专题02 数轴上的三种动点问题数轴的动点问题，无论在平时练习，还是月考，期中期末考试中属于压轴题的版块，其过程复杂，情况多变。
那么，本专题对其中常考的三种题型（求时间、求距离或者对应点、定值问题）做出详细分析与梳理。
【知识点梳理】1.数轴上两点间的距离数轴上A 、B 两点表示的数为分别为a 、b ，则A 与B 间的距离AB=|a －b|；2.数轴上点移动规律数轴上点向右移动则数变大（增加），向左移动数变小（减小）；当数a 表示的点向右移动b 个单位长度后到达点表示的数为a+b ；向左移动b 个单位长度后到达点表示的数为a －b.类型一、求时间例1．如图在数轴上A 点表示数a ，B 点表示数b ，a 、b 满足|a +2|+|b ﹣8|＝0（1）点A 表示的数为 ；点B 表示的数为 ；（2）若在原点O 处放一挡板，一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后（忽略球的大小，可看作一点）以原来的速度向相反的方向运动，设运动的时间为t （秒），①当t ＝1时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；当t ＝5时，甲小球到原点的距离＝ ；乙小球到原点的距离＝ ；②试探究：甲，乙两小球到原点的距离可能相等吗？若不能，请说明理由．若能，请直接写出甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间．【答案】（1）-2，8；（2）①3，6；7，2；②可能，2秒或10秒【分析】（1）根据绝对值的非负性求解即可；（2）①首先求出甲、乙两球运动的路程，再根据它的初始位置求解即可；②分两种情况：乙球碰到挡板前和乙球碰到挡板后，分别建立方程求解即可．【详解】（1）∵|a +2|+|b ﹣8|＝0，20,80a b \+=-=， 2,8a b \=-=，∴点A 表示的数为-2；点B 表示的数为8；（2）∵一小球甲从点A 处以1个单位/秒的速度向左运动；同时另一小球乙从点B 处以2个单位/秒的速度也向左运动，∴当t ＝1时，甲小球运动的路程为111´=个单位，乙小球运动的路程为122´=个单位，∴当t ＝1时，甲小球到原点的距离为2133--=-=；乙小球到原点的距离为826-=；同理，当t ＝5时，甲小球运动的路程为155´=个单位，乙小球运动的路程为2510´=个单位，此时乙小球会碰到挡板而向相反的方向运动，∴当t ＝5时，甲小球到原点的距离为2577--=-=；乙小球到原点的距离为1082-=；②∵点B 表示的数为8，乙小球的速度为2个单位/秒，∴乙小球碰到挡板所用的时间为824¸=（秒），当运动时间小于等于4秒时，282t t +=-，解得2t =；当运动时间大于4秒时，228t t +=-，解得10t =，∴甲，乙两小球到原点的距离可能相等，甲，乙两小球到原点的距离相等时经历的时间为2秒或10秒．【变式训练1】如图，有两条线段，2AB =（单位长度），1CD =（单位长度）在数轴上，点A 在数轴上表示的数是-12，点D 在数轴上表示的数是15．（1）点B 在数轴上表示的数是______，点C 在数轴上表示的数是______，线段BC 的长=______；（2）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度秒的速度向左匀速运动．当点B 与C 重合时，点B 与点C 在数轴上表示的数是多少？（3）若线段AB 以1个单位长度秒的速度向左匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度也向左匀速运动．设运动时间为t 秒，当t 为何值时，点B 与点C 之间的距离为1个单位长度？【答案】-10，14，24；(2) -2；(3) t =233或253【分析】(1)根据AB 、CD 的长度结合点A 、D 在数轴上表示的数，即可求出点B 、C 在数轴上表示的数，再根据两点间的距离公式求出线段BC 的长度；(2)设相遇时间为a,分别用a 表示出相遇时B 、C 两点所表示的数,让其相等即可求出;(3) 分线段AB 与线段CD 在相遇之前与相遇之后两种情况，利用两点间的距离公式结合BC =1，得出关于t 的的一元一次方程，解之即可得出结论；【详解】（1）∵AB =2，点A 在数轴上表示的数是-12，∴点B 在数轴上表示的数是-12+2=-10；∵CD =1，点D 在数轴上表示的数是15，∴点C 在数轴上表示的数是15-1=14．∴BC =14-（-10）=24．故答案为：-10，14，24；（2）设运动时间为a 秒时B 、C 相遇，此时点B 在数轴上表示的数为-10+a ，点C 在数轴上表示的数为14-2a∵B 、C 重合，∴-10+a =14-2a ，解得a =8此时点B 与点C 在数轴上表示的数是-10+a =-10+8=-2；故答案为：-2(3)当运动时间为t 秒时，点B 在数轴上表示的数为-10+t ，点C 在数轴上表示的数为14-2t∴BC =10(142)t t -+--=324t -∵BC =1，∴324t -=1，∴t 1=233，t 2=253，综上所述：当BC =1时，t =233或253；【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，数轴等知识，解题的关键是：根据点与点之间的位置关系求出点B 、C 在数轴上表示的数．【变式训练2】如图，A ，B 两点在数轴上对应的数分别为a ，b ，且点A 在点B 的左侧，|a |＝10，a ＋b ＝60，ab ＜0．