湖南长沙望城区长郡月亮岛学校2020年九年级下学期特殊角的三角函数值(共13张ppt)
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【新】九年级下册数学 人教版 锐角三角函数--特殊角的三角函数值(知识点+练习题)
b caA CB 锐角三角函数—特殊角的三角函数值【新课知识讲解及巩固】一、考标要求：1、探索并掌握勾股定理及其逆定理。
2、掌握锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的概念。
3、掌握30°、45°、60°角的三角函数值。
会使用计算器求锐角三角函数值，及求三角函数值对应的角度（锐角）。
二、考点梳理：1、三角函数的定义： 在Rt △ABC 中，∠C=90°∠A 的正弦：sinA= ， ∠A 的余弦：cosA = ，∠A 的正切：tanA = 。
2、特殊角的三角函数值0<sin α<1, 0<cos α<1, tan α>03、锐角三角函数之间的关系式： 在Rt △ABC 中，∠C=90°（1）互余关系：sinA cosB ，cosA sinB ；（2）平方关系：A con A 22sin += ；（3）倒数关系：tanA ·tanB= ；4、我们可以利用计算器计算任意一个锐角的三角函数值，反过来，已知一个三角函数值，我们也可以利用计算器求出相应的锐角的大小。
三、考点探视：三个三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、特殊角的三角函数值及简单运用三角函数的定义解题是本节的考查重点，主要以选择题和填空题的形式出现。
1、分别求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值、余弦值和正切值。
三角函数 sin α cos α tan α ︒30︒45︒60∠αA（1） （2）2、在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大2倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值和正切值有什么变化？3、已知Rt △ABC 中,∠C=90°,cosA=35,AB=15,则AC 的长是( ).A.3B.6C.9D.124.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=•6，sinA=35，求cosA 、tanB 的值．5.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•8，tanA=43，求sinA ，cosB 的值． 6、在中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则有（）A ．B ．C ．D ．7、在中，∠C ＝90°，如果cos A=45 ，那么的值为（）A ．35B ．54C ．34D ．436CB A(1)CBA43ABC1312A BC88、Rt △ABC 中，∠C=90°若sinA=31时，tanA= 。
三角函数特殊角值表(完整版)资料
不存在
0
说明：正弦值随角度变化，即0˚30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
1变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
1有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜ ＜90°时，
则0＜sin ＜1； 0＜cos ＜1 ； tan ＞0 ； cot ＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB； cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜ ＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA
《三角函数的应用》
研究性学习开题报告
数学研究性学习小组
2021年11月
一、课题名称：三角函数的应用
二、课题提出的背景：
高一的数学重点是三角函数。他在生活中应用非常广泛，与物理，地理等学科也有密切的关系。为使学生更好的了解数学与生活的联系，以此为研究的课题：
三、课题研究的目的与意义：
1、研究性学习的原因：
若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA．
4、口决记忆法：观察表中的数值特征
正弦、余弦值可表示为 形式，正切、余切值可表示为 形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．
