第五章 小结与复习 2017-2018学年八年级数学下册 北师大版 名师导学案

第五章 分式与分式方程
小结与复习
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要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
2.分式有意义的条件： 对于分式 ：当__B_≠_0___时分式有意义； 当__B_=__0__时无意义.
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针对训练
4.有一道题：“先化简，再求值:
(
x x

2 2

4x x2
) 4

1 x2
4
,
其中x 3 ”.小玲做题时把x 3 错抄成 x 3 ,
但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回
事?
解:
(x x

2 2

4x x2
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6.分式的通分： 分式的通分的定义 根据分式的基本性质，使分子、分母同乘适当的整 式（即最简公分母），把分母不相同的分式变成分 母相同的分式，这种变形叫分式的通分.
最简公分母 为通分先要确定各分式的公分母，一般取各分母的所 有因式的最高次幂的积作公分母，叫做最简公分母.
5.分式的约分：
约分的定义 根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母 的公因式约去，叫做分式的约分．
最简分式的定义 分子与分母没有公因式的式子，叫做最简分式
注意：分式的约分，一般要约去分子和分母所有 的公因式，使所得的结果成为最简分式或整式.
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约分的基本步骤 (1)若分子﹑分母都是单项式，则约去系数的最大公 约数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因 式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．

课题直角三角形全等的判定【学习目标】1．理解并掌握直角三角形全等的判定方法——斜边、直角边．2．经历探究斜边、直角边判定方法的过程，能运用“斜边、直角边”判定方法解决有关问题．【学习重点】直角三角形“HL”全等判定定理推导及应用．【学习难点】证明“HL”定理的思路的探究和分析．行为提示：点燃激情，引发学生思考本节课学什么．行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识．方法指导：斜边直角边证明三角形全等强调首先必须证明是直角三角形，书写时写明条件，与SAS要有区别．学习笔记：选择适当的方法证明两个直角三角形全等的关键是看已知条件的特点，概括起来有以下几种情况：(1)当有一条直角边和斜边对应相等时，用“HL”判定其全等；(2)当有两条直角边对应相等时，用“SAS”判定其全等；(3)当有一个锐角和斜边对应相等时，用“AAS”判定其全等；(4)当有一条直角边和一个锐角对应相等时，用“ASA”或“AAS”判定其全等．情景导入生成问题旧知回顾：1．判定两个三角形全等的方法有哪些？答：SAS、ASA、AAS、SSS.2．有两条边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形一定全等吗？如果其中一组等边所对的角是直角呢？答：有两条边及其中一边所对的角对应相等的两个三角形不一定全等．自学互研生成能力知识模块一直角三角形全等的判定【自主探究】阅读教材P18－19的内容，回答下列问题：直角三角形全等的判定是什么？如何证明？答：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简称“HL”．证明如下：如图∠C＝∠C′＝90°，AB＝A′B′，AC＝A′C′.求证：△ABC≌△A′B′C′.证明：在△ABC中，∵∠C＝90°，∴BC2＝AB2－AC2(勾股定理)．同理B′C′2＝A′B′2－A′C′2，∵AB＝A′B′，AC＝A′C′，∴BC＝B′C′，∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．范例1：如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.求证：BC＝BE.证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．∴CD＝EF.∵AD＝AF，AB＝AB，∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．∴BD＝BF，∴BD－CD＝BF－EF，即BC＝BE.仿例：如图，已知∠C＝∠D＝90°，若要用“HL”证明Rt△ABC≌Rt△ABD，则还需补充条件(B)A．∠BAC＝∠BAD B．AC＝AD或BC＝BDC．AC＝AD且BC＝BD D．以上都不正确归纳：根据题目条件，正确选用HL证明两直角三角形全等，注意一定要为直角三角形．知识模块二直角三角形全等的综合运用范例2：如图，已知AC⊥BD于点P，AP＝CP，请增加一个条件，使△ABP≌△CDP(不能添加辅助线)，你增加的条件是BP＝DP(或AB＝CD或∠A＝∠C或∠B＝∠D)．仿例1：如图1，BE、CF是△ABC的高，且BE＝CF＝8，BC＝10，则EC＝6．(图1)(图2)行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：检测可当堂完成．仿例2：如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别过点B、C作过点A 的直线的垂线BD、CE，若BD＝4 cm，CE＝3 cm，则DE＝7 cm.仿例3：如图3，AB⊥AC，DC⊥AC，AD＝BC，则AD和BC的位置关系是平行．(图3)(图4)仿例4：如图4所示，过正方形ABCD的顶点B作直线a，过点A，C作a的垂线，垂足分别为点E，F.若AE＝1，CF＝3，则AB的长度为10．归纳：直角三角形全等是三角形全等中的重要内容，根据条件灵活选用证明方法．交流展示生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一直角三角形全等的判定知识模块二直角三角形全等的综合运用检测反馈达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________ 2．存在困惑：________________________________________________________________________。

