一次方程式组之解法及矩阵列运算

Chapter 1作業研究之基礎數學概論例1 解 (1)657x y ⎧⎨-=⎩；(2)231x y ⎧⎨+=-⎩；(3) 328x y ⎧⎨-=⎩；(4) 2840x y ⎧⎨+-=⎩例2 有一件工作，若A 、B 兩部機器同時使用，則12小時可完成這件工作，若先讓A機器工作4小時，剩下工作由B 機器去做24小時可完工，問A 、B 各獨做須幾小時可完成。

答：A 需20時，B 需30時類：某船順流航行80公里，逆流航行42公里共用7小時，另一次在相同之水流速與船速下順流航行40公里，逆流航行70公里，亦用7小時，求船速及水速。

答：船速17公里／小時，水速3公里／小時例3 解(1)⎪⎩⎪⎨⎧=--+=-++52yx )y x (315y x 2y x ；(2)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+0y49x 33y21x 31答：2010(,)1717；11(,)34例4 若下列A 、B 二元一次方程組解相同，求a 、b 。

(1)A ：⎩⎨⎧=-=+4y 2x 529y 7x 4，B ：⎩⎨⎧=-=+26by 4ax 34by ax(2)A ：⎩⎨⎧=+=+7y 2x 311by ax ，B ： ⎩⎨⎧=-=-1y 2x 55by 2ax 7答： (3 ,23-)；(3 , 4)例5 試就k 的值討論方程組(1)44(2)1k x y x k y ++=⎧⎨+-=⎩之解。

答：k =2-無解，k ≠3,2-恰一組解，k =3無限多組解類：試就a 的值討論方程組⎩⎨⎧--=++=--2a y )1a 2(x 3a2y 2x )3a ( 之解。

答： a = 1無限多組解，a =32無解，a ≠ 1、32時恰一解。

例6 (1)若⎩⎨⎧=++-=++01my x )1m 2(0m y 4mx 3表同一直線，求m 之值。

(m 為實數)(2)若⎩⎨⎧=+=-0y 3x 20by ax 有異於(0 , 0)以外之解，求a , b 之關係。

一元一次方程组的概念与解法一、概念在数学中，一元一次方程是指只含有一个未知数，并且该未知数的最高次幂为1的方程。

而一元一次方程组则是由若干个一元一次方程组成的方程组。

一元一次方程组的一般形式如下：a₁x + b₁y = c₁a₂x + b₂y = c₂其中，a₁、a₂、b₁、b₂、c₁、c₂为已知系数，x和y为未知数。

二、求解方法为了求解一元一次方程组，我们可以使用以下两种方法：1. 等价变换法通过等价变换，即对方程组进行加减乘除等运算，将一元一次方程组转化为更简单的形式，从而得到解。

（例1）考虑如下一元一次方程组：2x + 3y = 74x - y = 1首先，我们可以通过倍乘第二个方程，得到其系数与第一个方程相等的结果：2x + 3y = 78x - 2y = 2然后，我们可以将第二个方程加到第一个方程上，消去y的项： 2x + 3y + 8x - 2y = 7 + 210x + y = 9接着，我们通过等式变换将y的系数变为1，然后解得x的值： y = 9 - 10x10x + (9 - 10x) = 99 = 9最后，将x的值代入一元一次方程中，求解得到y的值：2x + 3y = 72(1) + 3y = 73y = 5y = 5/3因此，该一元一次方程组的解为 x = 1，y = 5/3。

2. 代入法通过将一个方程的解代入另一个方程，逐步消去未知数，最终求得解的方法。

（例2）考虑如下一元一次方程组：x - 2y = 13x + 4y = 14首先，可以通过第一个方程解得x的值：x = 1 + 2y (式1)接着，将式1代入第二个方程，得到：3(1 + 2y) + 4y = 143 + 6y + 4y = 1410y = 11y = 11/10最后，将y的值代入一元一次方程中，求解得到x的值：x = 1 + 2(11/10)x = 32/10因此，该一元一次方程组的解为 x = 16/5，y = 11/10。