巧记特殊角的三角函数值
初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。
（2）教学课件，网站、文字网站
ENDFOR（3）学生研究活动记录，研究论文及研究报告等。
最终成果形式：（小论文、调查报告、课件、图片等）
（1）sin260°＋cos260 (2) -tan450
0
说明：正弦值随角度变化，即0˚30˚ 45˚ 60˚ 90˚变化；值从0
1变化，其余类似记忆．
3、规律记忆法：观察表中的数值特征，可总结为下列记忆规律：
1有界性：（锐角三角函数值都是正值）即当0°＜ ＜90°时，
则0＜sin ＜1； 0＜cos ＜1 ； tan ＞0 ； cot ＞0。
②增减性：（锐角的正弦、正切值随角度的增大而增大；余弦、余切值随角度的增大而减小），即当0＜A＜B＜90°时，则sinA＜sinB；tanA＜tanB； cosA＞cosB；cotA＞cotB；特别地：若0°＜ ＜45°，则sinA＜cosA；tanA＜cotA
《三角函数的应用》
研究性学习开题报告
数学研究性学习小组
2021年11月
一、课题名称：三角函数的应用
二、课题提出的背景：
高一的数学重点是三角函数。他在生活中应用非常广泛，与物理，地理等学科也有密切的关系。为使学生更好的了解数学与生活的联系，以此为研究的课题：
三、课题研究的目的与意义：
1、研究性学习的原因：
若45°＜A＜90°，则sinA＞cosA；tanA＞cotA．
4、口决记忆法：观察表中的数值特征
正弦、余弦值可表示为 形式，正切、余切值可表示为 形式，有关m的值可归纳成顺口溜：一、二、三；三、二、一；三九二十七．
巧记特殊角的三角函数值
初学三角函数，记忆特殊角三角函数值易错易混。若在理解掌握的基础上，经过变形，使其呈现某种规律，再配以歌诀，则可浅显易记，触目成诵。
（2）教学课件，网站、文字网站
ENDFOR（3）学生研究活动记录，研究论文及研究报告等。
最终成果形式：（小论文、调查报告、课件、图片等）
（1）sin260°＋cos260 (2) -tan450
最新人教版初中数学九年级下册精品课件28.1.3特殊角的三角函数值
B＝ 23，则△ ABC 的形状是( B )
A．直角三角形
B．钝角三角形
C．锐角三角形
D．不能确定
8．【2019·怀化】已知∠α 为锐角，且 sinα＝12，则 ∠α＝( A ) A．30° B．45° C．60° D．90°
9．【2019·襄阳】如图，AD是⊙O的直径，BC是 弦 ， 四 边 形 OBCD 是 平 行 四 边 形 ， AC 与 OB 相交于点P，下列结论错误的是( )
17 2－ 3.
1．【2019·天津】2sin 60°的值等于( C ) A．1 B. 2 C. 3 D．2
2．【2018·黄冈】下列运算结果正确的是( D )
A．3a3·2a2＝6a6
B．(－2a)2＝－4a2
C．tan
45°＝
2 2
D．cos30°＝
3 2
3．【中考·包头】计算 sin245°＋cos 30°·tan 60°，
17．要求 tan 30°的值，可构造如图所示的直角三角形进
行计算：在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，斜边 AB＝2，
直角边 AC＝1，那么 BC＝ 3，∠ABC＝30°，∴tan
30°＝BACC＝
1＝ 3
33.在此图的基础上，通过添加适当
的辅助线，可求出 tan 15°的值，请画出你添加的辅
10．在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是( A )
A．tan A＝csoins AB
B．sin2 A＋2 cos A＝1
C．sin2 AБайду номын сангаасsin2 B＝1 D．tan A·tan B＝1
11．【中考·汕尾】在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，若 sinA
九年级数学PPT特殊角的三角函数值课件
2 1
2
tan 300 3 3
cot 300 3
tan 600 3
cot 600 3 3
300
2
3
1
如图，求
角的四个
sin 450 4三520 角函数值，
2
cos 450 2450 2
450
tan 450 1
2
1
cot 450 1
1
请记住：
30的0 三450角6函00 数值
22
2 6 2
6
6 cot2 600 tan 600
4.
3 tan 300
6 ( 3 )2 3
解：原式
3
(2 3) 3 3 3
3
3 3
2 33 3
2 3 3
练习：计算
1.sin 30 cos2 45 0
3
2.2cos45 2 3
2.在ABC中，A 300, tan B 3, BC 2 3
则AB ________ .
