与正态总体有关的抽样分布定理证明

§1.2数理统计中常用的分布正态总体是最常见的总体, 本节介绍的几个抽样分布均对正态总体而言.1.标准正态分布2. 2分布3.t分布4.F分布o xϕ(x )定义:设X ~N (0,1),对任给的α, 0<α<1,称满足条件1、标准正态分布αϕαα==>⎰+∞dx x z X P z )(}{的点z α为标准正态分布的上α分位点.z αα例：求z0.05解:P{X≤z0.05}=1−P{X>z0.05}=1−0.05=0.95∵P{X≤1.64}=0.9495P{X≤1.65}=0.9505∴z0.05≈(1.64+1.65)/2=1.645公式: Φ(zα)=1−α常用数字575.296.1645.1005.0025.005.0===zzz定义:设X i ~N (0,1) (i =1,2,...,n ), 且它们相互独立,则称随机变量2、χ2分布221nii X χ==∑服从自由度为n 的χ2分布,记为χ2~χ2(n ).χ2分布最常用的是拟合优度检验.其中，在x > 0时收敛，称为Γ函数，具有性质1()tx te dtx +∞−−Γ=⎰(1)(),(1)1,(1/2)(1)!()x x x n n n N πΓ+=ΓΓ=Γ=Γ+=∈一般自由度为n 的χ2(n )的密度函数为12221,0()2()20,xnnn ex ng x x x −−⎧>⎪⎪=Γ⎨⎪⎪≤⎩χ2分布的密度函数图χ2~χ2(n)D Y =D෍i=1nX i 2=෍i=1n D(X i 2)=෍i=1n [E(X i 4)−(E(X i 2))2]=෍i=1n2=2n .χ2分布的基本性质（1）设Y 1~χ2 (m ), Y 2~χ2 (n ), 且Y 1 , Y 2 相互独立，则χ2 分布的可加性（2）若Y ~χ2 (n ), 则E (Y )=n ，D (Y )=2n.= 1;)(~221n m Y Y ++χY 1=෍i=1mX i 2，Y 2=෍i=m+1m+nX i 2，)(~2n m +χY 1+Y 2=෍i=1m+nX i2E Y =E෍i=1nX i 2=෍i=1nE(X i 2)=෍i=1n[D(X i )+(E(X i ))2]=෍i=1n1=n ,E(X i 4)=12πන−∞+∞x 4e −x 22dx =3故（3）设X 1,…, X n 相互独立,且都服从正态分布N (μ,σ2),则;)(~)(12122n X Y ni i χμσ∑=−=（4）若Y ~χ2 分布,则当n 充分大时,近似服从N (0,1).n n Y 2−应用中心极限定理oχ2α(n )xf (x )α设χ2~χ2(n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件αχχαχα==>⎰+∞dx x f n P n )(222)()}({的点χ2α(n )为χ2(n )分布的上α分位点.χ2分布的上α分位点当n 充分大时,22)12(1)(−+≈n z n ααχ例：设X ~N (μ,σ2), (X 1,X 2,...,X 16)是取自总体X 的样本,求概率:}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P 解:∵X 1,X 2,...,X 16相互独立且)1,0(~N X i σμ−)16(~)(21612χσμ∑=−∴i i X}2)(1612{216122σμσ≤−≤∑=i iX P }32)(8{1612≤−≤=∑=i i X P σμ}32)({}8)({16121612>−−≥−=∑∑==i i i i X P X P σμσμ≈0.95−0.01=0.94定义:设X ~N (0,1)，Y ~χ2(n )，且X 与Y 相互独立,则称随机变量3、t 分布服从自由度为n 的t 分布,记为T ~t (n )./X T Y n=T 的密度函数为：22112()1,.2n n n t x x n n n x π+−+⎛⎫Γ ⎪⎛⎫⎝⎭=+−∞<<∞ ⎪⎛⎫⎝⎭Γ ⎪⎝⎭1908年英国统计学家W.S. Gosset （笔名Student ）t分布的密度函数图T~t(n)t 分布的上α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件(){()}()t n P T t n f x dt ααα+∞>==⎰的点t α(n )为t 分布的上α分位点.f (x )xt α(n )αt *0f (x )1-αx-t *t 分布的双侧α分位点设T ~t (n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件*{||}1P T t α<=−的数t *为t 分布的双侧α分位点.