成立，为假命题；易知②③④均为真命题.故选C .3.【答案】A【解析】若A B Í，则利用数轴可知2a ≥.故选A .4.【答案】A【解析】含有量词的命题的否定，一改量词：将“"”改为“$”，二否结论将：“＞”改为“≤”，条件不变，故选A .5.【答案】C【解析】题图中阴影部分可表示为()U M N U ð，且{1,2,3,4,5,6}M N =U ，所以(){7,8}U M N =U ð.故选C .6.【答案】C【解析】由题意可知集合M 是集合B 的非空子集，集合B 中有3个元素，因此非空子集有7个.故选C .7.【答案】A【解析】()(2,3)U M N ÎQ I ð，(2,3)M \Î，且(2,3)N Ï，则2230230m n ´-+ìí+-î＞，＞，解得15.m n -ìíî＞，＜故选A .8.【答案】A【解析】{| 2 3}U M x x x =-Q ＜或＞ð，{|24}U N x x =-≤≤ð，()(){|34}U U M N x x \=＜≤I ðð.故选A .9.【答案】A【解析】()U N M =ÆI ð，所以N M Í（如图），所以M N M =U ，故选A .二、多选题10.【答案】ABC【解析】由(2)0x x -≤得02x ≤≤，即{|02}B x x =≤≤，所以{0,1,2}A B =I .故选ABC .11.【答案】AD【解析】易得}S {5U =ð，其子集为{5}和Æ.故选AD .12.【答案】BE【解析】当x y ==0z =´=，A 错误；由于A =，{B =，则()()z x y x y =+-对应1)1)1+´-=，0+´=，1)1)2´=，1´=四个式子，B 正确；由集合中元素的互异性，得集合A B Ä有3个元素，元素之和为3，C 、D 错误；集合A B Ä中的真子集个数为3217-=，E 正确.故选BE .三、填空题13.【答案】3-【解析】{0,1,2,3},{1,2}U U A ==Q ð，{0,3}A \=，即方程20x mx +=的两根为0和3，3m \=-.14.【答案】充分不必要【解析】由题意得2:2,:123p x q x ØØ-≤≤≤≤，p q \ØÞØ，但q p ØØ¿，p \Ø是q Ø的充分不必要条件.15.【答案】4【解析】由题意得集合{}|3A x x =＞，{|,}B x x a x =ÎR ≥，而(){|45}A B C x x =≤≤I I ，所以4a =.16.【答案】(,1][0,)-¥-+¥U 【解析】若对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞，则2160a a =+△＜，即160a -＜＜；若对于任意实数x ，都有2210x ax -+＞，则2440a =-△＜，即11a -＜＜，故命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是真命题时，(1,0)a Î-，而命题“对于任意实数x ，都有240x ax a +-＞且2210x ax -+＞”是假命题，故(,1][0,)a Î-¥-+¥U .四、解答题17.【答案】（1）{|4},{|12}U x x A x x ==-Q ≤≤≤，{| 1 24}U A x x x \=-＜或＜≤ð.{}|13B x x =Q ≤≤()A B {| 1 14}U x x x \=<-或≤≤U ð.（2）{|4},{|13}U x x B x x ==Q ≤≤≤，{| 1 34}U B x x x \=＜或＜≤ð，()(){| 1 34}U U A B x x x \=-＜或＜≤I ðð18.【答案】（1）{3}A B =-Q I ，3B \-Î33a \-=-或213a -=-或213a +=-（无解），解得0a =或1a =-.当0a =时， {3,1,0},{3,1,1}A B =-=--，{3,1}A B =-I ，不合题意，舍去；当1a =-时，{3,0,1}A =-，{4,3,2}B =--，{3}A B =-I ，符合题意.\实数a 的值为1-.（2）由（1）知集合{3,0,1}A =-，\集合A 的所有非空真子集有：{}{}{}{}{}{}3103,13,01,0---，，，，，.19.【答案】当3m =时，由于0x m -＜得3x ＜，{|3}B x x \=＜.{|4}U A B x x \==＜U ，{|34}U B x x \=≤＜ð(){|34}U A B x x \=≤＜I ð.（2）{|24}A x x =-Q ＜＜，{|}B x x m =＜，又A B =ÆI ，2m \-≤，∴实数m 的取值范围是2m -≤.（3）{|24},{|}A x x B x x m =-=Q ＜＜＜，由A B A =I ，得A B Í，4m \≥∴实数m 的取值范围是4m ≥.20.【答案】（1）[0,1],22x m x "Î-Q ≥，22m x \-≥在[0,1]x Î上恒成立，max (22)0m x \-=≥，即p 为真命题时，实数m 的取值范围是0m ≥.（2）[1,1],,1x m x m $Î-\Q ≤≤，即命题q 为真命题时，1m ≤.Q 命题p 与q 一真一假，∴p 真q 假或p 假q 真.当p 真q 假时，0,1,m m ìíî≥＞即1m ＞；当p 假q 真时，0,1,m m ìíî＜≤，即0m ＜.综上所述，命题p 与q 一真一假时，实数m 的取值范围为0m ＜或1m ＞.21.【答案】由题意得{4,2}A =-，A B A =Q U ，B A\ÍB \可能为Æ或{4}或{}2-或{4,2}-.①当B =Æ时，方程22120x ax a ++-=无实数根，()2224123480a a a \=--=-+△＜，即2160a -＞，4a \-＜或4a ＞；②当{4}B =时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根4，223480164120a a a ì=-+=ï\í++-=ïî△，，无解；③当{2}B =-时，方程22120x ax a ++-=有两个相等的根2-，223480,42120,a a a ì=-+=ï\í-+-=ïî△解得4a =；④当{4,2}B A =-=时，方程22120x ax a ++-=与2280x x --=是同一个方程，22,128,a a =-ìï\í-=-ïî解得2a =-.综上所述，满足条件的a 组成的集合为{|442}a a a a -=-＜或≥或.22.【答案】①充分性：若0xy ≥，则有0xy =和0xy ＞两种情况，当0xy =时，不妨设0x =，则x y y +=，x y y +=，\等式成立.当0xy ＞时，00x y ＞，＞或00x y ＜，＜，当00x y ＞，＞时，x y x y +=+，x y x y +=+.等式成立.当00x y ＜，＜时，()x y x y +=-+，x y x y +=+，∴.等式成立.综上，当0xy ≥时，x y x y +=+成立.②必要性：若x y x y +=+，且,x y ÎR .则22()x y x y +=+，即222222||x xy y x y x y ++=++×，xy xy \=，xy \≥综上可知，0xy ≥是等式x y x y +=+成立的充要条件.。

