002材料力学轴向拉压

x
查表得：
A1272.88m2m145.6m 7 2m A22143m02m286m02m
AC杆：
FN1 A1
2AF1 [t
]
FA1[t]145.67160N11.66kN
在小变形下，可用切线代替弧线，则A` 可视为A的新位置
由几何关系，可求得：
A4 A` A5
A xA2A l20.40 m4m ( ) A yA4A A 4A 5s i4 l1 n5 t al4 2n 5 1.40 m4m ( )
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
变横相截同面，上 即变形是m均a 匀x0 的 。因此内0力0 均匀分
斜FA 布p纵α切截=。截应±c面面力o45A上FA上成so截的对p面全上A dFA应Ac力mmm oia n可xp9s i分0AAn 4α45解——A59 ——为d0 2c 斜正 横Ao20 截截应s面面p力面面9 和积积A0 44 切550 应2F2力
拉压杆的应力
(x) FN (x)
A(x)
cos2
1
2
s in
2
σ
α σ
• 拉压杆横截面上只有均匀分布的法向内力，即同一横截面 上正应力σ为常量，切应力τ为零。对正应力规定拉应力为 正，压应力为负。
• 两端加载等直拉压杆斜截面上内力也是均匀分布的。同一 斜截面上既有正应力也有切应力且均为常量，并可用横截 面上的应力表示。规定使隔离体产生顺时针转动趋势的切 应力为正。
cos
(受压)
F
当曲柄为铅直位置时轴力(值)最大
F N ma xl2 F r2/l23 32k7N 3 47k8 N
FN
θ
B
F
确定连杆截面尺寸：
AF [N m ]axbh 1.4b2F [N m ]ax
FB
b 3781003(mm )17m3m
1.490
h1.4b24 m2m
1m
例：图示三角托架。在节点A受铅垂载荷F作用，其中钢拉杆AC由两根№6.3（边厚 为6mm）等边角钢组成，AB杆由两根№10工字钢组成。材料为Q235钢，许用拉应 力[σt]=160MPa，许用压应力[σc]=90MPa ，试确定许用载荷[ F ]。
三、材料在压缩时的力学性能
塑性材料
压缩试件
屈服之前与拉伸基本相同，测不到强度极限 脆性材料
压缩时的强度极限远高于拉伸时的强度极 限
F/A
F/A
O
l /l
O
l /l
2.5 拉压杆的强度计算
一、许用应力
失效条件： u 工作应力达到材料的极限应力
us orub
许用应力：给定的材料制成的构件中工作应力的最大容许值，称为该材料的 许用应力
A1A l1F EN 1A 1l1 12011 0 .4 19 0 41 13 0 0 1 1 0 06m 7.07 1 04m0.70m 7m
小变形
A2 A l2F E N 22 A l2 21 7 1 1 0 03 9 0 0 1 2 c 5 1 o 4 0 6 0 s m 5 0 .4m 04 m
• 小变形线弹性下，叠加原理适用于变形计算。即多个力同 时作用引起的变形等于各个力单独作用引起的变形的叠加 结果。
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
应力-应拉变伸图 σ-ε曲线
F/A G
一、低碳钢在拉伸时的力学性能
弹性阶段 撤除外力后变形可完全消失
H
线弹性阶段 OA
d
l
DBC A
e
es
强度指标： E
C 1
F 解y： F 求N 1 各s 杆3 内i 力n 0 与F 载 0 荷 F 的关F 系N 1 sF 3 i n 0 2 F (拉)
F x F N 2 F N 1 c3 o 0 s F N 2 3 F (压)
根据强度条件确定许用载荷
2 B
FN1
30o
FN2
30o
y
A F
A F
B
解：采用解析方法求节点位移
F N 1 1.1 4k4N F N 2 1k0N
1
l1F E N 1 A 1 l1 1 0 .7m 07 m l2F E N 22 A l2 2 0 .4m 04 m