如图，在△ABC中，∠C=90°，
AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC
于D，连结BD，若cos∠BDC=3 ，
求BC的长
5
B
N
5x 4x
C
3x
M
D
5x
A
如图，△ABC中，AB＝AC，∠A ＝30度，AC的垂直平分线分别交
3 3 22
0
例：计算下列各值：
2.sin2 60 cos2 60
解：原式 ( 3 )2 ( 1 )2 22
3 1 sin 2 600 (sin 600)2
44
1
初三常用三角函数值表
初三常用三角函数值表
在初中数学学习中，三角函数是一个非常重要的概念，而
三角函数值表则是初学者经常需要掌握的内容之一。
三角函数包括正弦、余弦和正切三种函数，它们在不同角度下的取值可以通过表格形式展示，方便学生查找和运用。
在初三阶段，学生通常需要熟记特定角度下的三角函数值，这对于解决三角函数问题和推导公式都有很大帮助。
正弦函数值表
角度0°30°45°60°90°
正弦值00.5√2/2√3/21
余弦函数值表
角度0°30°45°60°90°
余弦值1√3/2√2/20.50
正切函数值表
角度0°30°45°60°90°
正切值0√3/31√3不存在
通过上面的三角函数值表，我们可以看到在常见角度下，
正弦、余弦和正切函数的取值情况。
这些数值是通过三角函数的定义和几何图形推导得到的，对于初三学生来说，熟练掌握这些数值对于解答题目是非常有帮助的。
同时，这些数值也在实际生活和工程领域中有着广泛的应用，比如在建筑、航海、天文学等领域都会用到三角函数的概念和数值。
除了常用的角度下的数值，还有一些其他角度下的三角函
数值也是初中阶段需要记住的，比如120°、150°、210°、240°等。
通过不断练习和记忆，学生可以更加熟练地运用三
角函数值，解决各种数学问题，为未来的学习打下坚实的基础。
希望初三的学生能够认真学习三角函数，掌握相关的数值表，提高数学水平，为未来的学习和发展奠定扎实的基础。
九年级下册28.1.3特殊角的三角函数值课件(15PPT)
课本P67练习2
小结：
❖ 特殊角的三角函数值 的记忆方法：
3 3
02 2
例：计算下列各值：
2.si26 n0 co 26s0
解：原 ( 式 3)2(1)2 22
31 44
1 si2n 600(s6 in00)2
课本P67练习1
练习：计算
2.2co4s5 2 3
3.
3cos600 5sin300 1
知识的灵活运用
课本P66页例4 （1）（2）
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/232021/8/232021/8/232021/8/238/23/2021 ❖14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月23日星期一2021/8/232021/8/232021/8/23 ❖15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/232021/8/232021/8/238/23/2021 ❖16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/232021/8/23August 23, 2021 ❖17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/232021/8/232021/8/232021/8/23
特殊角的三角函数值
回顾锐角三角函数的定义
正弦s： inAA斜 的边 对边 余弦c： osAA斜 的边 邻边
正切ta： nA A A的 的邻 对边 边
如图，求 30 0 和60 0 角的四个三角函数值，
sin300 1
3.28.1 第3课时 特殊角的三角函数值
特殊角的三角函数值
1 3 3 解： (1)2－2sin30°cos30°＝2－2× × ＝2－ . 2 2 2 3 2 2 (2) cos60°－sin45°＋ tan 30°＋cos 30°－sin30 ° 4
1 2 3 2 3 2 3 2 1 ＝ － ＋ × ＋ － ＝1－ . 2 2 4 3 2 2 2
sin30° 1 (3) ＋ ＝ 1＋sin60° tan 30°
1 2＋ 3 ＝ ÷ ＋ 3 ＝ 2. 2 2
＋ 3 3 1＋ 2 3
1 2
1
第3课时
特殊角的三角函数值
[ 归纳总结 ] 方法一： (1) 将各角的函数值代入； (2)化简计 算．
方法二：根据代数式的特点，化简整理后再代入求值．
第3课时
特殊角的三角函数值
探究问题二
例2
由特殊角的三角函数值求角的度数
[教材例 4 变式题] 在 Rt△ ABC 中， ∠C＝90°， BC＝ 7 ，
AC＝ 21 ，求∠A，∠B 的度数．
第3课时
特殊角的三角函数值
解： ∵BC＝ 7 ，AC＝ 21 ， BC 7 3 ∴tanA＝ ＝ ＝ ， AC 21 3 AC 21 tanB＝ ＝ ＝ 3， BC 7 ∴∠A ＝30°，∠B ＝60°.
tan60°＝____．
第3课时
特殊角的三角函数值
图28－1－39
第3课时
特殊角的三角函数值
2．如图 28－ 1－40，在 Rt△ABC 中，∠ C＝90°，∠A ＝∠B＝ 45°，设 BC＝1，则 AC＝1，AB＝ 2(为什么)．于是有 sin45°＝
2 2 1 2 2 ______，cos45°＝_______，tan45°＝______．
九年级下册人教版数学课件 28.第3课时 特殊角的三角函
－
3 3
.
