全等三角形（一）SSS
【知识要点】
1．全等图形定义：两个能够重合的图形称为全等图形． 2．全等图形的性质：
（1）全等图形的形状和大小都相同，对应边相等，对应角相等 （2）全等图形的面积相等
3．全等三角形：两个能够完全重合的三角形称为全等三角形
（1）表示方法：两个三角形全等用符号“≌”来表示，读作“全等于” 如
DEF ABC ??与全等，记作ABC ?≌DEF ?
（2）符号“≌”的含义：“∽”表示形状相同，“=”表示大小相等，合起来就是形状相同，大小也相等，这就是全等．
（3）两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角．
（4）证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．
4．全等三角形的判定（一）：三边对应相等的两个三角形全等，简与成“边边边”或“SSS ”．
如图，在ABC ?和DEF ?中???
??===DF AC EF BC DE
AB
ABC ?∴
≌DEF ?
【典型例题】
例1．如图，ABC ?≌ADC
?，点B 与点D 是对应点，
?=∠
26BAC ，且?=∠
20B ，1=?ABC S ，求
ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ?的面积．
例2．如图，ABC ?≌DEF ?，cm CE cm BC A 5,9,50==?=∠，求EDF ∠的度数及CF 的长．
例3．如图，已知：AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAD BAE ∠=∠
例4．如图AB=DE ，BC=EF ，AD=CF ，求证：
（1）ABC ?≌DEF ? （2）AB//DE ，BC//EF
A D
例5．如图，在,90?=∠?C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点，且BE=BC ，DE=DC ，求证：（1）AB DE ⊥；
（2）BD 平分ABC ∠ （角平分线的相关证明及性质）
【巩固练习】
1．下面给出四个结论：①若两个图形是全等图形，则它们形状一定相同；②若两个图形的形状相同，则它们一定是全等图形；③若两个图形的面积相等，则它们一定是全等图形；④若两个图形是全等图形，则它们的大小一定相同，其中正确的是（ ）
A 、①④
B 、①②
C 、②③
D 、③④
2．如图，ABD ?≌CDB ?，且AB 和CD 是对应边，下面四个结论中 不正确的是（ ）
A 、CD
B ABD ??和的面积相等 B 、CDB ABD ??和的周长相等
C 、CB
D C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC
3．如图，ABC ?≌BAD ?，A 和 B 以及C 和D 分别是对应点，如果
?=∠?=∠35,60ABD C ，则BAD ∠的度数为（ ）
A 、?85
B 、?35
C 、?60
D 、?80
4．如图，ABC ?≌DEF ?，AD=8，BE=2，则AE 等于（ ）
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
5．如图，要使ACD ?≌BCE ?，则下列条件能满足的是（ ） A 、AC=BC ，AD=CE ，BD=BE B 、AD=BD ，AC=CE ，BE=BD C 、DC=EC ，AC=BC ，BE=AD D 、AD=BE ，AC=DC ，BC=EC
6．如图，ABE ?≌DCF ?，
点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点，则AB= ，=∠A ，AE= ，CE= ，AB// ，若BC AE ⊥，则DF 与BC 的关系是 ．
7．如图，ABC ?≌AED ?，若=∠?=∠?=∠?=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ，
=∠D ，=∠DAC ．
D
第3题图
第4题图
第5题图
B
第6题图
第9题题图
8．如图，若AB=AC ，BE=CD ，AE=AD ，则ABE ? ACD ?，所以=∠AEB ，
=∠BAE ，=∠BAD ．
9．如图，ABC ?≌DEF ?，?=∠90C ，则下列说法错误的是（ ）
A 、互余与F C ∠∠
B 、互补与F
C ∠∠
C 、互余与E A ∠∠
D 、互余与D B ∠∠
10．如图，ACF ?≌DBE ?，cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==?=∠?=∠，求D ∠的度数及BC 的长．
11．如图，在ABD ABC ??与中，AC=BD ，AD=BC ，求证：ABC ?≌ABD ?