（1）求出a ，b 的值；（2）现有一只蚂蚁P 从点A 出发，以每秒4个单位长度的速度向右运动，同时另一只蚂蚁Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．①两只蚂蚁经过多长时间相遇？②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，求点C 对应的数；③经过多长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度？【答案】（1）a ＝﹣10，b ＝70；（2）①两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②点C 对应的数为150；③经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【分析】（1）根据两个数乘积小于0说明两数异号即可求解；（2）①根据相遇问题列一元一次方程即可求解；②根据路程=速度×时间，列出算式计算即可求解；③分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距30个单位长度列一元一次方程即可求解．【详解】解：（1）∵|a |＝10，∴a ＝10或﹣10，∵ab ＜0，∴a ，b 异号，∵a ＋b ＝60，当a ＝10时，b ＝50，不合题意，舍去．当a ＝﹣10时，b ＝70，符合题意．答：a ＝﹣10，b ＝70．（2）①设Q 从B 出发t 秒与P 相遇．根据题意得4t ﹣2t ＝80，解得t ＝40．故两只蚂蚁经过40秒长时间相遇；②设两只蚂蚁在数轴上的点C 处相遇，则点C 对应的数为70+40×2＝150；③根据题意，得相遇前：4t ﹣2t ＝80﹣30，解得t ＝25；相遇后：4t ﹣2t ＝80+30，解得t ＝55．故经过25秒或55秒长时间，两只蚂蚁在数轴上相距30个单位长度．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及绝对值的非负性，解题的关键是：（1）利用绝对值的非负性，求出a ，b 的值；（2）找准等量关系，分情况讨论相遇前后的距离变化正确列出一元一次方程．【变式训练3】在数轴上，点A 表示的数为a ，点B 表示的数为b ，且|a +2|+（b ﹣3）2＝0．（1）a ＝ ，b ＝ ；（2）在（1）的条件下，点A 以每秒0.5个单位长度沿数轴向左移动，点B 以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，两点同时移动，当点A 运动到﹣4所在的点处时，求A 、B 两点间距离；（3）在（2）的条件下，现A 点静止不动，B 点沿数轴向左运动时，经过多长时间A 、B 两点相距3个单位长度？【答案】（1）2,3-；（2）11；（3）经过8或14时，A 、B 两点相距3个单位长度【分析】（1）利用非负性即可求解；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，求出所需时间4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，即求出两点间距离；（3）分两种情况进行讨论，即点B 需要运动到1-或7-处．【详解】解：（1）根据绝对值与平方的非负性得，20,30a b +=-=，2,3a b \=-=，故答案是：2,3-；（2）设t 秒时，点A 运动到4-，则20.54t --=-，解得：4t =，4秒后，点B 运动到3417+´=，7(4)11\--=，即,A B 两点间的距离为11；（3）,A B Q 分别位于4,7-，要使A 、B 两点相距3个单位长度，则点B 需要运动到1-或7-处，设经过t 秒，当71t -=-，解得：8t =，当77t -=-，解得：14t =，\经过8或14秒，A 、B 两点相距3个单位长度．【点睛】本题考查了绝对值和完全平方公式的非负性、数轴上的动点问题、数轴上两点间的距离问题，解题的关键是利用数形结合的思想进行解答．类型二、求距离或对应点例.如图所示，在数轴上点A表示的数是4，点B位于点A的左侧，与点A的距离是10个单位长度．（1）点B表示的数是，并在数轴上将点B表示出来．（2）动点P从点B出发，沿着数轴的正方向以每秒2个单位长度的速度运动．经过多少秒点P与点A的距离是2个单位长度？（3）在（2）的条件下，点P出发的同时，点Q也从点A出发，沿着数轴的负方向，以1个单位每秒的速度运动．经过多少秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍？【答案】（1）-6，见解析；（2）经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【分析】（1）根据数轴上两点间的距离为10，计算后即可得到结论；（2）根据题意可由点P在A点的左侧和右侧可列方程，求解后即可得到结论；（3）根据题意列方程即可得到结论．【详解】解：（1）10-4=6，∵点B位于点A的左侧，∴点B表示的数是-6，故答案为：-6．