一类拟线性退化抛物型方程组解的存在性与爆破

应用数学MATHEMATICA APPLICATA2022,35(3):544-552一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破温兰,杨晗(西南交通大学数学学院,四川成都611756)摘要：本文研究带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题.首先利用Galerkin方法证明方程局部解存在性;然后结合势井方法得出初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后再通过构造合适的辅助泛函,证明当初始能量满足适当条件时解在有限时刻的爆破.关键词：抛物方程;对数非线性源项;整体解;爆破中图分类号：O175.26AMS(2010)主题分类：35B45;35K55文献标识码：A文章编号：1001-9847(2022)03-0544-091.引言本文研究如下带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程的初边值问题|u t|r−2u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0,u(x,t)=0,x∈∂Ω,t>0,u(x,0)=u0(x),x∈Ω,(1.1)其中r>1,p>2,q>2,u0(x)∈W1,p(Ω),Ω是R n(n≥1)中具有光滑边界∂Ω的有界区域.当方程(1.1)中r=2,p=2时,XU和SU[1]研究如下半线性伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u−∆u t=u q,x∈Ω,t>0,(1.2)利用势井方法得出方程整体解的存在性并得到解在有限时刻的爆破.近年来,含对数非线性源项的抛物方程已引起大量学者的研究.CHEN等[2]中研究了带对数非线性源项的伪抛物方程初边值问题:u t−∆u−∆u t=u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.3)因对数非线性u ln|u|不满足Payne和Sattinger[3]中提出的多项式增长条件,此时经典势井方法不完全适用.文[2]通过势井方法及对数索伯列夫不等式证明方程整体解的存在性,并用凸方法证明解在无穷时刻爆破.通过比较得出多项式非线性项对此类伪抛物方程解在有限时刻的爆破有更为重要的影响.随后,文[4-5]中将上述带对数非线性源项的方程拓展到p-Laplace情形. LE等[5]中研究了如下含对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|p−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.4)利用势井方法及对数索伯列夫不等式证明了当p>2时方程整体解的存在性,并用凸方法得出此时解在有限时刻的爆破.而CAO等[6]中利用Galerkin方法证明了当1<p<2时方程整体解∗收稿日期：2021-07-07基金项目：国家自然科学基金(11701477,11971394)作者简介：温兰,女,汉族,四川人,研究方向：偏微分方程.第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破545的存在性并得出此时解在无穷时刻的爆破.当p-Laplace项与对数非线性项的指数不同时,对数索伯列夫不等式不再完全适用.文[7-9]中主要研究下述带对数非线性源项的p-Laplace伪抛物方程的初边值问题:u t−∆u t−div(|∇u|p−2∇u)=|u|q−2u ln|u|,x∈Ω,t>0.(1.5) HE等[7]用Galerkin方法证明当2<p<q<p(1+2n)时,方程局部弱解的存在唯一性,并结合势井方法证明了方程整体解的存在性,最后得出解的H1(Ω)范数在有限时刻的爆破.而DAI 等[8]对上述结果进行推广主要得出在不同的初始能量下弱解在有限时刻爆破的上界及下界.对于拟线性情形,Pucci和Serrin[10]中研究如下方程的初边值问题,A(t)|u t|m−2u t−∆u+f(x,u)=0,x∈Ω,t>0,(1.6)其中m>1,A∈C(J→R N×N),f∈C(Ω×R N→R N)且满足(f(x,u),u)≥0,得出方程强解的整体存在性和当t→∞时强解的渐近稳定性.当上述方程(1.6)中f(x,u)=−|u|p−2u时, PANG等[11]中用Galerkin方法证明了当p>2时初值在稳定集中时方程整体解的存在性,再通过构造辅助泛函得出当1<m<p,E(0)<0时解在有限时刻的爆破.基于上述结论,本文研究方程(1.1)初边值问题,主要考虑非线性项指数之间的竞争与∆u t项对方程解的存在性和爆破的影响.首先用Galerkin方法证明当非线性项指数满足适当条件时方程局部解的存在性;然后结合势井方法证明初值在稳定集中时方程整体解的存在性;最后通过构造辅助泛函证明解在有限时刻的爆破.本文结构安排如下:第二部分介绍一些符号和引理;第三部分给出局部解和整体解存在性;第四部分证明解在有限时刻爆破.2.准备工作本节给出证明过程中所需的符号、引理和定义.在本文中,我们将L p(Ω)的范数记为∥·∥p(1<p<∞),(·,·)为L2(Ω)中的内积,W1,p0(Ω)的范数记为∥·∥W1,p(Ω),W−1,p′(Ω)为W1,p(Ω)的对偶空间.记p∗={∞,n≤p,npn−p,n>p.(2.1)若2<p<q<p∗(2.2)成立,对于任意α满足0<α<{∞,n≤p,npn−p−q,n>p.(2.3)定义r(α):=(αB q+αα)1q+α−p,(2.4)其中,Bα为W1,p(Ω) →L q+α(Ω)的最佳嵌入常数.并定义如下泛函:J(t)=J(u(t)):=1p∥∇u∥p p−1q∫Ω|u|q ln|u|d x+1q2∥u∥qq.(2.5)I(u):=∥∇u∥pp −∫Ω|u|q ln|u|d x.(2.6)定义N:={u∈W1,p(Ω)\{0}:I(u)=0}.(2.7)d:=infu∈NJ(u).(2.8)546应用数学2022其中N 代表Nehari 流形,d 为势井深度.类似文[7]中引理1和引理2证明可知:集合N 非空,常数d 存在且大于0.由(2.5)和(2.6)可得J (u )=1q I (u )+q −p pq ∥∇u ∥p p +1q 2∥u ∥qq .(2.9)定义以下稳定集和非稳定集W :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )>0,J (u )<d }∪{0},(2.10)V :={u ∈W 1,p0(Ω)|I (u )<0,J (u )<d }.(2.11)下面给出证明过程所需引理,详细证明过程可参考文[9].引理2.1[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p0(Ω)\{0}.则对于任意α满足(2.3),有:(i)如果0<∥∇u ∥p ≤r (α),则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p >r (α).引理2.2[9]假设(2.2)成立,定义r ∗:=sup r (α),r ∗:=sup σ(α),其中α满足(2.3),σ(α)=(ακq +α)1q +α−p |Ω|αq (q +α−p ),κ为u ∈W 1,p 0(Ω) →L q (Ω)的最佳嵌入常数.则不等式0<r ∗<r ∗<∞成立.引理2.3[9]假设(2.2)成立,u ∈W 1,p(Ω)\{0},则有:(i)如果0<∥∇u ∥p <r ∗,则I (u )>0;(ii)如果I (u )≤0,则∥∇u ∥p ≥r ∗.引理2.4[9]假设(2.2)成立,则有d ≥M :=q −p pq r p∗.(2.12)为得到对数非线性项估计,引入如下不等式.引理2.5[4]设µ>0,则有不等式(i)s p ln s ≤1eµs p +µ,s ≥1;(ii)|s p −1ln s |≤(e (p −1))−1,0<s <1.下面给出方程(1.1)弱解和解在有限时刻爆破的定义.定义2.1假设u 0∈W 1,p(Ω),T >0.如果u (x,0)=u 0(x ),函数u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)),有∫Ω|u t |r −2u t v d x +∫Ω∇u t ∇v d x +∫Ω|∇u |p −2∇u ∇v d x =∫Ω|u |q −2u ln |u |v d x (2.13)对于任意v ∈W 1,p0(Ω)∩L r (Ω)∩L q (Ω)，t ∈(0,T )成立,则称u 为方程(1.1)在Ω×(0,T )上的一个弱解.注2.1区间[0,T ]称为弱解的存在区间,记其存在时间T 的上确界为T max ,称T max 为解的生命跨度.