3.2.1直线的方向向量和平面的法向量1．若平面α、β的法向量分别为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1，3，b ＝(－1，2,6)，则( ) A ．α∥βB ．α与β相交但不垂直C ．α⊥βD ．α∥β或α与β重合2．直线l 1、l 2的方向向量分别为a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，3,2)，则( )A ．l 1∥l 2B ．l 1与l 2相交，但不垂直C ．l 1⊥l 2D ．不能确定3．在如图所示的坐标系中，ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，给出下列结论：①直线DD 1的一个方向向量为(0,0,1)．②直线BC 1的一个方向向量为(0,1,1)．③平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)．④平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)．其中正确的个数为( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．若a ＝(1,2,3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是( )A ．(0,1,2)B ．(3,6,9)C ．(－1，－2,3)D ．(3,6,8) 5．如果一条直线l 与平面α内的两条直线垂直，那么l 与α的位置关系是A ．平行B ．垂直C．l⊂αD．不确定6．平面的一条斜线和这个平面所成的角θ的范围是()A．0°<θ<180°B．0°≤θ≤90°7．已知平面α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2，0)，则平面α的一个法向量是________(写出一个即可)．8．已知空间直角坐标系O－xyz中的点A(1,1,1)，平面α过点A并且与直线OA 垂直，动点P(x，y，z)是平面α内的任一点，则点P的坐标满足的条件为________．9．在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：P A∥平面EDB.10．如图，正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面边长为22，侧棱长为4，E，F分别是棱AB、BC的中点，EF∩BD＝G.求证：平面B1EF⊥平面BDD1B1.3.2.1直线的方向向量和平面的法向量1． [答案] D[解析] ∵b ＝－2a ，∴b ∥a ，∴α∥β或α与β重合．2． [答案] C[解析] ∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴l 1⊥l 2.3． [答案] C[解析] DD 1∥AA 1，＝(0,0,1)；BC 1∥AD 1，＝(0,1,1)，直线AD ⊥平面ABB 1A 1， AD ＝(0,1,0)；C 1点坐标为(1,1,1)，与平面B 1CD 不垂直，∴④错．4．[答案] B[解析] 因为(3,6,9)＝3(1,2,3)＝3a ，即向量(3,6,9)与a 平行，故(3,6,9)能作为平面γ的法向量．5． [答案] D[解析] 直线和平面可能的位置关系是平行，垂直，在平面内，故选D.6．[答案] D[解析] 由斜线和平面所成的角定义知选D.7． [答案] 形如(2k ，k,0) (k ≠0)的都可以[解析] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，－4，－3)．设平面α的法向量是n ＝(x ，y ，z )，依题意，应有n ·AB ＝0且n ·AC ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.解得z ＝0且x ＝2y . 令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量是n ＝(2,1,0)．(答案不唯一)8． [答案] x ＋y ＋z ＝3[解析] 由题意知，OA ⊥α，直线OA 的方向向量＝(1,1,1)，因为P ∈α，∴OA ⊥AP ，∴(1,1,1)·(x －1，y －1，z －1)＝0，∴x ＋y ＋z ＝3.9． [证明] 设DA ＝a ，DC ＝b ，DP ＝c ，则DE ＝12(b ＋c )， DB ＝12(a ＋b )， PA ＝a －c ，∵PA ＝2DB －2DE ，∴PA 与DE 、DB 共面，∵DB 、DE 不共线，P A ⊄平面BDE .∴P A ∥平面BDE .10． [解析] 以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z轴建立空间直角坐标系，由题意知：D(0,0,0)，B1(22，22，4)，E(22，2，0)，F(2，22，0)，1B E＝(0，－2，－4)，EF＝(－2，2，0)．设平面B1EF的一个法向量为n＝(x，y，z)．则n·1B E＝－2y－4z＝0，n·EF＝－2x＋2y＝0.解得x＝y，z＝－24y，令y＝1得n＝(1,1，－24)，又平面BDD1B1的一个法向量为AC＝(－22，22，0)而n·AC＝1×(－22)＋1×22＋(－24)×0＝0即n⊥AC.∴平面B1EF⊥平面BDD1B1.。