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
在小变形下，节点位移与杆件变形的关系
AiA li A`A cois () A`c Ao sco isA`sAinsin i
颈缩阶段
l1 l 1% 00 A 1A 1% 00
l
A
l1
伸长率(延伸率)
断面收缩率
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
二、其他材料在拉伸时的力学性能
塑性材料
F/A
p 0.2 名义屈服极限或屈服强度
p0.2 b
O
p 0.2%
脆性材料
直到拉断也没有明显的残余变形， 断口为横截面。
l /l
2.4 材料在拉伸和压缩时的力学性能
许的。
m ax[]
2.确定截面尺寸：给定构件形式、材料和载荷工况，确定构件所需的最小截 面尺寸。
AF [Nm ]a xA mindmi nfd(A m)in
3.确定许用载荷：已知构件形式、材料及尺寸，确定在给定作用方式下载荷 的最大许用值。
F N m [ a ] A x [ F N ] F m [ F a ] x f F ( F N ] [)
2.3
F
F
b b1
拉压杆的变形
l l1
F/ A
F 二、拉压杆的横向变形
bb1b
b
b
横向变形
横向线应变
实验表明，在胡克定律适用的范围时，有：
or
即 横向线应变与轴向线应变恒异号，两者之 比的绝对值为一常数，称为泊松比。
00.5
弹性模量 E 和泊松比μ都是材料的弹性常数， 由实验测得。
l
l /l
例：图示等截面直杆，横截面面积为A，弹性模量E，自重为W。杆的自由端受轴 向力F作用，考虑杆的自重影响，求自由端 B 及杆中截面C 的轴向位移。
p
b
屈服极非线限性弹性s 阶段 AD
强度极限 b e
比例极限 弹性极限
p
塑性指标： e p
O
p
e
伸屈长服率阶段 产生残余变形，应力基本不变而 5l%/l 断称强变面为化形s 收塑阶继缩性段续屈率材增服加极料要。限，使变形5增%加称，为需脆要加性大材应料力。。
A
A1
b 强度极限
e e 冷作硬化
pcosco2s22co2s psincossin2sin2
公式反映了任一点处所有方位截面上的应力。 一点处不同方位截面上应力的集合(应力全貌) 称为一点处的应力状态。
例：图示由斜焊缝焊接而成的钢板受拉力F作用。已知：F=20kN，b=200mm， t=10mm，α=30o。试求焊缝内的应力。
i
2 0 Ax l2 0.404mm ()
1 45
Ay
l1 sin(45
)
l2 tan(45
)
(sin4l15
l2 tan45
)
1.404m m
()
拉压杆的变形
• 拉压杆的变形主要是轴向变形,用线应变来度量变形程度。
• 除轴向变形外还会有横向变形，且与轴向变形保持一定的 关系，即泊松效应。
• 杆中任意点的位移与杆的变形可建立确定的关系，在小变 形下，分析一点位移路径时可用切线代替弧线，使问题得 到简化。
B
解：采用解析方法求节点位移
1
45o
C2
A2 A
F A1
y A`
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
代入各杆参数：
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
lFl lFl
A
EA
orE
E
l FN l EA
胡克定律, E 称弹性模量或杨氏模量, 与应 力有相同的量刚,EA 称杆的拉压刚度。
d(l)FNdx l FNdx
EA
l EA
l /l
lF N d xn
EA l
i 1li
F E N d iiA xi n 1 lii n 1F E N liiiA
• 过一点不同方位截面上应力的集合反映了该点处应力的全 貌，称一点处的应力状态。应力状态可用单元体表示。拉 压杆内各点为单向应力状态。
2.3 拉压杆的变形
b b1
F FN
F
l l1
FN
dx
dxd
F/ A
l
F 一、拉压杆的轴向变形
ll1l
l
l
轴向变形 轴向线应变 拉为正