定义2.2设u 为方程(1.1)的一个弱解.若u 的生命跨度T max <∞,且有lim t →T max∥u (t )∥W 1,p 0(Ω)=∞(2.14)成立,则称u 在有限时刻爆破.3.解的存在性这节将给出当非线性项指数满足适当条件时方程(1.1)局部解和整体解的存在性.定理3.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0∈W 1,p 0(Ω),则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在弱解u 满足u =u (x,t )∈L ∞(0,T ;W 1,p 0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证用Galerkin 方法证明,证明过程分为三步.步1逼近问题.设{w j }j =1,2,···为满足狄利克雷边界条件的Laplace 算子的特征函数,即{−∆w j =λw j ,x ∈Ω,w j =0,x ∈∂Ω,第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破547选取{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组基且在L2(Ω)中是标准正交的.构造方程(1.1)的近似解u m(t)=m∑j=1g jm(t)w j(x),m=1,2,···,满足下面的常微分方程{(|u mt|r−2u mt,w j)−(∆u mt,w j)−(∇(|∇u m|p−2∇u m),w j)=(|u m|q−2u m ln|u m|,w j),(u m(0),w j)=ξjm,(3.1)其中j=1,2,···,m,ξjm为给定的常数.当m→∞时满足u m(0)=m∑j=1ξjm w j(x)→u0,强收敛于W1,p(Ω).(3.2)由u0∈W1,p0(Ω),{w j}∞j=1为W1,p0(Ω)中的一组正交基可知ξjm存在.由常微分方程相关理论可得:存在T>0且仅依赖于ξjm,j=1,2,···,m,使得g jm∈C′(0,T),g jm(0)=ξjm,因此存在u m∈C′((0,T);W01,p(Ω)).步2先验估计.将方程(3.1)两边同乘以g jm(t),对j从1到m求和可得(|u mt|r−2u mt,u m)+(∇u mt,∇u m)+(|∇u m|p−2∇u m,∇u m)=(|u m|q−2u m ln|u m|,u m),(3.3)即有∫Ω|u mt|r−2u mt u m d x+12dd t∥∇u m∥22+∥∇u m∥p p=∫Ω|u m|q ln|u m|d x,(3.4)再将上式对t积分可得S m(t)=S m(0)+∫t0∫Ω|u m(τ)|q ln|u m(τ)|d x dτ,(3.5)其中S m(t)=12∥∇u m∥22+∫t∫Ω|u mt(τ)|r−2u mt(τ)u m(τ)d x dτ+∫t∥∇u m(τ)∥p p dτ.(3.6)由引理2.5可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤∫Ω1|u m|q ln|u m|d x+∫Ω2|u m|q ln|u m|d x≤(eµ)−1∫Ω2|u m|q+µd x≤(eµ)−1∥u m∥q+µq+µ,(3.7)其中Ω1={x∈Ω:|u(x,t)|<1},Ω2={x∈Ω:|u(x,t)|≥1}.由G-N不等式和Young不等式可得∫Ω|u m|q ln|u m|dx≤C∥∇u m∥θ(q+µ)p∥u m∥(1−θ)(q+µ)2≤ε∥∇u m∥p p+C(ε)∥u m∥p(1−θ)(q+µ)p−θ(q+µ)2,(3.8)其中ε∈(0,1),θ=(12−1q+µ)(1n−1p+12)−1,选取µ使得0<µ<p(1+2n)−q,则有θ(q+µ)<p成立.令α=p(1−θ)(q+µ)2[p−θ(q+µ)]=p(n+q+µ)−n(q+µ)p(n+2)−n(q+µ).(3.9)由假设2<p<q+µ<p(1+2n )可得α>1.故由(3.8)结合嵌入定理可得∫Ω|u m|q ln|u m|d x≤ε∥∇u m∥p p+CC(ε)∥∇u m∥2α2.(3.10)故由(3.5),(3.6),(3.10)可得S m(t)=C1+C2∫t0Sαm(τ)dτ,(3.11)548应用数学2022其中C 1,C 2为不依赖于m 的正常数.因此由Gronwall-Bellman-Bihari 积分类型不等式知:存在常数T <C 1−α1C 2(α−1)使得S m (t )≤C T ,∀t ∈[0,T ],(3.12)由此可得∥∇u m ∥22≤C T ,∀t ∈[0,T ].(3.13)再将方程(3.1)两边同乘g ′jm (t ),对j 从1到m 求和可得∫t 0∥u mt (τ)∥rr d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.14)由泛函J 的连续性,结合(3.2)可得,存在常数C >0,满足J (u m (0))≤C,(3.15)故由(2.5),(3.10),(3.13)可得J (u m )=1p ∥∇u m ∥p p −1q ∫Ω|u m |q ln |u m |d x +1q 2∥u m ∥q q ≥(1p −εq )∥∇u m ∥pp −C T +1q2∥u m ∥q q .(3.16)由(3.14)-(3.16),存在T >0,∀t ∈[0,T ]有∥∇u m (t )∥p p ≤C T ,(3.17)∫t0∥u mt (τ)∥r r d τ≤C T ,(3.18)∫t0∥∇u mt (τ)∥22d τ≤C T .(3.19)由引理2.5并结合(3.17)可得∫Ω|u m |q −2u m ln |u m |q q −1d x =∫Ω1|u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x +∫Ω2 |u m |q −2u m ln |u m | q q −1d x ≤(e (q −1))−q q −1|Ω|+(eµ)−q q −1∫Ω2|u m |(q −1+µ)qq −1d x≤(e (q −1))−qq −1|Ω|+(eµ)−qq −1(C ∗)(q −1+µ)qq −1∥∇u m ∥(q −1+µ)qq −1p≤C T ,(3.20)其中选取µ>0使得(q −1+µ)qq −1<p ∗,C ∗为W 1,p 0(Ω) →L (q −1+µ)qq −1(Ω)的最佳嵌入常数.由(3.18)可得∫t 0∫Ω |u mt |r −2u mt r r −1d x d τ=∫t 0∫Ω|u mt |r d x d τ=∫t∥u mt ∥r r d τ≤C T .(3.21)步3取极限.由(3.17)-(3.21)得:存在函数u ∈L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,T ;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω))和序列{u m }∞m =1使得u m →u 弱*收敛于L ∞(0,T ;W 1,p0(Ω)),(3.22)u mt →u t 弱收敛于L r (0,T ;L r (Ω)),(3.23)u mt →u t 弱收敛于L 2(0,T ;H 10(Ω)),(3.24)|u m |q −2u m ln |u m |→χ1弱*收敛于L ∞(0,T ;Lqq −1(Ω)),(3.25)|u mt |r −2u mt →χ2弱收敛于L rr −1(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.26)由假设1<r <p ∗,有W 1,p0(Ω) →L r (Ω),结合(3.22),(3.23)由Aubin-Lions-Simon 紧性定理得u m →u 强收敛于L ∞(0,T ;L r (Ω)).(3.27)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p -Laplace 抛物方程解的存在性与爆破549由此可得u m →ua .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.28)|u m |q −2u m ln |u m |→|u |q −2u ln |u |a .e .(x,t )∈Ω×(0,T ),(3.29)结合(3.25),(3.29)可得χ1=|u |q −2u ln |u |.设Au =−div(|∇u |p −2∇u ),易证A 为严格单调半连续有界的强制性算子(可参考文[12]).则由(3.27)结合单调算子理论可得Au m →Au 弱*收敛于L ∞(0,T ;L rr −1(Ω)).(3.30)下证χ2=|u t |r −2u t .