函数的概念及表示(讲义及答案)

专题3.1函数概念及其表示【知识储备】1．函数的概念一般地，设A ，B 是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x 在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的定义域、值域(1)在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．必备技巧函数的概念(1)函数的定义要求第一个非空数集A 中的任何一个元素在第二个非空数集B 中有且只有一个元素与之对应，即可以“多对一”，不能“一对多”，而B 中有可能存在与A 中元素不对应的元素．(2)构成函数的三要素中，定义域和对应关系相同，则值域一定相同．同一函数只需判断定义域和对应关系即可.一、单选题1．若函数()y f x =的定义域M ＝{x |22x -≤≤}，值域为N ＝{y |02y ≤≤}，则函数()y f x =的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】A 中定义域是{x |－2≤x ≤0}，不是M ＝{x |－2≤x ≤2}，故错误；C 中图象不表示函数关系，因为存在一个x 对应两个y ，不满足函数定义；D 中值域不是N ＝{y |0≤y ≤2}.只有B 中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：B.2．设{}{}|02,|12M x x N y y =≤≤=≤≤，给出下列四个图形，如下图所示，其中能表示从集合M 到N 的函数关系的有()个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】由函数的定义知，①不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；②不能表示集合M 到N 的函数关系，因为图中y 的范围是[0，2]；③不能表示集合M 到N 的函数关系，因为对于一个x ，可能有两个y 值与之对应；④能表示集合M 到N 的函数关系.故满足题意的有④，共1个.故选：A.3．函数y =13x -的定义域为（）A ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．(－∞，3)∪(3，＋∞)C ．3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭(3，＋∞)D ．(3，＋∞)【答案】C【解析】要使函数y =＋13x -有意义，则所以x x -≥-≠⎧⎨⎩23030，解得32x ≥且3x ≠，所以函数y =＋13x -的定义域为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭∪(3，＋∞).故选：C.4．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A ．2()1x xf x x +=+与()1g x x =-B ．()2f x x =与()g x =C ．()f x =()2g x =D ．y =y =【答案】B【解析】A 中，()f x 的定义域为{|1}x x ≠-，()g x 的定义域为R ，故A 错误；B 中，()2()g x x f x ==，B 正确；C 中，()f x 的定义域为R ，()g x 的定义域为[0,)+∞，故C 错误；D 中，y =[1,)+∞，由210x -≥可得y =(,1][1,)∞∞--⋃+，D 错误.故选：B5．已知函数()f x 与x 的值对应如下表，x 123456()f x 51015202530那么函数()y f x =的定义域为（）A ．{}1,2,3,4,5,6B ．{}15,20,25,30C ．{}1,2,3,4D ．{}4,5,6【答案】A【解析】由题意知：函数()y f x =的定义域为{}1,2,3,4,5,6.故选：A.6．下列关于函数与区间的说法正确的是（）A ．函数定义域必不是空集，但值域可以是空集B ．函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了C ．数集都能用区间表示D ．函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应【答案】D【解析】对于A ，函数的定义域和值域均为非空数集，A 错误；对于B ，若函数的定义域和值域均为R ，对应法则可以是y x =，也可以是2y x =，B 错误；对于C ，自然数集无法用区间表示，C 错误；对于D ，由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应，D 正确.故选：D.7．已知函数()1f x x x=+，则()()1010f f -+的值是（）．A ．20-B ．0C ．1D ．20【答案】B【解析】()1=10+=10.11010f ，()1=10+=10.01101f ----则()()10.110.110010f f -=-+=+故选：B8．已知函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，则()2f -等于（）A ．4-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】由题意，函数32231f x x x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭，令221x =--，解得0x =，令0x =，可得()20f -=.故选：D.9．已知函数()()()F x f x g x =+，其中()f x 是x 的正比例函数，()g x 是x 的反比例函数，且119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则(2)F =（）A ．3B ．8C ．9D ．16【答案】C【解析】根据题意设(),()mf x kxg x x ==，则()()()m F x f x g x kx x=+=+，因为119,(1)93F F ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以131939k m k m ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得36k m =⎧⎨=⎩，所以6()3F x x x =+，所以6(2)3292F =⨯+=，故选：C10．已知t R ∈，函数()2,23,2x f x x t x ⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩，若((9))4=f f ，则t =（）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】B【解析】因为()921f ==，所以()1134422f t t =-+=⇒=-=，故选：B11．函数()21xy x e =-的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 由题意，函数()()21x f x x e =-，因为()10f =，即函数()f x 的图象过点(1,0)，可排除A 、B 项；又因为2(2)30f e --=>，可排除D 项，故选：C.12．设函数221,1()3,1x x f x x x x ⎧-≤=⎨+->⎩，则1(2)f f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为（）A ．1516B ．89C ．2716-D ．18【答案】B【解析】22111118()()1()1(2)2233399f f f f ⎛⎫===-=-= ⎪+-⎝⎭，故选：B 13．某高中生周末自主学习时，进行了一次数学探究活动，他将一天的日期与星期用有序数对表示，比如某个月10日，11日是周末，就分别用(10,6)和(11,7)表示，然后在平面直角坐标系内描出对应的点.他查阅了某年七月份的日历，利用数学软件在平面直角坐标系内描出了31个点，经过思考，他构造了函数()f x ，使得这些点都在()f x 的图象上，若(4)1f =，则下列叙述正确的是（）A ．该月12日是星期二，有五天是星期二B ．该月12日是星期一，有四天是星期二C ．该月23日是星期六，有五天是星期六D ．该月23日是星期二，有四天是星期二【来源】安徽省阜阳市2021-2022学年高三上学期期末教学质量统测文科数学试题【答案】C【解析】由题意及(4)1f =可知，7月4日是星期一，列表如下：星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日12345678910111213141516171819202122232425262728293031可知选项C 正确.故选：C.14．设函数，若()()()20f f a f a -+=，则实数a 的值为（）A1B ．1-C 1D ．1+【答案】B【解析】令()f a t =，()()()20f f a f a -+=，则()2f t t =-1°0t ≤时，222t t t +=-，则220t t ++=无解．2°0t >时，22t t -=-，∴1t =，∴()1f a =0a ≤时，221a a +=，则1a =；0a >时，21a -=无解综上：1a =.故选：B ．15．已知函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，若()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．2B ．516C ．6D ．172【答案】A【解析】因为函数202()282x x x f x x x ⎧+<<=⎨-+≥⎩，，，且()(2)(0,)f a f a a ∞=+∈+，，当02a <<时，()2228a a a +=-++，即2340a a +-=，解得4a =-或1a =，当2a ≥时，()28228a a -+=-++，无解，综上：1a =，所以()112f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故选：A16．设函数()()22230x a x f x x x a x ⎧-≤⎪=⎨-++>⎪⎩，，，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是()A ．[﹣1，2]B ．()1,2-C ．[)0,2D ．[0，2]【答案】D【解析】由题意，不妨设2()()g x x a =-，2()23h x x x a =-++，①当0a <时，由一元二次函数的性质可知，2()()g x x a =-在[,0]a 上单调递增，故对于[,0]x a ∀∈，()()(0)(0)f x g x g f =<=，这与(0)f 是函数()f x 的最小值矛盾；②当0a =时，2()g x x =，22()23(1)2h x x x x =-+=-+，由一元二次函数的性质可知，2()g x x =在(,0]-∞单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，()()(0)(0)0f x g x g f =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x ==-+=-+在1x =时取得最小值2，从而当0a =时，满足(0)f 是函数()f x 的最小值；③当0a >时，由一元二次函数性质，2()()g x x a =-在(,0]-∞上单调递减，故对于(,0]x ∀∈-∞，2()()(0)(0)f x g x g f a =>==，当0x >时，22()()23(1)2f x h x x x x a ==-+=-++在1x =时取得最小值2a +，若使(0)f 是函数()f x 的最小值，只需22a a ≤+且0a >，解得，02a <≤.综上所述，实数a 的取值范围是[0,2].故选：D.17．已知函数()()1,1,,1xa x x f x a x ⎧-≤=⎨>⎩在x ∈R 上有最大值，那么实数a 的取值范围为（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意可知()f x 在区间(],1-∞上是增函数，在区间()1,+∞上是减函数，且最大值在1x =处取得则01,10,1,a a a a <<⎧⎪->⎨⎪-≥⎩∴102a <≤.故选：D18．定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，2()(2)f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2023)f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．336B ．338C ．337D ．339【答案】B【解析】：因为当13x -< 时，()f x x =，所以(0)0f =，f （1）1=，f （2）2=，又因为()()6f x f x +=，所以函数的周期为6，f （6）(0)0f ==，当31x -<- 时，2()(2)f x x =-+，所以f （3）(3)1f =-=-，f （4）(2)0f =-=，f （5）(1)1f =-=-，所以f （1）f +（2）f +（3）f +（4）f +（5）f +（6）1=，故f （1）f +（2）f +（3）()()()()()()()(2023)337123456f f f f f f f f +⋯+=++++++（1）338=．故选：B ．19．设函数1121f x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，则()f x 的表达式为（）A ．()111x xx +-≠B ．()111x xx +-≠C ．()111xxx +≠--D ．()211xx x ≠-+【答案】B 【解析】令()111t t x=+≠，则可得11x t =-()1t ¹所以()()211111t f t t t t +=+=-≠-，所以()()111xf x x x +-≠=故选：B 20．已知22,0()32,0x x f x x x ⎧-=⎨->⎩，若()f x ax 在[1,1]x ∈-上恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(,1][0,)-∞-+∞B ．[0,1]C ．[1,0]-D ．(1,0)-【答案】C【解析】作出()y f x =，y ax =在[]1,1-上的图象如下图所示：因为()f x ax 在[]1,1x ∈-上恒成立，所以()y f x =的图象在y ax =的图象的上方（可以部分点重合），且()1121f -=-=，令320x -=，所以23x =，所以()21,1,,03A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，根据图象可知：当y ax =经过点()1,1A -时，a 有最小值，min 1a =-，当y ax =经过点2,03B ⎛⎫⎪⎝⎭时，a 有最大值，max 0a =，综上可知a 的取值范围是[]1,0-，故选：C.二、填空题21．已知函数()f x 对于任意的正实数x ，y 满足()()()f xy f x f y =+，且()31f =，则()81f =______．【答案】4【解析】由题可知()()()9332f f f =+=，()()()81994f f f =+=．故答案为：4.22．函数22()1x f x x =+，则11(1)(2)(3)(2012)23f f f f f f ⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12012f ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=_______．【答案】40232或2011.5【解析】∵2222222111()()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=++=+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭，且1(1)2f =∴1114023(1)(2)(3)(2012)2320122f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦故答案为：40232．23．已知函数()25,24,2x x f x x m x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩．若[5f f =，则m =______．【答案】3【解析】由已知752f =-=．((2)25f f f m ==+=，3m =，故答案为：3．24．设函数()()11010(2)x x x xf x ⎧⎪-=≥⎨<⎪⎪⎪⎩，若()f a a =，则实数a 的值为_____．【答案】1-【解析】由题意知，()f a a =；当0a ≥时，有112a a -=，解得2a =-(舍去)；当0a <时，有1a a=，解得1a =(舍去)或1a =-．所以实数a 的值是：1a =-．故答案为：1-.25．已知函数()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则((4))f f =_____.【答案】98或1.125【解析】∵()()31,11)x x f x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，()142f ∴=，因此，()()311941228f f f ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为：98.26．已知函数(21)y f x =+的定义域为[]1,2-，则函数(1)=-y f x 的定义域为_________.【来源】辽宁省沈阳市第二中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题【答案】[]0,6【解析】函数(21)y f x =+的定义域为[]12-，，即12x -≤≤，所以1215x -≤+≤，所以115x -≤-≤，即06x ≤≤，所以函数的定义域为[]0,6.故答案为：[]0,6.27．若函数()f x =R ，则实数a 的取值范围是__________．【答案】[0,4)【解析】()f x 的定义域是R ，则210ax ax ++>恒成立，0a =时，2110ax ax ++=>恒成立，0a ≠时，则20Δ40a a a >⎧⎨=-<⎩，解得04a <<，综上，04a ≤<．故答案为：[0,4)．28．函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则实数a 的取值范围为__________．【答案】[2,4]【解析】当1x >时，21632x a x +-28833312222x a a a x x =++-≥=-，当且仅当28x x=即2x =时取等号，函数()2291163,12x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨+->⎪⎩，，若()()1f x f ≥恒成立，则()()1221a f f ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即12312102a a a ⎧≥⎪⎪⎨⎪-≥-⎪⎩，解得24a ≤≤，故答案为：[2,4].29．若方程()()(]2,,21,,x x t f x x x t ∞∞⎧∈+⎪=⎨-∈-⎪⎩，若方程()3f x =无解，则实数t 的取值范围是______．2t ≤<【解析】当t =x t ≤时，()2113f x x =-≤<，当x t >时，方程()223f x x t =>=，方程()3f x =无解,当2t ≥时，x t ≤时，()2121f x x t =-≤-，方程()3f x =有解2x =,不符合题意.当t <时，x t ≤时，()212113f x x t =-≤-<-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()22,f x x t x =>=时，方程()3f x =有解,不符合题意.2t <<时，x t ≤时，()21213f x x t =-≤-<,()3f x =无解，当x t >时，方程()223f x x t =>>时，方程()3f x =无解.综上，方程()3f x =无解，则实数t2t ≤<.2t ≤<30．设0a >，(),3313,333x a a x a f x x a x a x a ⎧+-<<⎪=⎨+≤-≥⎪⎩或，若()()1f x f x -<恒成立，则实数a 的取值范围是______.【答案】10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】(),3,33,313,3313,3333x a a x a x a a x a x a a x a f x x a x a x a x a x a x a ---<<-⎧⎧+-<<⎪+-≤<⎪⎪==⎨⎨+≤-≥⎪⎪+≤-≥⎩⎪⎩或或作出函数()y f x =的图像，向右平移一个单位得到()1y f x =-的图像，如图所示.要使()()1f x f x -<恒成立，必有()91a a ---<，即18a <，又0a >，所以108a <<.故答案为：10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭。