全等三角形（一）作业
1．如图，ABC ?≌CDA ?，AC=7cm ，AB=5cm.，则AD 的长是（ ） A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定
2．如图，ABC ?≌DCE ?，?=∠?=∠62,48E A ，点B 、C 、E 在同一直线上，
则ACD ∠的度数为（ ）
A 、?48
B 、?38
C 、?110
D 、?62
3．如图，ABC ?≌DEF ?，AF=2cm,CF=5cm ，则AD= ．
4．如图，ABE ?≌ACD ?，?=∠?=∠25,100B A ，求BDC ∠的度数．
A
E
A
D C
A
B C
D
E
5．如图，已知，AB=DE ，BC=EF ，AF=CD ，求证：AB//CD
6．如图，已知AB=EF ，BC=DE ，AD=CF ， 求证：①ABC ?≌FED ?
②AB//EF
7．如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE ，求证：CAE BAD ∠=∠
F
E
D
全等三角形（二）
【知识要点】
定义：SAS
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写成“边角边”或“SAS ”，几何表示
如图，在ABC ?和DEF ?中，
ABC EF BC E B DE AB ?∴??
?
??=∠=∠=≌)(SAS DEF ?
【典型例题】
【例1】 已知：如图，AB=AC ，AD=AE ，求证：BE=CD.
【例2】 如图，已知：点D 、E 在BC 上，且BD=CE ，
AD=AE ，∠1=∠2，由此你能得出哪些结论？给出证明.
【例3】 如图已知：AE=AF ，AB=AC ，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE 的度数.
【例4】 如图，B ，C ，D 在同一条直线上，△ABC ，△ADE 是等边三角形， 求证：①CE=AC+DC ； ②∠ECD=60°.
【例5】如图，已知△ABC 、△BDE 均为等边三角形。求证：BD ＋CD=AD 。
C A
D
B
E
C
A
B
C E
【巩固练习】
1．在△ABC 和△C B A '''中，若AB=B A ''，AC=C A ''，还要加一个角的条件，使△ABC ≌△C B A '''，那么你加的条件是（ ）
A ．∠A=∠A ' B.∠B=∠
B ' C.∠C=∠
C ' D.∠A=∠B ' 2．下列各组条件中，能判断△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE ，BC=EF ；CA=C
D B.CA=CD ；∠C=∠F ；AC=EF
C ．CA=C
D ；∠B=∠
E D.AB=DE ；BC=E
F ，两个三角形周长相等 3．阅读理解题：
如图：已知AC ，BD 相交于O ，OA=OB ，OC=OD.
那么△AOD 与△BOC 全等吗？请说明理由.△ABC 与△BAD 全等吗？请说明理由.
小明的解答：
21∠=∠ AOD ≌△BOC
而△BAD=△AOD+△ADB △ABC=△BOC+△ 所以△ABC ≌△BAD
（1）你认为小明的解答有无错误；
（2）如有错误给出正确解答；
4．如图，点C 是AB 中点，CD ∥BE ，且CD=BE ，试探究AD 与CE 的关系。
5．如图，AE 是，BAC 的平分线∠AB=AC
（1）若D 是AE 上任意一点，则△ABD ≌△ACD ，说明理由. （2）若D 是AE 反向延长线上一点，结论还成立吗？请说明理由.
6．如图，已知AB=AC ，EB=EC ，请说明BD=CD 的理由
D
OA=OB OD=OC
全等三角形（二）作业
1．如图，已知AB=AC ，AD=AE ，BF=CF ，求证：BDF ?≌CEF ?。
2．如图，△ABC ，△BDF 为等腰直角三角形。求证：（1）CF=AD ；（2）CE ⊥AD 。
3．如图，AB=AC ，AD=AE ，BE 和CD 相交于点O ，AO 的延长线交BC 于点F 。 求证：BF=FC 。
4．已知：如图1，AD ∥BC ，AE=CF ，AD=BC ，E 、F 在直线AC 上，求证：DE ∥BF 。
5. 如图，已知AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ， 求证：（1）BE=DC ，（2）BE ⊥DC.