1.1.1集合及其表示方法第一章集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1集合及其表示方法考点1元素与集合的概念1.(2019·江西临川一中高一期中)下列所给对象不能组成集合的是()。

A.一个平面内的所有点B.所有小于零的实数C.某校高一(1)班的高个子学生D.某一天到某商场买过货物的顾客答案：C解析：A.“一个平面内的所有点”的标准确定,能组成集合;B.“所有小于零的实数”的标准确定,能组成集合;C.“某校高一(1)班的高个子学生”的标准不确定,因而不能组成集合;D.“某一天到某商场买过货物的顾客”的标准确定,能组成集合。

2.(2019·北京通州区高一期中)把“notebooks”中的字母组成一个集合,则该集合中的元素个数是()。

A.5B.6C.7D.8答案：C3.已知集合S={a,b,c}中的三个元素是△ABC的三边长,那么△ABC一定不是()。

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形答案：D4.(2019·丹东东港二中检测)已知集合A={2,-1},集合B={m2-m,-1},且A=B,则实数m等于()。

A.2B.-1C.2或-1D.4答案：C5.由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有( )。

A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素答案：A解析： ∵√x 2=|x |,-√x 33=-x ,|x |=±x ,∴由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有2个元素。

故选A 。

【易错点拨】集合中的元素必须是互异的,求解出集合中的参数,必须代入集合中一一检验元素的互异性。

考点2元素与集合的关系6.(2019·山东德州高一(上)期中)已知方程x 2-16=0的解是集合A 中的元素,则下列关系不正确的是( )。

A.4∈AB.{-4}∈AC.-4∈AD.4∈A 且-4∈A 答案：B7.(2019·北京朝阳区陈经纶中学高一(上)期中)已知集合A ={x |x (x -1)=0},那么( )。