在数轴上将点B表示如图所示：（2）设经过t秒点P与点A的距离是2个单位长度，∴当点P在A点左侧时，可得2t+2=10，则t=4，当点P在A点右侧时，可得2t-2=10，则t=6，∴经过4秒或6秒点P与点A的距离是2个单位长度；（3）设经过t秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，∴当点P在A点左侧时，可得2（10-2t）=10-t，则t=103，当点P在A点右侧时，可得2（2t-10）=|10-t|，则t=6或t=103（舍），∴经过103秒或6秒，点Q到点B的距离是点P到点A的距离的2倍．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用、数轴等知识，根据数量关系得到一元一次方程是解题的关键．【变式训练1】（知识储备）（1）数轴上点A 表示的数为a ，若向右移动m 个长度单位后表示的数是；若向左移动n 个长度单位后表示的数是 ．（2）在数轴上A 点表示数a ，B 点示数b ，A 在B 的右边，A 、B 两点间的距离等于a -b ．（解决问题）已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为﹣3、1，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x ．（1）若点P 到点A 、点B 的距离相等，求点P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10？若存在，请求出x 的值；若不存在，说明理由；（3）现在点A 、点B 分别以2个单位长度/秒和0.5个单位长度/秒的速度同时向右运动，点P 以6个单位长度/秒的速度同时从原点向左运动．当点A 与点B 之间的距离为3个单位长度时，求点P 所对应的数是多少？【答案】【知识储备】（1）a +m ；a-n ；【解决问题】（1）点P 对应的数-1；（2）存在，x 的值为4或-6；（3）点P 所对应的数是-4或-28．【详解】解：知识储备（1）根据向右移为加，向左移为减，得：a +m ；a-n ；解决问题（1）如图：∵点P 到点A 、点B 的距离相等，∴AP BP = ，∵()33AP x x =--=+ （点P 在点A 右边），1BP x =- （点B 在点P 右边），∴31x x +=- ，解得：1x =- ，∴点P 对应的数为1- .解决问题（2）如图：点P 到点A 的距离为PA ，点P 到点B 的距离为PB ，依题意：10PA PB += ，∵点P 在点A 和点B 之间时410PA PB +=¹ ，∴点P 不在点A 和点B 之间，当点P 在点A 左边时：()()313122PA PB x x x x x +=--+-=--+-=-- ，∵10PA PB +=，∴2210x --=，解得：6x =- ，当点P 在点B 右边时：()()()313122PA PB x x x x x +=--+-=++-=+ ，∵10PA PB +=，∴2210x += ，解得：4x = ．综上，存在点P ，使点P 到点A 、点B 的距离之和为10．4x =或6x =-．解决问题（3）设经过t 秒，点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，此时点A 运动到点A ¢,点B 运动到B ¢，点P 运动到P ¢ ,∴经过t 秒，2AA t ¢= ，此时A ¢的对应的数为23t - ，0.5BB t ¢= ，此时B ¢的对应的数为0.51t + ，6PP t ¢= ，此时P ¢对应的数为6t - ，∵t 秒后点A 与点B 之间的距离为3个单位长度，∴3A B ¢¢= ,当B ¢在A ¢右边时：∴()()0.5123 1.54A B t t t ¢¢=+--=-+ ，∴ 1.543t -+= ，∴23t =，∵26643t -=-´=-，∴P 所对应的数为4- ．当点A ¢在点B ¢ 右边时：∴()()230.51 1.54B A t t t ¢¢=--+=- ，∴1.543t -= ，∴143t =，∵1466283t -=-´=- ，∴P 所对应的数为28-，综上，点P 对应的数为4-或28-．【点睛】本题考查的是列代数式，数轴的定义及数轴上两点之间的距离公式，弄清题意并列式是解本题的关键．【变式训练2】我们知道，在数轴上，|a |表示数a 表示的点到原点的距离，这是绝对值的几何意义．进一步地，数轴上两个点A 、B ，分别用a ，b 表示，那么A 、B 两点之间的距离为：AB ＝|a ﹣b |．利用此结论，回答以下问题：（1）数轴上表示1和4的两点的距离是 ，数轴上表示﹣1和﹣4的两点之间的距离是 ．（2）|a ﹣1|＝2，则a ＝ ，|a ﹣1|+|a +3|＝6，则a ＝ ．（3）当|a ﹣1|+|a +3|取最小值时，此时符合条件的非负整数a 是 ．（4）如图，已知A ，B 分别为数轴上的两点，点A 表示的数是﹣30，点B 表示的数是50；现有一只蚂蚁P 从点B 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左移动，同时另一只蚂蚁Q 恰好从点A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右移动，设t 秒后两只蚂蚁相距10个单位长度，求此时点P 表示的数是多少？【答案】（1）3，3；（2）3或－1，2或－4；（3）0和1；（4）8或－4．