2010年安徽高考理科数学真题及答案本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位．2．答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色签际笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交． 参考公式： 如果事件A 与B 互斥，那么 如果A 与B 是两个任意事件，，那么)()()(B P A P B A P +=+0)(≠A P 如果事件A 与B 相互独立，那么)|()()(A B P A P AB P =)()()(B P A P AB P ≠第Ⅰ卷（选择题 共50分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）是虚数单位，i =+ii 33（A ）（B ） （C ） （D ）12341-i 12341-i 6321+i 6321-（2）若集合，则}21log |{21≥=x x A =A C R （A ） （B ） ⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞⋃-∞,22]0,(⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞,22（C ） （D ） ⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞,22]0,(⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,22（3）设向量，则下列结论中正确的是)21,21(),0,1(==b a（A ） （B ） （C ）垂直 （D ） ||||b a =22=⋅b a b b a 与-b a //（4）若是R 上周期为5的奇函数，且满足则= )(x f ,2)2(,1)1(==f f )4()3(f f -（A ）-1（B ）1（C ）-2 （D ）2（5）双曲线方程为，则它的右焦点坐标为1222=-y x（A ） （B ） （C ） （D ）)0,22()0,25()0,26()0,3(（6）设，二次函数的图象可能是 0>abc c bx ax x f ++=2)(（7）设曲线C 的参数方程为（为参数），⎩⎨⎧+-=+=θθsin 31cos 32y x θ直线的方程为，则曲线C 到直线的距l 023=+-y x l 离为的点的个数为 10107 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（8）一个几何全体的三视图如图，该几何体的表面积为 （A ）280 （B ）292（C ）360 （D ）372（9）动点在圆上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.),(y x A 122=+y x 已知定时t=0时，点A 的坐标是，则当时，动点A 的纵坐标y 关于)23,21(120≤≤t t （单位：秒）的函数的单调递增区间是（A ）[0，1] （B ）[1，7] （C ）[7，12]（D ）[0，1]和[7，12]、（10）设是任意等比数列，它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ，Y ，Z ，则}{n a 下列等式中恒成立的是（A ）（B ）Y Z X 2=+)()(X Z Z X Y Y -=-（C ）（D ）XZ Y=2)()(X Z X X Y Y -=-（在此卷上答题无效）绝密★启用并使用完毕前2010年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科）第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项： 请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）命题“对任何”的否定是 ．3|4||2|,>-+-∈x x R x （12）的展开式中，的系数等于 ． 6⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x y y x 3x （13）设满足约束条件若目标函数的最大值y x ,⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤--≥+-,0,0,048,022y x y x y x )0,0(>>+=b a y abx z 为8，则的最小值为 ．b a +（14）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出值 ． =x （15）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球 的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球 是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结 论的编号）． ①； 52)(1=B P ②；115)|(1=A B P ③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．)