高中数学必修一同步训练及解析1．下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．② C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x <－x －3的解集为________．答案：{x |x <－x －3}(或{x |x <－32})4．集合A ＝{x ∈N|2x 2－x －1＝0}用列举法表示为__________．解析：解方程2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－12.又因为x ∈N ，则A ＝{1}．答案：{1}[A 级 基础达标]1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，但a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.2．设集合M ＝{x ∈R|x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈M C ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0， 故26<3 3.所以a ∈M .3．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确． 答案：35．已知x 2∈{1,0，x }，则实数x ＝________.解析：∵x 2∈{1,0，x }，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x . ∴x ＝±1或x ＝0.但当x ＝0或x ＝1时，不满足元素的互异性． ∴x ＝－1. 答案：－16．设集合B ＝{x ∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,3,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．[B 级 能力提升]7．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选B.∵x ∈{2,3,4}且x ∉{2,4,6}，∴x ＝3.8．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4， 故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________． 解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z}；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z}．11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围． 解：(1)∵方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个解，若a ＝0，则x ＝－12；若a ≠0，则Δ＝0，解得a ＝1，此时x ＝－1. ∴a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素． (2)①A 中只有一个元素时，a ＝0或a ＝1.②A 中有两个元素时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1且a ≠0.综上，a ≤1.高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是( ) A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R}C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}解析：选D.∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集，A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．A B C ．B A D ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立． 3．下列关系中正确的是________． ①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}． 解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②. 答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}[A 级 基础达标]1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2 B ．b ＝3，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝3 D ．b ＝2，c ＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1. 答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集． 解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级 能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3， ∴A ＝{2,3}． 答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合． 解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}， 得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}． 当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}．11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围． 解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}解析：选D.如图所示．A ∩B ＝{x |x >1}∩{x |－1<x <2}＝{x |1<x <2}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________.解析：M∩N＝{1,4}，M∩P＝{4,7}，所以(M∩N)∪(M∩P)＝{1,4,7}．答案：{1,4,7}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥2[A级基础达标]1．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.3．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：35．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知，a>－1.答案：a>－16．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求：A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}＝{x |－2<x <3}，B ＝{m |3>2m －1}＝{m |m <2}．用数轴表示集合A ，B ，如图．∴A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．[B 级 能力提升]7．设A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}，B ＝{－2，－1}，则必有( ) A ．A ⊇B B ．A ⊆B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：选D.A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}＝{(－2，－1)}是点集，B ＝{－2，－1}是数集，所以A ∩B ＝∅.8．若集合A ＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B ＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C ＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A解析：选D.参加2012年奥运会的运动员是参加2012年奥运会的男运动员和女运动员的总和，即A ＝B ∪C .9．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________． 解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个． 答案：410．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值． 解：由题意得M ＝{2}．(1)当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}， 则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N . ∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 11．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围． 解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2. 答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |－4≤y ≤0}， ∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}． 答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．[B 级 能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |－3≤x ≤4} B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}． 8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U ＝{0,1,2,3}， ∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}，∴方程x 2＋mx ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝3， ∴0＋3＝－m ，即m ＝－3. 答案：－310．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，求A ，B .解：如图所示，由图可得A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2.高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ， x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxC ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝x解析：选C.A ：f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同． B ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同．C ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．D ：f (x )＝|x |，g (x )＝x ，对应法则不相同．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x (－2≤x ≤4，x ∈Z)的值域为________．解析：∵－2≤x ≤4，x ∈Z ，∴x 取－2，－1,0,1,2,3,4.可知y 的取值为8,3,0，－1,0,3,8，∴值域为{－1,0,3,8}． 答案：{－1,0,3,8}[A 级 基础达标]1．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的有( ) ①②③A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选B.①中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数之外，还有另外的数，如无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；③中实数集除整数、分数之外，还有无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；②符合题干要求．