结合(3.25),(3.26),(3.30),对方程(3.1)两边取极限,再同乘g ′jm ,对j 求和得(χ2,u t )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.31)再对方程(3.1)同乘g ′jm ,对j 求和再令m →∞得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )+(∇u t ,∇u t )+(Au,u t )=(|u |q −2u ln |u |,u t ),(3.32)结合(3.31),(3.32)可得lim m →∞(|u mt |r −2u mt ,u mt )=(χ2,u t ).(3.33)利用函数|s |r −2s (s ∈R )的非减单调性可得(|u mt |r −2u mt −|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≥0,(3.34)对于任意ψ∈L r (Ω)成立,由此可得(|u mt |r −2u mt ,ψ)+(|ψ|r −2ψ,u mt −ψ)≤(|u mt |r −2u mt ,u mt ),(3.35)对上式令m →∞得(χ2−|ψ|r −2ψ,u t −ψ)≥0.(3.36)要证χ2=|u t |r −2u t ,利用函数|s |r −2s (s ∈R )的半连续性.令ψ=u t −aϕ，a ≥0,任意ϕ∈L r (Ω)，则有(χ2−(u t −aϕ)r −2(u t −aϕ),ϕ)≥0,(3.37)令a →0得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≥0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.38)令ψ=u t −aϕ，a ≤0,任意ϕ∈L r (Ω),同理可得(χ2−|u t |r −2u t ,ϕ)≤0,∀ϕ∈L r (Ω),(3.39)结合(3.38),(3.39)即可得χ2=|u t |r −2u t .综上所述,由{w j }为W 1,p0(Ω)中的一组基,方程(3.1)中令m →∞可得(|u t |r −2u t ,v )+(∇u t ,∇v )+(|∇u |p −2∇u,∇v )=(|u |q −2u ln |u |,v ),(3.40)对于任意t ∈(0,T ),v ∈W 1,p0(Ω)成立.定理3.2假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <p ∗成立,u 0(x )∈W 1,p 0(Ω),J (u 0)<d ,I (u 0)>0,则方程(1.1)在Ω×(0,T )上存在整体弱解u 满足u ∈L ∞(0,∞;W 1,p0(Ω)),u t ∈L r (0,∞;L r (Ω))∩L 2(0,T ;H 10(Ω)).证选取{w j }∞j =1,{u m }，{u 0m }为定理3.1证明过程中的情形.将方程(3.1)两边同乘g ′jm ,对j 从1到m 求和,再关于t 积分可得∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0)),0≤t ≤T.(3.41)550应用数学2022由g jm (0)=ξjm ,当m →∞时,u 0m 强收敛到u 0,因此有lim m →∞J (u m (0))=J (u 0)<d,lim m →∞I (u m (0))=I (u 0)>0.(3.42)则对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u t (τ)∥22d τ+J (u m (t ))=J (u m (0))<d,0≤t ≤T,(3.43)I (u m (0))>0.(3.44)由此可得,对于充分大的m ,u m (0)∈W .下证对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.若不成立,则存在t 0∈[0,T ]使得u m (t 0)∈∂W ,此时有u m (t 0)∈W 1,p0(Ω),且J (u m (t 0))=d 或I (u m (t 0))=0.若J (u m (t 0))=d ,而由(3.43)得J (u m (t 0))<d ,矛盾;若I (u m (t 0))=0,此时u m (t 0)∈N ,由d 的定义可得J (u m (t 0))≥d ,显然与(3.43)矛盾.故对于充分大的m ,∀t ∈[0,T ],有u m (t )∈W 成立.因u m (t )∈W ,有I (u m )>0,结合方程(2.5)和(3.43),对于充分大的m ,有∫t 0∥u mt (τ)∥r r d τ+∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ+q −p pq ∥∇u m (t )∥p p +1q 2∥u m (t )∥qq <d,0≤t ≤T,(3.45)由此可得∥∇u m (t )∥pp ≤pq q −p d,∫t∥u mt (τ)∥r r d τ≤d,∫t∥∇u mt (τ)∥22d τ≤d,∥u m (t )∥q q ≤q 2d,对于任意T >0,t ∈[0,T ]成立.再结合定理3.1的证明,定理3.2得证.4.爆破这部分将证明当非线性项指数满足适当条件时,分别在初始能量为负和具有正上界的正初始能量下,方程(1.1)解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.定理4.1假设2<p <q <p (1+2n ),1<r <min {p ∗,2pq −2q p +pq −2q},且0<J (u 0)<M ≤d ,I (u 0)<0,则方程(1.1)的解的W 1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.证定义辅助泛函H (t )=E 1−J (t ),(4.1)其中E 1满足0<J (u 0)<E 1<M ,M 如(2.12)中定义.结合(2.5),将方程(1.1)两边同乘以u t ,并在Ω上对x 积分可得J ′(t )=−∥u t ∥r r −∥∇u t ∥22≤0.(4.2)结合(4.1)和(4.2)可得H ′(t )=−J ′(t )=∥u t ∥r r +∥∇u t ∥22≥0,(4.3)则有H (t )≥H (0)=E 1−J (u 0)>0.(4.4)由假设知u 0∈V ,易证u ∈V ,即有I (u )<0.由引理2.3-2.5可得H (t )=E 1−J (u (t ))=E 1−1p ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q≤q −p pq ∥∇u ∥p p −1p ∥∇u ∥pp +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q2∥u ∥q q ≤−1q ∥∇u ∥p p +1q ∫Ω|u |q ln |u |d x −1q 2∥u ∥q q ≤1q ∫Ω|u |q ln |u |d x ≤1qeα∥u ∥q +αq +α,(4.5)第3期温兰等：一类带对数非线性源项的p-Laplace抛物方程解的存在性与爆破551其中选取α如(2.3)中定义,有q+α<p∗,W1,p(Ω) →L q+α(Ω),由Bα为其最佳嵌入常数,则有∥u∥q+α≤Bα∥∇u∥p,(4.6)结合(4.5),(4.6)可得H(t)≤B q+ααqeα∥∇u∥q+αp.(4.7)将方程(1.1)两边同乘以u,并在Ω上对x积分,因I(u)<0,结合(2.5)和引理2.3,由H¨o lder不等式及Young可得0=∫Ω|u|q ln|u|d x−(∇u t,∇u)−∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)≥(1−1q )∫Ω|u|q ln|u|d x+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(1−1q )∥∇u∥pp+(1p−1)∥∇u∥p p−(|u t|r−2u t,u)−ε∥∇u∥p p−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t)−E1≥(q−ppq −ε)∥∇u∥p p−E1−(|u t|r−2u t,u)−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1+1q2∥u∥q q+H(t).(4.8)令ε充分小有0≥H(t)−(|u t|r−2u t,u)+1q2∥u∥q q−C(ε)∥∇u t∥p p−1pp−1,(4.9)因为p>2,有pp−1<2,结合(4.3)有∥∇u t∥p p−1pp−1≤C∥∇u t∥p p−12≤C[H′(t)]p2(p−1).