2023 学年第一学期温州新力量联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}270Ax x =−>，{}2,3,4,5B =，则A B = （ ）A. {}3B. {}4,5C. {}3,4D. {}3,4,5【答案】B 【解析】【分析】解一次不等式化简集合A ，再利用集合的交集运算即可得解.【详解】因为{}72702A x x x x=−>=>，又{}2,3,4,5B =，所以{}4,5A B = . 故选：B.2. 已知,a b ∈R ，则“220a b +=”是“0ab =”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若220a b +=，则0a b ==，则0ab =成立． 而当0a =且1b =时，满足0ab =，但220a b +=不成立；∴“220a b +=”是“0ab =”的充分不必要条件．故选：A ．3. 已知函数()21,11,1x x f x x x −≥ = +< ，若()2f a =，则a 的所有可能值为（ ）A.32B. 1，32C. 3−，32D. 3−，1，32【答案】C 【解析】【分析】分1a ≥与1a <两种情况，解方程，求出答案.【详解】若1a ≥，则212a −=，解得312a=>， 若1a <，则12a +=，解得3a =−或1（舍去）， 故a 的所有可能值为3−，32. 故选：C4. 若幂函数()f x 的图象经过点12，则下列判断正确的是（ ） A. ()f x 在()0,∞+上为增函数 B. 方程()4f x =的实根为2± C. ()f x 的值域为()0,1 D. ()f x 为偶函数【答案】D 【解析】【分析】先代点求出幂函数的解析式，然后判断幂函数的性质即可.【详解】设()f x x α=，代入点12 可得121222αα−===，所以2α=−， 所以()221f x x x−==，因为20x ≠，所以0x ≠，即函数()f x 的定义域为()(),00,∞−+∞ ， 对于A ：因为20−<，所以()2f x x −=在()0,∞+上为减函数，错误； 对于B ：令()4f x =，所以214x =，解得12x =±，所以方程()4f x =的实根为12±，错误； 对于C ：因为0x ≠，所以20x >，所以()210f x x =>，所以()f x 的值域为()0,∞+，错误； 对于D ：因为()f x 的定义域为()(),00,∞−+∞ 关于原点对称，且()()()2211f x f x x x −===−， 所以()f x 为偶函数，正确.故选：D5. 若正数x ，y 满足2xy =，则39x y ⋅最小值为（ ） A. 27 B. 81C. 6D. 9【答案】B 【解析】【分析】利用基本不等式结合指数函数的单调性求解最小值.【详解】因为0,0x y >>，可得24x y +≥=，当且仅当22x y ==时，等号成立， 所以2x y +的最小值为4，所以22439333381x y x y x y +⋅=⋅=≥=. 故选：B6. 若不等式20ax x c −−>的解集为{}32x x −<<，则函数2y ax x c =+−的零点为（ ） A. ()3,0和()2,0− B. ()3,0−和()2,0C. 2和3−D. 2−和3【答案】D 【解析】【分析】根据一元二次不等式的解与一元二次方程根之间的关系求解16a c =− =−，然后根据零点的定义求解即可.【详解】因为20ax x c −−>的解集为{}32x x −<<， 所以方程20ax x c −−=的两根分别为3−和2，且a<0，则()13232ac a−+=−×=−，解得16a c =− =− ， 故函数()()22623y ax x c x x x x =+−=−++=−+−， 则与x 轴的交点坐标为()3,0和()2,0−，所以零点为2−和3. 故选：D.7. 已知()222,01,0x tx t x f x x t x x −+≤= ++>，若()0f 是()f x 的最小值，则实数t 的取值范围为（ ） 的A. []1,2−B. []1,0−C. []0,2D. []1,2【答案】C 【解析】【分析】根据分段函数在0x =处取到最小值计算即可. 【详解】因为0x ≤时，()222f x x tx t =−+，所以要使()0f 是()f x 最小值，则0t ≥， 又当0x >时，()12f x x t t t x =++≥+=+， 当且仅当1x =时取等号，所以()222020t f t t t +≥⇒−−≤，又因为0t ≥，所以02t ≤≤. 故答案为：C8. 实数a ，b ，c 满足221a a c b =+−−且210a b ++=，则下列关系成立的是（ ） A. b a c >≥ B. c a b >>C. b c a >≥D. c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据等式221a a c b =+−−可变形为2(1)a c b −=−，利用完全平方可得,c b 大小，由210a b ++=得21a b =−−，做差b a −，配方法比较大小. 