(B P 三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）设是锐角三角形，分别是内角A ，B ，C 所对边长，并且ABC ∆c b a ,,.sin )3sin()3sin(sin 22B B B A +-+=ππ（Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若，求（其中）．72,12==⋅a AC AB c b ,c b <（17）（本小题满分12分）设a 为实数，函数 .,22)(R x a x e x f x∈+-= （I ）求的单调区间与极值；)(x f （II ）求证：当时，012ln >->x a 且.122+->ax x e x（18）（本小题满分13分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF//AB ，EF ⊥FB ，AB=2EF ，BF=FC ，H 为BC 的中点.,90︒=∠BFC （I ）求证：FH//平面EDB ； （II ）求证：AC ⊥平面EDB ；（III ）求二面角B—DE—C 的大小.（19）（本小题满分13分）已知椭圆E 经过点A （2，3），对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率 .21=e （I ）求椭圆E 的方程；（II ）求的角平分线所在直线的方程；21AF F ∠l （III ）在椭圆E 上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，l 说明理由.（20）（本小题满分12分）设数列中的每一项都不为0.,,,21 a a ,n a证明，为等差数列的充分必要条件是：对任何，都有}{n a N n ∈ .1111113221++=+++n n n a a n a a a a a a（21）（本小题满分13分）品酒师需要定期接受酒味鉴别功能测试，一种通常采用的测试方法如下：拿出n 瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这n 瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分.现设n=4，分别以表示第一次排序时被排为1，2，3，4的四种酒在第二次4321,,,a a a a 排序时的序号，并令.|4||3||2||1|4321a a a a X -+-+-+-=则X 是对两次排序的偏离程度的一种描述. （I ）写出X 的可能值集合；（II ）假设等可能地为1，2，3，4的各种排列，求X 的分布列； 4321,,,a a a a （III ）某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，2≤X （i ）试按（II ）中的结果，计算出现这种现象的概率（假定各轮测试相互独立）； （ii ）你认为该品酒师的酒味鉴别功能如何？说明理由.参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）B （2）A （3）C （4）A （5）C （6）D （7）B （8）C （9）D （10）D二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）存在 ,-2-4|3x x x ∈≤R 使得||+|（12）15（若只写，也可）2466C C 或（13）4 （14）12 （15）②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，解答写在答题卡上的指定区域内． （16）（本小题满分12分）本题考查两角和的正弦公式，同角三角函数的基本关系，特殊角的三角函数值，向量的数量积，利用余弦定理解三角形等有关知识，考查综合运算求解能力. 解：（I ）因为2211sin sin sin )sin 22A B B B B B =+-+222313cos sin sin ,444sin ,.3B B B A A A π=-+===所以又为锐角所以 （II ）由可得12AB AC ⋅=①cos 12.cb A = 由（I ）知所以,3A π=②24cb =由余弦定理知及①代入，得2222cos ,a c b cb A a =+==将③+②×2，得，所以()100c b 2+=10.c b +=因此，c ，b 是一元二次方程的两个根.210240t t -+=解此方程并由6, 4.c b c b >==知（17）（本小题满分12分）本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和证明函数不等式，考查运算能力、综合分析和解决问题的能力. （I ）解：由()22,()2,.xxf x e x a x f x e x '=-+∈=-∈R R 知令的变化情况如下表：()0,ln 2.,(),()f x x x f x f x ''==得于是当变化时故的单调递减区间是，单调递增区间是，()f x (,ln 2)-∞(ln 2,)+∞处取得极小值，()ln 2f x x =在极小值为ln 2(ln 2)2ln 222(1ln 2).f ea a =-+=-+ （II ）证：设2()21,,xg x e x ax x =-+-∈R 于是()22,.xg x e x a x '=-+∈R 由（I ）知当ln 21,()(ln 2)2(1ln 2)0.a g x g a ''>-=-+>时最小值为,()0,()x g x g x '∈>R R 于是对任意都有所以在内单调递增,于是当 ln 21,(0,),()(0),a x g x g >-∈+∞>时对任意都有而 (0)0,(0,),()0.g x g x =∈+∞>从而对任意即22210,2 1.xxe x ax e x ax -+->>-+故（18）（本小题满分13分）本题考查空间线面平行、线面垂直、面面垂直的判断与证明，考查二面角的求法以及利用向量知识解决几何问题的能力，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力.