高中数学竞赛训练题及答案

高中数学竞赛赛题精选(带答案)高中数学竞赛是中学生竞赛中最重要的一部分，它不仅需要智力，还需要充分发挥数学能力和思维能力。

以下是一些高中数学竞赛赛题的精选和解答。

1. 设$a_n=x^n$+5的前n项和为S(n)，求S(n+1)-S(n)的值。

解：S(n+1)-S(n)=(x^n+1+5)-(x^n+5)=(x^n+1)-(x^n)=x^n(x-1)。

由于$a_n=x^n+5$，所以S(n)=a_0+a_1+...+a_n=（x^0+5）+（x^1+5）+...+（x^n+5）=（x^0+x^1+...+x^n）+5(n+1)，因此S(n+1)-S(n)=x^n(x-1)=(S(n+1)-S(n)-5(n+2))/(x^0+x^1+...+x^n)。

2. 已知函数f(x)=sin(x)+cos(x)，0≤x≤π/2，求f(x)在[0,π/4]上的最小值。

解：f(x)=sin(x)+cos(x)=√2sin(x+π/4)，当0≤x≤π/4时，x+π/4≤π/2，sin(x+π/4)不小于0，因此f(x)的最小值由sin(x+π/4)的最小值决定。

sin(x+π/4)的最小值为-√2/2，因此f(x)的最小值为-1。

3. 已知正整数n，设P(n)是n的质因数分解中所有质因数加起来的和，Q(n)是n的数字分解中所有数位加起来的和。

给定P(n)+Q(n)=n，求最小的n。

解：P(n)的范围是2到9×log_10n之间，因此可以枚举P(n)和Q(n)，判断它们之和是否等于n。

当P(n)取到最小值2时，Q(n)的最大值为9log_10n，因此n的最小值为11。

4. 已知函数f(x)=2cos^2x-3cosx+1，x∈[0,2π]，求f(x)的最小值。

解：由于f(x)=2cos^2x-3cosx+1=2(cosx-1/2)^2-1/2，因此f(x)的最小值为-1/2，且取到最小值的x为0或2π。

5. 已知正整数n，求使得3^n的末2位是9的最小正整数n。

数学竞赛高一试题及答案一、选择题（每题5分，共10分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(-1) \)的值。

A. 4B. 6C. 8D. 102. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π二、填空题（每题5分，共10分）3. 已知\( a \)、\( b \)、\( c \)为三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，这个三角形是________。

4. 将\( 1 \)、\( 2 \)、\( 3 \)三个数字排列成三位数，所有可能的组合数是________。

三、解答题（每题15分，共30分）5. 已知数列\( \{a_n\} \)满足\( a_1 = 1 \)，\( a_{n+1} = a_n + 2n \)，求\( a_5 \)。

6. 一个直角三角形的斜边长为\( 5 \)，一条直角边长为\( 3 \)，求另一条直角边长。

四、证明题（每题15分，共30分）7. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

8. 证明：若\( a \)、\( b \)、\( c \)是三角形的三边长，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则这个三角形是直角三角形。

五、综合题（每题15分，共20分）9. 一个工厂计划在一年内生产\( x \)个产品，已知生产每个产品的成本是\( 10 \)元，销售每个产品的价格是\( 20 \)元。

如果工厂希望获得的利润不少于\( 10000 \)元，求\( x \)的最小值。

10. 已知函数\( g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( g(x) \)的极值点。

答案：一、选择题1. 答案：B. 6（计算方法：\( f(-1) = 2(-1)^2 - 3(-1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6 \)）2. 答案：B. 50π（计算方法：圆面积公式为\( πr^2 \)，代入\( r = 5 \)）二、填空题3. 答案：直角三角形4. 答案：6（排列组合方法：\( 3 \times 2 \times 1 = 6 \)）三、解答题5. 答案：\( a_5 = 1 + 2(1) + 2(2) + 2(3) + 2(4) = 1 + 2 + 4 +6 + 8 = 21 \)6. 答案：根据勾股定理，另一条直角边长为\( 4 \)（计算方法：\( 5^2 - 3^2 = 4^2 \)）四、证明题7. 证明：根据等差数列求和公式，\( 1 + 2 + ... + n =\frac{n(n+1)}{2} \)，立方后得到\( \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 \)，展开后即为\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 \)。

高中数学竞赛试题及答案1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \)，求 \( f(x) \) 在区间 \([0, 3]\) 上的最大值和最小值。

答案：首先求导数 \( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 得 \( x = 1 \) 或 \( x = \frac{2}{3} \)。

计算 \( f(0) = 0 \)，\( f(1) = 0 \)，\( f(\frac{2}{3}) = \frac{2}{27} \)，\( f(3) = 6 \)。

因此，最大值为 6，最小值为 0。

2. 计算极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{x^2} \)。

答案：使用洛必达法则，首先求导得到 \( \frac{e^x + \sinx}{2x} \)，再次求导得到 \( \frac{e^x + \cos x}{2} \)。

当 \( x \to 0 \) 时，极限为 \( \frac{1}{2} \)。

3. 证明不等式 \( \frac{1}{n+1} + \frac{1}{n+2} + \cdots +\frac{1}{2n} \geq \frac{1}{2} \ln 2 \) 对所有正整数 \( n \) 成立。

答案：利用调和级数的性质，将不等式左边的和表示为\( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \)。

通过放缩和积分估计，可以证明该不等式成立。

4. 已知三角形 \( ABC \) 的内角 \( A, B, C \) 满足 \( A + B +C = \pi \)，且 \( \sin A + \sin B + \sin C =\frac{3\sqrt{3}}{2} \)，求 \( \cos A + \cos B + \cos C \) 的值。

答案：利用三角恒等式 \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) 和\( \sin x \) 的和为 \( \frac{3\sqrt{3}}{2} \)，通过平方和展开，可以求得 \( \cos A + \cos B + \cos C = -\frac{3}{2} \)。

1、设a，b，c为正实数，且满足a+b+c=1，则1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值为多少？A. 1B. 3/2C. 2D. 5/2解析：本题主要考察不等式的应用及求解最值问题。

通过运用柯西不等式，我们可以推导出1/(3a+2)+1/(3b+2)+1/(3c+2)的最小值。

经过计算，当且仅当a=b=c=1/3时，取得最小值1。

（答案）A2、在三角形ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=√3，b=3，且三角形ABC的面积为(3√3)/4，则c的值为多少？A. 1B. 2C. √7D. √13解析：本题主要考察三角形的面积公式及余弦定理。