2．函数y ＝31－1－x的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B.由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0.即得x ≤1且x ≠0，故选B.3．区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8} 答案：C4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．解析：y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)． 答案：[0,1)5．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .(x ≠0，且x ≠1)答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1)6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2x －1－3－x ＋1；(2)f (x )＝4－x 2x ＋1.解：(1)要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤3⇔12≤x ≤3.∴f (x )的定义域是[12，3]．(2)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠－1 ⇔{x |－2≤x ≤2，且x ≠－1}．∴f (x )的定义域是[－2，－1)∪(－1,2]．[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：选A.f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1. 8．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同．9．已知函数f (x )对任意实数x 1，x 2，都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立，则f (0)＝________，f (1)＝________.解析：令x 1＝x 2＝0，有f (0×0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0； 令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. 答案：0 010．求下列函数的值域． (1)y ＝x ＋1；(2)y ＝xx ＋1.解：(1)因为函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0，∴x ＋1≥1.所以函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)．(2)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. 所以函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1， (1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值； (3)求f (x )的值域．解：(1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11， 即(a ＋4)(a －3)＝0. ∴a ＝－4或a ＝3.(3)∵f (x )＝x 2＋x －1＝(x ＋12)2－54≥－54，∴f (x )的值域为[－54，＋∞)．高中数学必修一同步训练及解析1．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12)D ．(－1,0) 答案：D2．已知一次函数的图象过点(1,0)，和(0,1)，则此一次函数的解析式为( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x ＋1解析：选D.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.3．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：324．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－1[A 级 基础达标]1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－3xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 答案：B2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B. 4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________. 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2， ∴x ＝1. 答案：1 15．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意，知长方体的宽为x cm ，长为(10＋x ) cm ，则根据长方体的体积公式，得y ＝(10＋x )x ×80＝80x 2＋800x .所以y 与x 之间的表达式是y ＝80x 2＋800x (x >0)． 答案：y ＝80x 2＋800x (x >0)6．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )． 解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[B 级 能力提升]7．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 8.已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是( ) A ．(－3,3)；(－2,2) B ．[－3,3]；[－2,2] C ．[－2,2]；[－3,3] D ．(－2,2)；(－3,3)解析：选B.结合f (x )的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________． 解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1.由于x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)10．2012年，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦举行，其门票价格从20英磅到2000英磅不等，但最高门票：7月27日开幕式的贵宾票，价格高达2012英磅，折合人民币21352元，是2008年北京奥运会门票的四倍．为鼓励伦敦青少年到现场观看比赛，伦敦奥组委为伦敦市的14000名学生提供了一次免费门票机会，16岁以下青少年儿童的门票价格比最低价门票还要优惠些，有些比赛项目则无需持票观看，如马拉松、三项全能和公路自行车比赛均向观众免费开放．某同学打算购买x 张价格为20英磅的门票(x ∈{1,2,3,4,5}，需用y 英磅，试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数． 解：解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}． 列表法：图象法：11．作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋2，|x |≤3；(2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)． (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516B ．－2716C.89 D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________.答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________． 答案：21[A 级 基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2. 答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)；(3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14；(2)f (14)＝2×14＝12；(3)f (4)＝422＝8；(4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2，当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6.综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6.[B 级 能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)． 设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？ 解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元， 由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)． 所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级 基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________． 解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]． 答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间． 解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级 能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间． 解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________． 解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级 基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级 能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？ 解：设总长为b ， 由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________. 解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：1[A 级 基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数 解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32.答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )， 即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：136．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －1＋1－x ； (2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |， 定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称． 当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )， 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )． 则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级 能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( ) A ．f (x )≤2 B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数． 又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)， 且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________． 解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0.。