【详解】由210a b ++=可得21a b =−−，则1a ≤−， 由221a a c b =+−−可得2(1)0a c b −=−>，利用完全平方可得 所以c b >，22131()024b a b b b ∴−++++>，b a ∴>，综上c b a >>， 故选：D【点睛】本题主要考查了做差法比较两个数大小，考查了推理与运算能力，属于难题.二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项的的符合题目要求，全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．）9. 下列命题为真命题的为（ ） A. 2R,10x x x ∀∈++>B. 当0ac >时，R x ∃∈，20ax bx c +−=C. ||||||x y x y −=+成立的充要条件是0xy ≥D. 设,R a b ∈，则“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件【答案】ABD 【解析】【分析】对于A ，通过配方判断，对于B ，由根的判别式判断，对于C ，举例判断，对于D ，由充分条件和必要条件的定义判断.【详解】对于A ，因为22310412x x x +++=+> ，所以2R,10x x x ∀∈++>恒成立，所以A 正确； 对于B ，当0ac >时，方程的判别式240b ac ∆=+>，所以R x ∃∈，20ax bx c +−=成立，所以B 正确；对于C ，若2,1x y ==，则2113x y x y −=−=≠+=，所以||||||x y x y −=+成立的充要条件是0xy ≥是错误的；对于D ，当0a ≠，0b =时，ab ，而当0ab ≠时，0a ≠成立，所以“0a ≠”是“0ab ≠”的必要不充分条件，所以D 正确. 故选：ABD.10. 已知x ，y 都为正数，且21x y +=，则下列说法正确的是（ ） A. 2xy 的最大值为14B. 224x y +的最小值为12C. ()x x y +的最大值为14D. 11x y+的最小值为3+【答案】ABD 【解析】【分析】利用基本不等式一一判断即可.【详解】对于A ：0x ，0y >，21x y +=， 2(2)1244x y xy +∴≤=，当且仅当2x y =，即14x =，12y =时，等号成立，即2xy 的最大值为14，故A 正确， 对于B ：0x ，0y >，21x y +=， 2224(2)414x y x y xy xy ∴+=+−=−， 由A 可知，18xy ≤，221141482x y ∴+≥−×=，当且仅当14x =，12y =时，等号成立，即224x y +的最小值为12，故B 正确，对于C ：0x ，0y >，21x y +=， ()()()2221444x x y x y x x y +++ ∴+≤==，当且仅当x x y =+，即12x =，0y =时，等号成立，显然0y =不成立，所以()x x y +的最大值取不到14，故C 错误， 对于D ，0x ，0y >，21x y +=，∴()3122131112y x y x x x x y y y +=++=+++≥+= ，当且仅当2y x x y =，即x =，1y=−时，等号成立，即11x y+的最小值为3+，故D 正确， 故选：ABD ．11. 下列说法正确的是（ ）A. 函数()f x 的值域是[2,2]−，则函数(1)f x +的值域为[]3,1−B. 既是奇函数又是偶函数的函数只有一个C. 若A B B ∪=，则A B A ∩=D. 函数()f x 的定义域是[2,2]−，则函数(1)f x +的定义域为[]3,1− 【答案】CD 【解析】【分析】根据函数图象的变换判断A ，根据既奇又偶函数的性质判断B ，根据交集和并集运算性质判断C ，根据抽象函数的定义域的求法判断D .【详解】对于A ：函数()1f x +的图象是由()f x 的图象向左平移一个单位而得到，又函数()f x 的值域是[2,2]−，则函数(1)f x +的值域为[2,2]−，错误；对于B ：设()0f x =，x D ∈，D 是关于原点对称的区间，则()f x 既是奇函数又是偶函数， 由于区间D 有无数个，所以函数()f x 有无数个， 则既是奇函数又是偶函数的函数有无数个，错误；对于C ：因为A B B ∪=，所以A B ⊆，则有A B A ∩=，正确；对于D ：因为函数()f x 的定义域是[2,2]−，所以212x −≤+≤，解得31x −≤≤， 所以函数()1f x +的定义域为[]3,1−，正确；故选：CD12. 数学上，高斯符号（Gauss mark ）是指对取整符号和取小符号的统称，用于数论等领域.定义在数学特别是数论领域中，有时需要略去一个实数的小数部分只研究它的整数部分，或需要略去整数部分研究小数部分，因而引入高斯符号.设R x ∈，用[]x 表示不超过x 的最大整数.比如：[1]1=，[]00=，[1]1−=−， 1.22[]−=−，[]1.31= ，已知函数()[]()0=>x f x x x，则下列说法不正确的是（ ）A. ()f x 的值域为[)0,1B. ()f x 在(1,)+∞为减函数C. 方程()12f x =无实根 D. 方程()712f x =仅有一个实根 【答案】AB 【解析】【分析】先进行分段化简函数，并画函数图象，再结合图象逐项判断即可. 