2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 复数z＝(2−i)2在复平面内对应的点所在的象限是（）A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2. 已知双曲线x24−y2b2=1(b>0)离心率是√52，那么b等于（）A 1B 2C √5D 2√53. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过M，N，C1的截面截正方体所得的几何体，如图所示，那么该几何体的侧视图是（）A B C D4. 设a＝−1，b＝21og3m，那么“a＝b”是“m=√33”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条件D 既不充分也不必要条件5. 已知函数f(x)={2x，x>0−2−x，x<0那么该函数是（）A 奇函数，且在定义域内单调递减B 奇函数，且在定义域内单调递增C 非奇非偶函数，且在(0, +∞)上单调递增D 偶函数，且在(0, +∞)上单调递增6. 将函数f(x)=cos(x+π3)的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可能是（）A x=π3 B x=−π6C x=−π3D x=−2π37. 李江同学在某商场运动品专柜买一件运动服，获100元的代金券一张，此代金券可以用于购买指定的价格分别为18元、30元、39元的3款运动袜，规定代金券必须一次性用完，且剩余额不能兑换成现金．李江同学不想再添现金，使代金券的利用率超过95%，不同的选择方式的种数是（）A 3B 4C 5D 68. 已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，若存在实数t，使得f(x+ t)+tf(x)=0对任意x都成立，则称f(x)是“回旋函数”．给下列四个命题：①函数f(x)=x+1不是“回旋函数”；②函数f(x)=x2是“回旋函数”；③若函数f(x)=a x(a>1)是“回旋函数”，则t<0；④若函数f(x)是t=2时的“回旋函数”，则f(x)在[0, 4030]上至少有2015个零点．其中为真命题的个数是（）A 1B 2C 3D 4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上． 9. 已知集合A ={1, 2, 3, 4}，B ={1, 3, m}，且B ⊆A ，那么实数m =________．10. 已知数列{a n }中，a 2=2，a n+1−2a n =0，那么数列{a n }的前6项和是________． 11. 已知某程序框图如图所示，那么执行该程序后输出的结果是________．12. 如图，已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PC 过圆心O ，且与圆O 交于B ，C 两点，过C 点作CD ⊥PA ，垂足为D ，PA =4，BC =6，那么CD =________．13. 11位数的手机号码，前七位是1581870，如果后四位只能从数字1，3，7中选取，且每个数字至少出现一次，那么存在1与3相邻的手机号码的个数是________．14. 如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =90∘，∠ADC =120∘，AD =DC =2，AB =4，动点M 在△BCD 内（含边界）运动，设AM →=λAB →+μAD →，则λ+μ的取值范围是________．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15. 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知c =5，B =2π3，△ABC 的面积是15√34． （1）求b 的值；（2）求cos2A 的值．16. 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：中各随机选取2人，进行跟踪调查．(Ⅰ)求年龄在[25, 30)的被调查者中选取的2人都是赞成的概率； (Ⅱ)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；(Ⅲ)若选中的4人中，不赞成的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17.如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ，且∠A 1AC =π3，点O 为AC 的中点．（1）求证：AC ⊥平面A 1OB ；（2）求二面角B 1−AC −B 的余弦值；（3）若点B 关于AC 的对称点是D ，在直线A 1A 上是否存在点P ，使DP // 平面AB 1C ．若存在，请确定点P 的位置；若不存在，请说明理由．18. 已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点是F(−1, 0)，上顶点是B ，且|BF|=2，直线y =k(x +1)与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若在x 轴上存在点P ，使得PM →⋅PN →与k 的取值无关，求点P 的坐标． 