函数的概念及其表示方法一、函数的基本概念（一）函数的有关概念设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数，记作)(x f y =， x ∈A其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(（⊆B ）叫做函数y=f(x)的值域。

函数符号)(x f y =表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f .(1)函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应 B A f →:这里 A, B 为非空的数集.（2）A ：定义域；B ：值域，其中{}A x x f ∈|)( ⊆ B ；f ：对应法则 ， x ∈A ， y ∈B（3）函数符号：)(x f y = ↔y 是 x 的函数，简记 )(x f（二）已学函数的定义域和值域1．一次函数b ax x f +=)()0(≠a ：定义域R, 值域R;2．反比例函xk x f =)()0(≠k ：定义域{}0|≠x x , 值域{}0|≠x x ; 3．二次函数c bx ax x f ++=2)()0(≠a ：定义域R值域：当0>a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≥a b ac y y 44|2；当0<a 时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤a b ac y y 44|2 （三）函数的值：关于函数值 )(a f例：)(x f =2x +3x+1 则 f(2)=22+3×2+1=11注意：1︒在)(x f y =中f 表示对应法则，不同的函数其含义不一样2︒)(x f 不一定是解析式，有时可能是“列表”“图象”3︒)(x f 与)(a f 是不同的，前者为变数，后者为常数（四）函数的三要素： 对应法则f 、定义域A 、值域{}A x x f ∈|)(只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数（五）区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示．【定义域补充】求函数的定义域时列不等式组的主要依据是（1）分式的分母不等于零；（2）偶次方根的被开方数不小于零；（3）对数式的真数必须大于零;（4）指数、对数式的底数必须大于零且不等于1.（5）如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零（7）实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域.)例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(.变式：求下列函数的定义域：①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x11111++ ④x x x x f -+=0)1()( ⑤373132+++-=x x y例2 若函数aax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例3 已知函数)(x f =32x -5x+2，求f(3), f(-2), f(a+1).变式：已知f (x )=x 2-1 g (x )=1+x 求f [g (x )]例4下列函数中哪个与函数x y =是同一个函数？ ⑴()2x y =；⑵33x y =；⑶2x y =例5 下列各组中的两个函数是否为相同的函数？ ①3)5)(3(1+-+=x x x y 52-=x y ②111-+=x x y )1)(1(2-+=x x y ③21)52()(-=x x f 52)(2-=x x f【抽象函数定义域的求法】 例6 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域变式：若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求f （x+1）、f （2x ）的定义域；若函数y=f （x -1）的定义域为[-1，1]，求f （x ）的定义域二、函数的表示法【知识要点】1、常用的函数表示法及各自的优点（1）函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x 轴的直线与曲线最多有一个交点。

函数的概念及表示知识点1：函数的概念1.函数的定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A 中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B 的一个函数，通常记为：y＝f(x)，x∈A.其中，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域.2.规律方法：(1)判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A、B必须是非空数集；A 中任何一个元素在B中必须有元素与其对应；A中任一元素在B中必有唯一元素与其对应．(2)函数的定义中“每一个元素”与“有唯一的元素y”说明函数中两变量x，y的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．考点1：函数的判定典型例题例1 判断下列对应f是否为从集合A到集合B的函数．(1)A＝N，B＝R，对于任意的x∈A，x→±x；(2)A＝R，B＝N*，对于任意的x∈A，x→|x－2|；(3)A＝{1,2,3}，B＝R，f(1)＝f(2)＝3，f(3)＝4；(4)A＝[－1,1]，B＝{0}，对于任意的x∈A，x→0.例2 下列从集合A到集合B的对应关系中，不能构成从A到B的函数的是________．(只填序号)①集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝x2；②集合A＝{x|2≤x≤3}，B＝{y|4≤y≤7}，f：x→y＝3x－2；③集合A＝{x|1≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤3}，f：x→y＝－x＋4；④集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，f：x→y＝4－x2；⑤集合A＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，B＝R，对任意(x，y)∈A，f：(x，y)→x＋y.知识点2：函数的图像1.概念：将自变量的一个值x0作为横坐标，相应的函数值f(x0)作为纵坐标，就得到坐标平面上的一个点(x0，f(x0))，当自变量取遍函数定义域A中的每一个值时，就得到一系列这样的点，所有这些点组成的集合(点集)为{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有这些点组成的图形就是函数y＝f(x)的图象．2.作函数图像的方法：（1）利用描点法作函数图象的基本步骤：求定义域→化简解析式→列表→描点→连线（2）在画定义域为某一区间的函数图象时，要注意端点值的画法，闭区间画实心点，开区间画空心圈．考点1：画函数的图象 典型例题例1 作下列函数的图象(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)； (2)y ＝2x (－2≤x <1，且x ≠0)．(3)y ＝1＋x (x ∈Z)； (4)y ＝x 2－2x ，x ∈[0,3)．考点2：函数图象的识别例1 设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是________．(填序号)例2 如图所示，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝ax ＋b (a ≠0)的图象可能是________(填序号)．考点3：函数图象的应用例1 画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域；(4)若关于x的方程f(x)＝k在[－1,2]内仅有一个实根，求k的取值范围．例2 若方程－x2＋3x－m＝3－x在x∈(0,3)内有唯一解，求实数m的取值范围．考点4：函数图像在实际问题中的应用例1 某商场销售一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系(见表)：(1)在所给的坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；(2)设销售此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润？知识点3：函数的定义域1.概念：函数的定义域是指自变量x的范围2.函数定义域的求解方法：(1)若()x f为整式，则定义域为R.(2)若()x f是分式，则其定义域是分母不为0的实数集合(3)若()x f 是偶次根式，则其定义域是使根号下式子不小于0的实数的集合； (4)若()x f 是由几部分组成的，其定义域是使各部分都有意义的实数的集合； (5)实际问题中，确定定义域要考虑实际问题. 考点1：具体函数定义域求解 例1 求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =⑶01(21)111y x x =+-++-考点2：抽象函数定义域求解例1 设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；例 2 若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x+的定义域为 .例3 已知()x f 的定义域为[]1,0，求函数()⎪⎭⎫⎝⎛++=342x f x f y 的定义域.例4 已知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围.知识点4：函数的值域1.概念：函数的值域指因变量y 的范围2.函数值域的求解方法： （1）观察法 （2）判别式法 （3）配方法 （4）换元法 （5）不等式法 （6）图像法 （7）分离常数法 考点1：用观察法求值域 例1 求下列函数的值域：（1）2415+-=x x y （2）123422--+-=x x x x y考点2：用配方法求值域例1 求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域.考点3：用反解+判别式法求值域例1 求函数3274222++-+=x x x x y 的值域考点4：用换元法求值域 例1 求函数12--=x x y 的值域考点5：用不等式法求值域例1 求函数()22415≥+-=x x x y 的值域考点6：用图像法求值域 例1 求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈例2 画出函数[]5,1,642∈+-=x x x y 的图像，并根据其图像写出该函数的值域。