根据三角形面积公式S=(1/2)absinC，我们可以求出sinC的值，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，结合sin²C+cos²C=1，可以求出c的值。

经过计算，c=√7。

（答案）C3、设正整数n满足：对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k，则n的最大值为多少？A. 60B. 120C. 240D. 360解析：本题主要考察整除的性质及数论知识。

我们需要找到一个正整数n，使得对于任意的正整数k(1≤k≤n)，n都能整除k⁵-k。

通过分解k⁵-k，我们可以发现其包含因子2, 3, 4,5等，结合这些因子的性质，我们可以求出n的最大值。

经过推导，n的最大值为120。

（答案）B4、已知数列{an}满足a₁=1，且对于任意的n∈N*，都有aₙ₊₁=aₙ+n+1，则a₁₀的值为多少？A. 46B. 50C. 55D. 66解析：本题主要考察数列的递推关系及求和公式。

根据题目给出的递推关系aₙ₊₁=aₙ+n+1，我们可以逐步求出数列的项，或者通过求和的方式直接求出a₁₀。

经过计算，a₁₀=55。

（答案）C5、在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(0,1)，C(2,3)，则三角形ABC外接圆的圆心到原点O的距离为多少？A. √2/2B. √5/2C. √10/2D. √13/2解析：本题主要考察三角形外接圆的性质及距离公式。

高中数学竞赛赛题精选一、选择题（共12题）1．定义在R 上的函数()y f x =的值域为［m,n ］,则)1(-=x f y 的值域为（ ） A ．［m,n ］B ．［m-1,n-1］C ．［)1(),1(--n f m f ］D ．无法确定解：当函数的图像左右平移时，不改变函数的值域.故应选A.2．设等差数列{n a }满足13853a a =，且n S a ,01>为其前n 项之和，则)(*∈N n S n 中最大的是( ) A. 10S B. 11S C. 20S D. 21S 解：设等差数列的公差为d,由题意知3(1a +7d)=5(1a +12d),即d=-3921a , ∴n a = 1a +( n-1)d= 1a -3921a (n-1)= 1a (3941-392n),欲使)(*∈N n S n 最大，只须n a ≥0，即n ≤20.故应选C.3．方程log 2x=3cosx 共有（ ）组解．A ．1B ．2C ．3D ．4解：画出函数y=log 2x 和y=3cosx 的图像，研究其交点情况可知共有3组解．应选C ．4．已知关于x 的一元二次方程()02122=-+-+a x a x 的一个根比1大，另一个根比1小，则（）Ａ．11<<-a Ｂ．1-<a 或1>aＣ．12<<-aＤ．2-<a 或1>a解：令f(x)= ()2122-+-+a x a x ，其图像开口向上，由题意知f(1)＜0，即 ()211122-+⨯-+a a ＜0，整理得022<-+a a ，解之得12<<-a ，应选C ．5．已知βα,为锐角，,cos ,sin y x ==βα53)cos(-=β+α，则y 与x 的函数关系为（ ） A ．1)x 53( x 54x 153y 2<<+--= B ．1)x (0 x 54x 153y 2<<+--=C ．)53x (0 x 54x 153y 2<<---= D ．1)x (0 x 54x 153y 2<<---= []xx y 54153sin )sin(cos )cos()(cos cos 2+-⋅-=⋅+++=-+==αβααβααβαβ解： 而)1,0(∈y 15415302<+-⋅-<∴x x ， 得)1,53(∈x .故应选A. 6．函数sin y x =的定义域为[],a b ，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a-的最大值是（ ）A. πB. π2C.34πD. 35π解：如右图，要使函数sin y x =在定义域[],a b 上，值域为11,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则b a -的最大值是74()663πππ--=.故应选C. 7．设锐角使关于x 的方程x 2+4x cos+cot =0有重根，则的弧度数为 ( )A ．6B ．12或512C ．6或512D ．12解：由方程有重根，故14=4cos 2－cot =0，∵ 0<<2，2sin2=1，=12或512．选B ． 8．已知M={(x ，y )|x 2+2y 2=3}，N={(x ，y )|y=mx+b }．若对于所有的m ∈R ，均有M ∩N ，则b 的取值范围是 ( )A ．[－62，62] B ．(－62，62) C ．(－233，233] D ．[－233，233] 解：点(0，b )在椭圆内或椭圆上，2b 2≤3，b ∈[－62，62]．选A ．9．不等式log 2x －1+12log 12x 3+2>0的解集为A ．[2，3)B ．(2，3]C ．[2，4)D ．(2，4] 解：令log 2x=t ≥1时，t －1>32t －2．t ∈[1，2)，x ∈[2，4)，选C ．10．设点O 在ABC 的内部，且有+2+3=，则ABC 的面积与AOC 的面积的比为( )A ．2B ．32C ．3D ．53解：如图，设AOC=S ，则OC 1D=3S ，OB 1D=OB 1C 1=3S ，AOB=OBD=1.5S ．OBC=0.5S ，ABC=3S ．选C ．11．设三位数n=，若以a ，b ，c 为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n 有( )A ．45个B ．81个C ．165个D ．216个 解：⑴等边三角形共9个；⑵ 等腰但不等边三角形：取两个不同数码(设为a ，b )，有36种取法，以小数为底时总能构成等腰三角形，而以大数为底时，b <a <2b ．a=9或8时，b=4，3，2，1，(8种)；a=7，6时，b=3，2，1(6种)；a=5，4时，b=2，1(4种)；a=3，2时，b=1(2种)，共有20种不能取的值．共有236－20=52种方法，而每取一组数，可有3种方法构成三位数，故共有523=156个三位数即可取156+9=165种数．选C ．12．顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且PA=4，C 为PA 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为 ( )A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，PB ⊥AB ，AB ⊥面POB ，面PAB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，OH ⊥面PAB ，OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，PC ⊥面OCH ．PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30，OB=PO tan30=263．又解：连线如图，由C 为PA 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，S B 11OABCABPO H C而V O －PHC ∶V O －PBC =PH PB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=，则V P —AOB =16R 3sin cos =112R 3sin2，V B －PCO =124R 3sin2． PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2=11+cos 2=23+cos2．V O －PHC =sin23+cos2112R 3． ∴ 令y=sin23+cos2，y=2cos2(3+cos2)－(－2sin2)sin2(3+cos2)2=0，得cos2=－13，cos =33， ∴ OB=263，选D ．二、填空题（共10题）13. 设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若510S =，105S =-，则公差为 解：设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d .由题设得⎩⎨⎧-=+=+，，545101010511d a d a 即 ⎩⎨⎧-=+=+，，1922211d a d a 解之得1-=d .14. 设()log ()a f x x b =+(0a >且1)a ≠的图象经过点(21)，，它的反函数的图象经过点(28)，，则b a +等于 4 .解：由题设知 log (2)1log (8)2a a b b +=⎧⎨+=⎩，， 化简得 2(2)(8).b a b a +=⎧⎨+=⎩，解之得 1131a b =⎧⎨=⎩，； 2224.a b =-⎧⎨=-⎩，（舍去）. 故a b +等于4.15．已知函数()y f x =的图象如图，则满足22221()(lg(620))021x x f f x x x x --⋅-+≤-+的 x 的取值范围为 [21)x ∈-， ．解： 因为 ()()22lg 620lg (3)11lg111x x x -+=-+≥>，所以()2lg 6200x x -+<. 于是，由图象可知，2111x x +≤-，即 201x x +≤-，解得 21x -≤<. 故x 的取值范围为 [21)x ∈-，．16．圆锥曲线0|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是 2 ．解：原式变形为|3|)1()3(22+-=-++y x y x ，即=2|3|2+-y x ．所以动点),(y x 到定点(31)-，的距离与它到直线03=+-y x 的距离之比为2．故此动点轨迹为双曲线，离心率为2．17．在ABC ∆中，已知3tan =B ，322sin =C ，63=AC ，则ABC ∆的面积为ABC S ∆=解：在ABC ∆中，由3tan =B 得︒=60B ．由正弦定理得sin 8sin AC CAB B⋅==．因为︒>60322arcsin，所以角C 可取锐角或钝角，从而31cos ±=C ．sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin 2ABC AC ABS A ∆⋅== 18. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有 且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a . 解：由a a <2得10<<a ．由0142>++ax x 对于任何x ∈R 成立，得04162<-=∆a ，即2121<<-a ．因为命题P 、Q 有且仅有一个成立，故实数 a 的取值范围是 021≤<-a 或 121<≤a ．19.22cos 75cos 15cos75cos15++⋅的值是 ． 解：22cos 75cos 15cos75cos15++⋅ =cos²75°+sin²75°+sin15°·cos15° =1+°30sin 21=5420.定义在R 上的函数()f x 满足(1)2f =，且对任意的x R ∈，都有1()2f x '<，则不等式22log 3(log )2x f x +>的解集为 ． 解：令g ﹙x ﹚=2f ﹙x ﹚－x ，由f '(x ) <1/2得，2f '(x ) -1<0，即'g ﹙x ﹚<0，g(x)在R 上为减函数，且g(1)=2f(1)-1=3，不等式f(log2X)>2log 2X化为2f(log2X)—log2X≥3，即g(log2X)>g(1),由g(x)的单调性得：log2X<1,解得，0<x<2. 21.圆O 的方程为221x y +=，(1,0)A ，在圆O 上取一个动点B ，设点P 满足()AP OB R λλ=∈且1AP AB ⋅=．则P 点的轨迹方程为 ．解：设P(x,y), AB =λOB (λϵR)得B(k(x —1)，ky)，（λ=k1）。