【详解】由高斯函数的定义可得：当01x <<时，[]0x =，则[]0x x=，当12x ≤<时，[]1x =，则[]1x xx=，当23x ≤<时，[]2x =，则[]2x xx=，当34x ≤<时，[]3x =，则[]3x xx=，当45x ≤<时，[]4x =，则[]4x xx=，绘制函数图象如图所示，对于A ，由图可知，()f x 在0,)(+∞上的值域为{}01,12，不正确； 对于B ，当1x ≥时，()f x 的每段函数都是单调递减，但是()f x 在(1,)+∞不是减函数，不正确； 对于C ，由选项A 知，()f x 在0,)(+∞上的值域为{}01,12， 所以方程()12f x =无实根，正确； 对于D ，当12x ≤<时，()712f x =即1712x =，解得[)121,27x =∈， 当23x ≤<时，()712f x =即2712x =，解得[)242,37x =∉， 结合函数()f x 图象知，方程()712f x =仅有一个实根127，正确. 故选：AB非选择题部分三、填空题（本题共45分，共20分）13. 函数()f x ______. 【答案】[]1,3− 【解析】【分析】根据解析式有意义列不等式求解可得.【详解】由题可知2230x x −++≥，所以2230x x −−≤，即()()310x x −+≤，解得13x −≤≤，所以函数()f x []1,3−. 故答案为：[]1,3−14. 已知函数()()22,f x mx nx m n =++∈R 是定义在[]2,3m m +上的偶函数，则函数()()2g x f x x =+在[]22−,上的最小值为______．【答案】－6 【解析】【分析】先利用题意能得到()()f x f x −=和230m m ++=，解得0n =和1m =−，代入()f x 中，再代入()g x ，再结合二次函数的性质求最小值【详解】因为函数()22f x mx nx =++(),m n ∈R 是定义在[]2,3m m +上的偶函数，故()()230f x f x m m −= ++= ，即22221mx nx mx nx m −+=++ =−，则201nx m = =− 解得01n m = =− ，所以()()()2222231g x f x x x x x =+=−++=−−，[]2,2x ∈−， 所以()()()2222226g −=−−+×−+=−，()2222222g =−+×+=， 则()min 6g x =−， 故答案为：-615. 股票是股份公司发给股东证明其所入股份的一种有价证券，它可以作为买卖对象和抵押品，是资金市场主要的长期信用工具之一.股票在公开市场交易时可涨可跌，在我国上海证券交易所交易的主板股票每个交易日上涨和下跌都不超过10%，当日上涨10%称为涨停，当日下跌10%称为跌停.某日贵州茅台每股的价格是1500元，若贵州茅台在1500元的价格上先涨停2天再跌停2天，则4天后每股的价格是______元. 【答案】1470.15 【解析】 【分析】根据题意列出关系式：()()221500110%110%×+×−，计算即可求解.【详解】依题意可知，四天后的价格为()()221500110%110%1470.15×+×−=． 故答案为：1470.1516. 设()y f x =是定义在R 上的函数，对任意的x R ∈，恒有()()2f x f x x +−=成立，()()22x g x f x =−，若()y f x =在(],0−∞上单调递增，且()()222f a f a a −−≥−，则实数a 的取值范围是______. 【答案】1a ≤ 【解析】【分析】由题可求，()()0g x g x +−=，又由()y f x =在(],0−∞上单调递增可知()()22x g x f x =−在(],0−∞也单增，结合()g x 为奇函数，可判断()g x 在R 上单增，再由()()222f a f a a −−≥−通过拼凑法得()()22(2)2022a a f a f a −−−−+≥，可转化为()()2g a g a −≥，即可求解【详解】由()()()()2222x x g x f x g x f x =−⇒−=−−，()()0g x g x +−=，故()g x 在R 上为奇函数，由()y f x =在(],0−∞上单调递增⇒()()22x g x f x =−在(],0−∞也单增，故()g x 在R 上单增，()()()()22(2)2222022a a f a f a a f a f a −−−≥−⇔−−−+≥，即()()2g a g a −≥，2a a −≥，解得1a ≤ 故答案为：1a ≤【点睛】本题考查由奇偶性和增减性解不等式，能够通过()f x 对应表达式推导出()g x 为奇函数，并能判断()g x 为增函数是解题关键，解题过程不易考虑到这两步转化，属于难题四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.）17. （1）计算()120.52312220.0154−−+×−；（2）若实数a 满足11223a a −+=，求1a a −+值. 【答案】（1）1615；（2）7 【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算性质求解即可； （2）利用完全平方公式及指数幂的运算性质求解即可.【详解】（1）()()11021220.522231132220.0110.15442−−−+×−=+×−11310.142−=+×−12114310=+×−1615=.