第五章小结与复习【学习目标】1．巩固复习本章知识，形成整体性认识．2．通过对分式计算和解分式方程应用题的复习，增强学生应用数学的意识．【学习重点】对本章知识的梳理和掌握．【学习难点】熟练应用本章知识解决问题．行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么．行为提示：教会学生怎么交流，先对学，再群学，充分在小组内展示自己，分析答案，提出疑惑，共同解决．情景导入生成问题知识结构框图分式与分式方程分式的乘除法分式乘方分式的基本性质分式的概念分式有意义的条件分式的加减法同分母分式加减法异分母分式加减法分式的混合运算分式方程分式方程的解法分式方程的应用学习笔记：行为提示：教师结合各组反馈的疑难问题分配展示任务，各组在展示过程中，老师引导其他组进行补充，纠错，最后进行总结评分．学习笔记：教会学生整理反思．自学互研 生成能力知识模块一 分式的基本性质【自主探究】范例1：下面四个式子的约分运算中，正确的是( D )A .a 2b 2＝a bB .m ＋a 2n ＋a 2＝m nC .a ＋b an ＋bn ＝12nD .x －y y －x＝－1 仿例1：等式x x ＋2＝x （x －2）（x ＋2）（x －2）成立的条件是( C ) A ．x ≠2 B ．x ≠－2 C ．x ≠±2 D ．x 为任意实数仿例2：若1x －1＝M x 2－1，则M ＝x ＋1；若（x －y ）2x 2－y 2＝x －y N，则N ＝x ＋y ． 变例：已知x 2＝y 3＝z 4，则2x ＋y －z 3x －2y ＋z ＝34． 知识模块二 分式的运算范例2：计算x 2－y 2x 2－6x ＋9÷x ＋y 2x －6的结果是2x －2y x －3． 仿例1：已知3x ＋4（x －2）（x ＋1）＝A x －2－B x ＋1，其中A ，B 为常数，则4A －B 的值为( C ) A ．7 B ．9 C ．13 D ．5仿例2：(昆明中考)计算：3a ＋2b a 2－b 2－a a 2－b 2＝2a －b． 仿例3：(包头中考)化简：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －2a －1a ÷a 2－1a ＝a －1a ＋1． 知识模块三 分式方程的解法及应用范例3：方程2x －2－4x x 2－4＝0的解是( A ) A ．无解 B ．x ＝－2 C ．x ＝2 D ．x ＝±2范例4：(淄博中考)若关于x 的方程2x －2＋x ＋m 2－x＝2的解为正数，则m 的取值范围是( C ) A ．m<6 B ．m>6C ．m<6且m≠0D ．m>6且m≠8【合作探究】范例5：一项工程需在规定日期完成，如果甲队单独做，就要超过规定日期1天，如果乙队单独做，要超过规定日期4天．现在先由甲、乙两队一起做3天，剩下的工程由乙队单独做，刚好在规定日期完成，则规定日期为( B )A ．6天B ．8天C ．10天D ．7.5天交流展示 生成新知【交流预展】1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上，并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．【展示提升】知识模块一 分式的基本性质知识模块二 分式的运算知识模块三 分式方程的解法及应用检测反馈 达成目标【当堂检测】见所赠光盘和学生用书；【课后检测】见学生用书．课后反思 查漏补缺1．收获：________________________________________________________________________2．存在困惑：________________________________________________________________________教师个人研修总结在新课改的形式下，如何激发教师的教研热情，提升教师的教研能力和学校整体的教研实效，是摆在每一个学校面前的一项重要的“校本工程”。

b c bc a d ad
b c b d bd a d a c ac
2.分式的乘方法则：
( a )n b
an bn
.
3.分式的加减法则： (1)同分母分式的加减法则：
a b ab . cc c (2)异分母分式的加减法则： a c ad bc ad bc . b d bd bd bd
第五章 分式与分式方程 小结与复习
要点梳理
一、分式 1.分式的概念：
一般地，如果A、B都表示整式，且B中含有
字母，那么称 为分式.其中A叫做分式的分子， B为分式的分母.
2.分式有意义的条件： 对于分式 ：当__B_≠_0___时分式有意义； 当__B_=__0__时无意义.
3.分式值为零的条件：
答：第一次每支铅笔的进价为4元.
考点五 本章数学思想和解题方法
主元法
例7.已知：2a b 3 ，求
a 2b 14
a2 a2
b2 b2
的值.
【解析】由已知可以变形为用b来表示a的形式，可
得 a 4 b ，代入约分即可求值.
5
解：∵
2a b 3 ，
a 2b 14
∴a 4b
5
.
∴
( 4 b)2 5
解析：设普通列车的平均速度是x千米/时，根 据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短3 小时，列出分式方程，然后求解即可．
解：设x千米/时，根据题意得
解得x＝120，经检验x＝120是原方程的解， 则高铁的平均速度是120×2.5＝300(千米/时)． 答：高铁的平均速度是300千米/时．
( 3)2 ( 3)2 3, ∴结果与x的符号无关
例4
解析：本题若先求出a的值，再代入求值，显