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

2024年全国中学生奥林匹克数学竞赛浙江赛区初赛试题本卷共15道题目，12道填空题，3道解答题，所有答案填写在答题纸上，满分150分一、填空题（每小题8分，共计96分）1.设集合10,21x A xx ⎧−⎫=≤⎨⎬−⎩⎭集合2{20}B x x x m =++≤。

若A B ⊆，则实数m 的取值范围为 。

2.设函数{}{}:1,2,32,3,4f → 满足 ()()1()ff x f x −=，则这样的函数有_______个。

3.函数22sin sin 1sin 1x x y x ++=+的最大值与最小值之积为 。

4.已知数列{}n x满足：11,12n x x x n +==≥，则通项n x =__________。

5 .已知四面体A BCD −的外接球半径为1，1,60BC BDC =∠=，则球心到平面BDC 的距离为______________。

6.已知复数z 满足24510(1)1zz =−=，则z =__________________。

7.已知平面上单位向量,a b 垂直，c 为任意单位向量，且存在(0,1)t ∈，使得向量(1)a t b +−与向量c a −垂直，则a b c +−的最小值为__________________________。

8. 若对所有大于2024的正整数n ，成立202420240, ii n i i na C a ==∈∑，则12024a a +=_________。

9.设实数,,(0,2]a b c ∈，且3b a ≥或43a b +≤，则max{,,42}b a c b c −−−的最小值为 ___ __ __。

10.在平面直角坐标系xOy 上，椭圆E 的方程为221124x y +=，1F 为E 的左焦点；圆C 的方程为222())x a y b r −+−=（ ，A 为C 的圆心。

直线l 与椭圆E 和圆C 相切于同一点(3,1)P 。

则当1OAF ∠最大时，实数r =_____________________。

高中数学竞赛试题附详细答案一选择题(每题5分,满分60分)1. 如果a,b,c 都是实数，那么P ∶ac<0,是q ∶关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）（A ）必要而不充分条件 （B ）充要条件（C ）充分而不必要条件 （D ）既不充分也不必要条件2. 某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下（ ）。

（A ）1005.03⨯克 （B ）(1－0.5%)3克 （C ）0.925克 （D ）100125.0克 3. 由甲城市到乙城市t 分钟的电话费由函数g (t )=1.06×(0.75[t ]+1)给出，其中t >0，[t ]表示大于或等于t 的最小整数，则从甲城市到乙城市5.5分钟的电话费为（ ）。