练习四函数的单调性一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上递增的是（）B．C．D．A．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的单调递增区间是____________.8．已知函数在是增函数，则,,的大小关系是__________________________.9．函数的单调递增区间是_______.10．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则________.三、解答题11. 证明函数在上是增函数.12．判断函数在区间上的单调性，并给出证明．13．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．能力题14．若函数在上是单调递增函数，求的取值范围.15．讨论函数在内的单调性.练习四一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．设，且，则，则.，∴∴.∴在上是增函数.12．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则，则．，∴，，，∴，∴在区间上的单调递增.13．函数在上是减函数，且,∴解得. ∴的取值范围是.能力题14．在上是单调增函数,∴ ，解得∴.15．，对称轴.∴若，则在上是增函数；若，则在上是减函数，在上是增函数；若，则在上是减函数.练习五函数的奇偶性一、选择题1．若是奇函数，则其图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）B．C．D．A．4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-55. 已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数是奇函数，，则的值为____________ .8．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为__________________________.9．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是 .10．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3)； (4)； (5).12．判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间. 能力题14．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．与的取值无关若函数15．已知是奇函数，是偶函数，且在公共定义域上有，求的解析式. 练习五一、选择题二、填空题 7． 8． 9．10． 三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ∴函数的减区间是和，增区间是和.13．二次函数的图象关于轴对称，∴，则，函数的单调递增区间为.能力题14．B (提示: 是定义在上的偶函数,且在上是增函数,∴在上是减函数，.,∴，因此. )15．得 .练习六一次函数与二次函数一、选择题1．已知一次函数，满足，，则（）D．A．B．C．2．下列关于函数，的结论正确的是（）A．递增函数B．递减函数C．最小值是2 D．最大值是53．函数的值域为（）A．B．C．D．4. 若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．5. 若二次函数图象关于轴对称，则函数的单调增区间为 ( )A．B．C．D．6.函数上是单调递增的奇函数，则( )A．B．C．D．二、填空题7．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴方程是_________ .8．已知定义域为，则实数的区值范围是 .9．已知，则直线一定不经过第象限.10．已知是一次函数的图象与轴交点的横坐标，又二次函数的图象与轴有交点则.三、解答题11. 已知二次函数：（1）求它的图象顶点坐标和与轴交点的坐标；（2）作出它的图象；（3）求点关于图象对称轴的对称点的坐标.12．已知函数判断该函数的奇偶性，并求该函数的最小值及单调区间.13．写出二次函数在区间上的最大值和最小值.能力题14．设函数，已知且，求实数的取值范围.15．已知，为常数，且，，且，方程有相等实根.（1）求函数的解析式，函数的最大值，并比较与的大小.若，判断的奇偶性，并证明你的结论.练习六一、选择题二、填空题7．，8．9．三10．三、解答题11．（1）顶点坐标，与轴交点的坐标，；（2）略；（3）二次函数图象对称轴为，∴点关于图象对称轴的对称点为，即.12．偶函数，，单减区间和；单增区间和. 13．当时，；当时，；当时，；当时,.能力题14．，即由于，，代入上式又有可解得的取值范围是.15．（1）由，得；由方程有相等实根，得，并且，即，由得，∴，，∴，故是奇函数.练习七函数的应用一、选择题t01．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）2．某商店卖、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价%，同时商品连续两次降价%，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ） A ．多赚元 B ． 少赚元 C ．多赚元 D ．利益相同3．拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由给出，其中，是大于或等于的最小整数，(如，，)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（ ）A ．B ．C ．D ．4．有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元， 销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元6．抛物线型拱桥的跨度是米，拱高是米，建桥时每隔米用一根支柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题7．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长%，粮食总产量平均每年增长%，那么年后若人均一年占有千克粮食，则函数关于的解析式是______________________.8．某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过，票价是元，如果超过，超过部分按元定价，则客运票价元与行程公里数之间的函数关系式是．9．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒．10．某商人将彩电先按原价提高%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是元.三、解答题11．把长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若求此框架围成平面图形的面积与之间的函数关系式，并求其定义域.12．经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间（）的函数，且销售量近似地满足（，）；前天价格为（，），后天的价格为（，），试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系．