初中数学二次函数的简单应用

二次函数的应用题型一 几何型【例1】如图，等腰直角三角形ABC 的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，AC 与DE 在同一直线上，开始时C 与D 重合，ABC 沿这条直线向右平移，直到A 与E 重合为止．设CD 的长为x ，ABC 与正方形DEFG 重合部分的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A B C D【例2】如图，在ABC 中，90,12,24B AB mm BC mm ∠===，动点P 从点A 开始沿边AB 向B 以2/mm s 的速度移动（不与点B 重合），点Q 从点B 开始沿边BC 向C 以4/mm s 的速度移动（不与点C 重合）．如果,P Q 分别从,A B 同时出发，那么经过 秒，四边形APQC 的面积最小．【例3】如图，在矩形ABCD 中，()0,8AB m m BC =>=，E 为线段BC 上的动点（不与,B C 重合）．连结DE ，作EF DE ⊥，EF 与射线BA 交于点F ，设,CE x BF y ==． （1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若8m =，求x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？ （3）若12y m=，要使DEF 为等腰三角形，m 的值应为多少？【例4】小张要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD ．设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米． （1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值．题型二 图象型【例5】从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h 与小球运动时间t 之间的关系式为2305h t t =-，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是 ．【例6】某种火箭竖直向上发射时，它的高度()h m 与时间()t s 的关系可以用公式2515010h t t =-++表示，则经过______s ，火箭达到它的最高点．【例7】如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千．拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米．【例8】如图，人工喷泉有一个竖直的喷水枪AB ，喷水口A 距地面2米，喷水水流的轨迹是抛物线，如果要求水流的最高点P 到喷水枪AB 所在直线的距离为1米，且水流着地点C 距离水枪底部B 的距离为2.5米，那么水流的最高点距离地面是多少米？APDCB【例9】如图，足球场上守门员在O 处开出一高球，球从离地面1米的A 处飞出（A 在y 轴上），运动员乙在距O 点6米的B 处发现球在自己头的正上方达到最高点M ，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式． （2）足球第一次落地点C 距守门员多少米？（3）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？【例10】如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30，83OA 米． （1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式； （2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点 ．MA DC B Oyx421题型三 实际型【例11】儿童商场购进一批M 型服装，销售时标价为75元/件，按8折销售仍可获利50%．商场现决定对M 型服装开展促销活动，每件在8折的基础上再降价x 元销售，已知每天销售数量y （件）与降价x （元）之间的函数关系式为()2040y x x =+>． （1）求M 型服装的进价；（2）求促销期间每天销售M 型服装所获得的利润的最大值．【例12】随着南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图②所示（利润与投资量的单位：万元）．（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；（2）若这位园林专业户投资8万元种植花卉和树木，他至少获得多少利润？至多获得多少利润？。

热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。

此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。

只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。

考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。

1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。

初中数学《二次函数的应用》教案2.3二次函数的应用教学目标设计1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

教学方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。

从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)下面是整理的《二次函数》教案8篇(二次函数应用教案设计)，欢迎参阅。

《二次函数》教案1教学目标掌握二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况之间的关系。

重点、难点：二次函数y=ax2+bx+c的图象与一元二次方程ax2+bx+c=0的根之间关系的探索。

教学过程：一、情境创设一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？二、探索活动活动一观察在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、b、c为系数绘制二次函数y=ax2+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。

活动二观察与探索如图1，观察二次函数y=x2-x-6的图象，回答问题:(1)图象与x轴的交点的坐标为A(，),B(，)(2)当x=时，函数值y=0。

(3)求方程x2-x-6=0的解。

(4)方程x2-x-6=0的解和交点坐标有何关系？活动三猜想和归纳(1)你能说出函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0的根的个数有何关系。

（2）一元二次方程ax2+bx+c=0的根的个数由什么来判断？这样我们可以把二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根和根的判别式三者联系起来。

三、例题分析例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。

(1)y=x2-10x+25(2)y=3x2-4x+2(3)y=-2x2+3x-1例2.已知二次函数y=mx2+x-1(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点(2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？(3)当m为何值时，图象与x轴无交点？四、拓展练习1.如图2，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B。

二次函数初中数学教学中的二次函数与应用二次函数是数学中的一个重要概念。

在初中数学教学中，学生通常会学习到二次函数及其应用。

本文将对二次函数在初中数学教学中的教学方法和应用进行论述。

一、二次函数的基本概念二次函数是指函数的定义域为实数集，且可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。

其中a决定了抛物线的开口方向，b决定了抛物线的位置，c决定了抛物线在y轴上的截距。

二、二次函数图像的性质1. 开口方向：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标：抛物线的顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。

3. 对称轴：抛物线的对称轴为直线x=-b/2a。

4. 零点：即抛物线与x轴的交点，可通过求解ax^2 + bx + c = 0的根来得到。

三、二次函数的图像与应用1. 二次函数图像的观察与分析：学生可以通过观察二次函数图像的特点，来分析函数的性质。

比如，当抛物线开口向上时，函数的值随着自变量的增大而增大；当抛物线开口向下时，函数的值随着自变量的增大而减小。

同时，可以通过顶点坐标和对称轴的特点，帮助学生更好地理解和掌握二次函数的图像。

2. 二次函数在几何问题中的应用：二次函数在几何问题中有着广泛的应用。

比如，可以利用二次函数的性质来分析抛物线的高度、最大值、最小值等问题。

同时，可以通过建立二次函数模型，解决与抛物线相关的实际问题，如抛物线的轨迹、碗碟的形状等。

举例：小明站在一个高度为10米的建筑物上往下扔一个物体，假设物体的下落轨迹为抛物线。

已知小明所站的位置为抛物线的顶点，求此抛物线的方程，并分析物体落地的位置。

解答：由题意可知，小明所站的位置为抛物线的顶点，设小明所站的位置为点A，抛物线与地面的交点为点B，则AB的距离为10米。

设抛物线的方程为f(x) = ax^2 + bx + c。

由于顶点的横坐标即为对称轴的横坐标，所以顶点的横坐标为0，即b/2a = 0，解得b=0。

二次函数：了解它的定义、性质和应用在初中数学中，我们学习了很多关于函数的知识。

其中，二次函数是一种非常常见的函数形式，被广泛应用于各个领域，例如经济学、物理学等。

本文将为您详细介绍二次函数的定义、性质和应用。

1. 什么是二次函数？二次函数是指形如$y=ax^2+bx+c$ 的函数，其中$a,b,c$ 都是实数且$a\neq0$。

其中，$a$ 控制着二次函数的开口方向和大小，$b$ 控制着二次函数的平移位置，$c$ 则是二次函数的纵截距。

2. 二次函数的性质（1）对称性二次函数的图像关于其顶点对称。

当$a>0$ 时，二次函数开口朝上，顶点为最小值点；当$a<0$ 时，二次函数开口朝下，顶点为最大值点。

（2）零点二次函数的零点是指函数图像与 $x$ 轴相交的点。

当 $b^2-4ac>0$ 时，二次函数有两个不同的实根；当$b^2-4ac=0$ 时，二次函数有一个重根；当$b^2-4ac<0$ 时，二次函数没有实根。

（3）最值当 $a>0$ 时，二次函数的最小值等于其顶点的纵坐标；当 $a<0$ 时，二次函数的最大值等于其顶点的纵坐标。

3. 二次函数的应用（1）物理学在物理学中，二次函数常被用于描述抛物线运动。

例如，一个运动物体在重力作用下的运动轨迹就可以用二次函数来表示。

（2）经济学在经济学中，二次函数常被用于分析成本和收益之间的关系。

例如，一家企业的生产成本可以用二次函数来表示，通过求导可以得到该企业的最优生产量。

（3）统计学在统计学中，二次函数常被用于拟合散点图。

例如，通过将散点图拟合成二次函数，可以预测出未来的趋势和表现。

总结在本文中，我们详细介绍了二次函数的定义、性质和应用。

二次函数在数学和其他学科中都有着广泛的应用，是我们必须掌握的一种函数形式。

希望本文对您学习二次函数有所帮助。

中考初中数学一轮复习专题导引40讲第15讲二次函数的应用☞考点解读：知识点名师点晴二次函数的应用1.实际背景下二次函数的关系会运用二次函数的性质求函数的最大值或最小值来解决最优化问题。