（A ）5.83元 （B ）5.25元 （C ）5.56元 （D ）5.04元4. 已知函数>0，则的值A 、一定大于零B 、一定小于零C 、等于零D 、正负都有可能 5. 已知数列3，7，11，15，…则113是它的（ ） （A ）第23项 （B ）第24项 （C ）第19项 （D ）第25项6. 已知等差数列}{n a 的公差不为零，}{n a 中的部分项 ,,,,,321n k k k k a a a a 构成等比数列，其中,17,5,1321===k k k 则n k k k k ++++ 321等于（ ） (A) 13--n n(B) 13-+n n(C) 13+-n n(D)都不对 7. 已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ） A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 8. 如果A A tan 1tan 1+-= 4+5，那么cot （A +4π）的值等于 ( )A -4-5B 4+5C -541+ D541+9. 已知︱︱=1，︱︱=3,∙=0,点C 在∠AOB 内，且∠AOC =30°，设=m +n (m 、n ∈R )，则nm等于A.31 B.3 C.33 D.3 10. 等边△ABC 的边长为，AD 是BC 边上的高，将△ABD 沿AD 折起，使之与△ACD 所在平面成1200的二面角，这时A 点到BC 的距离是A 、B 、C 、3D 、211. 抛两个各面上分别标有1，2，3，4，5，6的均匀的正方体玩具，“向上的两个数之和为3”的概率是（ ）A ．31 B ．61 C ．361 D ．181 12. 对于直角坐标平面内的任意两点A (x 1,y 1)、B (x 2，y 2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB ‖=︱x 1－x 2︱+︱y 1－y 2︱.给出下列三个命题： ①若点C 在线段AB 上，则‖AC ‖+‖CB ‖=‖AB ‖;②在△ABC 中，若∠C =90°，则‖AC ‖2+‖CB ‖2=‖AB ‖2； ③在△ABC 中，‖AC ‖+‖CB ‖>‖AB ‖. 其中真命题的个数为A.0B.1C.2D.3 二填空题:(每题5分,满分30分)13棱锥的底面面积为150cm 2,平行于底面的截面面积为54cm 2底面和截面距离为14cm,则这个棱锥高为_________14函数y=x －2+的最小值是________;最大值是________.15. 若数列｛a n ｝由a 1=2，a n+1=a n +2n(n ≥1)确定，求通项公式a n ==________.16. 有一公用电话亭，在观察使用这个电话的人的流量时，设在某一个时刻，有n 个人正在使用电话或等待使用的概率为)(n P ，且)(n P 与时刻t 无关，统计得到⎪⎩⎪⎨⎧≥≤≤⋅=6,051,)0()21()(n n P n P n，那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概率P (0)的值是 ．17. 定义在N ＋上的函数f(x)，满足f (1 )＝1，且f(n+1)=⎪⎩⎪⎨⎧.),(,),(21为奇数　为偶数n n f n n f 则f (22) = ．18. 定义在R 上的函数)(x f y =，它同时满足具有下述性质： ①对任何);()(33x f x f R x =∈均有②对任何).()(,,212121x f x f x x R x x ≠≠∈均有则=-++)1()1()0(f f f ．三解答题(每题15分,满分60分)19. 三角形ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为，若，求角C 的大小。

2024年上海市高三数学竞赛试题2024年3月24日上午9:30〜11:30一、填空题(第1〜4题每小题7分，第5〜8题每小题8分，共60分)1.若正实数Q,b满足Ql=2a+b,贝I]q+2。

的最小值是.192.现有甲、乙两人进行羽毛球比赛，已知每局比赛甲胜的概率为乙胜的概率为注规定谁先胜3局谁赢得胜利，则甲赢得胜利的概率为.(用最简分数表示答案)3.计算「2|「4「6I I「2024、2，厂1厂3«「5「7<(厂2023、2_(口2024一口2024十口2024—^2024^2024)十(口2024—>2024十^2024—口2024^2024；—4.已知~a.T,~c是同一平面上的3个向量，满足|切=3,\~b\=2\/2,~a^~b=-6,且向量~c-~a与~c-~b的夹角为p则\~c\的最大值为.5.若关于z的方程2”+1-防邪-1=0存在一个模为1的虚根，则正整数n的最小值为6.一个顶点为P、底面中心为O的圆锥体积为1,若正四棱锥。

— ABCD内接于该圆锥，平面ABCD与该圆锥底面平行，A,B,C,D这4个点都在圆锥的侧面上，则正四棱锥O一AOCD的体积的最大值是•7.已知函数f(x)=arr2+Inc有两个零点，贝0实数Q的取值范围是.8.若3个整数Q,b,c满足a?+户+c?+3V Qb+3b+3c,则这样的有序整数组(fl,6,c)共有组.二、解答题(每小题15分，共60分)9.在平面直角坐标系明中，已知椭圆「：乎+/=1,4、B是椭圆的左、右顶点.点C是椭圆「内(包括边界)的一个动点，若动点P使得PB PC=0.求|OP|的最大值.10.求所有正整数n(n>3),满足正71边形能内接于平面直角坐标系xOy中椭圆片+%=1(q>b>0).11.数列｛。

曷满足：Q i=Q2=1,a n+2=a n+1+a n(打=1,2,•.•),M是大于1的正整数，试证明:在数列Q3,Q4,Q5,…中存在相邻的两项，它们除以M余数相同.12.将正整数1,2,.・・,100填入10X10方格表中，每个小方格恰好填1个数，要求每行从左到右10个数依次递减，记第2行的10个数之和为&(1=1,2,...,10).设nc｛l,2,...，10｝满足：存在一种填法,使得$,，,•••，Sio均大于第n列上的10个数之和，求n的最小值.2024年上海市高三数学竞赛试题解析一、填空题1.【解析】解:整理得上注=1,因此"2方=（〃+2方）（上+2）=5+2（&0）29,等号成立当且仅当a b a b b a〃=8=3时取得，则最小值是9.2.【解析】解:甲以3：0获胜的税率是P q=（—）3=sy；以3：I获ft的概•率是P]=C；•（—）?=3*以3:2枝胜的概率是p2=Cj・（：）3・（；）2=§■.株上所述，甲获It的概.率•是p=P q+P i+p?=共X I3.【解析】解:由二项式定理可加（"6）皿=㈡抽皿+Um湖"％…CicW板皿“，...+C魏〃皿2024令"=展=|可得（1“皿=£。

高中数学竞赛初赛试题(含答案)高中数学竞赛初赛试题(含答案)一、选择题1. 设函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 2ax + b，如果 f(1) = 3 且 f'(1) = 4，那么常数 a 和 b 的值分别是多少？A) a = 2, b = 4 B) a = 2, b = 3 C) a = 3, b = 4 D) a = 3, b = 32. 在平面直角坐标系中，点 P(-3,4) 和点 Q(1,-2) 的连线所在直线的斜率是多少？A) -1/4 B) 2/3 C) 2 D) -3/23. 若 a, b, c 是等差数列的前三项，且 a + b + c = 9，那么 a 的值是多少？A) 1 B) 3/2 C) 2 D) 34. 若函数 f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx + 2 的图像经过点 (2, 8)，那么常数a 和b 的值之和为多少？A) 6 B) 8 C) 10 D) 125. 已知等比数列的首项为 4，公比为 2，前 n 项和为 S_n。