d d(l)
dx dx
实验表明，当 F 在一定的范围时，有：
则有： li Ac x oi s Asyin i
Ai
ΔAxΔli
A`
A
αΔi A α ΔAy x
i
Axcolisi Aytani (i 90)
Aysilni i
Ax
tani
(i 0 or180)
A y li (i 9)0
A x li (i0) A x li (i18 ) 0
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
例：某压力机的曲柄滑块机构如图所示，且 l =2r。工作压力 F=3274kN，连杆 AB
横截面为矩形，高与宽之比 h/b =1.4，材料为45号钢，许用应力[σ]=90MPa。试设
计截面尺寸h和b。
解：连杆 AB 为二力杆，工作中受轴载作用
h Ab
r
l
ω
θmax θ
B
计算 AB 杆的轴力：
FN
F
解：沿杆轴线建立坐标，可得轴力方程
A
l/2
FN(x)FW l (lx)
杆的上端A是固定端，直杆变形时此截面的轴向位移为零,
C
而杆内任一截面的轴向位移就是该截面到上端之间杆段
l/2
的伸长量。
B
(x)lAx
x 0
FN(x)dx 1
xW [F (lx)]dx
EA EA0 l
F
x
FxW(xlx22) EA l EA
[ ] u n
n为大于1的系数，称安全系数
二、强度条件
m ax[]
maxFAN max[]
maxFNAmax[]
2.5 拉压杆的强度计算
三、强度计算
如果最大工作应力超过了许用应力，但超
1.强度校核：给定构件形式、材过料量、在尺5寸%和以载内荷，工在况工，程校设核计构中件仍是然否是满允足强
度条件。
B 1
解：取节点A为研究对象，计算各杆的轴力
F y F N 1 c4 o F 5 s 0 F N 1 2 F 1 .1 k 4 4 N
F x 0 F N 2 F 1k0 N (压缩)
(拉伸)
45o
C2
A2 A
F A1
45o A2Δl2
A``
A`
FN1
A
A
Δl1
FN 2
A1
F
节点 A 变形后的新位置 A``
位移是力的线性函数 叠加原理适用
将 x=l 和 x=l/2 代入，得：
B (F 1 2 W )E l A C (F 4 3 W )2 E l A
B、C 两截面的相对轴向位移为： B C lC B B C (F 1 4 W )2 E l ( A )
例： 图示桁架，在节点 A 承受铅直力 F 作用。已知：杆1 用钢管制成，弹性模量 E1=200GPa，横截面面积 A1=100mm2，杆长 l1=1m；杆2 用硬铝管制成，弹性模量 E2=70GPa，横截面面积 A2=250mm2；载荷 F=10kN。试求节点的水平和铅直位移。
2.5 拉压杆的强度计算
四、应力集中对强度计算的影响
应力集中现象：截面发生突变而引起局部应力骤增的现象，称为应力集中。
max
s
Kmax
FN
A
max
maxK
K 称为应力集中因子(系数) > 1
b
对于塑性材料制成的构件，静载作用下强度计算可以不考虑应力集中的影响。
对于脆性材料制成的构件，强度计算则必须考虑应力集中的影响。但铸铁材 料例外。
2.2 拉压杆的应力
二、斜截面上的应力
σ
σ
F
2
2
2
单向(单轴)应力状态
2
n
m
F
α
F
mm
F
p Fα
m
n
m
α
p
m
t
2
Hale Waihona Puke Baidu
F
2
2
2
x
切讨力应论的规力定任关以方一系使位方，隔角位斜离α体截截以有面面x轴作上上为顺的各起时应处始针力法边转及向逆动时与线的针横应趋转势截变为为面和正正上切；。应应
b
F α
F t
解：本问题实际上是要求轴载直杆斜截面上的应力 先计算横截面上的应力
F NF20 13 01M 0 Pa
A bt 0.20.01
再用斜截面应力公式计算要求的应力
30co2s10 co23s07.5MPa 301 2si2 n1 210 sin 2(30)4.3M 3 Pa
即焊缝处的正应力为7.5MPa，切应力为4.33MPa。