下载文档原格式
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题（基础知识+基本题型）知识点一、用向量方法求空间角（1）求异面直线所成的角已知a ，b 为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是a ，b 上的任意两点，a ，b 所成的角为θ，则||cos ||||AC BD AC BD θ⋅=⋅。
要点诠释：两异面直线所成的角的范围为（00,900]。
两异面直线所成的角可以通过这两直线的方向向量的夹角来求得，但二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直线所成的角。
（2）求直线和平面所成的角设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为u ，直线与平面所成的角为θ，a 与u 的角为ϕ，则有||sin |cos |||||θϕ⋅==⋅a u a u 。
（3）求二面角如图，若PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，平面PAB 交l 于E ，则∠AEB 为二面角l αβ--的平面角，∠AEB+∠APB=180°。
若12⋅n n 分别为面α，β的法向量，121212,arccos ||||n n n n n n ⋅〈〉=⋅则二面角的平面角12,AEB ∠=〈〉n n 或12,π-〈〉n n ，即二面角θ等于它的两个面的法向量的夹角或夹角的补角。
①当法向量1n 与2n 的方向分别指向二面角的内侧与外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n 的夹角12,〈〉n n 的大小。
②当法向量1n ，2n 的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角θ的大小等于1n ，2n的夹角的补角12,π-〈〉n n 的大小。
知识点二、用向量方法求空间距离1.求点面距的一般步骤：①求出该平面的一个法向量；②找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量；③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点到平面的距离。
即：点A 到平面α的距离||AB n d n ⋅= ，其中B α∈，n是平面α的法向量。
2.线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
利用空间向量解决空间中的“夹角”问题
学习目标 ：
1.学会求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的向量方法；
2.能够应用向量方法解决一些简单的立体几何问题；
3.提高分析与推理能力和空间想象能力。
重点 ：
利用空间向量解决空间中的“夹角” 难点 ：
向量夹角与空间中的“夹角”的关系 一、复习引入
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形） 2．向量的有关知识：
（1）两向量数量积的定义：><=⋅b a b a b a ,cos |||| （2）两向量夹角公式：|
|||,cos b a b a b a >=
<
（3）平面的法向量：与平面垂直的向量 二、知识讲解与典例分析
知识点1：异面直线所成的角（范围：]2
,
0(π
θ∈）
（1）定义：过空间任意一点o 分别作异面直线a 与b 的平行线a´与b´，那么直线a´与b´ 所成的锐角或直角，叫做异面直线a 与b 所成的角. （2）用向量法求异面直线所成角 设两异面直线a 、b 的方向向量分别为a 和b ，
问题1： 当a 与b 的夹角不大于90
的角θ与a 和b 的夹角的关系？问题 2：a 与b 的夹角大于90°时，，异面直线a θ与a 和b 的夹角的关系？
结论：异面直线a 、b 所成的角的余弦值为|
||||,cos |cos n m n m n m =
><=θ
a
例1如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和1CB 所成的角. 解法步骤：1.写出异面直线的方向向量的坐标。
2.利用空间两个向量的夹角公式求出夹角。
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)2,,0(),0,21,23(),2,21,23(),0,0,0(11a a B a a C a a a C A --
∴ )2,21,23(1a a a AC -=，)2,2
1,23(1a a a CB = 即21
323||||,cos 22
111111==>=
<a a
CB AC CB AC CB AC ∴1AC 和1CB 所成的角为
3
π
知识点2、直线与平面所成的角（范围：]2
,
0[π
θ∈）
思考：设平面α的法向量为n ，则><BA n ,与θ的关系？
例2、如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为a ,侧棱长为a 2，求1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值. 分析：直线与平面所成的角步骤：
1. 求出平面的法向量
2. 求出直线的方向向量
3. 求以上两个向量的夹角，(锐角)其余角为所求角
解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则),0,,0(),2,0,0(1a AB a AA ==)2,21
,23(1a a a AC -= 设平面B B AA 11的法向量为),,(z y x n =
x
y
n
由⎩⎨
⎧==⇒⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅000020
01z y ay az AB n AA n 取1=x ，)0,0,1(=∴n
21323|
|||,cos 2
2
111-=-=
>=
<∴a
a
N AC n AC n AC ∴1AC 和B B AA 11面所成角的正弦值
2
1.
知识点3：二面角（范围：],0[πθ∈）
结论：
或
归纳：法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角. 例3、如图，ABCD 是一直角梯形，︒=
∠90ABC ，⊥SA 面ABCD ，1===BC AB SA ，2
1=AD ，求面SCD 与面SBA 所成二面角的余弦值. 解：如图建立空间直角坐标系xyz A -，则
)1,0,0(),0,2
1
,0(),0,1,1(),0,0,0(S D C A -
易知面SBA
的法向量为)0,2
1
,0(1==AD n
)1,2
1
,0(),0,21,1(-=-=SD CD
设面SCD 的法向量为),,(2z y x n =，则有
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
=-=-0
2
02z y y x ，取1=z ，得2,1==y x ，)1,21,1(2=∴n
3
6|
|||,cos 212121=
>=
<∴n n n n n n 又1n 方向朝面内，2n 方向朝面外，属于“一进一出”的情况，二面角等于法向量夹角 即所求二面角的余弦值为3
6.
三、课堂小结
1．异面直线所成的角：|,cos |cos ><=b a θ 2．直线和平面所成的角：|,cos |sin ><=n AB θ
3．二面角：><-=><=2121,cos cos ,cos cos n n n n θθ或.
四、小试牛刀
1：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求直线11C B 与平面C AB 1所成的角的正弦值.
2：正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，点E 、F 分别为CD 、1DD 的中点.求二面角D AE F --的余弦值。