下列哪个等式是正确的？A) S_n = 4(2^n - 1) B) S_n = 2(2^n - 1) C) S_n = 2^n + 2 D) S_n = 2^n二、填空题1. 若 3/4 张纸能折成 2^7 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：2^10 层2. 若 1/3 张纸能折成 2^8 层，那么一张纸最多能折成多少层？答案：3 × 2^8 层3. 一条长杆分成三段，第一段比第二段长 2cm，第二段比第三段长4cm，三段的长度之和是 50cm。

请分别求出第一段、第二段和第三段的长度。

答案：第一段：12cm，第二段：14cm，第三段：24cm4. 若 a 和 b 是互质的整数，并且 a × b = 147，那么 a 和 b 的值分别是多少？答案：a = 1，b = 147 或 a = 147，b = 15. 在平面直角坐标系中，顶点为 (0,0)，椭圆的长轴在 x 轴上，短轴在 y 轴上，且长轴长为 8，短轴长为 6。

2023年全国高中数学联合竞赛加试卷习题及参考答案一．（本题满分40分）如图，ABC 的外心为O ，在边AB 上取一点D ，延长OD 至点E ，使得,,,A O B E 四点共圆．若2,3,4,5OD AD BD CD ，证明：ABE 与CDE 的周长相等．证明：由,,,A O B E 共圆得AD BD OD DE ，又2,3,4OD AD BD ，所以6DE ． ……………10分由OA OB 得OAD OEA ，故OAD OEA ∽，故OA OE AEOD OA AD． 所以22(26)16OA OD OE ，得4OA ．进而26OEAE AD AD OA．同理可得OBD OEB ∽ ，28BE BD ． ……………20分 由于22OC OA OD OE ，故OCD OEC ∽． ……………30分因此EC OC CD OD． 由2,8OD OE OD DE 知4OC ，又5CD ，故210EC CD ． 计算得76821AB AE BE ，561021CD DE EC ，即ABE 与CDE 的周长相等． ……………40分二．（本题满分40分）设,m n 是给定的整数，3m n ≥≥.求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在m 个红色的数12,,,m x x x （允许相同），满足121m m x x x x -+++< ，或者存在n 个蓝色的数12,,,n y y y （允许相同），满足121n n y y y y -+++< ．C E O A BD C EO A B D解：答案是1mn n -+．若k mn n =-，将1,2,,1n - 染为蓝色，,1,,n n mn n +- 染为红色．则对任意m 个红色的数12,,,m x x x ，有121(1)m m x x x n m x -+++≥-≥ ，对任意n 个蓝色的数12,,,n y y y ，有1211n n y y y n y -+++≥-≥ ，上述例子不满足要求．对k mn n <-，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子．因此所求1k mn n ≥-+． ………………10分下面证明1k mn n =-+具有题述性质．假设可将1,2,,1mn n -+ 中的每个数染为红色或蓝色，使得结论不成立． 情形一：若1是红色的数，则红色的数均不超过1m -，否则可取一个红色的数m x m ≥，再取1211m x x x -==== ，则11m m x x x -++< ，与假设矛盾． ………………20分故,1,,1m m mn n +-+ 均为蓝色的数，此时取121,1n n y y y m y mn n -=====-+ ，有121(1)11n n y y y m n mn m mn n y -+++=-<-+≤-+= ，（*） 与假设矛盾． ………………30分情形二：若1是蓝色的数，则同情形一可知蓝色的数均不超过1n -，故,1,,1n n mn n +-+ 均是红色的数．此时取121,1m m x x x n x mn n -=====-+ ，与（*）类似，可得矛盾．故1k mn n =-+时结论成立．综上，所求最小的正整数1k mn n =-+． ………………40分三．（本题满分50分）是否存在2023个实数122023,,,(0,1]a a a ，使得20236120231110i j i j k ka a a证明你的结论．解：记20231202311i j i j k kS a a a． 假设存在122023,,,(0,1]a a a ，使得610S ． 不妨设12202301a a a ，则将12023i j i j a a去掉绝对值后，k a 的系数为22024k ，从而202311(22024)k k kS k a a． ……………10分 当11011k 时，由基本不等式知 11(22024)(20242)220242k k kkk a k a k a a． ……………20分当10122023k 时，由于1()(22024)k f x k x x在(0,1]上单调增，故1(22024)(1)22025k k kk a f k a． 从而1011202311012220242(22025)k k S k k1011110101012202422k k k． ……………30分注意到202422(20242)2202444k k k k ，故61010101210114410S ，这意味者不存在122023,,,a a a 满足条件． ……………50分四．（本题满分50分）设正整数,,,a b c d 同时满足： (1) 2023a b c d +++= ； (2) ab ac ad bc bd cd +++++ 是2023的倍数； (3) abc bcd cda dab +++是2023的倍数． 证明：abcd 是2023的倍数． 证明：易知22023717=⨯． 首先，由(1)，(3)知2()()()()() a b a c a d a a b c d abc bcd cda dab +++=+++++++是2023的倍数，故,,a b a c a d +++中至少有一个是 7的倍数． ……………10分由对称性，不妨设a b +是7的倍数，则) 2023( c d a b +=-+也是7的倍数，()()ac ad bc bd a b c d +++=++也是7的倍数，故结合(2)知ab cd +是7的倍数，因此22) (()()a c a a b c c d ab cd +=+++-+也是 7的倍数．又平方数除以 7的余数只能是0,1,2,4，因此22,a c 只能同时是 7的倍数， 这表明,,,a b c d 都是 7的倍数． ………………20分同上面分析可知：) ()()( a b a c a d +++是217的倍数，故或者其中有一个因子是217的倍数，或者其中有两个因子是 17的倍数．如果有一个因子是217的倍数，不妨设a b +是217的倍数，结合 ,a b 都是7的倍数知，a b +是 22023717=⨯的倍数，但这与2023a b c d +++=及,,,a b c d 是正整数相矛盾！ ………………30分因此,,a b a c a d +++中至少有两个是17的倍数．不妨设,a b a c ++都是17的倍数，那么b d +也是17的倍数，由2()()(2)()ab ac ad bc bd cd a b d b d c a a b a a c a +++++=+++++++-知，22a 是17的倍数，故a 是17的倍数．因此,,,a b c d 都是17的倍数，这就说明了abcd 是44717⨯的倍数，也就是2023的倍数．………………50分。

全国高中数学竞赛试题及答案试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 \)，求\( f(x) \)的极值点。