2.将实际问题转化为数学中二次函数问题会根据具体情景，建立适当的平面直角坐标系。

3.利用二次函数来解决实际问题的基本思路（1）理解问题；（2）分析问题中的变量和常量；（3）用函数表达式表示出它们的关系；（4）利用二次函数的有关性质进行求解；（5）检验结果的合理性，对问题加以拓展。

☞考点解析：考点1：二次函数与几何的综合运用。

基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性。

基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想。

注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面。

【例1】（湖北十堰·12分）已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP 和BC的解析式，k相等则两直线平行；（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△AB E有可能相似，即△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．解：（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，解得：x=﹣2或4，∴C（4，0），如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，∵S△PBO=S△PBC，∴，∴OE=CF，易得△OEG≌△CFG，∴OG=CG=2，设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，tan∠PBM===，∴BM=2PM，∴4+x2﹣x﹣4=2x，x2﹣6x=0，x1=0（舍），x2=6，∴P（6，8），易得AP的解析式为：y=x+2，BC的解析式为：y=x﹣4，∴AP∥BC；（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC.△ABE.△ACE.△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，∴∠ABE=∠ACB=45°，∴△ABE∽△ACB，∴，∴，∴AE=，∴E（，0），∵B（0，﹣4），易得BE：y=，则x2﹣x﹣4=x﹣4，x1=0（舍），x2=，∴D；C.EABEC.E，C.E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，∵∠BEA=∠BEC，∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，∴==，设BE=2m，CE=4m，Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，∴，3m2﹣8m+8=0，（m﹣2）（3m﹣2）=0，m1=2，m2=，∴OE=4m﹣4=12或，OE=C.EOE= C.E∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C.E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，∴E（﹣12，0）；同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，x=或0（舍）∴D（，﹣）；综上，点D的坐标为或（，﹣）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、一次函数的解析式、相似三角形的性质和判定、一元二次方程、三角形面积以及勾股定理，第3问有难度，确定三角形与△ABE相似并画出图形是关键．【变式1】（四川省攀枝花）如图，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2﹣bx+c与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0）（x1＜x2）两点，与y轴交于C点，且+=﹣．（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线顶点为D，直线BD交y轴于E点；B.DP为线段BD上一点（点P不与B.D两点重合），过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，求△BDF 面积的最大值；②在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：（1）∵抛物线对称轴为直线x=1∴﹣∴b=2由一元二次方程根与系数关系：x1+x2=﹣，x1x2=∴+==﹣∴﹣则c=﹣3∴抛物线解析式为：y=x2﹣2x﹣3（2）由（1）点D坐标为（1，﹣4）当y=0时，x2﹣2x﹣3=0解得x1=﹣1，x2=3∴点B坐标为（3，0）①设点F坐标为（a，b）∴△BDF的面积S=×（4﹣b）（a﹣1）+（﹣b）（3﹣a）﹣×2×4整理的S=2a﹣b﹣6∵b=a2﹣2a﹣3∴S=2a﹣（a2﹣2a﹣3）﹣6=﹣a2+4a﹣3∵a=﹣1＜0∴当a=2时，S最大=﹣4+8﹣3=1②存在由已知点D坐标为（1，﹣4），点B坐标为（3，0）∴直线BD解析式为：y=2x﹣6则点E坐标为（0，﹣6）BC.CDBC.CD，则由勾股定理CB2=（3﹣0）2+（﹣3﹣0）2=18CD2=12+（﹣4+3）2=2BD2=（﹣4）2+（3﹣1）2=20∴CB2+CD2=BD2∴∠BDC=90°∵∠BDC=∠QCE∴∠QCE=90°∴点Q纵坐标为﹣3代入﹣3=2x﹣6∴x=∴存在点Q坐标为（，﹣3）【例2】（云南省曲靖）如图：在平面直角坐标系中，直线l：y=x﹣与x轴交于点A，经过点A 的抛物线y=ax2﹣3x+c的对称轴是x=．（1）求抛物线的解析式；（2）平移直线l经过原点O，得到直线m，点P是直线m上任意一点，PB⊥x轴于点B，PC⊥y轴于点C，若点E在线段OB上，点F在线段OC的延长线上，连接PE，PF，且PE=3PF．求证：PE⊥PF；（3）若（2）中的点P坐标为（6，2），点E是x轴上的点，点F是y轴上的点，当PE⊥PF时，抛物线上是否存在点Q，使四边形PEQF是矩形？如果存在，请求出点Q的坐标，如果不存在，请说明理由．解：（1）当y=0时，x﹣=0，解得x=4，即A（4，0），抛物线过点A，对称轴是x=，得，解得，抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4；（2）∵平移直线l经过原点O，得到直线m，∴直线m的解析式为y=x．∵点P是直线1上任意一点，∴设P（3a，a），则PC=3a，PB=a．又∵PE=3PF，∴=．∴∠FPC=∠EPB．∵∠CPE+∠EPB=90°，∴∠FPC+∠CPE=90°，∴FP⊥PE．（3）如图所示，点E在点B的左侧时，设E（a，0），则BE=6﹣a．∵CF=3BE=18﹣3a，∴OF=20﹣3a．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=4或a=8（舍去）．∴Q（﹣2，6）．如下图所示：当点E在点B的右侧时，设E（a，0），则BE=a﹣6．∵CF=3BE=3a﹣18，∴OF=3a﹣20．∴F（0，20﹣3a）．∵PEQF为矩形，∴=，=，∴Q x+6=0+a，Q y+2=20﹣3a+0，∴Q x=a﹣6，Q y=18﹣3a．将点Q的坐标代入抛物线的解析式得：18﹣3a=（a﹣6）2﹣3（a﹣6）﹣4，解得：a=8或a=4（舍去）．∴Q（2，﹣6）．综上所述，点Q的坐标为（﹣2，6）或（2，﹣6）．【变式2】【例3】（湖北江汉·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折，抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A，B，D的坐标分别为，，；（2）如图①，抛物线翻折后，点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时，求t的取值范围；（3）如图②，当t=0时，若Q是“M”形新图象上一动点，是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A.B的坐标，再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标，根据点B.C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组，解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m，分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况，利用勾股定理找出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，进而可找出点P的坐标，此题得解．解：（1）当y=0时，有﹣x2+x﹣1=0，解得：x1=，x2=3，∴点A的坐标为（，0），点B的坐标为（3，0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+，∴点D的坐标为．故（，0）；（3，0）；．（2）∵点E.点D关于直线y=t对称，∴点E的坐标为（，2t﹣）．当x=0时，y=﹣x2+x﹣1=﹣1，∴点C的坐标为（0，﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b，将B（3，0）、C（0，﹣1）代入y=kx+b，，解得：，∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界），∴，解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时，y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时，y=x2﹣x+1．假设存在，设点P的坐标为（m，0），则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时，点Q的坐标为（m，﹣x2+x﹣1）（如图1），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2，整理，得：m1=，m2=，∴点P的坐标为（，0）或（，0）；②当≤m≤3时，点Q的坐标为（m，x2﹣x+1）（如图2），∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，∴CP⊥PQ，∴CQ2=CP2+PQ2，即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2，整理，得：11m2﹣28m+12=0，解得：m3=，m4=2，∴点P的坐标为（，0）或（1，0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P，点P的坐标为（，0）、（，0）、（1，0）或（，0）．【变式3】（辽宁省沈阳市）（12.00分）如图，在平面角坐标系中，抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1），抛物线C2：y=2x2+x+1，动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M．（1）求抛物线C1的表达式；（2）直接用含t的代数式表示线段MN的长；（3）当△AMN是以MN为直角边的等腰直角三角形时，求t的值；（4）在（3）的条件下，设抛物线C1与y轴交于点P，点M在y轴右侧的抛物线C2上，连接AM交y 轴于点k，连接KN，在平面内有一点Q，连接KQ和QN，当KQ=1且∠KNQ=∠BNP时，请直接写出点Q 的坐标．【分析】（1）应用待定系数法；（2）把x=t带入函数关系式相减；（3）根据图形分别讨论∠ANM=90°、∠AMN=90°时的情况．（4）根据题意画出满足条件图形，可以找到AN为△KNP对称轴，由对称性找到第一个满足条件Q，再通过延长和圆的对称性找到剩余三个点．利用勾股定理进行计算．解：（1）∵抛物线C1：y=ax2+bx﹣1经过点A（﹣2，1）和点B（﹣1，﹣1）∴解得：∴抛物线C1：解析式为y=x2+x﹣1（2）∵动直线x=t与抛物线C1交于点N，与抛物线C2交于点M∴点N的纵坐标为t2+t﹣1，点M的纵坐标为2t2+t+1∴MN=（2t2+t+1）﹣（t2+t﹣1）=t2+2（3）共分两种情况①当∠ANM=90°，AN=MN时，由已知N（t，t2+t﹣1），A（﹣2，1）∴AN=t﹣（﹣2）=t+2∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0（舍去），t2=1∴t=1②当∠AMN=90°，AN=MN时，由已知M（t，2t2+t+1），A（﹣2，1）∴AM=t﹣（﹣2）=t+2，∵MN=t2+2∴t2+2=t+2∴t1=0，t2=1（舍去）∴t=0故t的值为1或0（4）由（3）可知t=1时M位于y轴右侧，根据题意画出示意图如图：易得K（0，3），B.O、N三点共线∵A（﹣2，1）N（1，1）P（0，﹣1）∴点K、P关于直线AN对称设⊙K与y轴下方交点为Q2，则其坐标为（0，2）∴Q2与点P关于直线AN对称∴Q2是满足条件∠KNQ=∠BNP．则NQ2延长线与⊙K交点Q1，Q1.Q2关于KN的对称点Q3.Q4也满足∠KNQ=∠BNP．由图形易得Q1（﹣3，3）设点Q3坐标为（a，b），由对称性可知Q3N=NQ1=BN=2由∵⊙K半径为1∴解得，1同理，设点Q4坐标为（a，b），由对称性可知Q4N=NQ2=NO=∴解得，∴满足条件的Q点坐标为：（0，2）、（﹣3，3）、、【点评】本题为代数几何综合题，考查了二次函数基本性质．解答过程中应用了分类讨论、数形结合以及构造数学模型等数学思想．考点2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值。