6、已知，如图A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB//DE ，且AB=DE ，求证：（1）△ABC ≌△DEF （2）∠CBF=∠FEC
A
B C
E D F
A C E F
A
D E C
B
F
O 1 2 D
C A
B
E F
D A
B
Q
C
P
E
7、已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE
8、如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BE、DG，
（1）观察猜想BE与DG之间的大小关系，并证明你的结论。
（2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，请说出旋转过程，若不存在，说明理由。
9、已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．10、已知C为AB上一点,△ACN和△BCM是正三角形.求证：（1）AM=BN
（2）求∠AFN大小。
11、已知如图，F在正方形ABCD的边BC边上，E在AB
的延长线上，FB＝EB，AF交CE于G，求∠AGC的度数.
12、如图，△ABC是等腰直角三角形，其中CA=CB，四边形CDEF是正方形，连接AF、BD.
(1)观察图形，猜想AF与BD之间有怎样的关系，并证明你的猜想；
(2)若将正方形CDEF绕点C按顺时针方向旋转，使正方形CDEF的一边落在△ABC 的内部，请你画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，题(1)中猜想的结论是否仍然成立？若成立，直接写出结论，不必证明；若不成立，请说明理由.
C
N
M
B
A
E
D
F
F
D
A
C
E B
F
D
A
C
G
E
B
全等三角形（三）ASA
【知识要点】
ASA
如图，在ABC
?与DEF ?中
E
B DE AB D A ∠=∠=∠
=∠ ∴
)(ASA DEF ABC ???
ASA
公理推论（AAS 公理）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全
等．
【典型例题】
【例1
】下列条件不可推得ABC ?和'
'
'
C B A ?全等的条件是（ ） A 、 AB=A 'B '
，'
A A ∠=∠，
'
C C ∠=∠
B 、 AB= A 'B '
，AC=A 'C '
，BC='B C '
C 、 AB= A 'B '
，AC=A 'C '
，'
B B ∠=∠ D 、 AB= A 'B '，'A A ∠=∠，'
B B ∠=∠
【
例
2
】
已
知
如
图
，
DE AB DE AB D A //,,=∠=∠，求证：BC=EF
【例3】如图，AB=AC ，C B ∠=∠，求证：AD=AE
【例4】已知如图，43,21∠=∠∠=∠，点P 在AB 上，可以得出PC=PD 吗？试
证明之．
【例5】如图，321∠=∠=∠，AC=AE ，求证：DE=BC
A
D A B
【例6】如图，21,∠=∠∠=∠D A ，AC ，BD 相交于O ， 求证：①AB=CD ②OA=OD
【巩固练习】
1．如图，AB//CD ，AF//DE ，BE=CF ，求证：AB=CD
2．如图，AD//BC ，O 为AC 中点，过点O 的直线分别交AD ，BC 于点M ，N ，求证：AM=CN
3．求证：两个全等三角形ABC 与A 'B 'C '
的角平分线AD 、A 'D '
相等
4．如图，AB ，CD 相交于O ，E ，F 分别在AD ，BC 上，若FOB EOD ???，求证：
COF AOE ???
5．如图，AB//CD ，AD//BC ，求证：AB=CD
6．已知，如图AB=DB ，21,∠=∠∠=∠E C ，求证：AC=DE
A
D
'
B '
C '
C
B
A
B
D
全等三角形（三）作业
1．已知，如图，CD AF D A =∠=∠∠=∠,21,，求证：AB=DE
2．如图，已知CAD BAE ADE AED ∠=∠∠=∠,，求证：BE=CD
3．已知如图，AB=AD ，CAE BAD D B ∠=∠∠=∠,，求证：AC=AE
4．已知如图，在ABC ?中，AD 平分BC AD BAC ⊥∠,，求证：ABD ACD ???
5．已知如图，cm AC ABD DCA DBC ACB 10,,=∠=∠∠=∠，求BD 的长（要求写出完整的过程）
6、如图ABC △中，∠B ＝∠C ，D ，E ，F 分别在AB,BC,AC 上，且BD=CE,∠DEF=∠B 求证：ED=EF
E
C
E
A D E
C
B
F
7、 (1)如图１，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由．
(2)园林小路，曲径通幽，如图２所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石铺成．已知中间的所有正方形的面积之和是a 平方米，内圈的所有三角形的面积之和是b 平方米，这条小路一共占地多少平方米？
8、已知：如图 , AD 为CE 的垂直平分线 , EF ∥BC.求证：△EDN ≌△CDN ≌△EMN ．
9、 已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD ≌△OCE
10、已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O 为BD 中点 , 过O 作直线分别与DA 、BC 的延长线交于E 、F ．求证：OE=OF
11、如图在△ABC 和△DBC 中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , P 是BC 上任意一点．求证：PA=PD.