17．如果 tan(2α＋10°31′7″)＝1.7515，那么 α＝ 24°52′44″
．
18．已知一个等腰三角形，顶角的度数为 150°，腰长为 4 cm，则该等腰 三角形的面积为_4_c_m_2．
19．(6 分)计算：
(1)(3.14－π)0＋(－12)－2＋|1－ 8|－4cos45°； 解：(1)原式＝1＋4＋2 2－1－4× 22＝4
解：在 Rt△DAE 中，∠DAE＝45°，DE＝3 2 m， ∴sin45°＝ADDE，∴AD＝6 m，在 Rt△ACB 中，∠BAC＝60°， AB＝AD＝6 m，∵sin60°＝ABCB，∴BC＝3 3 m
【综合运用】 22．(10 分)利用下面的图形，我们可以求出 tan30°的值． 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝2，AC＝1，
14．若∠A 是锐角，且 cosA＝43，则( B ) A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
15．已知 2－ 3是关于 x 的方程 x2－4x＋tanα＝0 的一个实数根，则锐角 α 的度数为_4_5_°_．
16．若 a＝3－tan60°，则(1－a－2 1)÷a2－a－6a1＋9＝
28．1 锐角三角函数
第3课时 特殊角的三角函数值
1．填写下表： sinα cosα tanα
30°
1 2
3 2
3 3
45° 2 2
2 2
1
60° 3 2
1 2
3
2.当锐角A是30°，45°或60°的特殊角时，可以求得这些角的三角函 数值；但如果不是这些特殊角时，一般借助 计算或器锐角三角函数表来 求三角函数值．
特殊角的三角函数值初中
特殊角的三角函数值初中哎呀，今天我们聊聊特殊角的三角函数值，真是个有趣的话题！你知道吗，特殊角就是那些特别好用的角，比如30度、45度和60度。
这些角就像三角函数的“明星”，随时都能上场表演。
想象一下，如果把三角函数比作一个乐队，这些特殊角就是乐队里的主唱，台上闪闪发光，谁都不能忽视他们的魅力。
咱们从30度说起。
30度就像是那种特别乖的孩子，特别容易记。
它的正弦值是1/2，简直就像吃西瓜时的一口甜！你只要记住这半个西瓜，其他的就都好办了。
再说它的余弦值，哎，大家都知道，30度的余弦值是√3/2。
这听起来有点复杂，但其实就是个大胖子挤进了小门口，挺有意思的，对吧？轮到45度了。
这个角简直太“中立”了，正弦和余弦的值居然都是√2/2，哈哈，真是公正无私。
就像一块蛋糕，切成了两半，谁都能分到一份。
想象一下，45度在派对上，跟大家分享自己的魅力，那可真是一场盛宴。
无论你是个数学高手还是菜鸟，45度的魅力都会让你心甘情愿地投降。
咱们聊聊60度吧。
60度可是个活泼的小家伙，它的正弦值是√3/2，余弦值却是1/2。
这个角真是个跳跃的小精灵，活泼得很！你要是记住了30度和60度的关系，就像记住了你的好朋友的生日一样，绝对不会出错。
想象一下，60度就像个小调皮，时不时来捣乱，但其实它是个特别靠谱的朋友。
说到这，咱们再补充一点，三角函数的图像。
你有没有想过，这些特殊角的三角函数值，放在图像上，真是太美了！正弦函数的波浪起伏，余弦函数的优雅轮廓，简直就像一场数学的舞蹈。
要是把它们放在舞台上，肯定能吸引一大堆观众，大家都想一睹为快，简直就是“炫耀”的节奏。
嘿，除了这些特殊角，咱们还得提提三角函数的应用。
你知道吗？这些小家伙在生活中随处可见，建筑、航海、工程，哪个地方不需要它们？比如，建一座高楼，得计算角度，三角函数来帮忙，简直就是“打小报告”的好帮手。
三角函数就像个万用工具，能解决各种各样的问题。
记住这些特殊角的值，能让你在考试中如鱼得水，随便拿高分。
人教版九年级数学下册精品教学课件28.1.3特殊角的三角函数值
tan 45 a 1 a
60° 45°
新知探究
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
新知探究
例1 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°
（2）
1 2
2
3 2
2
＝1
cos 45 （2）sin 45
tan
45
2 2 1 22
＝0
新知探究
例2 (1)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB 求∠A的度数．
解： 在图中，
6 ， BC 3 , B
6
3
A
A 45.