【分析】（1）利用两点之间的距离公式列式计算即可；（2）利用绝对值定义知12a -=±，分别求解即可，由136a a -++=，分3a £-和1a ³两种情况进行讨论即可求出答案；（3）13a a -++表示数轴到表示1和表示3-的点的距离之和，由两点之间线段最短可知：当31a -££时，13a a -++有最小值，最小值为4，即可得符合条件的非负整数a 的值 ；（4）分情况讨论：相遇前两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10---，相遇后两只蚂蚁所走总路程等于50(30)10--+，求出所用时间t ，在进行求解即可．【详解】解：（1）数轴上表示1和4的两点的距离为143-=，数轴上表示1-和4-的两点之间的距离为1(4)3---=；（2）∵1=2a -，∴12a -=±，∴3a =或1a =-，即a 为3或1-；∵136a a -++=，∴当3a £-时，136a a ---=，4a =-，当1a ³时，136a a -++=，2a =，∴a 为2或4-；（3）当a 在数轴上表示1和3-之间时，此时13a a -++的最小值为4，此时31a -££，∴符合条件的非负整数a 是0和1；（4）①相遇前两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=---，解得：14t =，∴501438-´=，∴点P 表示的数是8；②相遇后两只蚂蚁相距10个单位长度时，得：3250(30)10t t +=--+，解得：18t =；∴501834-´=-，∴点P 表示的数是4-；综上所述：此时点P 表示的数是8或4-；【点睛】此题考查了数轴，涉及绝对值、解方程的知识点，解题的关键是对绝对值意义的掌握．类型三、求定值例.已知若数轴上点A 、点B 表示的数分别为,a b ，则AB a b =-∣∣，线段AB 的中点表示的数为2a b +．如图，数轴上点A 表示的数为2-，点B 表示的数为8，点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q 从点B 出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >．（1）填空：①,A B 两点间的距离AB =______，线段AB 的中点表示的数为_____；②用含t 的代数式表示：t 秒后，点P 表示的数为_______；点Q 表示的数为______．（2）求当t 为何值时，,P Q 两点相遇，并写出相遇点所表示的数．（3）若点M 为PA 的中点，点N 为PB 的中点，点P 在运动过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段MN 的长．【答案】（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【解析】（1）①AB =8-（-2）=10，AB 中点为282-+=3，故答案为：10，3；②t 秒后，点P 表示的数为-2+3t ，点Q 表示的数为8-2t ，故答案为：-2+3t ，8-2t ；（2）∵当P 、Q 两点相遇时，P 、Q 表示的数相等∴-2+3t =8-2t ，解得：t =2，∴当t =2时，P 、Q 相遇，此时，-2+3t =-2+3×2=4，∴相遇点表示的数为4；（3）∵点M 表示的数为()2233222t t -+-+=-，点N 表示的数为()8233322t t +-+=+，∴MN =333222t t æö+--ç÷èø=5．故答案为：（1）①10，3；②-2+3t ，8-2t ；（2）t =2，4；（3）5【变式训练1】如图，数轴上原点为O ，A ，B 是数轴上的两点，点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，且a ，b 满足2(2)40a b -++＝，动点M ，N 同时从A ，B 出发，分别以1个单位/秒和3个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，设运动时间为x 秒（x ＞0）．（1）A 、B 两点间的距离是 ；动点M 对应的数是 （用含x 的代数式表示）；动点N 对应的数是 ；（用含x 的代数式表示）（2）几秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ？（3）若M ，N 开始运动的同时，R 从﹣1出发以2个单位/秒的速度沿着数轴正方向运动，当R 与M 不重合时，求MB NB RM-的值．【答案】（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【解析】（1）∵a ，b 满足2(2)40a b -++＝，∴a ﹣2＝0，b +4＝0，∴a ＝2，b ＝﹣4，∵点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，AB ＝2﹣（﹣4）＝6．当运动时间为x 秒时，动点M 对应的数是x +2，动点N 对应的数是3x ﹣4．故答案为：6；x +2；3x ﹣4．（2）由（1）中M ，N 所对的数得OM ＝x +2，ON ＝3x ﹣4，∵3OM ＝2ON ， ∴|32|(2)34x x+＝﹣，①3（2+x ）＝2（3x ﹣4），解得x ＝143；②3（2+x ）＝﹣2（3x ﹣4），解得x ＝29；综上，143或29秒后，线段OM 与线段ON 恰好满足3OM ＝2ON ；（3）由题意得动点R 所对的数为﹣1+2x ，|12)((|3||2)RM x x x +-+--＝＝，(2)(4)6MB x x =+--=+，(43)(4)3NB x x =-+--=， ∴MB ﹣NB ＝6+x ﹣3x ＝6﹣2x ，∵2+x ＝﹣4+3x ，解得x ＝3，∴M 与N 相遇时时间为3s ，N 与M 相遇前，x ＜3s 时，62|3|MB NB x RM x --=-＝623x x--＝2，N 与M 相遇后，x ＞3s 时，MB NB RM -＝62|3|x x --＝623x x --＝﹣2，综上所述MB NB RM-的值为2或﹣2．