12、已知 ：如图 , 四边形 ABCD 中 , AD ∥BC , F 是AB 的中点 , DF 交CB 延长线 于E , CE=CD ． 求证：∠ADE=∠EDC ．
13、已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA 与BE 交于C , AB 和EF 交于O ,求证：∠1=∠2．
A
G F
C B
D E （图１）
全等三角形（四）
强化训练
1、如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、CA 上
的点， （1）若AD BE CF ==，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD BE CF ==成立吗？试证明你的结论．
2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）
3、△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，D 为BC 中点，E 、F 分别在AC
、AB 上，且DE ⊥DF ，试判断DE 、DF 的数量关系，并说明理由．
4、已知：如图，ABC △中，45ABC ∠=°，CD AB ⊥于D ，BE 平分ABC ∠，且BE AC ⊥于E ，与CD 相交于点F H ，是BC 边的中点，连结DH 与BE 相交于点G ．
（1）求证：BF AC =；（2）求证：1
2
CE BF =；
5、 如图，点O 是等边ABC △内一点，110AOB BOC α∠=∠=o
，．将BOC
△绕点C 按顺时针方向旋转60o
得ADC △，连接OD ． （1）求证：COD △是等边三角形；
（2）当150α=o
时，试判断AOD △的形状，并说明理
由；
（3）探究：当α为多少度时，AOD △是等腰三角形？
B
D
A E F C H G
B A B
C
D
O
110o α
7、过等腰直角三角形直角顶点A 作直线AM 平行于斜边BC ，在AM 上取点D ，使BD=BC ，且DB 与AC 所在直线交于E ，求证：CD=CE 。
过A 作AF ⊥BC 于F ，过D 作DG ⊥BC 于G ，则DG=AF=1/2BC=1/2BD ， 在Rt △BDG 中，DG=1/2BD =>
∠DBC=30° =>∠BDC=∠BCD=1/2(180°-30°)=75°，即∠EDC=75° ∠DEC=∠DBC+∠BCA=30°+45°=75° ∴∠EDC=∠DEC =>CD=CE
8、Rt △ABC ，AB=AC,BM 是中线，AD ⊥BM 交BC 于D ，求证：∠AMB=∠CMD 。
9、如图，已知△ABC 是等边三角形，∠BDC ＝120o，说明AD=BD+CD 的理由。
10、已知：如图，点D 在△ABC 的边CA 的延长线上，点E 在BA 的延长线上，CF 、
EF 分别是∠ACB 、∠AED 的平分线，且∠B=30°，∠D=40°，求∠F 的度数。
11、等边三角形ABC 和等边三角形DEC ，D 在AC 边上。延长BD 交CE 延长线于N ，延长AE 交BC 延长线于M 。求证：CM=CN 易证△BCD ≌△ACE 所以∠DBC=∠EAC
再证△BCN ≌△ACM (ASA)
∴ CM=CN
E C
A
M D A
B M
A B
C
E M
N
D
12、操作：如图①，△ABC是正三角形，△BDC是顶角∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明．
13、如图等边△ABC和等边△CDE，点P为射线BC一动点，角APK=60°，PK交直线CD于K。
（1）试探索AP、PK之间的数量关系；
K
D
（2）当点P运动到BC延长线上时，上题结论是否依然成立？为什么。14、（涉及相似三角形）若P为ABC
△所在平面上一点，且
120
APB BPC CPA
∠=∠=∠=°，则点P叫做ABC
△的费马点. 如图，在锐角ABC
△外侧作等边ACB
△′连结BB′。
求证：BB′过ABC
△的费马点P，且BB′=PA PB PC
++.
15、如图,ABC
?是等腰直角三角形,∠C＝900,点M,N分别是边AC和BC的中点,点D在射线BM上,且BD＝2BM, 点E在射线NA上,且NE＝2NA.求证:BD⊥DE.
A
C
B
B'
K A
D
M
N
E
D
C
B
A