(4.10)因为r<2pq−2qp+pq−2q ,则r<q,r<2+2p−2,故有rp2(r−1)(p−1)>1,且有q(2p+2r−rp−2)rp>1.因此结合(4.5)由H¨o lder不等式及Young不等式可得(|u t|r−2u t,u)≤∥u∥r∥u t∥r−1r ≤∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpr∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpr∥u t∥r−1r≤C1∥u∥1−q(2p+2r−rp−2)rpq+α∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r≤C2∥u∥q(2p+2r−rp−2)rpq∥u t∥r−1r[H(t)]1q+α−q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)≤C3[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(∥u t∥r r)p2(p−1)]H−β(t)≤C4[ϵ∥u∥q q+C(ϵ)(H′(t))p2(p−1)]H−β(0),(4.11)其中ϵ>0,β=q(2p+2r−rp−2)rp(q+α)−1q+α>0.结合(4.9),(4.10),(4.11)可得0≥H(t)+1q2∥u∥q q−C4ϵH−β(0)∥u∥q q−C4C(ϵ)H−β(0)[H′(t)]p2(p−1)−CC(ε)[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+(1q2−C4ϵH−β(0))∥u∥q q−(C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε))[H′(t)]p2(p−1)≥H(t)+C1∥u∥q q−C2[H′(t)]p2(p−1),(4.12)其中C1=1q2−C4ϵH−β(0),C2=C4C(ϵ)H−β(0)+CC(ε).令ϵ充分小使得C1>0成立,则有C2[H′(t)]p2(p−1)≥H(t),(4.13)所以有H′(t)≥C[H(t)]2(p−1)p,C>0,(4.14)因为p>2,故2(p−1)p >1.令η=p−2p,有η>0,故有H′(t)≥C[H(t)]1+η,C>0.(4.15)552应用数学2022综合(4.7)和(4.15)可得:方程(1.1)解的W1,p(Ω)范数在有限时刻爆破.(Ω)范数在有注4.1对于J(u0)<0情形,在(4.1)中令H(t)=−J(t)同样可得出解的W1,p限时刻的爆破,证明过程大致同上,在此省略.参考文献：[1]XU Runzhang,SU Jia.Global existence andfinite time blow-up for a class of semilinear pseudo-parabolic equations[J].J.Funct.Anal.,2013,264(12):2732-2763.[2]CHEN Hua,TIAN Shuying.Initial boundary value problem for a class of semilinear pseudo-parabolicequations with logarithmic nonlinearity[J].J.Differ.Equ.,2015,258(12):4424-4442.[3]PAYNE L E,SATTINGER D H.Saddle points and instability of nonlinear hyperbolic equations[J].Israel J.Math.,1975,22(3-4):273-303.[4]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of p-Laplacian evolution equations withlogarithmic nonlinearity[J].Acta Appl.Math.,2017,151:149-169.[5]LE C N,LE X T.Global solution and blow-up for a class of pseudo p-Laplacian evolution equationswith logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2017,73(9):2076-2091.[6]CAO Yang,LIU Conghui.Initial boundary value problem for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].Electron.J.Differ.Equ.,2018,2018(116):1-19. [7]HE Yijun,GAO Huaihong,WANG Hua.Blow-up and decay for a class of pseudo-parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity[J].Comput.Math.Appl.,2018,75:459-469. [8]DAI Pan,MU Chunlai,XU Guangyu.Blow-up phenomena for a pseudo-parabolic equation withp-Laplacian and logarithmic nonlinearity terms[J].J.Math.Anal.Appl.,2020,481:123439.[9]DING Hang,ZHOU Jun.Global existence and blow-up for a mixed pseudo-parabolic p-Laplaciantype equation with logarithmic nonlinearity[J].J.Math.Anal.Appl.,2019,478:393-420.[10]PUCCI P,SERRIN J.Asymptotic Stability for Nonlinear Parabolic Systems[M]//Energy Methodsin Continuum Mechanics.Dordrecht:Kluwer Acad.Publ.,1996:66-74.[11]PANG Jinsheng,ZHANG Hongwei.Existence and nonexistence of the global solution on the quasi-linear parabolic equation[J].Chin.Quart.J.of Math.,2007,22(3):444-450.[12]ZHENG Songmu.Nonlinear Evolution Equations[M].The United States of America:CRC PressLLC,2004.Global Existence and Blow-up of Solutions for a Class of p-Laplacian Parabolic Equations with LogarithmicNonlinearityWEN Lan,YANG Han(School of Mathematics,Southwest Jiaotong University,Chengdu611756,China) Abstract:This paper is concerned with the initial boundary value problem of a class of p-Laplacian parabolic equations with logarithmic nonlinearity.Firstly,existence of local solutions are obtained by ap-plying Galerkin’s method.Then,combining with potential well method,it is proved that the solutions exist globally when initial value is in a stable stly,finite time blow-up results are derived as well by constructing auxiliary functional when the initial energy satisfies suitable conditions.Key words:Parabolic equation;Logarithmic nonlinearity;Global existence;Blow-up。