九年级上册数学二次函数求最值
二次函数是初中数学中比较重要的一部分，其中求最值在应用中也十分常见。

下面我们来具体看一下二次函数求最值的方法和应用。

一、二次函数的基本概念
1.一般式：$y=ax^{2}+bx+c$
2.顶点式：$y=a(x-h)^{2}+k$
3.轴对称性：对称轴为直线$x=h$
4.单调性：当$a>0$时，图像开口向上，函数单调递增；当$a<0$时，图像开口向下，函数单调递减。

5.极值与最值：当$a>0$时，二次函数在顶点处取得最小值，叫做最小值；当$a<0$时，二次函数在顶点处取得最大值，叫做最大值。

二、二次函数求最值的方法
1.化简法：将二次函数化简成顶点式，直接读出最值。

2.公式法：应用二次函数最值的公式，即$y=\frac{-\Delta}{4a}$。

3.判别式法：应用二次函数的判别式，$\Delta=b^{2}-4ac$。

如果
$\Delta>0$，则函数有两个零点，此时最值在两个零点中较小的那一个取得；如果$\Delta=0$，则函数只有一个零点，此时最值就是该点的纵坐标；如果$\Delta<0$，则函数没有零点，最值在顶点处取得。

三、二次函数求最值的应用举例
1.确定二次函数的最大值或最小值；
2.确定二次函数含参方程的最大值或最小值；
3.求解物理问题中的极值；
4.用二次函数求解最大面积或最短路程问题；
5.用最大值或最小值求解最佳决策问题。

以上就是二次函数求最值的基本概念、方法和应用的介绍。

掌握了这些知识点，我们就能够在实际问题中运用二次函数求解最值的问题。

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩二次函数与一次函数及反比例函数的综合二次函数的几何变换二次函数应用二次函数与方程二次函数与不等式二次函数的实际应用一．直线与抛物线的交点（1）y 轴与抛物线2y ax bx c =++的交点为()0c ，. （2）与y 轴平行的直线x h =与抛物线2y ax bx c =++有且只有一个交点()2h ah bh c ++，. （3）抛物线与x 轴的交点:二次函数2y ax bx c =++的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程20ax bx c ++=的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点⇔0∆>⇔抛物线与x 轴相交；②有一个交点（顶点在x 轴上）⇔0∆=⇔抛物线与x 轴相切；【方法技巧】【知识梳理】③没有交点⇔0∆<⇔抛物线与x 轴相离.（4）直线与抛物线的交点，可以联立方程来求交点，交点的个数可以通过判断联立方程的△的正负性，可能有0个交点、1个交点、2个交点.（5）抛物线与x 轴两交点之间的距离．若抛物线2y ax bx c =++与x 轴两交点为()()1200A x B x ，，，，12AB x x =- 二、二次函数常用的解题方法（1）求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；（2）求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； （3）根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；（4）二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.三、二次函数图象的平移变换平移规律：在原有函数的基础上“左加右减”，（1）若为一般式2y ax bx c =++，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位， 则解析式为()()2y a x m b x m c n =±+±+±（2）若为顶点式()2y a x h k =-+，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()2y a x h m k n =-±+±（3）若为双根式()()12y a x x x x =--，往左（右）平移m 个单位，往上（下）平移n 个单位，则解析式为()()12y a x x m x x m n =-±-±±四、二次函数图象的几何变换二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；4. 关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 五、二次函数与实际应用 1、二次函数求最值的应用依据实际问题中的数量关系，确定二次函数的解析式，结合方程、一次函数等知识解决实际问题．【注意】对二次函数的最大（小）值的确定，一定要注意二次函数自变量的取值范围，同时兼顾实际问题中对自变量的特殊要求，结合图像进行理解． 2、利用图像信息解决问题 两种常见题型：（1）观察点的特点，验证满足二次函数的解析式及其图像，利用二次函数的性质求解； （2）由图文提供的信息，建立二次函数模型解题．【注意】获取图像信息，如抛物线的顶点坐标，与坐标轴的交点坐标等． 3、建立二次函数模型解决问题利用二次函数解决抛物线的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线所对应的函数解析式，通过解析式解决一些测量问题或其他问题．【注意】构建二次函数模型时，建立适当的平面直角坐标系是关键。