[综合法]（1）证：设AC 与BD 交于点G ，则G 为AC 的中点，连EG ，GH ， 又H 为BC 的中点， 11//,//,//.22GH AB EF AB EF GH ∴∴又 ∴四边形EFHG 为平行四边形，∴EG//FH ，而EG 平面EDB ，∴FH//平面EDB.⊂ （II ）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC.而EF ⊥FB ，∵EF ⊥平面BFC ，∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH. 又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC. ∴FH ⊥平面ABCD ，∴FH ⊥AC ， 又FH//BC ，∴AC=EG.又AC ⊥BD ，EG BD=G ，∴AG ⊥平面EDB.⋂ （III ）解：EF ⊥FB ，∠BFC=90°，∴BF ⊥平面CDEF ，在平面CDEF 内过点F 作FK ⊥DE 交DE 的延长线于K ， 则∠FKB 为二面角B—DE—C 的一个平面角.设EF=1，则AB=2，，又EF//DC ，∴∠KEF=∠EDC ，∴sin ∠EDC=sin ∠∴FK=EFsin ∠，tan ∠FKB=∴∠FKB=60° BFFK=∴二面角B—DE—C 为60°. [向量法]∵四边形ABCD 为正方形，∴AB ⊥BC ，又EF//AB ，∴EF ⊥BC. 又EF ⊥FB ，∴EF ⊥平面BFC. ∴EF ⊥FH ，∴AB ⊥FH.又BF=FC ，H 为BC 的中点，∴FH ⊥BC ，∴FH ⊥平面ABC.以H 为坐标原点，轴正向，轴正向，HB x 为HF z为建立如图所示坐标系.设BH=1，则A （1，—2，0），B （1，0，0）， C （—1，0，0），D （—1，—2，0），E （0，—1，1）， F （0，0，1）.（I ）证：设AC 与BD 的交点为G ，连GE ，GH ，则(0,1,0),(0,0,1),(0,0,1)//.G CE HF HF GE -∴==∴又平面EDB ，HF 不在平面EDB 内，∴FH ∥平面EBD ，GE ⊂ （II ）证：(2,2,0),(0,0,1),0,.AC GE AC GE AC GE =-=⋅=∴⊥又AC ⊥BD ，EG ∩BD=G ，∴AC ⊥平面EDB.（III ）解：(1,1,1),(2,2,0).BE BD =--=--设平面BDE 的法向量为111(1,,),n y z =则1111110,120,BE n y z BD n y ⋅=--+=⋅=--=111222222121212121,0,(1,1,0).(0,2,0),(1,1,1),(1,,),0,0,(1,0,1),1cos ,,||||2,60,y z n CD CE CDE y z CD y ∴=-==-=-=-=⋅===-⋅<>===⋅∴<>=n n n n n n n n n n n即设平面的法向量为则故即二面角B—DE—C 为60°. （19）（本小题满分13分）本题考查椭圆的定义及标准方程，椭圆的简单几何性质，直线的点斜式方程与一般方程，点到直线的距离公式，点关于直线的对称等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力、探究意识与创新意识.解：（I ）设椭圆E 的方程为22221x y a b +=2222222211,,2,3,221.43c e a c b a c e a x y c e ====-=∴+=由即得椭圆方程具有形式将A （2，3）代入上式，得22131,2,c c c+==解得∴椭圆E 的方程为221.1612x y += （II ）解法1：由（I ）知，所以12(2,0),(2,0)F F -直线AF 1的方程为： 3(2),3460,4y x x y =+-+=即直线AF 2的方程为：2.x =由点A 在椭圆E 上的位置知，直线l 的斜率为正数. 设上任一点，则(,)P x y l 为|346||2|.5x y x -+=-若（因其斜率为负，舍去）. 