函数的定义及表示知识讲解一、函数1.函数的概念概念：设集合A 是一个非空数集，对A 中的任意的数x ，按照确定的法则f ，都有唯一确定的数y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 上的一个函数．记作()yf x ，xA 其中x 叫做自变量．自变量取值的范围（数集A ）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作()y f a ，所有函数值构成的集合{()}y yf x xA ，叫做这个函数的值域．2.函数的三要素：定义域，值域，对应法则3.函数的表示法1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．4.求函数定义域注意事项1）分式的分母不应为零； 2）零的零次幂没有意义；3）开偶次方根的被开方数大于或者等于零； 4）对数式的真数大于零； 5）()=tan f x x 的定义域为{|}2x xk kZ ππ，；6）复合函数求定义域要保证复合过程有意义，最后求它们的交集．5.分段函数定义：若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．6.复合函数定义：若()∈，(),x a bu m n∈，那么[()]y f u=，(),=，()u g xy f x称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是()g x的值域．注意：函数的定义域必须写成集合或区间的形式．二、映射，是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B 定义：设A B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作()f x，于是()y f xx称为y的原象，映射f也可记为：:f A B()x f xf x构成的集合叫做映射f的其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象()f A．值域．通常记作()、以及对应法则，三者缺一不可；:f A B，集合A中每一个元素映射三要素：集合A B在集合B中都有唯一的元素与之对应，从A到B的对应关系为一对一或多对一，绝对不可以一对多，但也许B中有多余元素．三、函数求解析式1.换元法2.方程组法四、函数求值域1.直接法（分析观察法）2.函数单调性法：确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域．3.配方法：二次函数或可转化为二次函数的函数常用此方法来还求解，但在转化的过程中要注意等价性，特别是不能改变定义域．对于形如2y ax bx c (0)a或2()[()]()F x a f x bf x c (0)a类的函数的值域问题，均可使用配方法．4.分离常数法：当分式中分子分母都函数由参数时．可以采用分离常数法．5.换元法（代数/三角）：对于解析式中含有根式或者函数解析式较复杂的这类函数，可以考虑运用代数或三角代换，将所给函数化成值域简单的熟悉的容易确定的基本函数，从而求得原函数的值域． 对形如的函数，令；形如的函数，令；形如含的结构的函数，可利用三角代换，令，或令．6.判别式法：在函数定义域为R 时，把函数转化成关于的二次方程()0F x y ，；通过方程有实数根，判别式，从而求得原函数的值域．对形如21112222a xb xc ya xb xc （1a 、2a 不同时为零）的函数的值域，通常转化成关于x 的二次方程，由于方程有实根，即从而求得y 的范围，即值域．值得注意的是，要对方程的二次项系数进行讨论．注意：主要适用于定义在R 上的分式函数，但定义在某区间上时，则需要另行讨论．7.基本不等式法：利用基本不等式求函数值域， 其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值．8.数形结合法：如果所给函数有较明显的几何意义（如两点间距离，直线的斜率）或当一个函数的图象易于作出时，可借助几何图形的直观性来求函数的值域．()1y f x =()f x t=,,,,0)y ax b a b c dac =+±≠均为常数t =[]cos ,0,x a θθπ=∈sin ,,22x a ππθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦x 0∆≥0≥∆经典例题一．选择题（共12小题）1．（2017秋•潮南区期末）下列图形中，不能表示以x 为自变量的函数图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：B 中，当x ＞0时，y 有两个值和x 对应，不满足函数y 的唯一性， A ，C ，D 满足函数的定义， 故选：B ．2．（2017秋•大观区校级期中）已知集合P={x |0≤x ≤4}，集合N={y |0≤y ≤2}，下列从P 到N 的各对应关系f 不是函数的是（ ） A ．f ：x→y=12xB ．f ：x→y=13xC ．f ：x→y=23xD ．f ：x→y=√x【解答】解：f ：x→y=12x ，是函数，f ：x→y=13x ，是函数，f ：x→y=23x ，不是函数，4→23×4=83∉N ；f ：x→y=√x ，是函数， 故选：C ．3．（2017秋•定远县期中）下列各式中，表示y 是x 的函数的有（ ） ①y=x ﹣（x ﹣3）； ②y=√x −2+√1−x ； ③y={x −1(x ＜0)x +1(x ≥0) ④y={0(x 为有理数)1(x 为实数).．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【解答】解：根据函数的定义，当自变量x 在它的允许取值范围内任意取一个值，y 都有唯一确定的值与之对应，故①③表示y 是x 的函数；在②中由{x −2≥01−x ≥0知x ∈∅，因为函数定义域不能是空集，所以②不表示y 是x的函数；在④中若x=0，则对应的y 的值不唯一，可以等于0，也可以等于1，所以④不表示y 是x 的函数． 故选：C ．4．（2017秋•凉州区校级期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．y=x 与y=√x 2B ．y=2lgx 与y=lgx 2C ．y =√x 33与y=xD ．y=x ﹣1与y=x 2−1x+1【解答】解：要表示同一个函数，必须有相同的对应法则，相同的定义域和值域， 观察四个选项，得到A 答案中两个函数的对应法则不同，B 选项中两个函数的定义域不同，C 选项中两个函数相同，D 选项中两个函数的定义域不同， 故选：C ．5．（2017秋•鹰潭期末）下列四组函数中，表示同一函数的是（ ） A ．f （x ）=|x |，g （x ）=√x 2B ．f （x ）=lg x 2，g （x ）=2lg xC ．f （x ）=x 2−1x−1，g （x ）=x +1D ．f （x ）=√x +1•√x −1，g （x ）=√x 2−1【解答】解：对于A ，∵g （x ）=√x 2=|x|，f （x ）=|x |，∴两函数为同一函数； 对于B ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＞0}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于C ，函数f （x ）的定义域为{x |x ≠1}，而函数g （x ）的定义域为R ，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数；对于D ，函数f （x ）的定义域为{x |x ＞1}，而函数g （x ）的定义域为{x |x ＜﹣1或x ＞1}，两函数定义域不同，∴两函数为不同函数． 故选：A ．6．（2018春•天心区校级期末）定义运算a*b ，a ∗b ={a(a ≤b)b(a ＞b)，例如1*2=1，则函数y=1*2x的值域为（）A．（0，1）B．（﹣∞，1）C．[1，+∞）D．（0，1]【解答】解：当1≤2x时，即x≥0时，函数y=1*2x=1当1＞2x时，即x＜0时，函数y=1*2x=2x1，x≥0∴f（x）={2x，x＜0由图知，函数y=1*2x的值域为：（0，1]．故选：D．7．（2018春•海州区校级期末）若函数y=√ax2+2ax+3的值域为[0，+∞），则a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．[3，+∞）C．（﹣∞，0]∪[3，+∞）D．（﹣∞，0）∪[3，+∞）【解答】解：由题意：函数y=√ax2+2ax+3是一个复合函数，要使值域为[0，+∞），则函数f（x）=ax2+2ax+3的值域要包括0，即最小值要小于等于0．则有：{a＞0f(−1)≤0⇒{a＞0a−2a+3≤0解得：a≥3所以a的取值范围是[3，+∞）．故选：B．8．（2017秋•沂南县期末）若f（lnx）=3x+4，则f（x）的表达式是（）A．3e x+4B．3lnx+4C．3lnx D．3e x【解答】解：设lnx=t则x=e t∴f（t）=3e t+4∴f（x）=3e x+4故选：A．9．（2017秋•潮南区期末）若f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，则f（2）的值为（）A．1B．﹣1C．﹣32D．32【解答】解：∵f（x）满足关系式f（x）+2f（1x）=3x，∴{f(2)+2f(12)=6，①f(12)+2f(2)=32，②，①﹣②×2得﹣3f（2）=3，∴f（2）=﹣1，故选：B．10．（2017秋•咸阳期末）已知函数f（x+1）=3x+2，则f（x）的解析式是（）A．f（x）=3x+2B．f（x）=3x+1C．f（x）=3x﹣1D．f（x）=3x+4【解答】解：设t=x+1，∵函数f（x+1）=3x+2=3（x+1）﹣1∴函数f（t）=3t﹣1，即函数f（x）=3x﹣1故选：C．11．（2017秋•尖山区校级期末）已知f（x﹣2）=x2﹣4x，那么f（x）=（）A．x2﹣8x﹣4B．x2﹣x﹣4C．x2+8x D．x2﹣4【解答】解：由于f（x﹣2）=x2﹣4x=（x2﹣4x+4）﹣4=（x﹣2）2﹣4，从而f（x）=x2﹣4．故选：D．12．（2017秋•潮南区期末）已知函数f（x）=√3x−13ax2+ax−3的定义域是R，则实数a的取值范围是（）A．a＞13B．﹣12＜a≤0C ．﹣12＜a ＜0D ．a ≤13【解答】解：由a=0或{a ≠0△=a 2−4a ×(−3)＜0可得﹣12＜a ≤0， 故选：B ．二．填空题（共7小题）13．（2017春•陆川县校级期末）已知函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2），函数g （x ）=f （x ﹣1）+f （3﹣2x ）．则函数g （x ）的定义域为 [0，2） ． 【解答】解：由函数y=f （x 2﹣1）的定义域为（﹣2，2）， 得：﹣1≤x 2﹣1＜3，故函数f （x ）的定义域是[﹣1，3）， 故﹣1≤x ﹣1＜3，﹣1≤3﹣2x ＜3， 解得：0≤x ＜2，故函数g （x ）的定义域是[0，2）， 故答案为：[0，2）．14．（2017•重庆模拟）设函数f （x ）={log 2(−x2)，x ≤−1−13x 2+43x +23，x ＞−1，若f （x ）在区间[m ，4]上的值域为[﹣1，2]，则实数m 的取值范围为 [﹣8，﹣1] ． 【解答】解：函数f （x ）的图象如图所示，结合图象易得 当m ∈[﹣8，﹣1]时， f （x ）∈[﹣1，2]．故答案为：[﹣8，﹣1]．15．（2018•榆林三模）已知二次函数f （x ）=ax 2+2x +c （x ∈R ）的值域为[0，+∞），则a+1c +c+1a的最小值为 4 ． 【解答】解：由题意知，a ，＞0，△=4﹣4ac=0，∴ac=1，c ＞0，则a+1c +c+1a =a c +1c +c a +1a =（a c +c a ）+（1a +1c）≥2+2√1ac =2+2=4，当且仅当a=c=1时取等号．∴a+1c +c+1a的最小值为4．16．（2017秋•南阳期中）函数f （x ）=x ﹣√1−x 的值域是 （﹣∞，1] ．【解答】解：设√1−x =t ，则t ≥0，f （t ）=1﹣t 2﹣t ，t ≥0，函数图象的对称轴为t=﹣12，开口向下，在区间[0，+∞）上单调减，∴f （t ）max =f （0）=1，∴函数f （x ）的值域为（﹣∞，1]．故答案为：（﹣∞，1]．17．（2017秋•天心区校级期末）已知函数f （x +1）=3x +2，则f （x ）的解析式是 f （x ）=3x ﹣1 ．【解答】解：令x+1=t，则x=t﹣1，∴f（t）=3（t﹣1）+2=3t﹣1，∴f（x）=3x﹣1．故答案为f（x）=3x﹣1．18．（2017秋•清河区校级期中）已知a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b=1．【解答】解：∵a、b为实数，集合M={ba，1}，N={a，0}，f：x→x表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，∴1通过映射可得1∈N，解得a=1，b a →ba∈N，可得ba=0，解得b=0，∴a+b=1，故答案为1；19．（2018•开封一模）f(x)={2e x−1，x＜2log3(x2−1)，x≥2.则f（f（2））的值为2．【解答】解：由题意，自变量为2，故内层函数f（2）=log3（22﹣1）=1＜2，故有f（1）=2×e1﹣1=2，即f（f（2））=f（1）=2×e1﹣1=2，故答案为2三．解答题（共1小题）20．（2016春•江阴市期末）已知函数f （x ）满足f （x +1）=lg （2+x ）﹣lg （﹣x ）．（1）求函数f （x ）的解析式及定义域；（2）解不等式f （x ）＜1．【解答】解：（1）由已知令t=x +1，则f （t ）=lg （t +1）﹣lg （1﹣t ）， 即f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）；由{x +1＞01−x ＞0得到﹣1＜x ＜1，所以函数定义域为（﹣1，1）； （2）f （x ）=lg （x +1）﹣lg （1﹣x ）=lg 1+x 1−x ＜1，即{1+x 1−x ＜10−1＜x ＜1，解得﹣1＜x ＜911．。

