技巧三： 分离 例4. 求2710
(1)1x x y x x ++=
>-+的值域. 技巧四：换元 求2710
(1)1
x x y x x ++=
>-+的值域. 技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a
f x x x
=+
的单调性。
例5：求函数2
y =
的值域.
练习．1.求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x 的值.
（1）231
,(0)x x y x x ++=> （2）12,33
y x x x =+>- (3)
12sin ,(0,)sin y x x x π=+∈
2．已知01x <<，求函数y =.；3．2
03
x <<
，求函数y =值.
条件求最值 1.若实数满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是 .
变式：若44log log 2x y +=，求11
x y
+的最小值.并求x,y 的值
技巧六：整体代换：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。
2：已知0,0x y >>，且19
1x y
+=，求x y +的最小值。
变式：（1）若+
∈R y x ,且12=+y x ，求y
x
11+的最小值
( 2 ) 已知+
∈R y x b a ,,,且1=+y
b x a ，求y x +的最小值
技巧七、已知x ，y 为正实数，且x 2
＋y 2
2 ＝1，求x 1＋y 2 的最大值.
技巧八：已知a ，b 为正实数，2b ＋ab ＋a ＝30，求函数y ＝1
ab
的最小值.
变式：1.已知a >0，b >0，ab －(a ＋b )＝1，求a ＋b 的最小值。
2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。
技巧九、取平方
5、已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，求函数W ＝3x ＋2y 的最值.
变式: 求函数15
()2
2
y x =<<的最大值。
应用二：利用均值不等式证明不等式
1．已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++2
2
2
2. 正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，求证：(1－a )(1－b )(1－c )≥8abc
例6：已知a 、b 、c R +∈，且1a b c ++=。求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
应用三：均值不等式与恒成立问题
例7：已知0,0x y >>且19
1x y
+=，求使不等式x y m +≥恒成立的实数m 的取值范围。
应用四：均值定理在比较大小中的应用： 例8：若)2lg(),lg (lg 21,lg lg ,1b
a R
b a Q b a P b a +=+=
⋅=>>，
则R Q P ,,的大小关系是 .
均值不等式的应用
一．均值不等式
1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22
2
≥+ (2)若R b a ∈,，则2
2
2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）
2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2
(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）
(3)若*
,R b a ∈，则2
2⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +
≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则1
2x x
+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） ; 若0x ≠，则11122-2x x x x
x
x
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a
b b
a (当且仅当
b a =时取“=”）
若0ab ≠，则
22-2a b a b a b
b a b a b a
+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”
） 5.若R b a ∈,，则2
)2(2
22b a b a +≤
+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，
可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的