2. 求解方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的所有实根。

3. 判断函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间\( (0, +\infty) \)上的单调性。

试题二：解析几何1. 已知椭圆\( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \)，其中\( a > b > 0 \)，求椭圆的焦点坐标。

2. 求圆\( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \)的切线方程，已知切点坐标为\( (m, n) \)。

3. 证明点\( P(x_1, y_1) \)和点\( Q(x_2, y_2) \)的连线\( PQ \)的中点坐标为\( \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 +y_2}{2}\right) \)。

试题三：数列与级数1. 已知等差数列的首项\( a_1 = 3 \)，公差\( d = 2 \)，求第10项\( a_{10} \)。

2. 求等比数列\( b_1, b_2, b_3, \ldots \)的前\( n \)项和，其中\( b_1 = 1 \)，公比\( r = 3 \)。

3. 判断数列\( c_n = \frac{1}{n(n + 1)} \)的收敛性。

试题四：概率与统计1. 从5个红球和3个蓝球中随机抽取3个球，求至少有2个红球的概率。

2. 抛掷一枚均匀硬币4次，求正面朝上的次数为2的概率。

3. 某工厂生产的产品中有2%是次品，求从一批产品中随机抽取10个产品，至少有1个是次品的概率。

试题五：组合与逻辑1. 有5个不同的球和3个不同的盒子，将球分配到盒子中，每个盒子至少有一个球，求不同的分配方法总数。

2. 证明：对于任意的正整数\( n \)，\( 1^2 + 2^2 + 3^2 + \ldots + n^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} \)。

数学竞赛试题及答案高中一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = 3x^2 - 6x + 5，下列哪个选项是f(x)的对称轴？A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = -2答案：A2. 已知数列{an}的通项公式为an = 2^n，求数列{an}的前n项和Sn。

A. Sn = 2^(n+1) - 2B. Sn = 2^(n+1) - 1C. Sn = 2^(n+1) - 2^nD. Sn = 2^(n+1) - 2^(n-1)答案：B3. 已知向量a = (3, -2)，向量b = (1, 2)，求向量a与向量b的数量积。

A. 2B. -2C. 4D. -4答案：B4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f'(x)。

A. 3x^2 - 6x + 2B. x^2 - 3x + 2C. 3x^2 - 6xD. x^2 - 3x答案：A5. 已知双曲线的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1，其中a > 0，b > 0，求双曲线的离心率e。

A. e = √(1 + b^2/a^2)B. e = √(1 - b^2/a^2)C. e = √(a^2 + b^2)D. e = √(a^2 - b^2)答案：A6. 已知函数f(x) = sin(x) + cos(x)，求f(π/4)的值。

A. √2B. 1C. 0D. -1答案：A7. 已知等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，求数列{an}的第10项a10。

B. 20C. 21D. 22答案：A8. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 1C. 2D. 3答案：A9. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 1)，求向量a与向量b的夹角θ。

A. π/3B. π/4D. 2π/3答案：D10. 已知函数f(x) = e^x - e^(-x)，求f'(x)。

竞赛数学高中试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点为x1和x2，则x1 + x2的值为：A. 2B. 3C. 4D. 52. 已知数列{an}是等差数列，且a1 = 2，a3 = 8，则该数列的公差d为：A. 2B. 3C. 4D. 63. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的模|z|的取值范围为：A. [1, 3]B. [0, 3]C. [1, 5]D. [0, 5]4. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x)的值为：A. 3x^2 - 6xB. 3x^2 - 6x + 2C. x^2 - 6x + 2D. x^3 - 3x^2 + 25. 若a，b，c是等比数列，且a + b + c = 14，b^2 = ac，则a + c 的值为：A. 4B. 8C. 10D. 126. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 = c^2，求角C的大小为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像与x轴有两个交点，则判别式Δ的取值范围为：A. Δ > 0B. Δ = 0C. Δ < 0D. Δ ≥ 08. 已知向量a = (1, 2)，b = (3, 4)，则向量a + b的坐标为：A. (4, 6)B. (-2, -2)C. (2, 6)D. (4, -2)9. 若函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f(π/4)的值为：A. √2B. 1C. 2D. 010. 已知双曲线C的方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1（a > 0，b > 0），且双曲线C的一条渐近线方程为y = 2x，则a/b的值为：A. 1/2B. 1/3C. 1/4D. 1/5二、填空题（每题6分，共30分）11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = 3^n - 1，求a5的值为________。

数学竞赛高中试题入门及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是整数？A. -3B. 0C. 5D. 2.52. 如果函数\( f(x) = 3x^2 - 5x + 2 \)，那么\( f(-1) \)的值是多少？A. 10B. 8C. 6D. 43. 圆的半径为3，圆心在原点，那么圆上任意一点到圆心的距离是多少？A. 1B. 2C. 3D. 44. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C，且A + B + C = 180°，如果角A = 60°，角B = 50°，那么角C是多少度？A. 70°B. 80°C. 90°D. 100°二、填空题（每题5分，共20分）5. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)为三角形的三边，且\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则该三角形是________。

6. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。

7. 一个圆的面积为28.26平方厘米，那么它的半径是________厘米。

8. 已知等差数列\( 3, 7, 11, ... \)，第5项的值是________。

三、解答题（每题15分，共30分）9. 证明：如果\( a \)，\( b \)，\( c \)是正实数，且\( a + b +c = 1 \)，那么\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq9 \)。

10. 一个直角三角形的两条直角边长分别为6厘米和8厘米，求斜边的长度。

（使用勾股定理）四、证明题（每题15分，共15分）11. 证明：对于任意正整数\( n \)，\( 1^3 + 2^3 + ... + n^3 = (1 + 2 + ... + n)^2 \)。

五、结束语本试题旨在为高中数学竞赛入门者提供一个基础的练习平台，通过这些题目，学生可以检验自己的数学基础知识和解题技巧。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题1.若直线l1:y = -2x + 3，直线l2过点(1,5)且与l1垂直，则l2的方程是：A. y = x + 4B. y = -x + 6C. y = x - 4D. y = -x + 4答案：C2.已知集合A = {x | |x - 3|< 2}，则A的值是： A. (-∞, 1) U (5, ∞) B. (-∞,1) U (3, ∞) C. (1, 5) D. (1, 5] U (5, ∞)答案：D二、填空题1.若a、b满足a+b=5，且ab=6，则a和b的值分别是____。