第十三讲 二次函数的应用知识清单·熟掌握抛物线型问题应用二次函数解决抛物线型实际问题的思路1．建立平面直角坐标系：根据题意，建立适当的坐标系，建系的原则一般是把顶点作为坐标原点．2．设函数解析式：根据所建立的坐标系，设出解析式．3．求解析式：将题中所给的数据转化为点的坐标，代入函数解析式，求出待定系数，确定函数解析式．4．解决实际问题：把问题转化为已知抛物线上点的横坐标(或纵坐标)，求其纵坐标(或横坐标)，再转化为线段的长，解决实际问题．1．飞机着陆后滑行的距离y(单位：m)与滑行时间t(单位：s)的函数关系式满足y ＝－65 t 2＋60t ，则飞机着陆至停下来滑行的距离是25 m ．(×) 2．小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y(米)与水平距离x(米)之间的关系大致满足二次函数y ＝－112 x 2＋23 x ＋53，则小强此次成绩为10米．(√)利润最大化问题应用二次函数性质解决最优化问题的思路1．分析题中数量关系，确定变量．2．根据等量关系，构建二次函数模型．3．根据函数性质，确定最值．在实际问题中二次函数的最值不一定是顶点的纵坐标，要注意自变量的取值的限制对最值的影响．考点一应用二次函数解决抛物线型实际问题类型一：隧道和拱桥问题【典例1】(2021·衢州中考)如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24 m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5 m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．(1)求桥拱顶部O离水面的距离．(2)如图2，桥面上方有3根高度均为4 m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1 m.①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【思路点拨】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可．【自主解答】(1)根据题意可知点F 的坐标为(6，－1.5)，可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1＝a 1x 2.将F(6，－1.5)代入y 1＝a 1x 2有：－1.5＝36a 1，求得a 1＝－124 ， ∴y 1＝－124x 2， 当x ＝12时，y 1＝－124×122＝－6， ∴桥拱顶部离水面高度为6 m.(2)①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为(6，1)，可设其表达式为y 2＝a 2(x －6)2＋1，将H(0，4)代入其表达式有：4＝a 2(0－6)2＋1，求得a 2＝112 ， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y ＝112(x －6)2＋1， ②设彩带的长度为L m ，则L ＝y 2－y 1＝112 (x －6)2＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－124x 2 ＝18 x 2－x ＋4＝18 (x －4)2＋2， ∴当x ＝4时，L 最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2 m ．类型二：运动轨迹问题【典例2】(2021·北部湾中考)2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线C 1：y ＝－112 x 2＋76x ＋1近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 运动． (1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线C 2的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围).(2)在(1)的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？(3)当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b 的取值范围．【思路点拨】(1)根据题意将点(0，4)和(4，8)代入C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 求出b ，c 的值即可写出C 2的函数解析式；(2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1，解出m 即可； (3)求出山坡的顶点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫7，6112 ，根据题意即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112，再解出b 的取值范围即可． 【自主解答】(1)由题意可知抛物线C 2：y ＝－18x 2＋bx ＋c 过点(0，4)和(4，8)，将其代入得：⎩⎪⎨⎪⎧4＝c 8＝－18×42＋4b ＋c ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝32c ＝4 ，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝－18 x 2＋32 x ＋4. (2)设运动员运动的水平距离为m 米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米，依题意得：－18 m 2＋32 m ＋4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－112m 2＋76m ＋1 ＝1， 整理得：(m －12)(m ＋4)＝0，解得：m 1＝12，m 2＝－4(舍去)，故运动员运动的水平距离为12米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米．(3)C 1：y ＝－112 x 2＋76 x ＋1＝－112 (x －7)2＋6112， 当x ＝7时，运动员到达坡顶，即－18 ×72＋7b ＋4＞3＋6112， 解得：b ＞3524.此类问题一般涉及抛球、投篮、隧道、拱桥、喷泉水柱等．解决此类问题的关键是理解题目中的条件所表示的几何意义．最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的c 值，落地点为抛物线与x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值．(1)投篮判断是否能投中即判断篮网是否在球的运动轨迹所在的抛物线图象上；(2)判断货车是否能通过隧道即判断两端点的坐标是否在抛物线的下方；(3)判断船是否能通过拱桥即判断船的高度是否比船自身的宽度对应的y 值小；(4)判断人是否会被喷泉淋湿即判断人所处位置的水的高度是否比人的身高低．(2021·台州中考)以初速度v(单位：m/s)从地面竖直向上抛出小球，从抛出到落地的过程中，小球的高度h(单位：m)与小球的运动时间t (单位：s)之间的关系式是h＝vt－4.9t2.现将某弹性小球从地面竖直向上抛出，初速度为v1，经过时间t1落回地面，运动过程中小球的最大高度为h1(如图1)；小球落地后，竖直向上弹起，初速度为v2，经过时间t2落回地面，运动过程中小球的最大高度为h2(如图2).若h1＝2h2, 则t1∶t2＝__ 2 __．考点二利润最大化问题类型一：顶点处取最值【典例3】(2021·达州中考)渠县是全国优质黄花主产地，某加工厂加工黄花的成本为30元/千克，根据市场调查发现，批发价定为48元/千克时，每天可销售500千克，为增大市场占有率，在保证盈利的情况下，工厂采取降价措施，批发价每千克降低1元，每天销量可增加50千克．(1)写出工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系．当降价2元时，工厂每天的利润为多少元？(2)当降价多少元时，工厂每天的利润最大，最大为多少元？(3)若工厂每天的利润要达到9 750元，并让利于民，则定价应为多少元？【解析】(1)由题意得：W＝(48－30－x)(500＋50x)＝－50x2＋400x＋9 000，x＝2时，W＝(48－30－2)(500＋50×2)＝9 600(元)，答：工厂每天的利润W元与降价x元之间的函数关系为W＝－50x2＋400x ＋9 000，当降价2元时，工厂每天的利润为9 600元；(2)由(1)得：W＝－50x2＋400x＋9 000＝－50(x－4)2＋9 800，∵－50＜0，∴x＝4时，W最大为9 800，即当降价4元时，工厂每天的利润最大，最大为9 800元．(3)－50x2＋400x＋9 000＝9 750，解得：x1＝3，x2＝5，∵让利于民，∴x1＝3不合题意，舍去，∴定价应为48－5＝43(元)，答：定价应为43元．类型二：不在顶点处取最值【典例4】(2021·鄂州中考)为了实施乡村振兴战略，帮助农民增加收入，市政府大力扶持农户发展种植业，每亩土地每年发放种植补贴120元．张远村老张计划明年承租部分土地种植某种经济作物．考虑各种因素，预计明年每亩土地种植该作物的成本y(元)与种植面积x(亩)之间满足一次函数关系，且当x＝160时，y＝840；当x＝190时，y＝960.(1)求y与x之间的函数关系式(不求自变量的取值范围).(2)受区域位置的限制，老张承租土地的面积不得超过240亩．若老张明年销售该作物每亩的销售额能达到2 160元，当种植面积为多少时，老张明年种植该作物的总利润最大？最大利润是多少？(每亩种植利润＝每亩销售额－每亩种植成本＋每亩种植补贴)【思路点拨】(1)根据已知条件用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)根据题意写出利润关于种植面积的解析式，然后根据x≤240和二次函数的性质求出利润的最大值．【自主解答】(1)设y 与x 之间的函数关系式y ＝kx ＋b(k≠0)，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧840＝160k ＋b 960＝190k ＋b ，解得：⎩⎪⎨⎪⎧k ＝4b ＝200 ， ∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝4x ＋200；(2)设老张明年种植该作物的总利润为W 元，依题意得： W ＝[2 160－(4x ＋200)＋120]·x＝－4x 2＋2 080x ＝－4(x －260)2＋270 400，∵－4<0，∴当x<260时，W 随x 的增大而增大，由题意知： x≤240，∴当x ＝240时，W 最大，最大值为－4(240－260)2＋270 400＝268 800(元)， 答：种植面积为240亩时总利润最大，最大利润268 800元． 类型三：在自变量不同取值范围上求最值【典例5】(2020·荆门中考)2020年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年，荆门市政府加大各部门和单位对口扶贫力度．