故答案为：（1）6，2x +，34x -；（2）143秒或29秒；（3）2或 2.-【变式训练2】已知：b 是最小的正整数，且a 、b 满足()250c a b -++=，请回答问题：（1）请直接写出a 、b 、c 的值：a = ，b = ，c = ．（2）在（1）的条件下数a ，b ，c 分别在数轴上对应的点A ，C 有两只电子蚂蚁甲、乙分别从A ，C 两点同时出发相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为4个单位/秒点，当两只电子蚂蚁在数轴上点M 处相遇时，求点M 表示的数．（3）在（1）的条件下，点a ，b ，c 分别对应点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动．同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB ．请问：BC -AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【答案】（1）﹣1；1；5；（2）1；（3）不变，2【分析】（1）先根据b 是最小的正整数，求出b ，再根据2(5)||0c a b -++=，即可求出a 、c ；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，根据题意表示出甲，乙分别走的路程，根据路程之和等于AC 列出方程，解方程即可．（3）先求出BC =3t +4，AB =3t +2，从而得出BC ﹣AB =2．【详解】解：（1）∵b 是最小的正整数，∴b =1．∵（c ﹣5）2+|a +b |=0，∴a =﹣1，c =5；故答案为﹣1；1；5；（2）设经过x 秒，甲，乙在数轴上点M 处相遇，则()2451x x +=--，解得1x =则甲蚂蚁经过1秒到达M 点，\M 点表示的数为:1211-+´=（3）BC ﹣AB 的值不随着时间t 的变化而改变，其值是2，理由如下：∵点A 都以每秒1个单位的速度向左运动，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴BC =3t +4，AB =3t +2，∴BC ﹣AB =（3t +4）﹣（3t +2）=2．【点睛】本题考查了数轴与整式的加减，数形结合是解题的关键．课后训练1．数学实验室：点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，在数轴上A 、B 两点之间的距离AB =|a ﹣b |．利用数形结合思想回答下列问题：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ；（2）数轴上若点A 表示的数是x ，点B 表示的数是－2，若AB ＝2，那么x 为； （3）当x 是 时，代数式|2||1|5x x ++-=；（4）若点A 表示的数－1，点B 与点A 的距离是10，且点B 在点A 的右侧，动点P 、Q 同时从A 、B 出发沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒3个单位长度，点Q 的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ ＝1（请写出必要的求解过程）【答案】（1）3，4；（2）0或-4；（3）-3或2；（4）4.5或5.5【分析】（1）直接利用题干两点的距离公式计算即可；（2）根据题意可列出关于x 的绝对值方程，解出x 即可．（3）分类讨论①当2x <-时；②当21x -£<时；③当1³x 时，去绝对值，解出方程即可．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时；②当点P 超过点Q 时，根据数轴列出方程，解出x 即可．【详解】（1）根据题意可知数轴上表示2和5的两点之间的距离是253-=，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是1(3)4--=；故答案为：3，4．（2）由题意可知：22AB x =--=∴22x --=±解得：0x =或4x =-；故答案为：0或-4．（3）∵215x x ++-=，即可表示为点A （表示有理数x ）到点B （表示有理数-2）的距离与点A 到点C （表示有理数1）的距离的和是5，如图：故分类讨论：①当点A 在点B 左侧时，即2x <-，此时有215x x ---+=，解得：3x =-，符合题意；②当点A 在点B 和点C 中间时，即21x -£<，此时有215x x ++-=，方程无解；当点A 在点C 右侧时，即1³x ，此时有215x x ++-=，解得：2x =，符合题意；综上，3x =-或2x =，故答案为：-3或2．（4）设运动x 秒后，PQ ＝1，分类讨论：①当点P 未超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =+-解得： 4.5x =②当当点P 超过点Q 时，根据数轴可列方程：3(101)x x =++，解得： 5.5x =故运动4.5或5.5秒后，PQ ＝1．