二次函数y=ax2+c的图像和性质

同坐标系中，画出二函数 的图象．
解: (1) 列表：
y x 1和y x 1
2 2
x y = x2＋1 y = x2－1
(2) 描点 (3) 连线
·· · ·· · ·· ·
－3
10 8 10
－2
5 3
－1
2 0
0
1 －1
1
2 0
2
5 3
3
10 8
·· · ·· · ·· ·
y x2
归纳：
把抛物线y = 2x2 向上平移5个单位， 会得到哪条抛物线？向下平移3.4个单 位呢？ y 2x2 5
把抛物线y=ax2 向上平移c个单 位，就得到抛物 线y=ax2+c； 把抛物线y=ax2 向下平移c个单 －4 位，就得到抛物 线y=ax2-c.
－2
8
6
4 2
y 2x
2
简记为：
上加下减
y 2 x 2 3.4
2
4
－2 －4
a > 0,c > 0
一般地,抛物线y=ax2+c的性质：
（1）开口方向： a＞0时, 开口向上, a＜0时, 开口向下. （2）对称轴： y轴（或x=0) （3）顶点坐标： 顶点是抛物线的最低点 （或最高点）,顶点坐标（0,c） （4）增减性：
y=ax2 (a≠0) 图 象
O
a>0 y
O
a<0 y x
x
开口方向 向上 向下 顶点坐标 (0 ,0) (0 ,0) 对称轴 y轴 y轴 当x<0时, 当x<0时， 增 y随着x的增大而增大。 y随着x的增大而减小。 减 当x>0时， 当x>0时， y随着x的增大而减小。 y随着x的增大而增大。 性 x=0时,y最小=0 x=0时,y最大=0 极值 抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,抛物线的开口就越小.

例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.

0时，y<0.
记 r 为圆的半径，S 为该圆的面 积，有面积公式S=πr2，表明S是r的 函数. (1)当半径r分别为2、2.5、3时，求圆 的 面积S（π取3.14）； (2)画出函数S=πr2的图象.
函数S=πr2 的图象: 注意r≥0的条件.
已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
2 二次函数y=ax 的图象和性质
复习回顾
函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把 自变量与函数的每对对应值分别作为 点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面 内由这些点组成的图形就是这个函数 的图象。
函数图象的画法：
组卷网
1、列表
2、描点 3、连线
列出自变量与函数的对应值表。 注意：自变量的值必须满足取值范围.
共同点: 开口都向下; 顶点是原点而且是抛物线 的最高点，对称轴是 y 轴 在对称轴的左侧， y随着x的增大而增大。 在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。 不同点: 开口大小不同;
1
-3 -2 -1 0 -1
y
1 2 3 x
1 2 y x 2
-2 -3 -4 -5
y x2 a 越大， 抛物线的开口越大．
2
…
y=－x2
-４ -2.25
-2.25 -４ …
-１.１２５
…
-2
-１.１２５
-2
…
y=－2x2
… -８
-4. 5
-２
-０ . ５ ０
-０ . ５
-２
-4. 5
-８ …
1

，对称轴是 时，y 有最
3.将二次函数 y=2x 的图像向左平移 3 个单位后得到函数 个单位得到函数 是 ，说明当 x 的图像；新函数的顶点坐标是 时，y 随 x 的增大而增大，当 x
的图像，再向上平移 2 ，其对称轴 时，y 随 x 的增大而减小.
5. y ax2 bx c 的图象和性质：
［课内练习］
1、二次函数 y mxm
2
1
在其图象对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，求 m 的值。
2、二次函数 y
3 2 x ，当 x1＞x2＞0 时，求 y1 与 y2 的大小关系。 2
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2. 函数 y ax2 c 的图象与性质：
1.二次函数 y = ax 2 + c 的图象是一条 说明当 x = 时， y 有最值是
单位得到；当 h 0 时， y = a ( x - h) 的图像可以看成是 ，顶点是抛物线的最 ，顶点是抛物线的最
点.在对称轴的左侧，即 x ； 点.在对称轴的左侧，即 x .
时， y 随 x 的 时， y 随 x 的
；在对称轴的右侧，即 x ；在对称轴的右侧，即 x
时， y 随 x 的增大而 时， y 随 x 的增大而
2
② y x 3x 2
2
③ y ax bx c
2
4.归纳：二次函数的一般形式 y ax bx c 可以被整理成顶点式：
2
， .
说明它的对称轴是
，顶点坐标公式是
【典型例题】 例 1、用配方法把下列二次函数化成顶点式：
① y x 3x 2
2
② y x 4x 2
3. 函数 y ax h 的图象与性质：