某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按30天计)的第x 天(x 为正整数)的销售价格p(元/千克)关于x(天)的函数关系式为p ＝⎩⎪⎨⎪⎧25x ＋4（0<x≤20）－15x ＋12（20<x≤30） ，销售量y(千克)与x 之间的关系如图所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)当月第几天，该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？(销售额＝销售量×销售价格)【思路点拨】(1)根据函数图象中的数据，可以得到y 与x 之间的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)根据题意和(1)中的结果，可以得到利润与x 之间的函数关系，然后根据二次函数的性质，即可得到当月第几天，该农产品的销售额最大，最大销售额是多少．【解析】(1)当0＜x≤20时，设y 与x 的函数关系式为y ＝ax ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝8020a ＋b ＝40 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝80 ， 即当0＜x≤20时，y 与x 的函数关系式为y ＝－2x ＋80，当20＜x≤30时，设y 与x 的函数关系式为y ＝mx ＋n ，则⎩⎪⎨⎪⎧20m ＋n ＝4030m ＋n ＝80 ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4n ＝－40 ， 即当20＜x≤30时，y 与x 的函数关系式为y ＝4x －40，由上可得，y 与x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋80（0<x≤20）4x －40（20<x≤30） . (2)设当月第x 天的销售额为w 元，当0＜x≤20时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x ＋4 ×(－2x ＋80) ＝－45(x －15)2＋500，∴当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500，当20＜x≤30时，w ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－15x ＋12 ×(4x－40)＝－45 (x －35)2＋500， ∴当x ＝30时，w 取得最大值，此时w ＝480，由上可得，当x ＝15时，w 取得最大值，此时w ＝500.答：当月第15天，该农产品的销售额最大，最大销售额是500元．1．求关于利润的二次函数解析式的两种思路(1)若题目给出销售量与单价之间的函数解析式，以及销售单价与进价之间的关系时，则可直接根据：销售利润＝销售总额－成本＝销售量×销售价－销售量×进价＝销售量×(销售价－进价)来解决；(2)若题目中未给出销售量与单价之间的函数解析式，则要先求出销售量与单价之间的函数解析式，解析式一般是一次函数关系，再根据销售利润＝销售量×(销售价－进价)来解决．2．求二次函数的最值的两种方法(1)可直接利用公式法求顶点的纵坐标，即y ＝ax 2＋bx ＋c 的最大值为4ac －b 24a (a ＜0)或最小值为4ac －b 24a(a ＞0). (2)若顶点在已知给定的自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最大值或最小值；若顶点不在已知给定的自变量取值范围内，则根据二次函数的性质判断所给自变量取值范围的两端点处对应的函数值大小，从而确定最值．1．(2021·连云港中考)某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是__1__264__元．2．(2021·南充中考)超市购进某种苹果，如果进价增加2元/千克要用300元；如果进价减少2元/千克，同样数量的苹果只用200元．(1)求苹果的进价；(2)如果购进这种苹果不超过100千克，就按原价购进；如果购进苹果超过100千克，超过部分购进价格减少2元/千克，写出购进苹果的支出y(元)与购进数量x(千克)之间的函数关系式；(3)超市一天购进苹果数量不超过300千克，且购进苹果当天全部销售完，据统计，销售单价z(元/千克)与一天销售数量x(千克)的关系为z＝－1100 x＋12.在(2)的条件下，要使超市销售苹果利润w(元)最大，求一天购进苹果数量．(利润＝销售收入－购进支出)【解析】(1)设苹果的进价为x元/千克，根据题意得：300x＋2＝200x－2，解得：x＝10，经检验x＝10是原方程的根，且符合题意，答：苹果的进价为10元/千克．(2)当0≤x≤100时，y＝10x；当x ＞100时，y ＝10×100＋(x －100)(10－2)＝8x ＋200；∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10x （0≤x≤100）8x ＋200（x ＞100）. (3)当0≤x≤100时，w ＝(z －10)x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 x ＝－1100(x －100)2＋100， ∴当x ＝100时，w 有最大值为100；当100＜x≤300时，w ＝(z －10)×100＋(z －8)(x －100)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－10 ×100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1100x ＋12－8 (x －100) ＝－1100x 2＋4x －200 ＝－1100(x －200)2＋200， ∴当x ＝200时，w 有最大值为200；∵200＞100，∴一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大，为200元． 答：一天购进苹果数量为200千克时，超市销售苹果利润最大． 考点三 几何图形面积问题【典例6】 (2020·孝义市质检)如图所示，正方形区域ABCD 是某公园健身广场示意图，公园管理处想在其四个角的三角形区域内种植草皮加以绿化(阴影部分)，剩余部分安装健身器材作为市民健身活动场所(四边形EFGH)，其中AB＝100米，且AE＝AH＝CF＝CG.则当AE的长度为多少时，市民健身活动场所的面积达到最大？【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.∵AE＝AH＝CF＝CG，∴BE＝BF＝DG＝DH，∴△AHE，△BEF，△CGF，△DGH都是等腰直角三角形；设AE＝x米，则BE＝(100－x)米．设四边形EFGH的面积为S，则S＝100×100－2×12 x2－2×12(100－x)2＝－2x2＋200x(0＜x＜100).∵S＝－2(x－50)2＋5 000.∵－2＜0，∴当x＝50时，S有最大值为5 000.答：当AE＝50米时，市民健身活动场所的面积达到最大．解决此类问题一般是根据几何图形的性质，先找变量，再确定变量与该图形周长或面积之间的关系，用变量表示出其他边的长，从而确定二次函数的解析式，再根据题意及二次函数的性质解题即可．(2019·连云港中考)如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°.若新建墙BC与CD总长为12 m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是(C)A ．18 m 2B ．18 3 m 2C ．24 3 m 2D ．4532 m 2人教版九年级下册 P29 练习 T2某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大？【思路点拨】设出每间房的定价，从而利用租房利润减去维护费，可得利润函数，利用配方法，即可求得结论．【自主解答】设房价为(180＋10x)元，则定价增加了10x 元，此时空闲的房间为x ，由题意得，y ＝(180＋10x)(50－x)－(50－x)×20＝－10x 2＋340x ＋8000＝－10(x －17)2＋10890故可得当x ＝17，即房间定价为180＋170＝350元的时候利润最大． 答：房间定价为350元时，利润最大．(变换条件与问法)(2021·济宁中考)某商场购进甲、乙两种商品共100箱，全部售完后，甲商品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商品比乙商品每箱多盈利5元．(1)求甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？(2)甲、乙两种商品全部售完后，该商场又购进一批甲商品，在原每箱盈利不变的前提下，平均每天可卖出100箱．如调整价格，每降价1元，平均每天可多卖出20箱，那么当降价多少元时，该商场利润最大？最大利润是多少？【解析】(1)设甲种商品每箱盈利x 元，则乙种商品每箱盈利(x －5)元， 根据题意得：900x ＋400x －5＝100， 整理得：x 2－18x ＋45＝0，解得：x ＝15或x ＝3(舍去)，经检验，x ＝15是原分式方程的解，符合实际，∴x －5＝15－5＝10(元)，答：甲种商品每箱盈利15元，则乙种商品每箱盈利10元．(2)设甲种商品降价a 元，则每天可多卖出20a 箱，利润为w 元，由题意得：w ＝(15－a)(100＋20a)＝－20a 2＋200a ＋1 500＝－20(a －5)2＋2 000，∵－20<0，∴当a ＝5时，函数有最大值，最大值是2 000元．答：当降价5元时，该商场利润最大，最大利润是2 000元.(变换条件与问法)(2021·黄冈中考)红星公司销售一种成本为40元/件的产品，若月销售单价不高于50元/件，一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少0.1万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为x(单位：元/件)，月销售量为y(单位：万件).(1)直接写出y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)当月销售单价是多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售1件产品便向大别山区捐款a元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值．【解析】(1)由题知，y＝5－(x－50)×0.1，整理得y＝10－0.1x(40≤x≤100)；(2)设月销售利润为z，由题知，z＝(x－40)y＝(x－40)(10－0.1x)＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1(x－70)2＋90，∴当x＝70时，z有最大值为90，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；(3)由(2)知，当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即(70－40－a)×(10－0.1×70)＝78，解得a＝4，∴a的值为4.。