【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，实数与数轴，数轴上两点之间的距离．利用分类讨论和数形结合的思想是解答本题的关键．2．已知数轴上A 、B 两点表示的数分别为a ，b ，且a ，b 满足|a +20|+(b -13)2=0，点C 表示的数为16，点D 表示的数为-7．（1）A ，C 两点之间的距离为__________；（2）已知|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离．若点P 在数轴上表示的数为x ，则满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为_______________；满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为______________．（3）点A ，B 从起始位置同时出发相向匀速运动，点A 的速度为6个单位长度/秒，点B 的速度为2个单位长度/秒，当点A 运动到点C 时，迅速以原来的速度返回，到达出发点后，又折返向点C 运动，点B 运动至点D 后停止运动，当点B 停止运动时，点A 也停止运动，求在此运动过程中，求A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数．【答案】（1）36；（2）3，5或－4；（3）194，132-【分析】（1）根据|a +20|+(b -13)2=0，求出a 和b 的值，即可得出A ，C 两点之间的距离；（2）根据题意可得|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，即可求出所有的整数x 的值，然后求和即可；根据题意可得|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，分x 在-2左边和x 在3右边两种情况讨论，列出方程求解即可；（3）根据题意表示出A 点从A 到C 的过程和C 到A 的过程到达的点，表示出B 点从B 到D 的过程到达的点，然后根据A ，B 两点同时到达时分别列出方程求解即可．【详解】解：（1）∵|a +20|+(b -13)2=0，∴200130a b +=-=，，∴2013a b =-=，，∴A 点表示的数是-20，又∵点C 表示的数为16，∴A ，C 两点之间的距离=16-(-20)=36；（2）∵|m －n |可理解为数轴上表示数m 、n 的两点之间的距离，∴|x +2|+|x -3|=5表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为5，∴23x -££，又∵x 是整数，∴x 的值可以是-2，-1，0，1，2，3，∴-2-1+0+1+2+3=3，∴满足|x +2|+|x -3|=5的所有的整数x 的和为3；同理|x +2|+|x -3|=9表示的是x 到-2的距离和到3的距离和为9，∴当x 在-2左边时，-2-x +3-x =9，解得：x =-4，当x 在3右边时，x -(-2)+x -3=9，解得：x =5，综上所述，满足|x +2|+|x -3|=9的x 值为5或－4；（3）设两点运动的时间为t ，A 点：A 到C 的过程：()20606x t t =-+££，C 到A 的过程：()()1666526610x t t t =--=-£<，B 点：B 到D 的过程：()132010x t t =-££，第一次相遇时，由题意得：206132t t -+=-，解得：338t =，此时x =194；第二次相遇时，由题意得：526132t t -=-，解得：394t =，此时x =132-；综上所述，A ，B 两点同时到达的点在数轴上表示的数为194，132-．【点睛】此题考查了绝对值的几何意义的运用，动点问题的求解，解题的关键是熟练掌握绝对值的几何意义．。
数轴的动点问题公式
数轴的动点问题是指一个点在数轴上按一定规律运动的问题。
为了描述这个运动过程，我们可以使用公式来表示动点的位置。
假设数轴上的起点为0，动点在某个时刻的位置为x。
动点按照某个速度v向左或向右运动，那么在经过t单位时间后，动
点的位置可以用下面的公式表示：
x=x0+vt
其中，x0表示初始位置，v表示速度，t表示时间。
如果速
度为正，表示向右移动；如果速度为负，表示向左移动。
如果动点在数轴上做匀速直线运动，那么速度v是常数，这
时可以将公式简化为：
x=x0+vt
如果动点在数轴上做加速或减速运动，速度v是变化的，那
么我们需要根据具体的问题来确定速度v的表达式。
常见的加
速或减速运动可以用以下几种公式表示：
匀加速运动：v=v0+at，其中v0表示初始速度，a表示加
速度。
匀减速运动：v=v0at，其中v0表示初始速度，a表示减速度。
自由落体运动：h=h0+v0t+(1/2)gt^2，其中h0表示初始高度，v0表示初始速度，g表示重力加速度。
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数轴上的动点问题动点问题处理策略1、数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数－左边点表示的数。