一类耦合退化抛物方程组解的整体存在与爆破
王泽佳;楼文奇;孙仁龙
【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》
【年(卷),期】2008(46)6
【摘要】研究一类通过边界条件耦合的非线性快扩散方程组解的长时间行为, 如解关于时间的整体存在性以及解在有限时刻发生爆破等性质.利用上、下解方法得到了可以用来刻画解是否整体存在的临界指标, 即整体存在临界曲线.
【总页数】3页(P1107-1109)
【作者】王泽佳;楼文奇;孙仁龙
【作者单位】吉林大学,数学学院,长春,130012;吉林大学,数学学院,长春,130012;吉林大学,数学学院,长春,130012
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类强耦合退化抛物方程组解的局部和整体存在 [J], 燕云强;崔泽建
2.一类具交错扩散的强耦合退化抛物方程组解的整体存在与非存在性 [J], 高景璐;韩玉柱;高文杰
3.一类具有非局部源的退化抛物方程组解的整体存在和有限爆破 [J], 岳蓓;崔泽建;冯小高
4.源项耦合的退化抛物型方程组解的爆破和整体存在 [J], 周泽文;凌征球
5.一类带非局源的退化抛物方程组解的整体存在与爆破(英文) [J], 张岩;宋小军
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一类拟线性抛物方程解的爆破与淬火现象研究一类拟线性抛物方程解的爆破与淬火现象研究引言：拟线性抛物方程是一类重要的数学模型，在物理、生物和工程等领域有广泛的应用。