二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。

求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=Θ[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=2 x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10] )24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12 m AB CD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )。

初中数学二次函数应用场景详解在初中数学的学习中，二次函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学领域有着广泛的应用，还与我们的实际生活息息相关。

接下来，让我们一起深入探讨二次函数的各种应用场景。

一、抛物线形状的物体运动轨迹在体育项目中，很多物体的运动轨迹都可以用二次函数来描述。

比如，篮球投篮时，篮球在空中划过的轨迹；铅球被抛出后，其运动路径等。

以投篮为例，篮球出手时的速度、角度和高度等因素决定了其运动轨迹。

通过建立二次函数模型，可以预测篮球是否能够准确进入篮筐，从而帮助运动员调整投篮技巧。

二、桥梁和拱门的设计在建筑领域，二次函数也发挥着重要作用。

许多桥梁和拱门的形状都是抛物线。

这是因为抛物线具有良好的力学性能，能够承受较大的压力和重量。

设计师们通过运用二次函数的知识，可以精确计算出桥梁和拱门的形状和尺寸，确保其结构的稳定性和安全性。

三、利润最大化问题对于商家来说，如何实现利润最大化是一个关键问题。

假设一家商店销售某种商品，其成本为固定值，而销售价格和销售量之间存在一定的关系。

我们可以建立一个二次函数来表示利润与销售价格或销售量之间的关系。

通过求函数的最大值，就能找到最优的销售价格或销售量，从而实现利润的最大化。

例如，某商品的成本为每件 50 元，销售价格为每件 x 元，销售量为 y 件，且销售量与销售价格之间满足关系 y ＝－10x ＋ 500。

那么利润 P 可以表示为：P ＝（x 50) （－10x ＋ 500)通过对这个二次函数进行整理和求最值，可以得出当销售价格为多少时，利润最大。

四、资源分配问题在资源分配方面，二次函数也能提供有效的解决方案。

比如，一个农场有一定面积的土地，要种植两种农作物 A 和 B。

已知种植农作物A 每公顷的收益和成本，以及种植农作物 B 每公顷的收益和成本。

设种植农作物 A 的面积为 x 公顷，种植农作物 B 的面积为 y 公顷，总收益为 z。

在土地面积有限的条件下，可以建立一个二次函数来表示总收益与种植面积之间的关系，然后通过求解函数的最大值来确定最优的种植方案。

图象性质：二次函数图象主要掌握开口方向、对称轴、顶点坐标、与坐标轴的交点、单调性和最值等方面．若二次函数解析式为2y ax bx c =++（或2()y a x h k =-+）（0a ≠），则： 开口方向 00a a >⇔⎧⎨<⇔⎩向上向下，a 越大，开口越小． 对称轴 2bx a=-（或x h =）． 顶点坐标(2ba-，24)4ac b a -或(h ，)k ． 单调性当0a >时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大（如图1）；知识互联网思路导航题型一：二次函数图象与其解析式系数的关系二次函数图象综合应用当0a <时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小（如图2）与坐标轴的交点① 与y 轴的交点：()0c ，； ② 与x 轴的交点：()()1200x x ，，，，其中12x x ，是方程()200ax bx c a ++=≠的两根．图象与x 轴的交点个数① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴有两个交点． ② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点． ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点．Ⅰ当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； Ⅱ当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．【引例】 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，判断a ，b ，c ，24b ac -，2a b +，a b c ++，a b c -+的符号【解析】 由图知：图象开口向上，所以0a >；函数的对称轴02bx a=->，所以0b <；函数图象与y 轴的交点小于0，所以0c <；函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以240b ac ->；同时12bx a=-<，所以20a b +>；1x =所对应的函数值小于0，所以0a b c ++<； 1x =-所对应的函数值大于0，所以0a b c -+>【例1】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则点()a c ，在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限⑵ 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则一次函数b ax y +=与反比例函数xcy =在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ） 例题精讲典题精练A ．B ．C ．D ．⑶ 一次函数()0≠+=a b ax y 、二次函数bx ax y +=2和反比例函数()0≠=k xky 在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为()02，-，则下列结论中，正确的是（ ）A ．k a b +=2B ．k b a +=C ．0＞＞b aD ．0＞＞k a【解析】 ⑴ B. ⑵ B ．⑶D.【例2】 ⑴ 如图，抛物线2y ax bx c =++，OA OC =，下列关系中正确的是（）A ．1ac b +=B ．1ab c +=C ．1bc a +=D ．1ac b+= ）⑵ 如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 、B ，与y 轴交于点C ，若12OB OC OA ==，则b 的值为 ．【解析】 ⑴ A ．提示：把()0c -，代入2y ax bx c =++即可．⑵ 12-．提示：先把B ()0c ，代入2y ax bx c =++，得1ac b =--，再把()0c ，代入()()2y a x c x c =+-即可．【例3】 ⑴ 函数2y ax bx c =++与x y =的图象如图所示，有以下结论：①ac b 42-＞0；②01=++c b ；③063=++c b ；④当1＜x＜3时，()012＜c x b x +-+．其中正确的为．⑵ 已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，有下列8 个结论：①0abc >；②b a c <+；③420a b c ++>；④23c b <；⑤()a b m am b +>+，（1m ≠的实数）；⑥20a b += ；⑦240b ac -<，⑧22()a c b +>，其中正确的结论有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解析】 ⑴ ③④⑵ C ．对称轴在y 轴的右边得0ab <（由开口向下得0a <，故0b >），抛物线与y 轴交于正半轴得0c >，∴0abc <，①不正确；当1x =-时，函数值为0a b c -+<，②不正确； 当2x =时，函数值420a b c ++>，③正确；其实0x =和2x =到对称轴1x =的距离相等，函数值相等得42a b c c ++=，∴2b a =-代入0a b c -+<，32bc <，即23c b <，④正确；当1x =，∵1m ≠，2max y a b c am bm c =++>++，可知⑤正确；由对称轴12ba-=得20a b +=，故⑥正确；抛物线与x 轴有两个交点，故240b ac ->，故⑦不正确；0a b c ++>，0a b c -+<，故()220a c b +-<，故⑧不正确．对于二次函数()20y ax bx c a =++>（max y 表示y 的最大值，min y 表示y 的最小值） ⑴ 若自变量x 的取值范围为全体实数，如图①，函数在顶点处2bx a=-时，取到最值． ⑵ 若2bm x n a<-≤≤，如图②，当x m =，max y y =；当x n =，min y y =． ⑶ 若2bm x n a-<≤≤，如图③，当x m =，min y y =；当x n =，max y y =． ⑷ 若m x n ≤≤，且2b m n a -≤≤，22b b n m a a +>--,如图④，当2bx a=-，min y y =； 当x n =，max y y =．【引例】 ⑴ 若x 为任意实数，求函数221y x x =-+的最小值；⑵ 若12x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑶ 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；b 思路导航例题精讲题型二：二次函数的最值⑷ 若20x -≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值； ⑸ 若x 为整数，求函数221y x x =-+的最小值．【解析】 ⑴ 套用求最值公式（建议教师讲配方法）：当112224b x a -=-=-=⨯时，y 的最小值是24748ac b a -=． ⑵ 由图象可知：当12x ≤≤时，函数221y x x =-+单调递增，当1x =时，y 最小，且21112y =⨯-+=，当2x =时，y 最大，且222217y =⨯-+=．⑶ 由图象可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =．∵当0x =时，20011y =⨯-+=；当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．⑷ 由函数图象开口向上，且120<4x -≤≤，故当2x =-时，y 取最大值为11，当0x =时，y 取最小值为1．⑸ ∵112224b x a -=-=-=⨯，当0x =时，y 取最小值为1．【点评】 由此题我们可以得到：求二次函数2(0)y ax bx c a =++≠在给定区域内的最值，得看抛物线顶点横坐标2bx a=-是否在给定区域内．若在，则在顶点处取到一个最值，若不在，则在端点处取得最大值和最小值（其实求出端点值和顶点值，这三个值中最大的为最大值，最小的为最小值）．【例4】 ⑴ 已知m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，则代数式6822+-k k 的最小值 为 ．⑵ 已知实数x y ，满足2330x x y ++-=，则x y +的最大值为 ．⑶当12x ≤时，二次函数223y x x =--的最小值为（ ） A ．4- B ．154- C ．12- D ．12【解析】 ⑴∵m 、n 、k 为非负实数，且121=+=+-n k k m ，∴m 、n 、k 最小为0，当n =0时，k 最大为：21；∴210≤≤k ，故最小值为2.5．⑵ 4．提示：233y x x =--+，令()222314q x y x x x =+=--+=-++，当1x =-，q的最大值为4．本题属于x 为全体实数，求二次函数的最值，配方法要熟练掌握．⑶ B ．提示：二次函数的对称轴为1122b x a =-=>，且抛物线的开口向上，故12x =时，y 的最小值为154-．【例5】 如图，抛物线211y ax ax =--+经过点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，且与抛物线221y ax ax =--相交于典题精练A B ，两点．⑴ 求a 值； ⑵ 设211y ax ax =--+与x 轴分别交于M N ，两点（点M 在点N 的左边），221y ax ax =--与x 轴分别交于E F ，两点（点E 在点F 的左边），观察M N E F ，，，四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；⑶ 设A B ，两点的横坐标分别记为A B x x ，，若在x 轴上有一动点()0Q x ，，且A B x x x ≤≤，过Q 作一条垂直于x 轴的直线，与两条抛物线分别交于C D ，两点，试问当x 为何值时，线段CD 有最大值？其最大值为多少？【解析】 ⑴ ∵点1928P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，在抛物线211y ax ax =--+上，∴1191428a a -++=，解得12a =．⑵ 由⑴知12a =，∴抛物线2111122y x x =--+，2211122y x x =--．当2111022x x --+=时，解得12x =-，21x =．∵点M 在点N 的左边，∴2M x =-，1N x =． 当2111022x x --=时，解得31x =-，42x =． ∵点E 在点F 的左边，∴1E x =-，2F x =．∵0M F x x +=，0N E x x +=，∴点M 与点F 关于y 轴对称，点N 与点E 关于y 轴对称． ⑶ ∵102a =>．∴抛物线1y 开口向下，抛物线2y 开口向上． 根据题意，得12CD y y =-22211111122222x x x x x ⎛⎫⎛⎫=--+---=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又21221112211122y x x y x x ⎧=--+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，消y可解得12x x ==，则当0x =时，CD 的最大值为2．【例6】 ⑴ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，求a 的取值范围⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示，试求a b c ++的取值范围．【解析】 ⑴ 根据二次函数图象可知0a <，又此二次函数图象经过(10)，，(01)， 则有0a b c ++=，1c =，得(1)b a =-+，∵0a <，据图象得对称轴在y 轴左侧，∴0b <∴()10a -+<，∴1a >-于是有10a -<<． ⑵ 由图象可知0a >．又顶点在y 轴的右侧，在x 轴的下方，则：02ba->，2404ac b a -<，∴0b <． 又∵当0x =时，1y c =-=当0y =时，1x =-，∴0a b c -+= ∴10a b =+> ∴10b -<<．∴202a b c a b c b b ++=-++=+ ∴220b -<<，即20a b c -<++<．精讲：数形结合思想在二次函数中的应用探究【探究对象】数形结合思想在二次函数中的应用 【探究过程】【探究1】数形结合思想在含参二次函数中求参数的取值范围的应用；二次函数的图像信息：⑴ 根据抛物线的开口方向判断a 的正负性．