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5.3.2 稀疏矩阵
i(行） j(列) v(非0值) i(行） j(列) v(非0值)
0 1 2 3 4 5 6 7 8
6 1 1 3 3 4 5 6 6
7 2 3 1 6 3 2 1 4
8 12 9 －3 14 24 18 15 －7
0 1 2 3 4 5 6 7 8
7 1 1 2 2 3 3 4 6
5.3.2 稀疏矩阵
如何由M.data[ ]得到N.data[ ]呢？
可以将M.data [ ]中所有三元组的i和j的值互换， 则得到的N.data [ ]是一个按列优先顺序排列的 三元组表，然后再将它按行序排序，即得到转 置矩阵N的三元组顺序表。
但对数组的元素进行排序的时间复杂度将会达 到平方级。
5.2.1 特殊矩阵
在一个nn的三对角矩阵中，一共有n+n1+n-1=3n-2个非零元素，故只需3n-2个存储单元 即可，零元已不占用存储单元。即将其按行优 先的顺序压缩存储在数组sa[3n-2]中,其存储示意 图如下：
k=0 a11 1 a12 2 a21 3 a22 …… …… 3n-5 a n-1,n 3n-4 a n,n-1 3n-3
a a A= a10
00 10
a a
01
11
… … … a
a a
0,n-1
…
1,n-1
… a
… a
…
m-1,n-1
am-1,0 a01 a11
… …
m-1,0 m-1,1 …
am-1,1
5.2 数组的顺序表示和实现
由于二维数组的每个元素在内存中是顺序存储 的，因此，只要知道第一个元素的存储地址， 就可以求得其它元素的地址，如何求？ 以行优先存储为例，假设设a00的内存地址为 LOC(a00)，每个元素占用t个字节，则元素aij的 存储地址应为第一个元素的地址加上排在aij前 面的元素所占用的字节数，而aij的前面有i行 (0~i-1)共i×n个元素，而本行前面又有j个元素， 故aij的前面一共有i×n+j个元素。则aij的内存 地址按等差数列计算为：
typedef struct{ //定义稀疏矩阵 Triple data[maxsize]; //三元组表 int m, n, t; //稀疏矩阵行、列数、非零元个数 }TSMatrix; TSMatrix M，N；
5.3.2 稀疏矩阵
在结构体数组M.data[]中，表示非0元的三元组 是以行序为主序排列的。其中，M.data[0]未用， 可把行列值及非0元个数存入其中。
LOC(aij)=LOC(a00)+（i×n+j）×t
5.3 矩阵的压缩存储
矩阵是它是很多科学与工程计算问题中研究的 数学对象。高级语言中一般都用二维数组存储 矩阵，但有时候，对于一些阶数很高的矩阵， 如果在矩阵中有许多值相同的元素或者是零元 素，则会浪费存储空间。为了节省存储空间， 可以对这类矩阵进行压缩存储。 所谓压缩存储是指：为多个值相同的元素只分 配一个存储空间，值为零的元素不分配空间。 特殊矩阵：值相同的元素或者零元素在矩阵中 的分布有一定规律。 稀疏矩阵：元素分布无规律，零元素较多。
0 a11 1 2 3 ……
n( n+1) 2 -3 n( n+1) -2 2
n( n+1) -1 2
a21 a22 a31
……
a
n,n-2
a n,n-1
a n,n
则矩阵元aij 存储在sa[ ]数组中下标为多少(设 为k)的位置上呢？
5.3.1 特殊矩阵
有如下关系：
k＝
{ j(j-1)/2+i－1 当 i<j
5.3.2稀疏矩阵
由此，一个稀疏矩阵可由表示非零元的三元组 序列和矩阵的行数、列数唯一确定。如下例：
A：稀疏矩阵M6×7
B：稀疏矩阵T7×6
5.3.2 稀疏矩阵
三元组线性表((1,2,12),(1,3,9),(3,1,-3), (3,6,14), (4,3,24),(5,2,18),(6,1,15), (6,4,-7))，再加上 （6,7,8）（行数、列数、非零元个数）项，便 可作为矩阵M的存储描述了。同样，矩阵T也可 作类似表示。 三元组线性表可以采用顺序存储方式，也可以 采用链式存储结构，对应的也就是稀疏矩阵常 用两种压缩存储方式：三元组顺序表和十字链 表.重点介绍三元组顺序表。
5.2 数组的顺序表示和实现
例如二维数组A[m][n] 按行优先方式存储： a00，a01 ,…, a0,n-1，a10，a11，...，a 1,n-1 ，…, am-1,0 , am-1,1,…,am-1,n-1 a
a a A=
00 10
a
a
01
11
… … … a
a
a
a01