19. 已知函数f(x)=ae −x −x +1，a ∈R ．（1）当a =1时，求曲线y =f(x)在（0, f(0)）处的切线方程； （2）若对任意x ∈(0, +∞)，f(x)<0恒成立，求a 的取值范围； （3）当x ∈(0, +∞)时，求证：2e −x −2<12x 2−x ．20. 设函数f(x)=xm(x+2)，方程f(x)=x 有唯一解，数列{a n }满足f(a n )=a n+1(n ∈N ∗)，且f(1)=23数列{b n }满足b n =4−3a n a n(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{1a n}是等差数列； （2）数列{c n }满足c n =1b n ⋅b n+1(n ∈N ∗)，其前n 项和为S n ，若存在n ∈N ∗，使kS n =12n +4(k ∈R)成立，求k 的最小值； （3）若对任意n ∈N ∗，使不等式t(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)≤√2n+1成立，求实数t 的最大值．2015年北京市通州区高考数学一模试卷（理科）答案1. D2. A3. B4. C5. B6. D7. A8. C9. 2或4 10. 63 11. 0 12. 24513. 16 14. [1, √34+32]15. 解：（1）因为△ABC 的面积是15√34，c =5，B =2π3，所以12acsinB =15√34，即12a ⋅5⋅√32=15√34，求得a =3．由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB ，得b 2=25+9−2×5×3×cos 2π3=49，求得b =7．（2）由正弦定理asinA =bsinB ，可得sinA =37×√32=3√314，∴ cos2A =1−2sin 2A =1−2×(3√314)2=7198．16. （1） 设“年龄在[25, 30)的被调查者中选取的2人都是赞成”为事件A ， 所以P(A)=C 32C 52=310．（2） 设“选中的4人中，至少有3人赞成”为事件B ， 所以P(B)=C 32C21C11C 52C32+C 31C21C22C 52C32+C32C22C 52C32=12．(Ⅲ)X 的可能取值为0，1，2，3． 所以P(X =0)=C32C22C 52C32=110，P(X =1)=C 31C21C22+C 32C21C11C 52C32=25，P(X =2)=C 22C22+C 31C21C21C11C 52C32=1330，P(X =3)=C 22C21C11C 52C32=115．所以X 的分布列是所以EX ＝0×110+1×25+2×1330+3×115=2215．17.（1）证明：连结A 1C ，因为AC =AA 1，∠A 1AC =π3，AB =BC ，点O 为AC 的中点，所以A 1O ⊥AC ，BO ⊥AC ． 因为A 1O ∩BO =O ， 所以AC ⊥平面A 1OB ．…（2）解：因为侧面A 1ACC 1⊥底面ABC ， 所以A 1O ⊥平面ABC ．所以A 1O ⊥BO ．…所以以O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OA 1为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 所以A(0, −1, 0)，B(√3，0，0)，C(0, 1, 0)，A 1(0,0,√3)，B 1(√3,1,√3)， 所以AA 1→=(0,1,√3)，AB 1→=(√3,2,√3)，AC →=(0,2,0)．设平面AB 1C 的法向量为n →=(x,y,z)，所以{n →⋅AC →˙即{√3x +2y +√3z =02y =0.所以n →=(−1,0,1)．…因为平面ABC 的法向量为A 1O →=(0,0,√3)， 所以<cos⟨AA 1→，n >=√3⋅=√22． 所以二面角B 1−AC −B 的余弦值是√22．… （3）解：存在．因为点B 关于AC 的对称点是D ，所以点D(−√3，0，0)．…假设在直线A 1A 上存在点P 符合题意，则点P 的坐标设为(x, y, z)，AP →=λAA 1→． 所以AP →=(x,y +1,z)．所以P(0,λ−1,√3λ)． 所以DP →=(√3,λ−1,√3λ)．…因为DP // 平面AB 1C ，平面AB 1C 的法向量为n →=(−1,0,1)， 所以由DP →⋅n →=0，得−√3+√3λ=0．所以λ=1．…所以在直线A 1A 上存在点P ，使DP // 平面AB 1C ，且点P 恰为A 1点．… 18. 解：（1）∵ 椭圆C 的左焦点是F(−1, 0)，且|BF|=2， ∴ c =1，a =2．由a 2=b 2+c 2，得b 2=3．∴ 椭圆C 的标准方程是x 24+y 23=1．（2）∵ 直线y =k(x +1)与椭圆C 相交于M ，N 两点，联立方程组{y =k(x +1)x 24+y 23=1消去y ，得(3+4k 2)x 2+8k 2x +4k 2−12=0．∴ △=144k 2+144>0．设点M(x 1, y 1)，N(x 2, y 2)，P(x 0, 0)， ∴ x 1+x 2=−8k 23+4k 2，x 1⋅x 2=4k 2−123+4k 2．