的（2）将11223a a −+=两边平方，可得129a a −++=，解得17a a −+=. 18. 已知函数()4f x x x=+. （1）证明：()f x 在[)2,+∞上为增函数；（2）求()f x 在[]1,4上值域.【答案】（1）证明见详解（2）[4,5].【解析】【分析】（1）利用函数单调性的定义证明即可；（2）考查函数在[]1,4上的单调性，利用单调性即可求得值域.【小问1详解】任取12,[2,),x x ∈+∞且12x x <，则()()12121244()f x f x x x x x −=+−+ 1212124()x x x x x x −=−⋅， 因为12,[2,),x x ∈+∞且12x x <，所以1212124,40,0x x x x x x >−>−<，故()()120f x f x −<，即()()12f x f x <，所以()f x 在[)2,+∞上为增函数.【小问2详解】任取12,[1,2]x x ∈且12x x <，则()()12121244()f x f x x x x x −=+−+ 1212124()x x x x x x −=−⋅， 因为12,[1,2]x x ∈且12x x <，的所以1212120,40,0x x x x x x >−<−<，故()()120f x f x −>，即()()12f x f x >，所以()f x 在[1,2]上为减函数，又由（1）知，()f x 在[2,4]上为增函数，所以()min (2)4f x f ==，又(1)5,(4)5f f ==， 所以()f x 在[]1,4上的值域为[4,5].19. 在①A B B ∪=；②“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件；③A B ∩=∅这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题. 问题：已知集合{}{}121,13A x a x a B x x =−≤≤+=−≤≤.（1）当2a =时，求A B ∪；()R A B（2）若_______，求实数a 的取值范围.【答案】（1）{}15A B x x ∪=−≤≤，{}35R A B x x ∩=<≤ （2）答案见解析【解析】【分析】（1）代入2a =，然后根据交、并、补集进行计算.（2）选①，可知A B ⊆，分A =∅，A ≠∅计算；选②可知A B ，分A =∅，A ≠∅计算即可；选③，分A =∅，A ≠∅计算. 【小问1详解】当2a =时，集合{}{}15,13A x x B x x =≤≤=−≤≤， 所以{}15A B x x ∪=−≤≤；{}35R A Bx x ∩=<≤ 【小问2详解】若选择①A B B ∪=，则A B ⊆，当A =∅时，121a a −>+解得2a <−当A ≠∅时，又A B ⊆，{|13}Bx x =−≤≤， 所以12111213a a a a −≤+ −≥− +≤，解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1−∞−∪.若选择②，“x A ∈“是“x B ∈”的充分不必要条件，则A B ，当A =∅时，121a a −>+解得2a <−当A ≠∅时，又A B ，{|13}Bx x =−≤≤， 12111213a a a a −≤+ −≥− +< 或12111213a a a a −≤+ −>− +≤解得01a ≤≤，所以实数a 的取值范围是)([],10,1−∞−∪.若选择③，A B ∩=∅，当A =∅时，121a a −>+解得2a <−当A ≠∅又A B ∩=∅ 则12113211a a a a −≤+−>+<− 或解得2a <− 所以实数a 的取值范围是()(),24,−∞−+∞ .20. 设函数()()22R x x f x a a −=⋅−∈.（1）若函数()y f x =为奇函数，求方程()302f x +=的实根； （2）若函数()()42x x h x f x −=++在[]0,1x ∈上的最大值为2−，求实数a 的值. 【答案】（1）1−（2）3−【解析】 【分析】（1）由奇函数概念得1a =，把方程()302f x +=化为()2223022x x +⋅=−求解即可； （2）设2x t =，函数()h x 的最大值问题化为()H t 的最大值问题，然后分类讨论求得最小值，列方程求解即可.【小问1详解】因为函数()22x x f x a −=⋅−为奇函数，所以()()f x f x −=−即()2222x x x x a a −−⋅−=−⋅−， 所以()()1220x x a −−⋅+=，因为220x x −+≠，所以10a −=，即1a =，所以()22x x f x −=−，则方程()302f x +=即132022x x −+=，化简得()2223022x x +⋅=−，解得122x =或22=−x （舍去），所以=1x −，所以方程()302f x +=的实根为1−. 