本文将探讨一类拟线性抛物方程解中的爆破与淬火现象。

1. 拟线性抛物方程的基本特征拟线性抛物方程是指在一维空间中，时间和空间导数混合的偏微分方程。

具体形式为：\[u_t = (u^m)_{xx} + f(u)\]其中，\(u(x, t)\)为未知函数，\(m>0\)为常数，函数\(f(u)\)描述非线性部分，可能呈指数、幂次或其他形式。

2. 解的爆破现象在一类拟线性抛物方程的求解过程中，常常出现一种现象被称为“爆破”。

爆破现象指的是解在有限时间内出现无界增长，在某一点\(x_0\)的解值迅速增大到无穷大。

这种现象不仅挑战了数学上的分析方法，也具有重要的物理意义。

3. 淬火现象的探讨与爆破现象相对应的是“淬火”现象。

淬火现象意味着当解值增大到某一阈值时，解的增长突然暂停并趋于稳定。

这种现象常出现在非线性函数\(f(u)\)的非平凡情况下。

4. 爆破现象的数学分析为了理解爆破现象，我们需要进行数学的分析。

通过引入新的变量，例如相似变量，可以将拟线性抛物方程转化为常微分方程。

该转化使得我们可以更好地研究方程的行为和特征。

5. 淬火现象的控制与应用在实际应用中，我们往往希望能够控制拟线性抛物方程解的淬火现象。

一种可能的方法是调整非线性函数\(f(u)\)的形式和参数，以达到所需的淬火效果。

这样的研究对于控制其他实际问题中的非线性现象也具有重要的启示作用。

6. 数值模拟与实验验证为了对拟线性抛物方程解的爆破与淬火现象进行定量研究，数值模拟和实验验证是不可或缺的手段。

通过合适的数值方法和实验技术，我们可以模拟和观察方程解的动态行为，验证数学分析的结论，并进一步探索淬火现象的机理。

结论：拟线性抛物方程解的爆破与淬火现象是一个复杂而有趣的研究课题。

一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性本文主要讨论了一类拟线性退化抛物方程组初边值问题正解的存在性。