2、如何表示运动过程中的数：点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向左运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a－b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
（简单说成左减右加）3、分类讨论的思想：数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况种的分类讨论4、绝对值策略：对于两个动点P,Q，若点P,Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p,q两数差的绝对值表示P,Q两点距离，从而避免分复杂分类讨论类型一、数轴上两点距离的应用例1、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-2和5，点P为数轴上一点（1）若点P到A,B两点的距离相等，求P点表示的数（2）若PA=2PB,求P点表示的数B的距离之和为13，求点P所表示的数。
（3）若点P到点A和点类型二、绝对值的处理策略例2、已知数轴上A,B两点表示的数分别为-8和20，点P,Q分别从A,B两点同时出发，P点运动速度为每秒3个单位，Q点运动速度为每秒1个单位，设运动时间为t秒（1）点P向右运动，Q点向左运动，当t为何值时，P,Q两点之间距离为8？（2）若P点和Q点都向右运动，多少秒后，P,Q两点之间距离为8？（3）在（2）的条件下，另一动点M同时从O点出发，以每秒2个单位的速度向右运动，多少秒后，点M到点P和点Q的距离相等？练、已知在数轴上有A，B两点，点A表示的数为-8，点B表示的数为4．动点P从数轴上点A出发，以每秒2个单位长度的速度运动，同时动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度，设运动时间为t秒。
（1）若点P向右运动，点Q向左运动，问多少秒后点P与Q相距2个单位长度？（2）若动点P、Q都向右运动，当点P与点Q重合时，P、Q两点停止运动．当t为何值时，2OP-OQ=4？类型三、小狗来回跑的问题例、数轴上，点A表示-3，点B表示12，A,B两点同时向负方向运动，速度分别为1个单位和4个单位每秒，同时另一动点C同时从B点位置出发向A运动，当遇到A后，立即返回向B点运动，遇到B点后立即返回向A点运动，如此往返，直到B追上A时，C立即停止运动．若点C一直以20单位长度/秒的速度匀速运动，那么点C从开始到停止运动，运动的路程是多少单位长度．练习、已知数轴上两点A、B对应的数分别为-1、3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x．点A、点B分别以2个单位长度/分、1个单位长度/分的速度向右运动，同时点P以6个单位长度/分的速度从O点向左运动．当遇到A时，点P立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点A与点B之间，求当点A与点B重合时，点P所经过的总路程是多少？类型四、运动中的变与不变例3、数轴上A,B,C三点分别表示-1，1，5，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．（1）请问：BC-AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．（2）是否存在一个常数m使得m•BC-2AB不随运动时间t的改变而改变．若存在，请求出m和这个不变化的值；若不存在，请说明理由．练习、如图①，M、N、P是数轴上顺次三点，M、N之间的距离记为MN，M，P之间的距离记为MP．（1）若MP=3MN，求x的值；（2）在（1）的条件下，如图②，点M、N、P开始在数轴上运动，点M以每秒2个单位长度的速度向左运动，同时，点N和点P分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动．设运动时间为t（t＞0）秒，PN-MN的值是否随时间t的变化而改变？若改变，说明理由；若不变，求其值．为定值？若存在求出k值，并求出这个定值。
数轴上的动点问题❖ 数轴上的动点问题，是很重要的一部分，但往往使学生感到很棘手.实际上，如果将动点问题“代数化”，“三招”就可轻松解决常见的问题.第一招:平移公式（平移规律）若数轴上点A 表示的数是a ，则当点A 向左平移t 个单位长度时表示的数为a t -;当点A 向右平移t 个单位长度时表示的数为a t +.简记为:左减右加.第二招:距离公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则,A B 两点的距离AB a b =-.如果已知,A B 两点的位置关系，比如点A 在点B 的左边，则AB b a =-.第三招:中点公式若数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ,则线段AB 的中点表示的数是2a b + ❖ 常见题型：一、突破基础关—平移与距离数轴上点的平移和两点间的距离是数轴所有难点问题的突破口.点的平移是今后进一步研究动点问题的基础，两点间的距离则可以让学生感知数轴与线段之间的关系. 