函数及其表示（一）知识梳理1．映射的概念设B A 、是两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射,记作f(x).2．函数的概念(1)函数的定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对A 中的 任意数 x ，在集合B 中都有 唯一确定 的数y 和它对应，则这样的对应关系叫做从A 到B 的一个函数，通常记为___y=f(x),x ∈A(2)函数的定义域、值域在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值， 对于的函数值的集合所有的集合构成值域。

(3)函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应法则3．函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法（1）．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系；（2）．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。

4．分段函数在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

（二）考点分析考点1：判断两函数是否为同一个函数如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，称这两个函数相等。

考点2：求函数解析式方法总结：（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；（2）若已知复合函数)]([x g f 的解析式，则可用换元法或配凑法；（3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出)(x f1.2函数及其表示练习题（2）一、选择题1. 判断下列各组中的两个函数是同一函数的为（ ） ⑴3)5)(3(1+-+=x x x y ，52-=x y ； ⑵111-+=x x y ，)1)(1(2-+=x x y ；⑶x x f =)(，2)(x x g =；⑷()f x =()F x = ⑸21)52()(-=x x f ，52)(2-=x x f .A. ⑴、⑵B. ⑵、⑶C. ⑷D. ⑶、⑸2. 函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ）A. 1B. 0C. 0或1D. 1或23. 已知集合{}{}421,2,3,,4,7,,3A k B a a a ==+，且*,,a N x A y B ∈∈∈ 使B 中元素31y x =+和A 中的元素x 对应，则,a k 的值分别为（ ）A. 2,3B. 3,4C. 3,5D. 2,54. 已知22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x 的值是（ ）A. 1B. 1或32C. 1，32或 D.5. 为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ）A. 沿x 轴向右平移1个单位B. 沿x 轴向右平移12个单位 C. 沿x 轴向左平移1个单位 D. 沿x 轴向左平移12个单位 6. 设⎩⎨⎧<+≥-=)10()],6([)10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13二、填空题1. 设函数.)().0(1),0(121)(a a f x xx x x f >⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 2. 函数422--=x x y 的定义域 . 3. 若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -，且函数的最大值为9，则这个二次函数的表达式是 .4.函数0y =_____________________. 5. 函数1)(2-+=x x x f 的最小值是_________________.三、解答题1.求函数()f x =.2. 求函数12++=x x y 的值域.3. 12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根，又2212y x x =+，求()y f m =的解析式及此函数的定义域.4. 已知函数2()23(0)f x ax ax b a =-+->在[1,3]有最大值5和最小值2，求a 、b 的值.参考答案（2）一、选择题 1. C 2. C 3. D 4. D∴2()3,12,f x x x x ===-<<而∴ x =5. D 平移前的“1122()2x x -=--”，平移后的“2x -”， 用“x ”代替了“12x -”，即1122x x -+→，左移 6. B [][](5)(11)(9)(15)(13)11f f f f f f f =====.二、 1.(),1-∞- 当10,()1,22a f a a a a ≥=-><-时，这是矛盾的； 当10,(),1a f a a a a<=><-时； 2. {}|2,2x x x ≠-≠且 240x -≠3. (2)(4)y x x =-+- 设(2)(4)y a x x =+-，对称轴1x =， 当1x =时，max 99,1y a a =-==-4. (),0-∞ 10,00x x x x -≠⎧⎪<⎨->⎪⎩ 5. 54- 22155()1()244f x x x x =+-=+-≥-. 三、 1. 解：∵10,10,1x x x +≠+≠≠-，∴定义域为{}|1x x ≠-2. 解： ∵221331(),244x x x ++=++≥∴y ≥，∴值域为)+∞ 3. 解：24(1)4(1)0,30m m m m ∆=--+≥≥≤得或，222121212()2y x x x x x x =+=+-224(1)2(1)4102m m m m =--+=-+∴2()4102,(03)f m m m m m =-+≤≥或.4. 解：对称轴1x =，[]1,3是()f x 的递增区间，max ()(3)5,335f x f a b ==-+=即min ()(1)2,32,f x f a b ==--+=即∴3231,.144a b a b a b -=⎧==⎨--=-⎩得。