α/2t 分布的密度函数f (x )是偶函数，故**()()P T t P T t ≤−=≥***(||)()P T t P t T t <=−<<*(),2P T t α≥=于是得即*()2P T t α>=**()()P T t P T t =<−≤−**(1())()P T t P T t =−≥−≥*12()1,P T t α=−≥=−= t α/2(n )t 分布的性质(1) 其密度函数f (x )是偶函数(3) f (x )的极限为N (0,1)的密度函数,即221lim ()()2x n f x x e φπ−→∞==(2)t 1−α(n )= −t α(n )当n >45时,t α(n )≈z α例：设X , Y 1,Y 2,Y 3,Y 4 相互独立,且X ～N (2,1),令Y i ～N (0, 4),i =1, 2, 3, 4 ,解：∵X -2～N (0, 1),～t (4),即Z 服从自由度为4 的t 分布.求Z 的分布.由t 分布的定义Y i /2～N (0, 1),i = 1, 2, 3, 4 . ,)2(4412∑=−=i iY X Z ∑=−=412)2(4i i Y X Z 4)2(2412∑=−=i i Y X例：设随机变量X 与Y 相互独立，X ~ N (0,16),Y ~ N (0,9) , X 1, X 2,…, X 9与Y 1, Y 2 ,…, Y 16分别是取自X 与Y 的简单随机样本,求统计量所服从的分布.解：)169,0(~921⨯+++N X X X )1,0(~)(431921N X X X +++⨯ 2162191YY XX Z ++++=从而16,,2,1,)1,0(~31=i N Y i )16(~3122161χ∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛i i Y 2162221921Y Y Y X X X ++++++ ()16314311612921∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯=i i Y X X X )16(~tt分布用于在小样本(n<30)场合下的正态分布(大样本(n≥30)场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用t分布,比如在总体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用t统计量.12222,()2(),0()()()220,0m n m m nm n x x m nm n n m x m n f x x +−−+⎧Γ⎪+>⎪=⎨ΓΓ⎪⎪≤⎩F 的密度函数为:所服从的分布为第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记作F ~ F (m , n ).4、F 分布则称统计量F 分布多用于比例的估计和检验！nY mX F =定义：设随机变量X 与Y 独立，且X~χ2(m),Y~χ2(n),F 分布的密度函数图F~F(m,n)F 分布的上α分位点设F ~F (m ,n ),其密度函数为f (x ),对于给定的正数α(0<α<1),称满足条件ααα==>⎰+∞dx x f n m F F P n m F ),()()},({的点F α(m ,n )为F 分布的上α分位点.0f (x )F α(m ,n )αxF 分布的性质(1) 若F ~F (m ,n )，则(2)()~,1F F n m ),(1),(1m n F n m F αα=−}),(11{1n m F F P α−≤=∵1−α=P {F ≥F 1−α(m ,n )}}),(11{11n m F F P α−>−=αα=>⇒−}),(11{1n m F F P ),(),(11m n F n m F αα=⇒−（3）若X ~ t (n ), 则X 2~ F (1, n );mX nY F=1例：设F ~ F (24, 15) ,求F 1,F 2,F 3,使其分别满足P (F >F 1 )= 0.025 , P (F <F 2 )= 0.025 , P (F >F 3 )= 0.95 .解：(1)由m =24，n =15，α= 0. 