答案：2和32.若某几何体的体积V和表面积S满足S=3V，且V>0，则该几何体的体积V的值为____。

答案：1/3三、解答题1.设数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2 = an + 2n，求数列的通项公式。

解答：首先给出数列的前几项： a1 = 1 a2 = 2 a3 = 1 + 2 × 1 = 3 a4 = 2 + 2 × 2 =6 a5 = 3 + 2 × 3 = 9 … 从数列的前几项可以观察到，第n项的值为n^2 - 1。

所以数列的通项公式为an = n^2 - 1。

2.已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2，求f(x)的最小值及取得最小值时的x值。

解答：对于任意x，有f’(x) = 3x^2 - 6x + 4。

令f’(x) = 0，可以解得x = 1。

再求f’‘(x) = 6x - 6，当x = 1时，f’’(x) = 0。

所以x = 1是f(x)的极小值点。

代入f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 2计算得最小值为-2。

所以f(x)的最小值是-2，取得最小值时的x值为1。

四、简答题1.数列的极限是什么？如何判断一个数列的极限存在？答：数列的极限是指当项数趋向无穷大时，数列的项的值趋向的一个确定的数。

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 如果函数f(x)=x^2-4x+3，那么f(2)的值为：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B2. 已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，那么a5的值为：A. 9B. 10C. 11D. 12答案：A3. 函数y=sin(x)的周期为：A. 2πB. πC. 4πD. 1答案：A4. 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足A+B=2C，那么角C的度数为：A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°答案：C5. 已知复数z=1+i，那么|z|的值为：B. 2C. √3D. 3答案：A6. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间[1,2]上是：A. 增函数B. 减函数C. 先减后增D. 先增后减答案：C7. 已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦点在x轴上，且a=2，那么b的值为：A. √3C. √5D. 2答案：A8. 已知椭圆C：x^2/4+y^2/3=1，那么椭圆C的离心率为：A. √3/2B. 1/2C. √2/2D. 2/3答案：C9. 已知向量a=(2,1)，b=(1,-1)，则向量a+2b的坐标为：A. (4, -1)B. (4, 1)C. (2, -1)D. (2, 1)答案：A10. 已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，B={x|x^2-3x+2=0}，则A∩B 的元素个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^3+3x^2-9x+5，求f'(x)的值为：______。

答案：3x^2+6x-912. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，那么b4的值为：______。