1.函数1.1函数的定义例1．下列图形中不是函数图象的是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数的概念，A中有的x，存在两个y与x对应，不符合函数的定义，而CBD均符合．故选：A．变式1．设M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，给出下列四个图形（如图所示），其中能表示从集合M到集合N的函数关系的图象是（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意知：M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤3}，对于图①中，在集合M中区间（1，2]内的元素没有象，比如f（）的值就不存在，所以图①不符合题意；对于图②中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，符合函数的对应法则，故②正确；对于图③中，对于M中任意一个元素，N中有唯一元素与之对应，且这种对应是一一对应，故③正确；对于图④中，集合M的一个元素对应N中的两个元素．比如当x＝1时，有两个y值与之对应，不符合函数的定义，故④不正确故选：C．例2．设函数y＝f（x）满足f（x+1）＝f（x）+1，则函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能是（）A．0B．1C．0或无数个D．无数个【解答】解：∵f（x+1）＝f（x）+1，∴f（x+1）﹣f（x）]＝（x+1）﹣x，∴＝1，即该函数的斜率为1，而y＝x的斜率也为1，∴两直线平行或重合，∴函数y＝f（x）与y＝x图象交点的个数可能没有交点或有无数个，故选：C．变式1．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，在同一坐标系下，函数y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点个数为（）A．0个B．1个C．2个D．0个或者2个【解答】解：∵1∈[﹣2，2]，∴由函数的定义可得：函数f（x）在定义域[﹣2，2]上，任一x均有唯一的函数值与之对应，则在同一坐标系中，y＝f（x）的图象与直线x＝1的交点的个数为1个．故选：B．1.2 同一函数的判断例3．下列各组函数中f（x）和g（x）表示相同的函数的是（）A．f（x）＝lgx2，g（x）＝2lgxB．f（x）＝x，g（x）＝C．f（x）＝1（x∈R且x≠0），g（x）＝D．f（x）＝x，g（x）＝【解答】解：A．f（x）＝lgx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lgx的定义域为{x|x＞0}，定义域不同，不是相同函数；B.，解析式不同，不是相同函数；C．f（x）＝1（x∈R，且x≠0），，解析式不同，不是相同函数；D．f（x）＝x的定义域为R，的定义域为R，解析式和定义域都相同，是相同函数．故选：D．变式1．下列各组函数表示相同函数的是（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝1，g（x）＝x0C．f（x）＝，g（x）＝D．f（x）＝x+1，g（x）＝【解答】解：对于A，函数f（x）＝＝|x|（x∈R）与g（x）＝＝x（x≥0）的定义域不同，对应关系也不同，所以不是相同函数；对于B，函数f（x）＝1|（x∈R）与g（x）＝x0＝1（x≠0）的定义域不同，所以不是相同函数；对于C，函数f（x）＝与g（x）＝＝|x|＝的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同函数；对于D，函数f（x）＝x+1（x∈R）与g（x）＝＝x+1（x≠1）的定义域不同，所以不是相同函数．故选：C．变式2．下列各组函数中，f（x）与g（x）是相同函数的是（e为自然对数的底数）（）A．f（x）＝，g（x）＝（）2B．f（x）＝，g（x）＝xC．f（x）＝lnx2，g（x）＝2lnxD．f（x）＝e x﹣1•e x+1，g（x）＝e2x【解答】解：A.的定义域为R，的定义域为{x|x≥0}，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；B.的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝x的定义域为R，∴f（x）与g（x）不相同，即该选项错误；C．f（x）＝lnx2的定义域为{x|x≠0}，g（x）＝2lnx的定义域为{x|x＞0}，∴该选项错误；D．f（x）＝e x﹣1•e x+1＝e2x，g（x）＝e2x，f（x）与g（x）的定义域都是R，且解析式相同，∴f（x）与g（x）相同，∴该选项正确．故选：D．变式3．下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．f（x）＝g（x）＝B．f（x）＝g（x）＝C．f（x）＝x2﹣2x﹣1 g（t）＝t2﹣2t﹣1D．f（x）＝g（x）＝x【解答】解：f（x）＝的定义域是R，g（x）＝的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．f（x）＝的定义域是x≥0，g（x）＝的定义域是x≤﹣1或x≥0，两个函数的定义域不相同，所以不是相同函数，所以B不正确．f（x）＝x2﹣2x﹣1的定义域是R，g（t）＝t2﹣2t﹣1的定义域是R，两个函数的对应法则相同，所以是相同函数，所以C正确．f（x）＝的定义域是R，g（x）＝x的定义域是R，两个函数的对应法则不相同，所以不是相同函数，所以A不正确．故选：C．1.3 同族函数的判断例4．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：由题意知同族函数是只有定义域不同的函数，函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}时，它的定义域可以是{1，2}{1，﹣2}{﹣1，2}{﹣1，﹣2}{1，﹣1，2}{1，﹣1，﹣2}{1，2，﹣2}{﹣1，2，﹣2}{1，﹣1，2，﹣2}共有9种不同的情况，故选：C．变式1．若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝﹣x2，值域为{﹣1，﹣9}的“同族函数”共有（）A．7个B．8个C．9个D．10个【解答】解：定义域是集合的子集，且子集中至少应该含有﹣1、1中的一个和﹣3、3中的一个，满足条件的定义有：{﹣1，﹣3}、{﹣1，3}、{1，﹣3}、{1，3}、{﹣1，1，﹣3}、{﹣1，1，3}、{﹣1，﹣3，3}、{1，﹣3，3}、{﹣1，1，﹣3，3}，共9个．故选：C．变式2．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”．给出下列函数：①f（x）＝sin x cos x；②f（x）＝sin2x+1；③f（x）＝2sin（x+）；④f（x）＝sin x+cos x．其中“同簇函数”的是（）A．①②B．①④C．②③D．③④【解答】解：由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与②f（x）＝sin2x+1的图象仅经过平移没法重合，还必须经过纵坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于①f（x）＝sin x cos x＝sin2x与④f（x）＝sin x+cos x＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．②f（x）＝sin2x+1与③f（x）＝2sin（x+）的图象仅经过平移没法重合，还必须经过横坐标的伸缩变换，故不是“同簇函数”．由于④f（x）＝sin x+cos x＝2（sin x+cos x）＝2sin（x+），故把③f（x）＝2sin（x+）的图象向左平移，可得f（x）＝2sin（x+）的图象，故③和④是“同簇函数”，故选：D．变式3．函数f：{1，}→{1，}满足f[f（x）]＞1的这样的函数个数有个．【解答】解：若函数f（x）满足，f（1）＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足f（1）＝，，则当x＝1时，f[f（1）]＝＞1；当x＝时，f[f（）]＝＞1；所以此时满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝1，，则当x＝1时，f[f（1）]＝f（1）＝1，所以此时不满足条件．若函数f（x）满足，f（1）＝，＝1，则当x＝1时，f[f（1）]＝＝1，所以此时不满足条件．所以满足条件的函数只有一个．故答案为：1变式4．已知函数f（x）的定义域为A＝{1，2，3，4，5，6}，值域为B＝{7，8，9}，且对任意的x＜y，恒有f（x）≤f（y），则满足条件的不同函数共有个．【解答】解：如下图，可知满足条件的函数共10个，故答案为：10．变式5．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[﹣2，﹣1]即为“同族函数”．下面函数解析式中也能够被用来构造“同族函数”的是（）A．y＝x B．C．y＝2x﹣2﹣x D．y＝log0.5x【解答】解：对于B，函数与函数满足解析式和值域相同，定义域不同，是同族函数；对于ACD，它们在定义域上具有严格的单调性，当定义域不同时，其值域一定不同，故不是同族函数；故选：B．1.4 函数的定义域例5．函数f（x）＝+lg的定义域为（）A．（2，3）B．（2，4]C．（2，3）∪（3，4]D．（﹣1，3）∪（3，6]【解答】解：要使函数有意义，则，即，＞0等价为①即，即x＞3，②，即，此时2＜x＜3，即2＜x＜3或x＞3，∵﹣4≤x≤4，∴解得3＜x≤4且2＜x＜3，即函数的定义域为（2，3）∪（3，4]，故选：C．变式1．函数f（x）＝log a（x2+2x﹣3）的定义域是（）A．[﹣3，1]B．（﹣3，1）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣3[∪[1，+∞）【解答】解：函数，则x2+2x﹣3＞0，即（x+3）（x﹣1）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，所以f（x）的定义域是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：C．变式2．若，则函数f（x）的定义域为（）A．B．（0，+∞）C．D．【解答】解：的定义域为：{x|}，即{x|}，解得{x|﹣＜x＜0}．故选：C．变式3．函数y＝log2x﹣1的定义域是（，1）∪（1，+∞）．【解答】解：由题意得：，解得：x＞且x≠1，故答案为：（，1）∪（1，+∞）．例6．已知函数的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，B．（﹣∞，C．，+∞）D．[1，+∞）【解答】解：∵f（x）的定义域为R，∴x2+x+a≥0的解集为R，∴△＝1﹣4a≤0，解得，∴实数a的取值范围是．故选：C．变式1．若函数f（x）＝的定义域为R，则实数a的取值范围是（）A．（0，4）B．[0，2）C．[0，4）D．（2，4]【解答】解：∵f（x）的定义域为R；∴ax2+ax+1＞0的解集为R；①a＝0时，1＞0恒成立，ax2+ax+1＞0的解集为R；②a≠0时，则；解得0＜a＜4；∴综上得，实数a的取值范围是[0，4）．故选：C．变式2．已知f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．（1）函数的定义域为R，求a的取值范围，（2）函数值域为R，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1）．∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．ax2﹣ax﹣1＞0，△＝a2+4a，∵定义域为R．∴△＜0，解得﹣4＜a＜0．综上a∈∅（2）∵函数f（x）＝log a（ax2﹣ax﹣1），且f（x）的值域为R，根据对数的性质，可知当ax2﹣ax﹣1取遍所有大于0的值时，f（x）的值域为R，∵a＞0，则y＝ax2﹣ax﹣1的图象开口向上，∴△＝a2+4a≥0，即a≤﹣4或a≥0，又a＞0，∴a∈（0，1）∪（1，+∞）．故a的取值范围为：（0，1）∪（1，+∞）．变式3．已知f（x）＝lg（ax2﹣2x+1）．（1）若f（x）的定义域为R，求a的取值范围；（2）如f（x）的值域为R，求a的取值范围；（3）若f（x）在x∈[2，3]时有意义，且f（x）的最大值与最小值的差等于1，求a的值．【解答】解：（1）∵函数的定义域为R，∴ax2﹣2x+1＞0恒成立．当a＝0时，显然不成立．当a≠0时，应有a＞0且△＝4﹣4a＜0，解得a＞1．故a的取值范围为：a＞1，（2）若函数的值域为R，则ax2﹣2x+1能取遍所有的正数，图象不能在x轴上方∴或a＝0解得：0≤a≤1，故a的取值范围为[0，1]；（3）在x∈[2，3]时，ax2﹣2x+1＞0成立，∴a＞﹣（﹣1）2+1成立，∴a＞，∵f（2）＝lg（4a﹣3），f（3）＝lg（9a﹣5），f（）＝lg（1﹣），f（x）的最大值与最小值的差等于1．∴|f（2）﹣f（3）|＝1或|f（2）﹣f（）|＝1或|f（3）﹣f（）|＝1，∴a＝．例7．函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，则函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为（）A．[﹣1，3]B．[0，2]C．[﹣1，1]D．[﹣2，2]【解答】解：∵函数y＝f（x）的定义域为[﹣1，2]，∴由，解得﹣1≤x≤1．∴函数y＝f（1+x）+f（1﹣x）的定义域为[﹣1，1]．故选：C．变式1．已知函数f（x）满足f（x+1）的定义域是[0，31），则f（2x）的定义域是（）A．[1，32）B．[﹣1，30）C．[0，5）D．（﹣∞，log230）【解答】解：∵f（x+1）的定义域是[0，31），即0≤x＜31，∴1≤x+1＜32，∴f（x）有意义须1≤x＜32，∴f（2x）有意义须20＝1≤2x＜32＝25，得0≤x＜5．即f（2x）的定义域是[0，5）．故选：C．变式2．设函数f（2x）的定义域是[2，4]，则函数的定义域为（）A．[1，2]B．C．[2，8]D．[8，32]【解答】解：∵函数f（2x）的定义域是[2，4]，∴4≤2x≤16，∴4≤≤16，则函数的定义域为[8，32]，故选：D．1.5 函数的值例6．如图，函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），则f（）的值为（）A．1B．2C．0D．【解答】解：∵函数f（x）的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为（0，0），（1，2），（3，1），∴f（3）＝1，∴f（）＝f（1）＝2，故选：B．变式1．设f（x）＝g（x）＝则f[g（π）]的值为（）A．2B．0C．﹣1D．﹣2【解答】解：∵f（x）＝g（x）＝，∴g（π）＝﹣1，f[g（π）]＝f（﹣1）＝﹣2．