00
0,n-1
…
1,n-1
第五章 数组和广义表
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5
数组的定义 数组的顺序表示和实现 矩阵的压缩存储 广义表的定义 广义表的存储结构
5.1 数组的定义
数组是大家都已经很熟悉的一种数据类型，几 乎所有高级语言程序设计中都设定了数组类型。 本章，我们仅简单地讨论数组的逻辑结构及在 计算机内的存储方式。 1 . 一维数组 一维数组可以看成是一个线性表，它在计算机 内是存放在一块连续的存储单元中，适合于随 机查找。
5.2.1 特殊矩阵
例如，下图为77的三对角矩阵（即有三条对角
线上元素非0）。
a 11 a 21 0 0 0 0 0 a 12 a 22 a 32 0 0 0 0 0 a 23 a 33 a 43 0 0 0 0 0 a 34 a 44 a 54 0 0 0 0 0 a 45 a 55 a 65 0 0 0 0 0 a 56 a 66 a 76 0 0 0 0 0 a 67 a 77
i(i-1)/2+j－1 当 i>=j ( 1≤ i,j≤n)
那么，aij和sa[k]之间的对应关系就可以由上 面的表达式确定。 由此，我们称sa[n(n+1)/2] 为n阶对称矩阵A 的压缩存储。
5.2.1 特殊矩角矩阵 即矩阵上三角部分元素是随机的，而下三角部 分元素全部相同（为某常数C）或全为0，具体 形式如下：
5.3.1 特殊矩阵
1.对称矩阵 若一个n阶方阵A中元素满足下列条件： aij=aji 其中1≤i,j≤n，则称A为对称矩阵。 如：
对称矩阵只需存储它的下三角元素或上三角元 素。一共只用存储n(n+1)/2 个元素即可。
5.3.1 特殊矩阵
假设以一维数组sa[0…n(n+1)/2]（图示）作 为n阶对称矩阵A的存储结构，将矩阵的下 三角元素按行序存储到sa[]数组中.
5.3.2 稀疏矩阵
一、三元组顺序表 此时，数据类型可描述如下： #define maxsize 12500//定义非零元的最大数目 typedef struct //定义一个三元组 { int i, j; //非零元行号、列号 int v; //非零元的值 }Triple;
5.1 数组的定义
2．二维数组 如下图中，A是一个m行n列的二维数组. 二维数组也可以看成是一个定长的线性表.
a a A=
00 10
a
a
01
11
… … … a
a
a
0,n-1
1,n-1
… a
… a
…
m-1,n-1
m-1,0 m-1,1 …
5.1 数组的定义
则A可以表示为这样一个线性表： A=(a0,a1,…,an-1) 其中每个数据元素aj可以是一个列向量形式的 线性表: aj= ( a0j, a1j, …, am-1,j)
… a
… a
…
m-1,n-1
a0,n-1 a10 a11
… …
m-1,0 m-1,1 …
a1,n-1
5.2 数组的顺序表示和实现
二维数组A[m][n] 按列优先方式存储： a00，a10 ,…, am-1,0 , a01 ， a11，...， am-1,1 ，…, a00 a0,n-1, a1,n-1 ,…, am-1,n-1
下面将介绍另外两种处理方法
5.3.2 稀疏矩阵
（1）按照M的列序进行转置 由于M的列即为N的行，因此，在M.data[]中， 按列值顺序进行扫描，则得到的N.data[]一定是按 行优先存放的。 方法：扫描M.data[]第1趟，找出M中所有第1列 的非0元素，交换行列值后，存入N.data[]。然后 再扫描M.data[]第2趟，找出M中第2列的所有非0元 素，交换行列值后，存入N.data[]。依次类推，M 共有多少列，则扫描多少趟。 为了能找出每一列中的所有非0元素，每趟扫 描都必须从M.data[]的第一行读到最后一行。
a11 a12 ... a1n c a 2n 22 ... a
压缩存储后其存储关系如下：
... ... ... ... k＝ c c c ann
{
(i-1)*(2n-i+2)/2+j-i 当 i≤j ( 1≤ i,j≤n) n(n+1)/2 当 i>j
5.2.1 特殊矩阵
（2） 下三角矩阵 即矩阵下三角部分元素是随机的，而上三 角部分元素全部相同（为某常数C）或全为0，具 体形式如下：
(0≤j≤n-1）
5.1 数组的定义
或者A可以表示为这样一个线性表： A=(a0, a1 , …, am-1) 其中，每个数据元素ai是一个行向量形式的线性表: ai=(ai0, ai1, ai2, …, ai,n-1) (0≤i≤m-1）