Excel解多元一次方程组的几种方法本文列出了在Excel中解多元一次方程组的三种方法：矩阵解法、用克莱姆法则和用规划求解的方法，供参考。

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方法一：矩阵解法原理：对于由n个未知数，n个方程组成的多元一次方程组：写成矩阵形式为Ax=b，其中A为系数n*n方阵，x为n个变量构成列向量，b为n个常数项构成列向量。

当它的系数矩阵可逆，或者说对应的行列式|A|不等于0的时候，由Ax=b可得：x=b*A^(-1) ，A^(-1)为A的逆矩阵。

利用Excel提供的MDETERM、MINVERSE和MMULT等函数即可求解多元一次方程组。

MDETERM函数返回一个数组的矩阵行列式的值，可用其判断矩阵是否可逆；MINVERSE函数返回矩阵的逆矩阵；MMULT函数返回两个数组的矩阵乘积。

有关MMULT函数的用法可参考《用公式进行多条件求和》一文中的方法三。

示例及步骤：假如在Excel的A2:N5区域中以下图方法输入了一个四元一次方程组。

在P2:S5区域用公式得到其系数矩阵，T2:T5的返回值为常数项向量。

如P2单元格中的公式为：=OFFSET($B$1,ROW(A1),COLUMN(A1)*3-3)*IF(OFFSET($A$1,ROW(A1),CO LUMN(A1)*3-3)="-",-1,1)由于“=MDETERM(P2:S5)”的值不等于“0”，可知系数矩阵可逆。

选择某列中的四个连续单元格，如Q11:Q14，输入数组公式：=MMULT(MINVERSE(P2:S5),T2:T5)公式输入完毕按Ctrl+Shift+Enter结束，即可在Q11:Q14得到方程组的解。

方法二：用克莱姆法则原理：参考克莱姆法则。

示例及步骤：对于上述四元一次方程组，复制P2:S5区域，将其粘贴到其他区域，如本例有4个未知数，用“选择性粘贴——粘贴链接”的方法将其粘贴到4个不同的区域。

第三章 一次方程组系数矩阵及增广矩阵：将一次方程组的系数依序列出来的矩阵，称为该方程组的系数矩阵。

将其系数及常数项依序列出来的矩阵，称为该方程组的增广矩阵。

若一次方程组有m 个方程式且有n 个未知元，则其系数矩阵之阶数为m ⨯ n ， 其增广矩阵之阶数为m ⨯ (n + 1)。

例：⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+--=+24122352z y x z y x z x ，系数矩阵为A 3 ⨯ 3 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--141223102， 增广矩阵为B 3 ⨯ 4 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----214112235102。

矩阵的基本列运算：将矩阵的某一列乘以某一数后加到另一列。

将矩阵的某一列乘以一个不为0的数。

将矩阵中的某二列互换位置。

解：将(3, -1, 2)代入a 1x + b 1y + c 1z = d 1⇒ 3a 1 – b 1 + 2c 1 = d 1 ⇒ 12a 1 – 4b 1 + 8c 1 = 4d 1………..…2a 1x + b 1y - 3c 1z = 4d 1 ⇒ (2x )a 1 + yb 1 + (-3z )c 1 = 4d 1……比较 , 系数得 x = 6，y = -4，z =38- ∴(x , y , z ) = (6, -4,38-)。

解： ⨯ (-2) + ， ⨯ (-2) + 得⎪⎩⎪⎨⎧'-=--'-=--'=++ .........112.......1533......1322z y z y z y x ， ÷' (-3) ⨯ (-2) + '，÷' (-3) + ' 得⎪⎩⎪⎨⎧''-=-''=+''= .......6......5............3z z y x ， ''+''， ''⨯ (-1) 得x = 3，y = -1，z = 6 ∴(x , y , z ) = (3, -1, 6)。