⑵ 根据抛物线的对称轴的位置判断a 与b 之间的关系． ⑶ 根据抛物线与y 轴的交点，判断c 的大小．⑷ 根据抛物线与x 轴有无交点，判断24b ac -的正负性．⑸ 根据抛物线所经过的特殊点的坐标，可得到关于a b c ，，的等式． ⑹ 根据抛物线的顶点，判断244ac b a-的大小．例. 2y ax bx c =++的图象如图所示．设|||||2||2|M a b c a b c a b a b =++--+++--， 则（ ）A ．0M >B ．0M =C ．0M <D ．不能确定M 为正，为负或为0分析：依题意得0a >，012ba<-<，∴0b <，20a b +>，20a b ->， 又当1x =时，0y a b c =++<，当1x =-时，0y a b c =-+>，故()()(2)(2)2()0M a b c a b c a b a b a b c =-++--+++--=--+<，故选C ．☆【探究2】数形结合思想在求解二次函数的区间最值中的应用；(区间最值问题为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲) 区间最值分三种类型: “轴定区间定”、“轴动区间定”、“轴定区间动”；1、轴定区间定：2、轴动区间定：例．求2()22f x x ax =-+在[24]，上的最大值和最小值． 分析： 先求最小值．因为()f x 的对称轴是x a =，可分以下三种情况：⑴ 当2a <时，()f x 在[24]，上为增函数，所以min ()(2)64f x f a ==-； ⑵ 当24a ≤≤时，()f a 为最小值，2min ()2f x a =-；⑶ 当4a >时，()f x 在[24]，上为减函数，所以min ()(4)188f x f a ==-．综上所述：2min 64, (2)()2, (24)188, (4)a a f x a a a a -<⎧⎪=-⎨⎪->⎩≤≤最大值为(2)f 与(4)f 中较大者：(2)(4)(64)(188)124f f a a a -=---=-+，（1）当3a ≥时，(2)(4)f f ≥，则max ()(2)64f x f a ==-； （2）当3a <时，(2)(4)f f <，则max ()(4)188f x f a ==-．故max 64, (3)()88, (3)a a f x a a -⎧=⎨-<⎩≥ 点评：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x a = 与区间[24]，的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较(2)f 与 (4)f 的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两 种情况． 3、轴定区间动：例．若函数2()22f x x x =-+当1t x t +≤≤时的最小值为()g t ，求函数()g t 当[32]t ∈-，时的最值． 分析：2()(1)1f x x =-+，按直线1x =与区间[1]t t +，的不同位置关系分类讨论：若1t >，则2min ()()(1)1f x f t t ==-+；若11t t +≤≤，即01t ≤≤，则min ()(1)1f x f ==； 若11t +<，即0t <，则2min ()(1)1f x f t t =+=+．∴22(1)1(1)()1(0)1(0)t t g t t t t ⎧-+>⎪=⎨⎪+<⎩≤≤1 函数()g t 在(0)-∞，内是减函数，在[01]，内是常值函数，在(1)+∞，内是增函数，又(3)(2)g g ->，故在区间[32]-，内，min ()1g t =（当01t ≤≤时取得），max ()(3)10g t g =-=．小结：（i ）解此类问题时，心中要有图象；（ii ）含参数问题有两种：一种是“轴变区间定”，另一种是“轴定区间变”．讨论时，要紧紧抓住对称轴与所给区间的相对位置关系，这是进行正确划分的关键．☆【探究3】数形结合思想在求解二次函数的区间根中的应用；(区间根问题同样为高中二次函数部分的重要内容，但在目前中考改革创新，部分高中思想下放初中的大 前提下，老师可以针对班里学生层次进行选讲）二次方程的根其实质就是其相应二次函数的图像与x 轴交点的横坐标．因此， 可以借助于二次函数及其图像，利用数形结合的方法来研究二次方程的实根分布问题．设二次方程()002≠=++a c bx ax 的两个实根1x 、2x ()21x x ＜，ac b 42-=∆，方程对应的二次函数为()()02≠++=a c bx ax x f ．1．当方程有一根大于m ，另一根小于m 时，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ；2．当方程两根均大于m 时，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， m ab2-，()0＞m af ； 3．当方程两根均在区间()n m ，内，对应二次函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：0＞∆， n abm ＜＜2-，()0＞m af ，()0＞n af ； 4．当两根中仅有一根在区间()n m ，内，对应函数()x f 的图像有下列四种情形：方程系数所满足的充要条件： ()()0＜n f m f ⋅；5．当两根在区间[]n m ，之外时：对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＜m af ，()0＜n af ；6．当两根分别在区间()n m ，、()t s ，内，且s n ≤，对应函数()x f 的图像有下列两种情形：方程系数所满足的充要条件：()0＞m af ，()0＜n af ，()0＜s af ， ()0＞t af ．小结： 由函数图像与x 轴交点的位置写出相应的充要条件，一般考虑三个方面：①判别式ac b 42-=∆的符号；②对称轴abx 2-=的位置分布；③二次函数在实根分布界点处 函数值的符号．例．若方程01222=+-+m mx x 的两个根均大于2，求实数m 的取值范围． 分析：令()1222+-+=m mx x x f ，如图得充要条件：()()⎪⎩⎪⎨⎧-+-+=≥+-⋅-=∆20124220124422＞＞m m m f m m ，解得4316-≤-m ．训练1. 已知：a b c >>，且0a b c ++=，则二次函数2y ax bx c =++的图象可能是下列图象中的（ ）A B C D【解析】 B ．由a b c >>，且0a b c ++=，可得0a >， 0c <，且过()10，点，由a b c >>，且a b c ++=0，利用不等式性质，可以进一步推出下列不等关系：a b a b >>--，∴112ba -<<， ∴11224b a -<-<．另一方法：∵a b >，∴330a b ->，330a b a b c -+++>，从而得到420a b c -+>．训练2.已知二次函数()2211y kx k x =+--与x 轴交点的横坐标为1x 、2x ()12x x <，则对于下列结论：⑴ 当2x =-时，1y =；⑵ 当2x x >时，0y >；⑶ 方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根1x 、2x ；⑷11x <-，21x >-；⑸21x x -=确的结论是______.（只需填写序号）【解析】 ⑴⑶⑷．当2x =-时，代入得1y =，故⑴正确；因为k 的符号不确定，故开口不确定，因此无法确定当2x x >时，0y >，故⑵不正确；联立方程()22110y kx k x y ⎧=+--⎪⎨=⎪⎩可得()22110kx k x +--=，抛物线与x 轴有两个交点，即方程()22110kx k x +--=有两个不相等的实数根．当1x =-时，y k =-，若0k >，0y k =-<，若0k <，0y k =->，故⑷正确．21x x -=.训练3. 如图所示，二次函数2(2)5y x a x a =--+-的图象交x 轴于A 和B ，交y 轴于C ，当线段AB 最短时，求线段OC 的长．【解析】 设1(A x ，0)，2(B x ，0)，思维拓展训练(选讲)则1x ，2x 是方程2(2)50x a x a --+-=的两根，则12AB x x =-=== 当4a =时，AB 取最小值，即最短，此时，抛物线为221y x x =--， 可求得C 的纵坐标为1-，即线段OC 的长是1．训练4. 小明为了通过描点法作出函数21y x x =-+的图象，先取自变量x 的7个值满足：213276x x x x x x d -=-==-= ，再分别算出对应的y 值，列出表1：表1：x1x 2x3x4x 5x 6x7xy1 3 7 13 21 31 43记121m y y =-，232m y y =-，343m y y =-，454m y y =-，…； 121s m m =-，232s m m =-，343s m m =-，… ⑴ 判断1s 、2s 、3s 之间关系；⑵ 若将函数“21y x x =-+”改为“2(0)y ax bx c a =++≠”，列出表2：表2：x 1x 2x 3x 4x 5x 6x 7x y1y 2y 3y 4y 5y 6y 7y其他条件不变，判断1s 、2s 、3s 之间关系，并说明理由；⑶ 小明为了通过描点法作出函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象，列出表3： 表3： x 1x 2x 3x4x 5x 6x7x y 10 50 110 190 290 420 550由于小明的粗心，表3中有一个y 值算错了，请指出算错的y 值（直接写答案）．【解析】 ⑴ 123s s s ==；⑵ 123s s s ==．证明：()()222121111112m y y a x d b x d c ax bx c adx ad bd ⎡⎤⎡⎤=-=++++-++=++⎣⎦⎣⎦()222322122m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2234331222m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()2245441223m y y adx ad bd ad x d ad bd =-=++=+++()22212111222s m m ad x d ad bd adx ad bd ad ⎡⎤⎡⎤=-=+++-++=⎣⎦⎣⎦ 同理22322s m m ad =-=，23432s m m ad =-=． ∴123s s s ==．⑶ 表中的420改为410．题型一 二次函数图象与其解析式系数的关系 巩固练习【练习1】 ⑴ 函数ky x=与22(0)y kx k k =+≠在同一坐标系中图象大致是图中的（ ）⑵ 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b c y x++=在同一坐标系内的图象大致为（ ）【解析】 ⑴ A ．⑵ D ．【练习2】 如图所示，二次函数2y ax bx c =++的图象开口向上，图象经点()12-，和()10，且与y 轴交于负半轴．⑴ 下列四个结论：①0a >；②0b >；③0c >；④0a b c ++=， 其中正确的结论的序号是 ． ⑵给出下列四个结论：①0abc <；②20a b +>；③1a c +=；④1a >．其中正确的结论的序号是 ．【解析】 ⑴图象开口向上得0a >；对称轴02ba->可得0b <；当0x =时，0y <，即0c <；由1x =时，0y =，即0a b c ++=．故①④．⑵由⑴可知0abc >；对称轴12ba-<，∴20a b +>；∵点()12-，和()10，在抛物线上，代入解析式得20a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩两式相加得1a c +=，得1a c =-，∵0c <，∴11c ->，即1a >．A BCD复习巩固故②③④．【练习3】 如图，表示抛物线2y ax bx c =++的一部分图象，它与x轴的一个交点为A ，与y 轴交于点B ．则b 的取值范围是（ ）A ．20b -<<B ．10b -<<C ．102b -<< D ．01b <<【解析】 B ．【练习4】 二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象大致如图所示，⑴判别a ，b ，c 和24b ac -的符号，并说明理由； ⑵如果OA OC =，求证：10ac b ++=【解析】 ⑴ 解：因为抛物线开口向上，0a >．因为抛物线与y 轴交于负半轴，0c <．又因为抛物线对称轴在y 轴的右侧，02ba->，即a ，b 异号，由0a >，得0b <． 因为抛物线与x 轴有两个交点，所以方程20ax bx c ++=有两个不相等的实根，所以其判别式240b ac ->．⑵ 证明：由于C 点坐标为()0c ，，而OA OC =，所以A 点坐标为()0c ，，把()0A c ，代入2y ax bx c =++，得20ac bc c =++． 因为0c ≠，所以10ac b ++=．题型二 二次函数的最值 巩固练习【练习5】 已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①.⑴ 求证：方程①有两个实数根；⑵ 若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；⑶ 在⑵的条件下，设方程①的另一个根为a . 当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与()2222y x a n m x m mn =+-+-的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.【解析】 ⑴ 证明：()()22224n m m mn n ∆=---=.∵20n ≥， ∴0∆≥. ∴方程①有两个实数根.⑵ 解：由10m n --=，得1m n -=当x =1时，等号左边212n m m mn =+-+-()121210n m m m n n m m n m =+-+-=+-+=+-=. 等号右边=0. ∴左边=右边.∴ 1x =是方程①的一个实数根.⑶ 解：由求根公式，得22m n nx -±=.x =m 或x m n =-∵ 1m n -=， ∴ a m =.当2x =时，222122(1)22y n m m m m m =+=-+=+-，22222()()42(1)24y m n m m m m n m m m m m =+--+-=+--+=--+如图，当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，22211273363(24CD y y m m m =-=--+=-++由12y y =，得222224m m m m +-=--+解得m =-2或m =1.∴ m A =-2，m B =1.∵-2<12-<1，∴当m =12-时，CD 取得最大值274.【测试1】 设二次函数()20y ax bx c a =++≠图像如图所示，试判断：24a b c a b c a b c b ac ++-+-、、、、、的符号．【解析】由图像可知0a >，102ba-<<，2404ac b a -<，2000a b c ⋅+⋅+<，0a b c -+=，0a b c ++>，于是20000040a b c a b c a b c b ac >><++>-+=->，，，，，．【测试2】 若01x ≤≤，求221y x x =-+的最大值、最小值；【解析】由图像可知：当01x ≤≤时，函数221y x x =-+是先减后增，∴当14x =，y 最小，且78y =． ∵当0x =时，20011y =⨯-+=当1x =时， 211121y =⨯-+=>， ∴当1x =时，y 最大，且2y =．课后测。