【小问2详解】()()22422x x x x h x a a =⋅+=+⋅，设2x t =，由[0,1]x ∈得[1,2]t ∈，令()()H t h x =，则()2H t t at =+，[1,2]t ∈，函数()2H t t at =+的对称轴为2a t =−， 当322a −≤即3a ≥−时，()()2max 2222H t H a ==+=−，所以3a =−； 当322a −>即3a <−时，()()2max 112H t H a ==+=−，所以3a =−，不合题意舍去； 综上，实数a 的值为3−.21. 美国对中国芯片的技术封锁激发了中国“芯”的研究热潮.某公司研发的A ，B 两种芯片都已经获得成功.该公司研发芯片已经耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为(0)a y kx x =>，其图像如图所示.（1）试分别求出生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式； （2）现在公司准备投入40千万元资金同时生产A ，B 两种芯片，求可以获得的最大利润是多少.【答案】（1）生产A ，B 两种芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式分别为0.25y x =，y = (0)x >，（2）9千万元 【解析】【分析】（1）根据待定系数法可求出函数解析式，（2）将实际问题转换成二次函数求最值的问题即可求解【详解】解：（1）因为生产A 芯片的毛收入与投入的资金成正比，所以设()0y mx m >，因为当1x =时，0.25y =，所以0.25m =，所以0.25y x =，即生产A 芯片的毛收入y （千万元）与投入资金x （千万元）的函数关系式为0.25y x =，对于生产B 芯片的，因为函数(0)a y kx x =>图像过点(1,1),(4,2)，所以142a k k = ⋅= ，解得112k a = = ，所以12y x =，即生产B 芯片的毛收入y （千万元）与投入的资金x （千万元）的函数关系为y =(0)x >，（2）设投入x 千万元生产B 芯片，则投入()40x −千万元生产A 芯片，则公司所获利用21()0.25(40)22)94f x x =−+=−−+，2=，即4x =千万元时，公司所获利润最大，最大利润为9千万元22. 若函数()y f x =自变量的取值区间为[],a b 时，函数值的取值区间恰为22,b a，就称区间[],a b 为()y f x =的一个“和谐区间”.已知函数()g x 是定义在R 上的奇函数，当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+. ()1求()g x 的解析式；()2求函数()g x 在()0,∞+内的“和谐区间”；()3若以函数()g x 在定义域内所有“和谐区间”上的图像作为函数()y h x =的图像，是否存在实数m ，使集合()(){}(){}2,|,|x y y h x x y y x m =∩=+恰含有2个元素.若存在，求出实数m 的取值集合；若不存在，说明理由.【答案】()1()3,00,03,0x x g x x x x −−< ==−+>；()2[]1,2；()3存在，{}3−. 【解析】【分析】()1利用函数奇偶性的性质写出()g x 的解析式；()2根据“和谐区间”的定义写出函数()g x 在()0,∞+内的“和谐区间”；()3设[],a b 为()g x 的一个“和谐区间”，则22a bb a< < ，即 a ，b 同号，结合分类讨论得出结果.【详解】解：()1 ()g x 为R 上的奇函数，∴()00g =又当()0,x ∈+∞时，()3g x x =−+， ∴当(),0x ∈−∞时，()()()33g x g x x x =−−=−+=−−； ∴()3,00,03,0x x g x x x x −−< ==−+>； ()2设0a b <<， ()g x 在()0,∞+上单调递减，()()2323g b b b g a a a ==−+ ∴ ==−+，即a ，b 是方程23x x =−+的两个不相等的正根. 0a b << ∴12a b = = ∴()g x 在()0,∞+内的“和谐区间”为[]1,2. ()3设[],a b 为()g x 的一个“和谐区间”，则22a bb a< < ，∴a ，b 同号. 当0a b <<时，同理可求()g x 在(),0∞−内的“和谐区间”为[]2,1−−.()[][]3,1,23,2,1x x h x x x −+∈ ∴= −−∈−−依题意，抛物线2y x m =+与函数()h x 的图象有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限.因此，m 应当使方程23x m x +=−+在[]1,2内恰有一个实数根，并且使方程23x m x +=−−，在[]2,1−−内恰有一个实数根.由方程23x m x +=−+，即230x x m ++−=在[]1,2内恰有一根，令()23F x x x m =++−，则()()110230F m F m =−≤ =+≥ ，解得31m −≤≤； 由方程23x m x +=−−，即230x x m +++=在[]2,1−−内恰有一根，令()23G x x x m =+++，则()()130250G m G m −=+≤ −=+≥ ，解得53m −≤≤−.综上所述，实数m的取值集合为{}3−.【点睛】本题考查函数的性质，考查分类讨论思想，方程的应用，难度大，属于难题.。