025 ，查P192 附表6(2)无法直接查表获得,但由F 分布性质知1/F ~F (15, 24)，查附表6知(3) ∵F 3 =F 0. 95(24,15), 查附表6知：∴ F 2 = 1/2.44 = 0.41 ; 由性质(2)知,025.0)11()(22=>=<F F P F F P 1F 2=F 0.025(15,24)=2.44⇒P(F <1/2.44)=0.025F 0.05(15,24)=2.11,,)24,15(1)15,24(95.0195.0−=F F .474.011.213==∴F 知F 1= F 0.025 (24, 15)= 2.70 ;抽样分布定理1. 单个正态总体的抽样分布2. 两个正态总体的抽样分布定理：设X 1,X 2,...,X n 是来自正态总体N (μ,σ2)的样本,则1. 单个正态总体的抽样分布(1)),(~2n N X σμ)1,0(~N n X σμ−⇒(2)与S 2相互独立X (3))1(~)1(222−−n S n χσ(4))1(~−−n t n S X μ1σ2෍n(X i −μ)2~χ2(n)(5)(1)∑==ni i X n X 11)1,0(~N n X σμ−⇒为n 个相互独立的正态X ∴服从正态分布∑==ni i X E n X E 1)(1)(=μ∑==n i i X D n X D 12)(1)(n2σ=),(~2n N X σμ∴随机变量的线性组合(4)),1,0(~N n X σμ− 且它们相互独立由t 分布的定义,)1(~1)1(22−−−−n t n S n nX σσμ)1(~−−n t n S X μ即22)1(σS n −~χ2(n −1)例：设(X 1,X 2,…,Xn )是取自总体X 的样本, 是样本均值,如果总体X ~N (μ,4),则样本容量n 应取多大才能使X 95.0}1.0|{|≥≤−μX P 解:)1,0(~ N n X σμ− }21.02||{}1.0|{|n n X P X P ≤−=≤−∴μμ}05.02)(05.0{n X n n P ≤−≤−=μ)05.0()05.0(n n −Φ−Φ=1)05.0(2−Φ=n ≥0.95975.0)05.0(≥Φ⇒n 96.105.0≥⇒n ⇒n ≥1536.64⇒n ≥1537解：),1(~)1(222−−n S n χσ由),,(~2nN X σμ又()⎪⎭⎫⎝⎛+−+n n N X X n 211,0~σ)1,0(~11N n n X X n +−+σ故212(1)~(1)1(1)n X Xn n St n n n σσ+⎛⎫−−−⎪+−⎝⎭于是)1(~11−+−+n t n nS X X n 即例：总体X ~N (μ,σ2)，(X 1,X 2,…,X n ,X n +1)为样本，，求X n+1−തX S n n+1的分布.S 2=1n −1෍i=1n(X i −തX)2തX=1n ෍i=1nX i定理：设总体X ~N (μ1,σ12),总体Y ~N (μ2,σ22).X 1,X 2,...,是总体X 的样本,Y 1,Y 2,...,是总体Y 的样本, 且这两个样本相互独立.则1n X 2n Y 2. 两个正态总体的抽样分布(1)),(~22212121n n N Y X σσμμ+−−(2))1,1(~2122222121−−n n F S S σσ)2(~11)()(212121−++−−−n n t n n S Y X ωμμ其中2)1()1(212222112−+−+−=n n Sn S n S ω称为混合样本方差.进一步,若σ12=σ22 =σ2,有(3)),(~221221n n N Y X σσμμ+−− )1,0(~11)()(2121N n n Y X +−−−∴σμμ2211)1(σSn −~χ2(n1−1),2222)1(σSn −~χ2(n2−1)且它们相互独立22222211)1()1(Sn Sn −+−∴~χ2(n1+n 2−2)由t 分布的定义,2)1()1(11)()(21222222112121−+−+−+−−−n n Sn Sn n n Y X σσσμμ22221121112)1()1()()(n n n n Sn S n Y X +−+−+−−−−μμ即~t (n 1+n 2−2)~t (n 1+n 2−2)小结1.理解总体、个体、样本和统计量的概念,掌握样本均值和样本方差的计算及基本性质2.掌握 2分布、t分布、F分布的定义,会查表计算3.理解正态总体的某些统计量的分布。