均质绳一端固定另一端自由释放时运动规律的研究(定稿)
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p
1 2
gx e F
gx
e F
dy dx
，两边积分得
y
F 2 g
gx
[e F
gx
eF
]，
y
设a
F
，则可整理为
y
a
[e
x a
x
ea
]
g
2
即为悬链线的方程（双曲余弦函数 y ach x ） a
C(x0 , y0 )
M (x, y) B(x0 , y0 )
A(0, a) o
x
图4
如图 4 所示设悬链线的顶点 A(0, a) 到线上任意一点 M (x, y) 的弧长 AM ，长为 s ，则
这是 11 个球杆的位形，L=0.01m，m=1kg,数值模拟如下:
以上图形分别为右端点运动轨迹，右端点竖直加速度与时间关 系，右端点合速度与时间关系，右端点两个分速度与时间关系， 系统的加速度与时间关系。可以发现在误差允许范围内，机械能 是守恒的，右端点的加速度大于献，笔者以为绳子的右端点不是自由 落体运动，若加速度会越来越大，在某段时间内的平均加速度应 该是大于当地重力加速度的！ 7 其它软件的仿真模拟
有 a2 s2 y2
证明：由于
y
a
[e
x a
x
ea
]
，则有
y'
sh
x
,1 ( y')2
1
sh2
x
ch2
x
2
a
a
a
s x 1 ( y')2 dx x ch xdx ash x
0
0a
a
于是 a2 s2 a2 a2sh2 x a2ch2 x y2
a
a
若 设 两 个 悬 点 B( x0 , y0 ) ,C( x0 , y0 ，) 则 有 a2 s2 y0 2， 悬 链 线 的 总 长 度 为
8 实际实验
9 结语 综上所述，笔者以为这个问题中绳
子右端不是自由落体运动，也不是匀加 速直线运动，其加速度会越来越大！本 题作为一个流传甚广的题目，据说已有 近 60 年了！我们都被这个“柔软”两字 给蒙蔽了双眼，也该摘掉它了！真相从 不会缺席，但是可能会迟到！一点粗浅 分析，请大家多多指教，谢谢！
s 2ash x0 a
设绳子总长为 2L0 则有， 2L0
2ash
x a
，由于
a
F g
，则可化简为
sh( x0 F
g)
L0 F
g
。
为了研究问题的方便，不妨设 L0 1, g 1（基于邱为钢教授的归一化研究思想！）则
绳子端点横坐标的绝对值与最低点拉力的关系是一个隐函数，很难有解析解，以下是笔者数 值模拟计算：
4 曹则贤教授的分析
所以，笔者以为根据曹教授的分析，右 端绳子下落时其加速度是大于重力加速度 的！
5 数值模拟分析
根据曹教授的思想，笔者先以 5 个球杆模型来分析，开始的位形如下图所示：
这是个球 5 杆的位形，L=0.01m，m=1kg,数值模拟如下:
以上图形分别为右端点运动轨迹，右端点竖直加速度与时间关系， 右端点合速度与时间关系，右端点两个分速度与时间关系，系统的加 速度与时间关系。可以发现在误差允许范围内，机械能是守恒的，右 端点的后来的加速度大于重力加速！这个案例之所以没有开始加速度 就大于重力加速度，则因为第一球杆数目太少，第二所设定的时间太 短造成的！
dx F 0
dx
dx
F0
p' g 1 p2 , p' dp ，分离变量后积分得
F
dx
dp gdx ，两边积分得
1 p2 F
ln[ p 1 p2 ] g x c ， c 为常量 F
当 x 0 时， dy 0 p ，代入得 c 0 ，整理得 dx
2 gx
gx
1 p2 e F 2 pe F p2 ，得
3 均质绳不动时，其形状是悬链线
建立如图所示的平面直角坐标系，设绳子的右边最高点为 B ，最低点为 A ，最高点（天
花板）对绳子的拉力 T 与水平方向的夹角为 ，绳子最低点受到的拉力为 F ，设整个绳子
的质量为 2m ，
则有
T T
sin cos
mg F
y
T
B
并且对绳子上任意一点有， tan mg dy ， F dx
不难发现，当横坐标趋近于 1 时（绳长的一半）最低点的拉力 趋近于无穷大，相当于是把绳子拉成水平状态是不可能的！当横坐标 趋近于零时，最低点拉力也趋近于零，相当于是两个悬点重合时，最 低点拉力为零，这与实际生活经验相符合！所以只要开始时两端点不 重合，则最低点的拉力就不为零！若右端是自由落体运动，则右端就 会完全失重，右端对最低点微元的拉力就为零，而被拉向左边，使其 加速度大于重力加速度，所以右端不可能是自由落体运动！
A F
o
x
图3
式中 m 为绳子的质量，设绳的线密度为 ，长度为 s ，则 m s ，代入微分方程得
dy gs ，根据曲线的弧长公式 ds 1 ( dy )2 dx ， s x 1 ( dy )2 dx 代入上式得
dx F
dx
0
dx
dy g x 1 ( dy )2 dx 。 设 p dy ， 上 式 可 化 为 p g x 1 p2 dx ， 则 有
均质绳一端固定另一端自由释放时运动规律的研究
黄陂一中试题研究中心：姜付锦 1 题目（《程稼夫力学篇》第 132-133 页！）
2 笔者的一点疑惑
若真如程教授书中所说，右端的绳子是自由落体运动，则根据牛顿力学知识 可知，右端的绳子处完全失重状态，若以绳子最低端某一微元为研究对象，右 端的绳子对它的拉力为零，左边绳子对它的拉力不为零，则这个微元会加速向 左运动，从而使得右端的绳子也会受到向左下方的拉力，使得右端绳子的加速 度大于重力加速度！故假设不成立，右端不是自由落体运动！