故选：D．2.函数解析式求法2.1 待定系数法例1．已知f（x）是一次函数，且一次项系数为正数，若f[f（x）]＝4x+8，则f（x）＝（）A．B．﹣2x﹣8C．2x﹣8D．或﹣2x﹣8【解答】解：设f（x）＝ax+b，a＞0∴f（f（x））＝a（ax+b）+b＝a2x+ab+b＝4x+8，∴，∴，∴f（x）＝2x+．故选：A．变式1. 若一次函数f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，则f（x）的解析式【解答】解：由题意设f（x）＝ax+b，（a≠0）．∵f（x）满足f（x）+2f（1﹣x）＝x，∴ax+b+2[a（1﹣x）+b]＝x，化为﹣ax+（2a+3b）＝x，∴﹣a＝1且2a+3b＝0，解得a＝﹣1，b＝，∴f（x）＝﹣x+．变式2．已知f（x）为二次函数且f（0）＝3，f（x+2）﹣f（x）＝4x+2．求f（x）的解析式．【解答】解：∵f（x）为二次函数，∴设f（x）＝ax2+bx+c，∵f（0）＝c，∴c＝3，则f（x）＝ax2+bx+3，又∵f（x+2）﹣f（x）＝4x+2，∴a（x+2）2+b（x+2）+3﹣ax2﹣bx﹣3＝4x+2，即4ax+4a+2b＝4x+2，则，即，即f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣x+3．2.2 方程组法例2．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，则f（1）﹣g（1）＝（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：由f（x）+g（x）＝x3﹣x2+1，将所有x替换成﹣x，得f（﹣x）+g（﹣x）＝﹣x3﹣x2+1，根据f（x）＝f（﹣x），g（﹣x）＝﹣g（x），得f（x）﹣g（x）＝﹣x3﹣x2+1，再令x＝1，计算得，f（1）﹣g（1）＝﹣1．故选：B．变式1．若函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数，且满足f（x）﹣g（x）＝e x，试比较f（3），g（0），f（2）三数的大小：g（0）＜f（2）＜f（3）．【解答】解：由函数f（x），g（x）分别是R上的奇函数、偶函数得：f（﹣x）＝﹣f（x）；g（﹣x）＝g（x）∵f（x）﹣g（x）＝e x，①∴f（﹣x）﹣g（﹣x）＝e﹣x，②∴﹣f（x）﹣g（x）＝e﹣x③∴由①②③得：，，，g（0）＝﹣1，f（x）递增，f（2），f（3）＞0，e2＜e3，即有f（2）＜f（3），∴g（0）＜f（2）＜f（3）故答案为：g（0）＜f（2）＜f（3）变式2. 已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x．【解答】解：已知f（x）满足2f（x）+f（）＝3x…①，2f（）+f（x）＝…②，2×①﹣②可得：3f（x）＝6x﹣，解得f（x）＝2x﹣．变式3. 定义在（﹣1，1）内的函数f（x）满足2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1），求函数f（x）的解析式．【解答】解：当x∈（﹣1，1）时，2f（x）﹣f（﹣x）＝lg（x+1）①，以﹣x代x有：2f（﹣x）﹣f（x）＝lg（﹣x+1）②；由①、②联立，消去f（﹣x），得f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（x+1）+lg（1﹣x），x∈（﹣1，1）．2.3 坐标转移法例3．已知函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，则（）A．f（2x）＝e2x（x∈R）B．f（2x）＝ln2•lnx（x＞0）C．f（2x）＝2e x（x∈R）D．f（2x）＝lnx+ln2（x＞0）【解答】解：函数y＝e x的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，所以f（x）是y＝e x的反函数，即f（x）＝lnx，∴f（2x）＝ln2x＝lnx+ln2（x＞0），选D．变式1．与函数y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）的曲线关于直线y＝x对称的曲线的方程为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意∵y＝e2x﹣2e x+1（x≥0）⇒（e x﹣1）2＝y∵x≥0，∴e x≥1，即e x＝1+∴x＝ln（1+），所以故选：A．2.4 换元法配凑法例4. 已知f（x+）＝x2+，求f（x）的解析式；【解答】解：∵f（x+）＝x2+＝﹣2，∴f（x）＝x2﹣2，且x≥2或x≤﹣2，∴f（x）的解析式是f（x）＝x2﹣2（其中x≥2或x≤﹣2）；变式1. 已知f（+1）＝lgx，求f（x）的解析式；【解答】解：设+1＝t，则x＝，代入函数解析式，得f（t）＝lg，又∵x＞0，所以t＞1；∴f（x）的解析式是f（x）＝lg（其中x＞1）；变式2. 已知f（+1）＝x+2，求f（x）．【解答】解：∵f（+1）＝x+2＝（+1）2﹣1∴f（x）＝x2﹣1，x≥1变式3. 已知x≠0时，函数f（x）满足f（）＝x2+；【解答】解：设，t≠1可得1﹣，即，可得x＝，f（t）＝，∴f（x）＝，x≠1．2.5 赋值法例5．设f（x）是R上的函数，且满足f（0）＝1，并且对任意实数x，y，有f（x﹣y）＝f （x）﹣y（2x﹣y+1），求f（x）的解析式．【解答】解：由题意，令x＝y得，f（0）＝f（x）﹣x（2x﹣x+1），则f（x）＝x（x+1）+1．3 常见的求值域的方法3.1 数形结合求值域例1．函数y＝的值域为[﹣4，+∞）．【解答】解：（1）x≤0时，y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4；∴y≥﹣4；（2）x＞0时，y＝3x＞0；∴原函数的值域为[﹣4，+∞）．故答案为：[﹣4，+∞）．变式1．求函数y＝|x﹣1|+|x﹣3|的值域．【解答】解：由y＝|x﹣1|+|x﹣3|＝．作出y的图象：从图不难看出：函数y的值域为[2，+∞）．变式2．设函数，则下列结论错误的是（）A．D（x）的值域为{0，1}B．D（x）是偶函数C．D（x）不是周期函数D．D（x）不是单调函数【解答】解：A显然正确；∵＝D（x），∴D（x）是偶函数，B正确；∵D（x+1）＝＝D（x），∴T＝1为其一个周期，故C错误；∵D（）＝0，D（2）＝1，D（）＝0，显然函数D（x）不是单调函数，故D正确；故选：C．变式3．“[x]”表示不超过实数x的最大的整数，如[1.3]＝1，[2]＝2，[﹣2.3]＝﹣3，又记{x}＝x﹣[x]，已知函数f（x）＝[x]﹣{x}，x∈R，给出以下命题：①f（x）的值域为R；②f（x）在区间[k，k+1]，k∈Z上单调递减；③f（x）的图象关于点（1，0）中心对称；④函数|f（x）|为偶函数．其中所有正确命题的序号是①（将所有正确命题序号填上）【解答】解：由题意，f（x）＝[x]﹣{x}＝[x]﹣{x﹣[x]}＝2[x]﹣x．作出函数f（x）＝2[x]﹣x的图象如图，由图可知，f（x）的值域为R，故①正确；f（x）在区间[k，k+1），k∈Z上单调递减，故②错误；f（x）的图象不关于点（1，0）中心对称，故③错误；函数|f（x）|不是偶函数，故④错误．∴正确命题的序号为①．故答案为：①．变式4．给出定义：若m﹣＜x≤m+，（其中m为整数），则m叫作离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m，在此基础上，给出下列关于函数f（x）＝|{x}﹣x|的命题：①函数f（x）的定义域是R，值域是[﹣，]；②函数y＝f（x）的图象关于y轴对称；③函数y＝f（x）的图象关于原点对称；④函数y＝f（x）在[﹣，]上是增函数；其中说法正确的是②．【解答】解：①∵，∴，∴．即0≤|{x}﹣x|；∴f（x）的值域是：，∴①错误；②当时，，∴{﹣x}＝﹣m；f（﹣x）＝|{﹣x}+x|＝|﹣m+x|＝|m﹣x|＝|{x}﹣x|＝f（x）；当x＝时，{﹣x}＝{﹣m﹣}＝﹣m﹣1，∴f（﹣x）＝|﹣m﹣1﹣（﹣m﹣）|＝＝＝f（x）；∴综上得f（﹣x）＝f（x），∴函数f（x）是偶函数，所以图象关于y轴对称，∴②正确；③由②知f（﹣x）＝f（x），∴点（﹣x，f（x）），与（x，f（x））不关于原点对称；所以f（x）图象不关于原点对称，∴③错误；④f（）＝f（），即，而，∴f（x）在上不是增函数，∴④错误；∴说法正确的是②．故答案为：②．变式5．已知a，b∈R，定义运算“⊗”：，设函数f（x）＝（2x⊗2）﹣（1⊗log2x），x∈（0，2），则f（1）＝1，f（x）的值域为[1，3）．【解答】解：由题意f（x）＝，，所以f（1）＝1，x∈（0，2），f （x）∈[1，3），故答案分别为：1，[1，3）变式6．函数的值域为R，则实数a的范围（）A．（﹣∞，﹣1）B．C．D．【解答】解：当x≥1时，y＝lnx≥0，当1﹣2a＝0，即a＝时，当x＜1时，f（x）＝，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＜0，即a＞时，当x＜1时，f（x）＞1+a，不满足f（x）的值域为R，当1﹣2a＞0，即a＜时，当x＜1时，f（x）＜1+a，要使满足f（x）的值域为R，则1+a≥0，即a≥﹣1，综上﹣1≤a＜，故选：C．3.2 换元法求值域例2．已知函数f（x）＝2+x，其中1≤x≤9，求函数y＝[f（x）]2+f（x）的最大值和最小值，并求出相应x的值．【解答】解：∵f（x）＝2+x，且1≤x≤9，∴y＝[f（x）]2+f（x）＝（2+x）2+（2+x）＝x2+5x+6，（1≤x≤9），函数y＝x2+5x+6图象关于直线对称，即有函数y＝x2+5x+6在区间[1，9]上是单调递增函数，当x＝1时，函数y＝x2+5x+6取最小值，最小值为12；当x＝9时，函数y＝x2+5x+6取最大值，最小值为132．即有x＝1时，函数y＝[f（x）]2+f（x）取得最小值12；x＝9时，y＝[f（x）]2+f（x）取得最大值132．变式1．已知f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），求函数g（x）＝f2（x）+f（x2）的最大值与最小值．【解答】解：∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），∴，即1≤x≤2，∵f（x）＝1+log2x（1≤x≤4），g（x）＝f2（x）+f（x2）＝（1+log2x）2+1+2log2x，∴g（x）＝（log2x）2+4log2x+2，1≤x≤2设t＝log2x，则h（t）＝t2+4t+2，0≤t≤1，∵对称轴t＝﹣2，h（t）在[0，1]为增函数，则g（x）的最小值为h（0）＝2，最大值为h（1）＝7．变式2．求函数的值域.【解答】解：设（t≥0），x＝t2+1，则y＝t2+2t+3＝（t+1）2+2（t≥0），∵t≥0，∴t+1≥1，∴（t+1）2+2≥3，∴该函数的值域为[3，+∞）．变式3．若函数f（x）＝log2x+2，，则函数的值域（）A．[4，5]B．[4，]C．[，5]D．[1，3]【解答】解：∵x∈[，2]，∴﹣1≤log2x≤1，∴1≤f（x）≤3，∴g（x）＝f（x）+≥2＝4，当且仅当f（x）＝，即f（x）＝2，x＝1时，等号成立，又∵g（）＝5，g（2）＝，∴x＝1时，g（x）取最小值4；x＝时，g（x）取最大值5，∴函数g（x）的值域为[4，5]，故选：A．变式4．函数在[﹣1，+∞）上的值域为（）A．B．C．D．（﹣∞，3]【解答】解：∵，令，因为x∈[﹣1，+∞），所以t∈（0，3]，原函数的值域等价于函数的值域，所以．故选：C．变式5．函数f（x）＝log2的最小值为（）A．B．﹣2C．D．0【解答】解：由题意知f（x）的定义域为（0，+∞）．所以f（x）＝（﹣2+log2x）（1+log2x）＝log2x﹣2＝．当x＝时，函数取得最小值．故选：A．3.3 判别式法求值域例3．求函数y＝的值域．【解答】解：y＝；；∴；∴2＜y≤6；∴原函数的值域为（2，6]．变式1．已知函数y＝的值域是[﹣1，4]，求实数a，b的值．【解答】解：由y＝得yx2﹣（y+a）x+y﹣b＝0，①当y＝0时，方程有解，适合题意思；②当y≠0时，△＝（y+a）2﹣4y（y﹣b）≥0，化简得，3y2﹣（2a+4b）y﹣a2≤0，∵函数的值域为[﹣1，4]，∴﹣1，4是方程3y2﹣（2a+4b）y﹣a2＝0的两根，∴解得或，综上得：或．变式2．已知函数y＝定义域为（﹣∞，+∞），值域为[1，9]，求m，n．【解答】解：将式子变形为（y﹣m）x2﹣8x+y﹣n＝0，当y﹣m≠0，△＝64﹣4（y﹣m）（y﹣n）≥0即（y﹣m）（y﹣n）≤16，∴1，9是方程（y﹣m）（y﹣n）＝16的两个根，带入得，解得m＝n＝5．当y﹣m＝0时，m＝n＝5，也适合题意．∴m＝n＝5．3.4 分离常数法求值域例4．求函数的值域：【解答】解：（1），∵，∴y≠2，∴该函数的值域为{y|y≠2}；变式1．函数f（x）＝（x＞0）的值域为．【解答】解：，∵x＞0，∴﹣x＜0，0＜2﹣x＜1，∴2＜2+2﹣x＜3，∴，即函数的值域为．故答案为：．变式2．函数的值域为（）A．{y|0＜y＜2}B．{y|y＞0且y≠2}C．{y|y≠2}D．{y|y＞2}【解答】解：因为＝＝2﹣≠2．故选：C．3.5 定义域与值域的关系例5．设函数的定义域为D，若满足条件：存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称f（x）为“倍缩函数“．若函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，则实数t的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣1﹣ln2]B．（﹣∞，﹣1﹣1n2）C．[1+ln2，+∞）D．（1+ln2，+∞）【解答】解：因为函数f（x）＝e x+为“倍缩函数”，所以存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[，]，由于f（x）＝e x+单调递增，所以，即a，b为方程的两个实根，进一步转化为函数与有两个交点，不妨先求出与函数相切且斜率为的直线方程．对于数，求导得，令，解得，，所以斜率为的切线方程为，该直线在y轴上的截距为，要使函数与有两个交点，则，所以t＜﹣1﹣ln2，故选：B．变式1．函数y＝f（x）的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使得f（x）在[a，b]上的值域为[，]，则称函数f（x）为“成功函数”．若函数f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，则t的取值范围为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，）C．（，+∞）D．（0，）【解答】解：∵f（x）＝log c（c x+t）（c＞0，c≠1）是“成功函数”，∴f（x）在其定义域内为增函数，f（x）＝log c（c x+t）＝x，∴c x+t＝，c x﹣+t＝0，令a＝＞0，∴a2﹣a+t＝0有两个不同的正数根，∴，解得t∈（0，）．故选：D．。