(2)如图所示，AO是圆锥的高， OB是底面半径， AO 3OB ，求α的度数．
课堂小测
1.计算3tan 30°的值等于
A.
3
B.3 3
C. 3
2
(A)
3
D. 2
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A= 1 ，且∠B=90°-∠A，
2
则sin B等于 ( C )
1
A. 2
B.
2 2
C. 3
2
D.1
课堂小测
B C
课堂小测
45°
60°
6.如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,
cos 45 sin 45
tan 45
(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?
cos260°表示(cos 60°)2，sin260°表示(sin 60°)2.
60° 45°
新知探究
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角a
三角函数 sin a cos a tan a
30°
1 2 3 2
3 3
45°
2 2
2 2
1
60°
3 2
1 2 3
新知探究
例1 求下列各式的值： （1）cos260°＋sin260°
（2）
1 2
2
3 2
2
＝1
cos 45 （2）sin 45
tan
45
2 2 1 22
＝0
新知探究
例2 (1)如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB 求∠A的度数．
解： 在图中，
6 ， BC 3 , B
6
3
A
A 45.
(2)如图所示，AO是圆锥的高， OB是底面半径， AO 3OB ，求α的度数．
课堂小测
1.计算3tan 30°的值等于
A.
3
B.3 3
C. 3
2
(A)
3
D. 2
2.在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，若sin A= 1 ，且∠B=90°-∠A，
2
则sin B等于 ( C )
1
A. 2
B.
2 2
C. 3
2
D.1
课堂小测
B C
课堂小测
45°
60°
6.如图所示,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OM交于点A,
cos 45 sin 45
tan 45
(1)你知道cos260°与sin260°表示的意义吗?
cos260°表示(cos 60°)2，sin260°表示(sin 60°)2.
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30°、45°、60°角的三角函数值
合作探究 （1）两块三角尺中有几个不同的锐角？ （2）在两个不同的三角板中分别设最小的边为1， 求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
60° 1
30°
45° 1
45°
归纳：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和 正切值如下表：
锐角a 三角 函数
30° 45° 60°
30°、45°、60°角的三角函数值
特殊角的三角 函数值
通过三角函数值求角度
2 2
|＝0，试判断 △ABC 的形状．
2. 已知 α 为锐角，且 tanα 是方程 x2 + 2x －3 = 0 的一 个根，求 2 sin2α + cos2α － tan (α+ 15)的值．
3. 已知在 ABC 中，AB=10，AC= 2 7 ，B 30 求 ABC 的面积.
本节课你学会了什么？
sin a
1
2
3
2
2
2
cos a
3
2
1
2
2
2
tan a
3 1
3
3
典例精析 例1 求下列各式的值：
(1) cos2 60 sin 2 60
提示：cos260°表示(cos60°)2， 即 (cos60°)×(cos60°).
(2)
sin 45 cos 45
tan 45
二 中考链接
计算： ( 10)0 2 1 (1)1 2sin 45
2
三 通过三角函数值求角度
（1） 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AB = 6 ， BC = 3 ，求 ∠A 的度数；
B
6
3
A
பைடு நூலகம்
C
(2) 如图，AO 是圆锥的高，OB 是底面半径， AO = 3 OB，求 α 的度数.
A
O B
中考链接
1. 已知 △ABC 中的 ∠A 与 ∠B 满足
(1－tanA)2 ＋|sinB－
复习
sin
A
=
∠A的对边
斜边
BC . AB
cos
A
=
∠A的邻边
斜边
AC . AB
tan
A
=
∠A的对边
∠A的邻边
BC AC
B
∠A
斜边
的
对
边
A ∠A 的邻边 C
28.1.3 特殊角的三角函数值
学习目标
1. 运用三角函数的概念，自主探索，求出30°、45°、60° 角的三角函数值.（重点）
2. 熟记三个特殊锐角的三角函数值，并能准确地加以运用. (难点)