346510,280x y x x y -+=-+-=得所以直线l 的方程为： 210.x y --=解法2：121212121(2,3),(2,0),(2,0),(4,3),(0,3).114(4,3)(0,3)(1,2).535||||2,:32(1),210.A F F AF AF AF AF AF AF k l y x x y -∴=--=-∴+=--+-=-∴=∴-=---=即 （III ）解法1：假设存在这样的两个不同的点1122(,)(,),B x y C x y 和2121121200001,.2(,),,,22BC y y BC l k x x x x y y BC M x y x y -⊥∴==-++== 设的中点为则由于M 在l 上，故 ①00210.x y -+=又B ，C 在椭圆上，所以有222211221 1.16121612x y x y +=+=与两式相减，得222221210,1612x x y y --+=即12211221()()()()0.1612x x x x y y y y +-+-+=将该式写为， 122112211108262x x y y y y x x +-+⋅+⋅⋅=-并将直线BC 的斜率和线段BC 的中点，表示代入该表达式中， BC k 得② 0000110,320.812x y x y -=-=即①×2—②得，即BC 的中点为点A ，而这是不可能的. 202,3x y ==∴不存在满足题设条件的点B 和C. 解法2：假设存在， 1122(,),(,)B x y C x y l 两点关于直线对称则1,.2BC l BC k ⊥∴=-221,1,21612x y BC y x m =-++=设直线的方程为将其代入椭圆方程得一元二次方程 2222134()48,120,2x x m x mx m +-+=-+-=即则是该方程的两个根，12x x 与由韦达定理得12,x x m +=于是 121213()2,22m y y x x m +=-++=∴B ，C 的中点坐标为 3(,).24m m 又线段BC 的中点在直线 321,1, 4.4m y x m m =-∴=-=上得即B ，C 的中点坐标为（2，3），与点A 重合，矛盾.∴不存在满足题设条件的相异两点.（20）（本小题满分12分）本题考查等差数列、数学归纳法与充要条件等有关知识，考查推理论证、运算求解能力.证：先证必要性设数列则所述等式显然成立，{},0,n a d d =的公差为若若，则0d ≠ 122313212112233122311111111111()1111111(()()(1111(n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a d a a a a a a d a a a a a a a a d a a d a a ++++++++++---=+++=-+-++--=-= 11.n n a a +=再证充分性.证法1：（数学归纳法）设所述的等式对一切都成立，首先，在等式n +∈N ① 122313112a a a a a a +=两端同乘成等差数列，123132123,2,,,a a a a a a a a a +=即得所以记公差为21,.d a a d =+则假设时，观察如下二等式1(1),1k a a k d n k =+-=+当② 12231121111,k k k a a a a a a a a --+++= ， ③ 122311111111k k k k k k a a a a a a a a a a -++++++= 将②代入③，得 111111,k k k k k k a a a a a a ++-+=在该式两端同乘11111,,(1).k k k a a a k a a ka ++-+=得将111(1),,.k k a a k d a a kd +=+-=+代入其中整理后得由数学归纳法原理知，对一切1(1),n n a a n d +∈=+-N 都有所以的等差数列.{}n a d 是公差为证法2：[直接证法]依题意有① 1223111111,n n n n a a a a a a a a +++++= ② 12231121211111.n n n n n n a a a a a a a a a a +++++++++= ②—①得， 12121111n n n n n n a a a a a a +++++=-在上式两端同乘112111,(1),n n n n a a a a n a na ++++=+-得同理可得 ③11(1),n n a na n a +=--③—④得122()n n n na n a a ++=+即是等差数列，211,{}n n n n n a a a a a +++-=-所以（21）（本小题满分13分）本题考查离散型随机变量及其分布列，考查在复杂场合下进行计数的能力，能过设置密切贴近生产、生活实际的问题情境，考查概率思想在现实生活中的应用，考查抽象概括能力、应用与创新意识.解：（I ）X 的可能值集合为{0，2，4，6，8}.在1，2，3，4中奇数与偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个23,a a 13,a a数，因此的奇偶性相同，1334|1||3||2||4|a a a a ++--+-与从而必为偶数.2324(|1||3|)(|2||4|)X a a a a =-+++-+-X 的值非负，且易知其值不大于8.容易举出使得X 的值等于0，2，4，6，8各值的排列的例子.（II ）可用列表或树状图列出1，2，3，4的一共24种排列，计算每种排列下的X 值，在等可能的假定下，得到X 0 2 4 6 8P 124324724924424（III ）（i ）首先，将三轮测试都有41(2)(0)(2)246P X P X P X ≤==+===2X ≤的概率记做p ，由上述结果和独立性假设，得311.2166p == （ii ）由于是一个很小的概率，这表明如果仅凭随机猜测得到三轮测152161000p =<试都有的结果的可能性很小，所以我们认为该品酒师确实有良好的味觉鉴别功2X ≤能，不是靠随机猜测.。