【新教材】3.1.1 函数的概念（人教A版）函数在高中数学中占有很重要的比重，因而作为函数的第一节内容，主要从三个实例出发，引出函数的概念.从而就函数概念的分析判断函数，求定义域和函数值，再结合三要素判断函数相等.课程目标1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则。

2.掌握判定函数和函数相等的方法。

3.学会求函数的定义域与函数值。

数学学科素养1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；2.逻辑推理：相等函数的判断；3.数学运算：求函数定义域和求函数值；4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力。

重点：函数的概念，函数的三要素。

难点：函数概念及符号y=f(x)的理解。

教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

教学工具：多媒体。

一、情景导入初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等，那么在初中函数是怎样定义的？高中又是怎样定义？要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探.二、预习课本，引入新课阅读课本60-65页，思考并完成以下问题1. 在集合的观点下函数是如何定义？函数有哪三要素？2. 如何用区间表示数集？3. 相等函数是指什么样的函数？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究1．函数的概念(1)函数的定义：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个属x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)x.(2)函数的定义域与值域：函数y＝f(x)中，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．2．区间概念(a，b为实数，且a＜b)3．其它区间的表示四、典例分析、举一反三题型一函数的定义例1下列选项中(横轴表示x轴,纵轴表示y轴),表示y是x的函数的是()【答案】D解题技巧：（判断是否为函数）1.（图形判断）y是x的函数,则函数图象与垂直于x轴的直线至多有一个交点.若有两个或两个以上的交点,则不符合函数的定义,所对应图象不是函数图象.2.（对应关系判断）对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系；“一对多”的不是函数关系. 跟踪训练一1.集合A={x|0≤x ≤4},B={y|0≤y ≤2},下列不表示从A 到B 的函数的是()【答案】C题型二 相等函数例2试判断以下各组函数是否表示同一函数: (1)f(x)=()2,g(x)=;(2)y=x 0与y=1(x ≠0);(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z).【答案】见解析【解析】:(1)因为函数f(x)=()2的定义域为{x|x≥0},而g(x)=的定义域为{x|x ∈R},它们的定义域不同,所以它们不表示同一函数.(2)因为y=x 0要求x ≠0,且当x ≠0时,y=x 0=1,故y=x 0与y=1(x ≠0)的定义域和对应关系都相同,所以 它们表示同一函数.(3)y=2x+1(x ∈Z)与y=2x-1(x ∈Z)两个函数的定义域相同,但对应关系不相同,故它们不表示同一函数. 解题技巧：(判断函数相等的方法)定义域优先原则1.先看定义域，若定义域不同，则函数不相等.2.若定义域相同，则化简函数解析式，看对应关系是否相等.跟踪训练二1.试判断以下各组函数是否表示同一函数:①f(x)=,g(x)=x-1;②f(x)=,g(x)=;③f(x)=,g(x)=x+3;④f(x)=x+1,g(x)=x+x 0;⑤汽车匀速运动时,路程与时间的函数关系f(t)=80t(0≤t ≤5)与一次函数g(x)=80x(0≤x ≤5). 其中表示相等函数的是(填上所有正确的序号).【答案】⑤【解析】①f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;②f(x)与g(x)的解析式不同,不是同一函数;③f(x)=|x+3|,与g(x)的解析式不同,不是同一函数;④f(x)与g(x)的定义域不同,不是同一函数;⑤f(x)与g(x)的定义域、值域、对应关系皆相同,是同一函数.题型三 区间例3已知集合A={x|5-x ≥0},集合B={x||x|-3≠0},则A ∩B 用区间可表示为.【答案】(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5]【解析】∵A={x|5-x ≥0},∴A={x|x ≤5}.∵B={x||x|-3≠0},∴B={x|x ≠±3}.∴A ∩B={x|x<-3或-3<x<3或3<x ≤5},即A ∩B=(-∞,-3)∪(-3,3)∪(3,5].解题技巧：（如何用区间表示集合）1.正确利用区间表示集合,要特别注意区间的端点值能否取到,即“小括号”和“中括号”的区别.2.用区间表示两集合的交集、并集、补集运算时,应先求出相应集合,再用区间表示.跟踪训练三1.集合{x|0<x<1或2≤x≤11}用区间表示为.2. 若集合A=[2a-1,a+2],则实数a的取值范围用区间表示为.【答案】(1)(0,1)∪[2,11](2)(-∞,3)【解析】 (2)由区间的定义知,区间(a,b)(或[a,b])成立的条件是a<b.∵A=[2a-1,a+2],∴2a-1<a+2.∴a<3,∴实数a的取值范围是(-∞,3).题型四求函数的定义域例4求下列函数的定义域:(1)y=;(2)f(x)=.【答案】(1) (-∞,-2)∪(-2,0)(2) (-∞,1)∪(1,4]【解析】(1)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足解得x<0,且x≠-2.故原函数的定义域为(-∞,-2)∪(-2,0).(2)要使函数有意义,自变量x的取值必须满足故原函数的定义域为(-∞,1)∪(1,4].解题方法（求函数定义域的注意事项）(1)如果函数f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集R;(2)如果函数f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数组成的集合;(3)如果函数f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数组成的集合;(4)如果函数f(x)是由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成的,那么函数的定义域是使各式子都有意义的自变量的取值集合(即求各式子自变量取值集合的交集).跟踪训练四1.求函数y=的定义域.2.已知函数f(x)的定义域是[-1,4],求函数f(2x+1)的定义域.【答案】(1)(2)【解析】(1)要使函数有意义,需解得-≤x<2,且x ≠0,所以函数y=的定义域为.(2)已知f(x)的定义域是[-1,4],即-1≤x≤4.故对于f(2x+1)应有-1≤2x+1≤4, ∴-2≤2x≤3,∴-1≤x≤.∴函数f(2x+1)的定义域是.题型五 求函数值（域） 例5(1)已知f(x)＝(x ∈R ，且x ≠－1)，g(x)＝x 2＋2(x ∈R)，则f(2)＝________，f(g(2))＝________. (2)求下列函数的值域：①y ＝x ＋1；②y ＝x 2－2x ＋3，x ∈[0,3)；③y ＝；④y ＝2x －.【答案】（1）1317（2）①R ②[2,6)③{y|y ∈R 且y≠3}④⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞ 【解析】(1) ∵f(x)＝11＋x ，∴f(2)＝11＋2＝13. 又∵g(x)＝x 2＋2，∴g(2)＝22＋2＝6，∴f(g(2))＝f(6)＝11＋6＝17. (2) ①(观察法)因为x ∈R ，所以x ＋1∈R ，即函数值域是R.②(配方法)y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，由x ∈[0,3)，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为[2,6)．③(分离常数法)y ＝3x －1x ＋1＝3x ＋3－4x ＋1＝3－4x ＋1. ∵4x ＋1≠0，∴y≠3， ∴y ＝3x －1x ＋1的值域为{y|y ∈R 且y≠3}． ④(换元法)设t ＝x －1，则t≥0且x ＝t 2＋1，所以y ＝2(t 2＋1)－t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －142＋158，由t≥0，再结合函数的图象(如图)，可得函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫158，＋∞. 解题方法（求函数值（域)的方法）1.已知f(x)的表达式时,只需用数a 替换表达式中的所有x 即得f(a)的值.2.求f(g(a))的值应遵循由内到外的原则.3. 求函数值域常用的4种方法（1）观察法：对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到；（2）配方法：当所给函数是二次函数或可化为二次函数处理的函数时，可利用配方法或二次函数图像求其值域；（3）分离常数法：此方法主要是针对有理分式，即将有理分式转化为“反比例函数类”的形式，便于求值域；（4）换元法：即运用新元代换，将所给函数化成值域易确定的函数，从而求得原函数的值域.对于f （x ）=ax+b+（其中a ，b ，c ，d 为常数，且a 0）型的函数常用换元法.跟踪训练五1.求下列函数的值域：(1)y ＝＋1；(2)y ＝.【答案】(1) [1，＋∞)(2)【解析】(1)因为2x ＋1≥0，所以2x ＋1＋1≥1，即所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)因为y ＝1－x 21＋x 2＝－1＋21＋x 2， 又函数的定义域为R ，所以x 2＋1≥1，所以0＜21＋x 2≤2，则y ∈(－1,1]． 所以所求函数的值域为(－1,1].五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本67页练习、72页1-5 本节课主要通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，尤其在求抽象函数定义域时，先根据特殊函数的规律总结一般规律. 3.1.1函数的概念 1.定义 例1 例2 例3 例4 例5 2.区间。

