第五节可降阶的二阶微分方程

第五节 可降阶的二阶微分方程
对一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可以通过积分求得，有的经过适当的变量替换可降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量回代，从而求得所给二阶微分方程的解.
内容分布图示
★ ())(x f y n =型
★ 例1
★ 例2 ★ 例3
★ ),(y x f y '=''型
★ 例4 ★ 例5
★ 例6 ★ 例7 ★ ),(y y f y '=''型
★ 例8
★ 例9 ★ 内容小结
★ 课堂练习 ★ 习题12—5
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内容要点：
一、 )(x f y =''型
在方程)(x f y =''两端积分，得
1)(C dx x f y +=
'⎰ 再次积分，得
[]21)(C dx C dx x f y ++=⎰⎰
注：这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程
)()(x f y n =，
只要连续积分n 次, 就可得这个方程的含有n 个任意常数的通解.
二、),(y x f y '=''型
这种方程的特点是不显含未知函数y ，求解的方法是：
令),(x p y =' 则)(x p y '=''，原方程化为以)(x p 为未知函数的一阶微分方程，
).,(p x f p ='
设其通解为
),,(1C x p ϕ=
然后再根据关系式,p y =' 又得到一个一阶微分方程
).,(1C x dx
dy ϕ= 对它进行积分，即可得到原方程的通解
.),(21⎰+=C dx C x y ϕ
三、),(y y f y '=''型
这种方程的特点是不显含自变量x . 解决的方法是：把y 暂时看作自变量，并作变换),(y p y =' 于是，由复合函数的求导法则有
.dy
dp p dx dy dy dp dx dp y =⋅==
'' 这样就将原方程就化为 ).,(p y f dy
dp p = 这是一个关于变量y 、p 的一阶微分方程. 设它的通解为
),,(1C y p y ϕ=='
这是可分离变量的方程，对其积分即得到原方程的通解
.),(21C x C y dy +=⎰ϕ
例题选讲：
)(x f y =''型
例1（讲义例1）求方程x e
y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解. 例2（讲义例2）求方程0)3()4(=-y xy 的通解.
例 3 质量为m 的质点受力F 的作用沿Ox 轴作直线运动. 设力F 仅是时间t 的函数: ).(t F F = 在开始时刻0=t 时,)0(0F F = 随着时间t 的增大, 此力F 均匀的减少, 直到T t =时, .0)(=T F 如果开始时质点位于原点, 且初速度为零, 求这质点的运动规律.
),(y x f y '=''型
例4（讲义例3）求方程02)1(222
=-+dx dy x dx
y d x 的通解. 例5 求微分方程初值问题. ,2)1(2
y x y x '=''+ ,10==x y 30='=x y
的特解.
例6 求微分方程12='+''y y x 满足),1(2)1(y y '= 且当0→x 时，y 有界的特解.
例7（讲义例4）设有一均匀、柔软的而无伸缩性的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂. 求绳索曲线在平衡状态时的方程.
),(y y f y '=''型
例8（讲义例5）求方程02='-''y y y 的通解.
例9 求微分方程)(22y y y y '-'=''满足初始条件,1)0(=y 2)0(='y 的特解.
课堂练习
1. 求方程x y ln ='''的通解.
2.求微分方程22
3y y =
''满足初始条件1|,1|00='===x x y y 的特解. 3.一质量为m 的物体, 在粘性液体中由静止自由下落, 假设液体阻力与运动速度成正比, 试求物体的运动规律.。