解决这一类问题，需要考虑以下几个方面：一、概述：1. 拟线性退化抛物方程组是一类复杂的方程组，在建模过程中，可以利用方程组的性质，将原本抛物方程的初边值问题转变为拟线性退化抛物方程组的问题。

2. 拟线性退化抛物方程组初边值问题的正解，即建模的最终目的，是获取一组有效的初边值，以及一个稳定、可行的解。

二、初边值问题存在性条件：1. 方程组必须满足Lipschitz条件，也就是显式满足：变量y(t)经过函数f(x,y)映射后，其曲线可用一定程度的Lipschitz系数来表示，以确保方程的有解性。

2. 初边值问题的一致性(Consistency)，指的是初边值问题的解必须符合Lipschitz连续性:任意解(任意n维度下的初边值)，只要满足依次构成该初边值问题的Lipschitz连续条件，该初边值问题即具有正解。

三、解法求解：1. 有限差分法：这一方法通过将问题转化为等价的差分形式，直接求得不等式约束间形成的可行解。

2. 动态规划法：该法将原有初边值问题拆解为若干子问题，利用动态规划将子问题的解组合出初边值问题的最优解。

3. 定性逼近法：即把问题当作函数极值优化问题来求解，给出一个离散点集合，该集包含每个维度上有N个取值点组成，依次逐一求解，最终求得最优解。

四、结论：通过对拟线性退化抛物方程组初边值问题的分析，可以发现，它的解的存在性是经过严格的条件约束才可能得到的，主要以Lipschitz连续性为主要约束条件。

本文介绍的三种解法可以用于求解拟线性退化抛物方程组的初边值问题，在实际应用中，要根据实际情况，从这三种解法中找到最合适的一种来求解。

一类非线性抛物方程解的爆破与梯度爆破
李玉环
【期刊名称】《四川师范大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2007(030)002
【摘要】研究了具有任意Dirichlet边界值的一类含有梯度与非常系数项的非线性抛物方程,证明了方程解的爆破,以及初始值足够大时解的梯度也爆破.
【总页数】3页(P154-156)
【作者】李玉环
【作者单位】四川师范大学,数学与软件科学学院,四川,成都,610066
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类非线性高阶双曲型方程与非线性高阶抛物型方程解的爆破性质 [J], 肖黎明
2.一类具有非齐次边界条件的非线性抛物方程解的梯度爆破问题 [J], 刘浏
3.一类带有非线性梯度源的双重退化抛物方程解的爆破 [J], 辛巧;郑攀
4.一类具有非线性边界条件的非线性抛物方程解的爆破现象 [J], 陶维安;陈波涛
5.一类具梯度项的非线性抛物方程解的爆破 [J], 蒋良军;龚小兵
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第15卷第1期2013年3月应用泛函分析学报A C TA A N A L Y SI S FU N C T I O N A L I S A PPLI C√姒V01．15，N o．1M ar．，2013D O I：10．3724／SP．J．1160．2013．00060文章编号：1009-1327(2013)01—0060-06一类带扰动项的拟线性抛物型方程解的存在性芮杰，左文杰中国石油大学理学院，青岛266555摘要：主要利用算子的性质证明了一类带扰动项的拟线性方程的三2(Q)初值和狄立克莱边值问题解的存在性和唯—性．关键词：拟线性抛物方程；完全增长算子；强解中圈分类号：0175．29文献标志码：A1引言L i chnew s ky and Tem an【1】首先得到了关于时间独立的极小水平面的一类抛物型方程的熵解．即找到一个实函数乱满足卜出口(满)=0，Q【u(t，z)=妒(z)，施自此有很多学者对这类方程进行了研究，并应用到图像处理领域，对这类问题的研究也有着更为具体的应用价值，如文献【2—7】．本文也研究了一类与之紧密相关的方程的解的存在性问题，即f豢=di州z川D_仇(椭Q=(0，00)姗{u(t，z)=妒(z)，S=(0，oo)×aQ(1)【让(o，z)=uo(z)，z∈Q其中区域Q是RⅣ中具有C1边界的有界区域，U O∈L2(Q)，妒∈L1(a Q)，a(x，∈)=vj(x，9，f关于蚓I_。