一、函数的定义及表示方法1．函数的概念（1）定义：设A ，B 是非空的数集，如果按照某种对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作()y f x =，x A ∈．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． 注意：①给x 一个值，只能得出一个y ，如2y x =是函数，2y x =就不是函数；②判断一个图像是否为函数图像，即观察直线x a =是否与图像至多有一个交点； ③函数三要素：定义域，值域，对应关系． （2）函数的表示方法：设{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的是（ ）A B C D2．函数相等如果两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等．3．区间的概念（1）一般区间的表示（a ，b 为实数，且a b <）（2）特殊区间的表示注意：函数的定义域和值域必须写成集合或者区间的形式．4．分段函数定义：在()y f x =的定义域中，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数． 例如：223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩．注意：分段函数是一个函数而不是几个函数，在定义域内不同的区间上有不同的对应法则，值域是各段函数在相应区间上函数取值集合的并集．5．映射设A，B是非空的集合，如果按照某种对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在→为从集合A到集合B的一个映集合B中都有唯一确定的元素和它对应，那么就称:f A B射．→而言，集合A和B可以是任何元素的集合，函数即为数的映射．注意：对映射:f A B解析：a ，b ，c 各有2种对应方法，故总数为2228⨯⨯=种映射．练习题：设{|02}A x x =≤≤，{|12}B y y =≤≤，下列图形表示A 到B 的函数的图像的是（ ）A B C D函数||xy xx=+的图像是（）A B C D下列是从集合A到集合B的映射的是（）A B C D答案解析：11解析：当0a≥时，()222af a=-=，解得2a=当0a<时，2()32f a a=-+=，解得1a=±，又0a<，则1a=-综上2a=或1a=-时都成立．答案：1-或212解析：去绝对值化为1,(0)1,(0)x xyx x+>⎧=⎨-<⎩，观察可知D正确．答案：D13解析：根据映射的定义，集合A中的元素对应过去，有且只能有集合B中的元素与之对应，A和C选项中中出现了一对多的情况，B选项中有没有对应的情况，只有D符合定义．答案：D14解析：A中每个元素的对应方式有3种，A中有5个元素根据分布计数原理，总映射数为33333243⨯⨯⨯⨯=．答案：C数学浪子整理制作，侵权必究。

§2.1 函数的概念及其表示课标要求 1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．知识梳理1．函数的概念一般地，设A ，B 是________________，如果对于集合A 中的________一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有__________的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A .2．函数的三要素(1)函数的三要素：__________、____________、____________.(2)如果两个函数的______________相同，并且____________完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有____________、图象法和____________．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．常用结论1．直线x ＝a 与函数y ＝f (x )的图象至多有1个交点．2．在函数的定义中，非空实数集A ，B ，A 即为函数的定义域，值域为B 的子集．3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．课前预习1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．( )(2)任何一个函数都可以用图象法表示．( )(3)直线y ＝a 与函数y ＝f (x )的图象可以有多个交点．( )(4)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥0，x 2，x <0的定义域为R .( )高三数学062．(多选)下列图象中，是函数图象的是( )3．(多选)下列选项中，表示的不是同一个函数的是( )A ．y ＝x ＋33－x 与y ＝x ＋33－xB ．y ＝x 2与y ＝(x －1)2C ．y ＝x 2与y ＝xD ．y ＝1与y ＝x 04．已知函数f (x －1)＝x 2＋4x －5，则f (x )的解析式是________________________. 典例精讲题型一 函数的概念例1 (1)(多选)下列说法中正确的有( )A ．f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0表示同一个函数 B ．函数f (x )＝x ＋1－1x的定义域是[－1,0)∪(0，＋∞) C ．f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一个函数D ．若f (x )＝|x －1|－x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫12＝0(2)已知函数f (x )的定义域为[－2,3]，则函数f (2x －1)的定义域为____________________．变式训练1 (1)下列各组函数表示同一个函数的是( )A ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝1x －1，g (x )＝1x －1C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，－x ，x <0，g (t )＝|t | D ．f (x )＝x ＋1，g (x )＝x 2－1x －1 (2)已知函数f (x )的定义域为[2,8]，则函数h (x )＝f (2x )＋9－x 2的定义域为( )A ．[4,16]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[1,3]D ．[3,4]题型二 函数的解析式例2 (1)已知f (x+1)＝x ，求f (x )的解析式；(2)已知f ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2＝x 4＋1x 4，求f (x )的解析式； (3)已知f (x )是一次函数且3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(4)若对任意实数x ，均有f (x )－2f (－x )＝9x ＋2，求f (x )的解析式．变式训练2 (1)若f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x 1－x ，则f (x )＝________________________.(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，则f (x )＝_____________________.题型三 分段函数例3 (1)(多选)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－2≤x <1，－x ＋2，x ≥1，则下列关于函数f (x )的结论正确的是( ) A ．f (x )的定义域为R B ．f (x )的值域为(－∞，4]C ．若f (x )＝2，则x 的值是－2D ．f (x )<1的解集为(－1,1)(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋2，x <－1，2x －3，x ≥－1，若f (a )＝4，则实数a 的值是________；若f (a )≥2，则实数a 的取值范围是_____________________________________．变式训练3 (1)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(2－x )，x ≤0，f (x －3)，x >0， 则f (2 023)等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2) ※.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________. 课堂小结课后反思函数的概念及其表示限时训练1.函数f (x )＝lg(x －2)＋1x －3的定义域是( ) A.(2，＋∞) B.(2，3) C.(3，＋∞) D.(2，3)∪(3，＋∞)2.(多选)下列各图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )3.已知函数f (x ＋2)＝x 2－3x ＋4，则f (1)＝( )A.4B.6C.7D.84.(多选)下列函数中，与函数y ＝x ＋2是同一个函数的是( )A.y ＝(x ＋2)2B.y ＝3x 3＋2C.y ＝x 2x＋2 D.y ＝t ＋2 5.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，x ＋1x，x >0，若f (f (a ))＝2，则a 等于( ) A.0或1 B.－1或1 C.0或－2 D.－2或－16.已知函数f (x )对任意的x 都有f (x )－2f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.7.(1)已知f (x ＋1)＝2x 2－x ＋3，求f (x ).(2)已知f (f (x ))＝4x ＋9，且f (x )为一次函数，求f (x ).(3)已知函数f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x ，求f (x ).8. ※已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，则函数g (x )＝f (x －1)＋2x －1的定义域是( ) A.{x |x >2，或x <0} B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x <2 C.{x |x >2} D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12 9. ※已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >1，x 2－1，x ≤1，则f (x )<f (x ＋1)的解集为________. 10. ※用max{a ，b }表示a ，b 两个数中的最大值，设函数f (x )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|x |，1x (x >0)，若f (x )≥m －1恒成立，则m 的最大值是________。