二次函数的实际应用1．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4m，跨度为10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中．（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）一辆宽为2米，高为3米的货船能否从桥下通过？2．某超市销售一种商品，其成本是每千克40元，并且规定每千克的售价不得低于成本价，且不高于100元经市场调查，每天的销售量y（千克）与每千克的售价x（元）满足一次函数关系，其中部分数据如表：售价x（元/千克）405060销售量y（千克）180150120（1）求y与x之间的函数表达式．（2）设该商品每天的总利润为W（元），求W与x 之间的函数表达式（利润＝收入﹣成本），并指出每千克的售价为多少元时可获得最大利润？最大利润是多少？3．如图，小明用铁栅栏及一面墙（墙足够长）围成一个形自行车场地ABCD，在AB和BC边各有一个2米宽的小门（不用铁栅栏），小明共用铁栅栏40米，设矩形ABCD的边AD长为x米，矩形的面积为S 平方米．（1）写出S与x的函数关系式；（2）如果要围成192平方米的场地，AD的长是6米或16米．（3）当x取何值时，S有最大值？并求出最大值．4．如图，有长为24m的篱笆，现一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为xm，面积为Sm2．（1）求S与x的函数关系式及x值的取值范围；（2）要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（3）当AB的长是多少米时，围成的花圃的面积最大？5．某商店销售一种成本为20元的商品，经调研，当该商品每件售价为30元时，每天可销售200件：当每件的售价每增加1元，每天的销量将减少5件．（1）求销量y（件）与售价x（元）之间的函数表达式；（2）如果每天的销量不低于150件，那么，当售价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）该商店老板热心公益事业，决定从每天的销售利润中捐出100元给希望工程，为保证捐款后每天剩余利润不低于2900元，请直接写出该商品售价的范围．6．某企业接到一批酸奶生产任务，按要求在16天内完成，规定这批酸奶的出厂价为每瓶8元，为按时完成任务，该企业招收了新工人小孙，设小孙第x 天生产的酸奶数量为y瓶，y与x满足下列关系式：y＝（1）小孙第几天生产的酸奶数量为520瓶？（2）如图，设第x天每瓶酸奶的成本是p元，已知p与x之间的关系可以用图中的函数图象来刻画．写出p与x的函数关系式．（3）若小孙第x天创造的利润为w元，求w与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润＝出厂价一成本）7．某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用20m长的篱笆围成一个矩形ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm时，花园的面积为ym2．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是12m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积y的最大值．8．金秋时节，硕果飘香，某精准扶贫项目果园上市一种有机生态水果．为帮助果园拓宽销路，欣欣超市对这种水果进行代销，进价为5元/千克，售价为6元/千克时，当天的销售量为100千克；在销售过程中发现：销售单价每上涨元，当天的销售量就减少5千克．设当天销售单价统一为x元/千克（x≥6，且x是按元的倍数上涨），当天销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）要使当天销售利润不低于240元，求当天销售单价所在的范围；（3）若该种水果每千克的利润不超过80%，要想当天获得利润最大，每千克售价为多少元？并求出最大利润．9．合肥某商场购进一批新型网红玩具．已知这种玩具进价为17元/件，且该玩具的月销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，下表是月销售量与销售单价的几组对应关系：销售单价x/元20253035月销售量y/件3300280023001800（1）求y关于x的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？10．某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价p（元/千克）与时间第t（天）之间的函数关系为：p＝，日销售量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图所示．（1）求日销售量y与时间t的函数解析式；（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠m（m＜7）元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大而增大，求m的取值范围．。