∴ PM →⋅PN →=(x 1−x 0,y 1)⋅(x 2−x 0,y 2) =(x 1−x 0)•(x 2−x 0)+y 1y 2=x 1⋅x 2−x 0(x 1+x 2)+x 02+k 2(x 1+1)(x 2+1)=(1+k 2)x 1⋅x 2+(k 2−x 0)(x 1+x 2)+k 2+x 02=(1+k 2)⋅4k 2−123+4k 2+(k 2−x 0)⋅−8k 23+4k2+k 2+x 02 =4k 2−12+4k 4−12k 2−8k 4+8x 0k 2+3k 2+4k 43+4k 2+x 02=(8x 0−5)k 2−123+4k 2+x 02，∵ PM →⋅PN →与k 的取值无关， ∴8x 0−5−12=43．∴ x 0=−118． ∴ 点P 的坐标是(−118，0)．19. 解：（1）因为f(x)=ae −x −x +1，a =1，所以f(x)=e −x −x +1．所以f ′(x)=−e −x −1． 所以f(0)=2，f ′(0)=−2．所以切线方程是y −2=−2x ，即2x +y −2=0． （2）由f(x)<0可得ae −x −x +1<0． 所以a <(x −1)e x ．令g(x)=(x −1)e x ．所以g ′(x)=xe x >0． 所以g(x)在(0, +∞)上单调递增． 所以−1<g(x)<0．所以a ≤−1． （3）令ℎ(x)=2e −x −2−12x 2+x ．所以ℎ′(x)=−2e −x −x 2+1．…由（2）可知，当a =−2时，f(x)=−2e −x −x +1<0． 所以ℎ′(x)<0．所以ℎ(x)在(0, +∞)上单调递减．所以ℎ(x)<ℎ(0)=0． 所以2e −x −2<12x 2−x ．20. 解：（1）∵ f(x)=xm(x+2)，方程f(x)=x 有唯一解，∴ xm(x+2)=x ，即mx 2+(2m −1)x =0(m ≠0)有唯一解． ∴ △=4m 2−4m +1=0．所以m =12， ∴ f(x)=2xx+2，∴ f(a n )=2a nan +2=a n+1，∴ a n a n+1+2a n+1−2a n =0， ∴ 1+2a n−2an+1=0，∴1a n+1−1a n=12，∵ f(a 1)=23，∴ 2a 1a1+2=23，解得a 1=1． 所以数列{1a n}首项为1，公差为12的等差数列； （2） 由（1）得 1a n=12n +12，∴ a n =2n+1．∵ b n =4−3a n a n ，∴ b n =2n −1，∴ c n =1bn ⋅b n+1=1(2n−1)(2n+1)=12(12n−1−12n+1)，∴ S n =12(1−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=12(1−12n+1)=n2n+1， ∵ kS n =12n +4，∴ k =n 2+172n+4n=n +4n +172，所以k ≥4+172=252，当且仅当n =4n ，即n =2时等号成立． 所以k 的最小值是252； （3）∵ t(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)≤√2n+1，∴ t ≤(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)√2n+1． 令g(n)=(1b 1+1)(1b 2+1)…(1b n+1)√2n+1，∵ 1b n+1=12n−1+1=2n2n−1>0，∴ g(n)>0，∴g(n+1)g(n)=(1b n+1+1)√2n+1√2n+3=√4n 2+8+3=√4(n+1)2−1>1，∴ g(n)是递增数列，从而g(n)≥g(1)=2√33，∴ t ≤2√33． 所以t 的最大值是2√33．。
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排列组合二项式
(2015届西城二模)13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）答案：288
(2015届海淀二模
)
答案：14
(2015届东城二模)
（9）
若1)n
x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项
为 ．（用数字作答）答案：6，15
(2015届昌平二模) 13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）答案：36。
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排列组合二项式
(2015届西城二模)13．现有6 人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有 种．（用数字作答）答案：288
(2015届海淀二模
)
答案：14
(2015届东城二模)
（9）
若1)n
x 的二项展开式中各项的二项式系数的和是64，则n = ，展开式中的常数项
为 ．（用数字作答）答案：6，15
(2015届昌平二模) 13. 某班举行联欢会由5个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须和节目乙相邻，且节目甲不能排在第一个和最后一个，则该班联欢会节目演出顺序的编排方案共有___________种.（用数字作答）答案：36。