13．某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格．经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？能力题14．某宾馆有相同标准的床位张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过元时，床位可以全部租出，当床位高于元时，每提高元，将有张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把表示成的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？15．经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：（1）开讲后分钟与开讲后分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要的接受能力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？练习七一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．.,由,有.12．13．设（），由解得所以．设利润为，则有所以，当时有最大值为元．能力题14．（1）由已知有，令解得且．所以函数的定义域为．（2）当时，显然当时，取得最大值为（元）；当时，，仅当时，取最大值．又因为，所以当时，取得最大值，最大值为元．比较两种情况的最大值，所以当床位定价为元时净收入最多．15．，，所以．所以开讲后分钟学生的接受能力比开讲后分钟强．当时，，所以是增函数，．当时，是递减的函数，所以，故开讲后钟学生达到最强的接受能力，并维持分钟．当时，令，解得．当时，令，解得则．因此，学生达到或超过的接受能力的时间分钟，小于分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．练习九指数与指数函数一、选择题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．将根式化成分数指数幂为（）C．D．A．B．3．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林％，则第四年造林（）A．亩B．亩C．亩D．亩4．曲线分别是指数函数的图象,则与的大小关系是 ( )A．B．C．D．5．若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题7．函数是指数函数，则的取值为 . 8．比较下列各组数的大小:(1)______ ; (2) ______;(3)______9．函数的定义域是．10．若，则 .三、解答题11．化简12．已知函数的定义域是，求的取值范围.13．设，是上的偶函数．求的值；证明在上是增函数．能力题14. 已知，当该函数的值域为时，求的取值范围．15. 已知，判断的奇偶性；证明．练习九一、选择题二、填空题7．8．> > >9．10．三、解答题11．.12．由，得，因为定义域为，所以. 13．因为是上的偶函数，所以，即，解得，因为所以．在上任取，且，则，因为且，所以，即，且，所以式，即．所以在上是增函数．能力题14．设，则，即．因为，所以，所以．15．任取且，则．因为所以是偶函数．当时，，即，所以．所以，所以．因为是偶函数，所以当时，．所以当且时，都有.练习十对数与对数函数一、选择题1．若，那么用表示是（）A．B．C．D．2．若等于（）C．D．A．B．3．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减6．已知，为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．使对数式有意义的的取值范围是．8．比较大小； 1；0；0；；.9．函数与的图像关于对称．10．函数的值域是__________.三、解答题11．已知函数的定义域是，函数的定义域是，确定集合、的关系？12．已知函数在区间上的最大值是最小值的倍，求的值．13．已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围．能力题14．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．15．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性和单调性．练习十一、选择题二、填空题7．且8．9．轴10．三、解答题11．∵或，,∴．12．∵函数在区间上是减函数，∴．13．（1）函数的定义域是；（2）当时，；当时，．能力题14．（1）恒成立，则，得．（2）须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即．15．（1）函数的定义域为；（2）∵，∴为奇函数；在上为减函数．练习十一幂函数一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2．所有幂函数的图象都通过点（）A．B．C．D．3．函数在区间上的最大值是（）B．A．C．D．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B．y = xC．y = x2 D．y = x3+15．当时，函数与函数的图象（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称6．若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．R D．二、填空题7．函数的定义域是．8．比较大小；；.9．已知幂函数的图象经过点，这个函数的解析式为．10．已知幂函数，若，则幂函数在区间上是增函数；若，则幂函数在区间上是减函数．三、解答题11．比较下列两个代数式值的大小：（1），；（2），12．已知函数f (x) =-2.（1）求f (x) 的定义域；（2）证明函数f (x) =-2在 (0，+∞)上是减函数.13．已知幂函数轴对称，试确定的解析式.能力题14．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，写出图象，，，相应的解析式.15．求证：函数在R上为奇函数且为增函数.练习十一一、选择题二、填空题7．8．9．10．，三、解答题11．；≤12．（1）f (x) 的定义域是｛x∈R| x≠0｝；（2）设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1-x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =-2- (-2) =-=.因为x2- x1 = -x >0，x1x2 >0 , 所以y >0.因此 f (x) =-2是 (0，+∞)上的减函数.13．由能力题14．：；：；：；：15．∵，∴在R上为奇函数.设x1，x2是R上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1- x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =, 因为，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.所以y<0.因此函数在R上为增函数.。