答案：5413. 已知直线l的方程为y=2x+1，求直线l与x轴的交点坐标为：（______，______）。

2023年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2023年全国高中数学联合竞赛加试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不得增加其他中间档次．一．（本题满分40分）如图， 是以AB 为直径的固定的半圆弧， 是经过点A 及 上另一个定点T 的定圆，且 的圆心位于ABT 内．设P 是 的弧 TB（不含端点）上的动点，,C D 是 上的两个动点，满足：C 在线段AP 上，,C D 位于直线AB 的异侧，且CD AB ．记CDP 的外心为K ．证明：(1) 点K 在TDP 的外接圆上；(2) K 为定点． ΩωPD ABT C证明：(1) 易知PCD 为钝角，由K 为CDP 的外心知2(180)2PKD PCD ACD ．由于90APB ，CD AB ，故PBA ACD ATD ．……………10分 所以2180PTD PKD PTA ATD ACD PTA PBA ． 又,K T 位于PD 异侧，因此点K 在TDP 的外接圆上． ……………20分(2) 取 的圆心O ，过点O 作AB 的平行线l ，则l 为CD 的中垂线，点K 在直线l 上． ……………30分由,,,T D P K 共圆及KD KP ，可知K 在DTP 的平分线上，而9090DTB ATD PBA PAB PTB ，故TB 为DTP 的平分线．所以点K 在直线TB 上．显然l 与TB 相交，且l 与TB 均为定直线，故K 为定点． ……………40分 ωΩl D P OK B ATC二．（本题满分40分）正整数n 称为“好数”，如果对任意不同于n 的正整数m ，均有2222n m n m ⎧⎫⎧⎫⎪⎪⎪⎪≠⎨⎬⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎩⎭⎩⎭，这里，{}x 表示实数x 的小数部分． 证明：存在无穷多个两两互素的合数均为好数．证明：引理：设n 是正奇数，且2模n 的阶为偶数，则n 是好数．引理的证明：反证法．假设n 不是好数，则存在异于n 的正整数m ，使得2222n m n m ．因此22n n 与22m m 写成既约分数后的分母相同．由n 为奇数知22n n 是既约分数，故2m 的最大奇因子为2n ，从而m 的最大奇因子为n ．设2t m n ，其中t 为正整数（从而m 是偶数）．于是22222m m t m n． 由22222m t n n n可得2222(mod )m t n n ，故 222(mod )m t n n ． （*）设2模n 的阶为偶数d ．由（*）及阶的基本性质得2(mod )m t n d ，故2m t n 是偶数．但2m t 是偶数，n 是奇数，矛盾．引理得证．……………20分回到原问题．设221(1,2,)k k F k ．由于1221k k F ，而k F 221k，因此2模k F 的阶为12k ，是一个偶数．对正整数l ，由221(mod )l k F 可知21(mod )l k F ，故由阶的性质推出，2模2k F 的阶被2模k F 的阶整除，从而也是偶数．因2k F 是奇数，由引理知2k F 是好数．……………30分对任意正整数,()i j i j ，211(,)(,(21)2)(,2)1i i j i i i j i F F F F F F F ，故123,,,F F F 两两互素．所以222123,,,F F F 是两两互素的合数，且均为好数． ……………40分三．（本题满分50分） 求具有下述性质的最小正整数k ：若将1,2,,k 中的每个数任意染为红色或者蓝色，则或者存在9个互不相同的红色的数129,,,x x x 满足1289x x x x +++< ，或者存在10个互不相同的蓝色的数1210,,,y y y 满足12910y y y y +++< ．解：所求的最小正整数为408．一方面，若407k =时，将1,55,56,,407 染为红色，2,3,,54 染为蓝色，此时最小的8个红数之和为1555661407++++= ，最小的9个蓝数之和为231054+++= ，故不存在满足要求的9个红数或者10个蓝数．对407k <，可在上述例子中删去大于k 的数，则得到不符合要求的例子． 因此407k ≤不满足要求． ……………10分 另一方面，我们证明408k =具有题述性质．反证法．假设存在一种1,2,,408 的染色方法不满足要求，设R 是所有红数的集合，B 是所有蓝数的集合．将R 中的元素从小到大依次记为12,,,m r r r ，B 中的元素从小到大依次记为12,,,n b b b ，408m n +=．对于R ，或者8R ≤，或者128m r r r r +++≥ ；对于B ，或者9B ≤，或者129n b b b b +++≥ ．在1,2,,16 中至少有9个蓝色的数或至少有8个红色的数．情形1：1,2,,16 中至少有9个蓝色的数．此时916b ≤．设区间9[1,]b 中共有t 个R 中的元素12,,,(08)t r r r t ≤< ．记12t x r r r =+++ ，则112(1)2x t t t ≥+++=+ ． 因为12912,,,,,,,t b b b r r r 是9[1,]b 中的所有正整数，故{}{}12912,,,,,,,1,2,,9t b b b r r r t =+ ．于是 12912(9)n b b b b t x ≤+++=++++- 1(9)(10)2t t x =++-． （*） ……………20分 特别地，116171362n b ≤⨯⨯=．从而9R ≥． 对任意(1)i i m t ≤≤-，由（*）知1(9)(10)2t i n r b i t t x i +≤+≤++-+．从而 811811(9)(10)2t m t t i r r r r r x t t x i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(10)(8)(8)(9)(7)22t t t t t t x =++-+---- 111(9)(10)(8)(8)(9)(7)(1)222t t t t t t t t ≤++-+----⋅+ 2819396407t t =-++≤（考虑二次函数对称轴，即知1t =时取得最大）． 又136n b ≤，这与,n m b r 中有一个为408矛盾． ……………40分情形2：1,2,,16 中至少有8个红色的数．论证类似于情形1．此时816r ≤．设区间8[1,]r 中共有s 个B 中的元素12,,,(09)s b b b s ≤< ．记1s y b b =++ ，则1(1)2y s s ≥+． 因为12128,,,,,,,s b b b r r r 是8[1,]r 中的所有正整数，故 {}{}12128,,,,,,,1,2,,8s b b b r r r s =+ ． 于是1(8)(9)2m r s s y ≤++-． 特别地，116171362m r ≤⨯⨯=．从而10B ≥． 对任意(1)i i n s ≤≤-，有1(8)(9)2s i m b r i s s y i +≤+≤++-+．从而 911911(8)(9)2s n s s i b b b b b y s s y i -+=⎛⎫ ⎪≤+++++≤+++-+ ⎪⎝⎭∑ 11(9)(8)(9)(8)(9)(10)22s s s s y s s =-++--+--111(9)(8)(9)(8)(1)(9)(10)222s s s s s s s s ≤-++--⋅++-- 2727369395s s =-++≤（在2s =时取得最大）， 又136m r ≤，这与,n m b r 中有一个为408矛盾．由情形1、2知408k =具有题述性质．综上，所求最小正整数k 为408． ……………50分四．（本题满分50分）设4110a -=+．在20232023⨯的方格表的每个小方格中填入区间[1,]a 中的一个实数．设第i 行的总和为i x ，第i 列的总和为i y ，12023i ≤≤．求122023122023y y y x x x 的最大值（答案用含a 的式子表示）． 解：记2023n =，设方格表为(),1,ij a i j n ≤≤，122023122023y y y x x x λ= ． 第一步：改变某个ij a 的值仅改变i x 和j y ，设第i 行中除ij a 外其余1n -个数的和为A ，第j 列中除ij a 外其余1n -个数的和为B ，则jij i ij y B a x A a +=+．当A B ≥时，关于ij a 递增，此时可将ij a 调整到,a λ值不减．当A B ≤时，关于ij a 递减，此时可将ij a 调整到1,λ值不减．因此，为求λ的最大值，只需考虑每个小方格中的数均为1或a 的情况． ……………10分第二步：设{}1,,1,ij a a i j n ∈≤≤，只有有限多种可能，我们选取一组ij a 使得λ达到最大值，并且11n nij i j a ==∑∑最小．此时我们有,,1,.i j ij i j a x y a x y ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩（*） 事实上，若i j x y >，而1ij a =，则将ij a 改为a 后，行和及列和变为,i j x y ''，则11j j j i i iy y a y x x a x '+-=>'+-， 与λ达到最大矛盾，故ij a a =．若i j x y ≤，而ij a a =，则将ij a 改为1后，λ不减，且11n nij i j a ==∑∑变小，与ij a 的选取矛盾．从而（*）成立．通过交换列，可不妨设12n y y y ≤≤≤ ，这样由（∗）可知每一行中a 排在1的左边，每一行中的数从左至右单调不增．由此可知12n y y y ≥≥≥ ．因而只能12n y y y === ，故每一行中的数全都相等（全为1或全为a ）.……………20分 第三步：由第二步可知求λ的最大值，可以假定每一行中的数全相等.设有k 行全为a ,有n k -行全为1,0k n ≤≤．此时()()()n nk k n k n k ka n k ka n k na nn a λ-+-+-==． 我们只需求01,,,n λλλ 中的最大值． ()11(1)1111()(1)nn n k k n k n kk a n k a n a ka n k a k a n n a λλ++++--⎛⎫- ⎪==+ ⎪+--+⎝⎭． 因此1111(1)n k k a a k a n λλ+⎛⎫- ⎪≥⇔+≥ ⎪-+⎝⎭ 11(1)n n x x k x n-⇔+≥-+（记n x a =） 2111(1)n n x x x k x n-++++⇔≥-+ 2111n n x x x n k x -++++-⇔≤- 211(1)(1)1n n x x x x x--+++++++=+++ ． 记上式右边为y ,则211(2)1n n n n x x y x x ---+-++=+++ ． 下面证明(1010,1011)y ∈． ……………30分 首先证明1011y <．1011y < 2021202220222021101110111011x x x x ⇔+++<+++1010101210132021202210111010210101011x x x x x x ⇔+++<++++ ．由于220221x x x <<<< ，故101010101012011(1011)101110121011101222k k k x x x =-<⋅⋅<⋅⋅∑101110110k k kx +=<∑． ……………40分 再证明1010y >，等价于证明2021202200(2022)1010kk k k k x x ==->∑∑． 由于2021202100(2022)(2022)10112023k k k k x k ==->-=⨯∑∑， 20222022010101010202310102023k k x x a =<⨯<⨯∑，只需证明1011202310102023a ⨯>⨯，而410111101010a -=+<，故结论成立． 由上面的推导可知1k k λλ+≥当且仅当1010k ≤时成立，从而1011λ最大．故 2023max 101120231011(10111012)2023a aλλ+==． ……………50分。