o是线性增长的，函数m(x，u)：Q×R_R满足下面的假设，并记为(M)：(M1)对所有的z∈Q，r—m(x，r)是连续的，不减的．(M2)对任意的7．∈R，z_m(x，r)是属于L2(Q)．关于方程(1)中的函数f(x，∈)有其实际的背景．有一个经典的例子，，是不含参数的的面积被积函数f(x，∈)=们了可浮．在这种情况下，di v a(x，D让)是—个非常重要的平均曲率算子，在文献[8】中有详细的研究．在文献【2】中，Zhou考虑了一个发展方程，其中函数，为I割卅，㈣≤1，(专)={z1I㈣一言，俐≥1从而引起了对塑料单平面的剪切变形问题的研究，其中标量函数让代表了垂直位移的均匀平面材料．后来H ar dt和Zhou考虑了问题(1)(见文献【7】)，其中函数，(∈)=㈣1．更重要的是在本文中放宽了对于函数f(x，∈)的要求，后面有详细介绍．收稿日期：2012-08-14资助项目：Fundam ent al R es ear ch Funds f or t he C ent r al U ni ver si t i es(12C X04081A，11CX04058A)；山东省自然科学基金(Z R2011A Q017)作者简介：芮杰(1979一)，汉，山东新泰人，讲师，硕士，研究向：偏微分程，E-m ai l：rj hygl@163．C O r n．第1期芮杰，等：一类带扰动项的拟线性抛物型方程解的存在性61对于扰动项m(z，u)的选择是自然的．在文献【6】6中，W i t t bol d考虑了一类椭圆型的吸收一扩散问题u—di v口(，D u)+p(，u)弓8，U10Q-----0同时给出了解的存在唯—性，以及解对吸收项p和扰动项8∈L1(Q)n Loo(Q)的连续依赖性．从而说明m(x，u)的条件对方程解的影响，因此本文考虑当方程(1)带扰动项m(x，u)时解的存在唯—性．本文扩展了A ndr eu，C as el l es and M azdn在文献【10】中给出的方程f老：di v a(x川D，Q_(0，co)姗{u(t，z)’气妒(z)，S=(o，。

一类非线性抛物型方程组正解的爆破吴春晨(福州大学至诚学院，福建福州350002)摘要：考虑一类具有非线性边界流的拟线性抛物型方程组正解的性质，得到了解在有限时刻爆破的条件。

关键词：拟线性抛物型方程组；非线性边界；爆破中图分类号:O175．2文献标识码:A第28卷第3期山西大同大学学报(自然科学版)Vol.28.No.32012年6月Journal of Shanxi Datong University(Natural Science)June 2012文章编号：1674－0874（2012）03－0005－031引言与主要结论本文考虑拟线性抛物型方程组（u m ）t ＝△u －a νp （νn ）t ＝△u －bu q，x ∈Ω，t >0鄣u 鄣n =νy ，鄣ν鄣n=u λ，x ∈鄣Ω，t >0u (x ，0)=u 0(x )，ν(x ，0)=ν0(x )，x ∈鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣鄣Ω(1)的解的性质，其中系数m ，n 叟1，a ，b ，p ，q 为正数，区域Ω奂R N（N 叟1）有界光滑，鄣u 鄣n ，鄣ν鄣n 分别表示u ，ν在边界鄣Ω上的外法向导数，初值u 0(x )，ν0(x )为正的C 1函数且满足相容性条件。

近些年来，许多研究者都致力于探讨带非线性边界条件的方程组的解的性质[1-5]，其中，在文献[1]，李慧玲考虑了方程（u m ）t ＝△u －au p，x ∈Ω，t >0鄣u 鄣n=u q ，x ∈鄣Ω，t >0u (x ，0)=u 0(x )，x ∈鄣鄣鄣鄣鄣鄣奂鄣鄣鄣鄣鄣鄣Ω并得到了许多有益的性质。

受此启发，本文对定义在相同区域上的问题(1)进行了研究，运用上下解方法，我们得到问题(1)的正解在有限时刻爆破的条件。

设λ0为下面问题的第一特征值：－△φ＝λφ，x ∈Ω；φ＝0，x ∈鄣Ω。

(2)φ（x ）为λ0所对应的特征函数，满足max Ω軓φ（x ）＝1。

一类非线性拟抛物方程解的爆破
范恩贵;张健
【期刊名称】《四川师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1995(018)004
【摘要】本文利用Ｆｏｕｒｉｅｒ变换，讨论了一类非线性拟抛物方程第二类初边值问题解的爆破性质，给出了其解在有限时间爆破的条件。

【总页数】6页(P21-26)
【作者】范恩贵;张健
【作者单位】不详;不详
【正文语种】中文
【中图分类】O175.26
【相关文献】
1.一类非线性高阶双曲型方程与非线性高阶抛物型方程解的爆破性质 [J], 肖黎明
2.一类具有非线性边界条件的非线性抛物方程解的爆破现象 [J], 陶维安;陈波涛
3.一类非线性抛物方程解的爆破与梯度爆破 [J], 李玉环
4.一类非线性拟抛物方程解的渐近性质与爆破 [J], 宋瑞丽;霍振宏
5.一类拟抛物型方程解的爆破性质 [J], 李雪臣;李庆广
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