2.1.3 方程组的解集最新课程标准：(1)全用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组．(2)能灵活解二元二次方程组.知识点 方程组的解集方程组中,由两个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．状元随笔 当方程组中未知数的个数大于方程的个数时,方程组的解集可能有无穷多个元素,此时,如果将其中一些未知数看成常数,那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来． [基础自测]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1x －y ＝3的解集是( )A ．{2,－1}B ．{(2,－1)}C ．{－2,1}D ．{(－2,1)}解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1 ①x －y ＝3 ②①＋②得2x ＝4,∴x＝2, 代入①得y ＝－1. 答案：B2．若x,y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8，则x ＋y 的值是( )A ．5B ．－1C ．0D ．1解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝7，x ＋2y ＝8.①②方法一 ②×2－①,得3y ＝9,解得y ＝3. 把y ＝3代入②,得x ＝2. 所以x ＋y ＝2＋3＝5.方法二 由①＋②,得3x ＋3y ＝15. 化简,得x ＋y ＝5.故选A. 答案：A3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x x 2＋y 2＝2的解集是( )A ．(±1,±1)B ．{(±1,±1)}C ．{(－1,－1),(1,1)}D ．(－1,－1),(1,1)解析：⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x x 2＋y 2＝2①②把①代入②得2x 2＝2,∴x 2＝1 x ＝±1,y ＝±1. 答案：C4．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －z ＝0， ①y ＋z －x ＝7， ②z ＋x －y ＝9 ③的解集为________．解析：①＋②＋③得x ＋y ＋z ＝16 ④ ④－①,得z ＝8； ④－②,得x ＝4.5； ④－③,得y ＝3.5.所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(4.5,3.5,8)}． 答案：{(x,y,z)|(4.5,3.5,8)}题型一 n 元一次方程组[经典例题] 例1 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 3＝y 4＝z 5，x －y ＋2z ＝18.①②【解析】 设x 3＝y 4＝z5＝k(k 为常数,k≠0),则x ＝3k,y ＝4k,z ＝5k.将它们代入②中,得3k －4k ＋10k ＝18,解得k ＝2. 所以x ＝6,y ＝8,z ＝10,所以原方程组的解集为{(x,y,z)|(6,8,10)}．状元随笔 n 元一次方程组主要指二元和三元一次方程组,主要用加减消元法和代入消元法求解．一、选择题1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，3x ＋5y ＝8的解集为( )A ．{1,1}B ．{(x,y)|x ＝1,y ＝1}C ．{2,－1}D ．{(x,y)|x ＝2,－1}解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝33x ＋5y ＝8①②①×5－②得7x ＝7,∴x＝1. 代入①得y ＝1. 答案：B2．方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＋7＝06x ＋12y ＋5＝0的解集为( )A ．{－1,2}B ．{(x,y)|(－1,2)}C ．{2,－1}D ．{(x,y)|(2,－1)} 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2y ＋7＝06x ＋12y ＋5＝0①②①＋②×4得27x ＋27＝0,得x ＝－1. 代入①得y ＝2. 答案：B3．方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝13x 2－2x －y 2＝－4的解集为( )A ．{(x,y)|(3,5),(－1,－3)}B ．{(x,y)|(3,5)}C ．{(x,y)|(－1,3)}D ．{(x,y)|(3,5),(3,－1)}解析：⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝13x 2－2x －y 2＝－4①②由①得y ＝2x －1,代入②得 3x 2－2x －(2x －1)2＝－4 整理得x 2－2x －3＝0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1y ＝－3.解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝2，y －z ＝3，z ＋x ＝1.①②③①＋②,得x －z ＝5,④将③④组成方程组⎩⎪⎨⎪⎧z ＋x ＝1，x －z ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，z ＝－2.把x ＝3代入①,得y ＝1. 故原方程组的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1，z ＝－2.代入3x ＋my ＋2z ＝0,得9＋m －4＝0, 解得m ＝－5. 答案：－57．若方程组⎩⎪⎨⎪⎧2a －3b ＝13，3a ＋5b ＝30.9的解集为{(a,b)|(8.3,1.2)},则方程组⎩⎪⎨⎪⎧2(x ＋2)－3(y －1)＝13，3(x ＋2)＋5(y －1)＝30.9，的解集为________．解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝8.3，y －1＝1.2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6.3，y ＝2.2.答案：{(x,y)|(6.3,2.2)} 三、解答题8．解下列三元一(二)次方程组： (1)⎩⎪⎨⎪⎧ z ＝y ＋x ，2x －3y ＋2z ＝5，x ＋2y ＋z ＝13.①②③(2)⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋3y ＋z ＝11，x ＋y ＋z ＝0，3x －y －z ＝－2.①②③(3)⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋xy ＝12，xy ＋y 2＝4.①②解析：(1)将①代入②、③,消去z,得⎩⎪⎨⎪⎧4x －y ＝5，2x ＋3y ＝13.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3.把x ＝2,y ＝3代入①,得z ＝5.由⎩⎪⎨⎪⎧3x －4y ＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4y ＝－3.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0x 2＋y 2＝25得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝4.所以原方程组的解集为{(x,y)|(4,3),(－4,－3),(4,－3),(－3,4)}．。