例1 请利用数轴回答下列问题:①如果点A 表示数3-，将点A 向右移动7个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;②如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;③如果点A 表示数3，将A 点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B 表示的数是 ,A 、B 两点间的距离是 ;④一般地，如果A 点表示的数为a ，将A 点向右移动m 个单位长度，再向左移动n 个单位长度，请你猜想终点B 表示的数是 ，A 、B 两点间的距离是 .二、突破应用关—平移、距离、对称、旋转(滚动)1.平移平移是所有动点问题的灵魂所在，也是数轴问题研究的基石，所以我们在突破数轴难点时，有必要进行深层次的探究.例2如果将A点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是2，则起点A表示的数为 ,A、B两点间的距离是 .-.例3若AB为数轴上一线段，其中点A表示3，点B表示1①将线段沿着数轴左右平移，若平移后点A对应的数为5，则点B所对应的数是 ;-,则点A对应的数是 , AB的中点C对应的数②若平移后点B对应的数是4是 ;-,则A对应的数是 ,B对应的数③若平移后AB的中点C对应的数是1是 .2.距离距离是今后解决坐标系中数形结合问题的关键所在.在坐标系中，大多数问题归根结底是研究线段与线段之间的数量关系，也就是两点之间的距离.因此在初学数轴时，把水平距离问题理解透彻，对今后坐标系里几何问题的学习大有帮助.例4 数轴上有A、B两点，且A、B两点间的距离是3.①若A为原点，则点B表示的数是 ;②若点A表示的数是1，则点B表示的数是 ;③若点A表示的数是a，则点B表示的数是 ;例5数轴上有三点A、B、C，且A、B两点间的距离是3,B、C两点的距离是2，-，则点C表示的数是 .若A点表示的数为1-,C为例6 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为5数轴上的动点，若C到A的距离是C到B的距离的2倍，求此时C所表示的数是 .3.对称数轴上对称问题的关键是线段的中点.最简单的对称是相反数，它们关于原点对称，由此可把此类问题推广至一般，即关于数轴上任意点的对称.例7数轴上A、B两点表示的数为相反数，且AB的距离为5，点A在点B的右边，则A表示的数是 ,B表示的数是 .例8 将数轴沿着某一点A对折，使得1与6重合.①则A表示的数是 ;-重合的数是 ;②与10重合的数是 ;与3③若MN重合，且MN相距2015个单位长度(M在N的右边)，则M表示的数是，N表示的数是 ;例9 数轴上有三个点A、B、C，其中A点表示的数为1,B点表示的数为一3,C为数轴上的动点，当A、B、C三个点中有一个点是另两个点的中点时，求此时C所表示的数.4.旋转(滚动)多边形的旋转问题或圆的滚动问题也是中考热点，实际在这类问题中也可以结合数轴来解答.例10 正方形ABCD在数轴上的位置如图5，点A、D对应的数分别为0和1，若正方形ABCD绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点B对应的数为1，则连续翻转2015次后，图5①数轴上数2015对应的点是 ;②连续翻转2015次后，数轴上数2014对应的点是 .例11 (1)如图6，数轴上有一半径为1的圆，起始点A与原点重合.若将圆沿着数轴-重合的，顺时针无滑动地滚动一周，点A所对应的数是 ;若起点A开始时是与2则圆在数轴上无滑动地滚动2周后点A表示的数是 .图6A B C D，(2)如图6所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处标上字母,,,-所对应的点重合，再让圆沿着数轴按逆先让圆周上字母A所对应的点与数轴上的数2-将与圆周上的字母重合.时针方向作无滑动滚动，那么数轴上的数2015三 、突破动点大题—试卷中经常出现的动点应用题解决此类问题的关键是确定动点表示的数，以及动点的运动方向.以下分为三类问题进行解析:1.方向不变例1 如图1，数轴上点B 表示的数是30,,P Q 两点分别从,O B 两点同时出发，分别以3单位/秒和2单位/秒的速度向右运动，运动时间为t 秒, M 为线段BP 上一点，且13PM PB =,N 为QM 的中点. (1)若12PB BQ =，求t 的值; (2)当t 的值变化时, NQ 的值是否发生变化?为什么？练习1：已知数轴上两点,A B 对应的数为－1 ,3，点P 为数轴上一动点，其对应的数为x .(1)数轴上是否存在点P ，使5PA PB +=?若存在，请求出x 的值;若不存在，请说明理由.(2)当点P 以每分钟1个单位长度的速度从O 点向右运动时，点A 以每分钟5个单位长度的速度向左运动，点B 以每分钟20个单位长度的速度向右运动.在运动的过程中，,M N 分别是,AP OB 的中点,AB OP MN-的值是否改变，为什么?，B点对应的数为练习2：如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为20100．(1)AB中点M对应的数；(2)现有一只电子蚂蚁甲从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；(3)若当电子蚂蚁甲从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁乙恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数．练习3：已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
