培优专题：借助方程求解数轴上的动点问题(压轴题常考题型)
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：
1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
一、相关知识准备
1.数轴上表示4和1的两点之间的距离是_____________。
-，则A与B两点之间的距离用式子2.若数轴上点A表示的数为x,点B表示的数为1
可以表示为_____________，若在数轴上点A在点B的右边，则式子可以化简为_____________。
3.A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，若运动时间为t，则A点运动的路程可以用式子表示为______________。
-,A点在数轴上以2个单位长度/秒的速度向右运动，4.若数轴上点A表示的数为1
若运动时间为t，则A点运动t秒后到达的位置所表示的数可以用式子表示为______________。
答案：1、3； 2、1
x+，x+1； 3、2t； 4、12t
-+
二、已做题再解：
1、半期考卷的第25题：如图所示，在数轴上原点O表示数0，A点在原点的左侧，所表示的数是a，B点在原点的右侧，所表示的数是b，并且a、b满足
-
2
++8=
a16(b)0
（1）点A表示的数为_________，点B表示的数为________。
（2）若点P从点A出发沿数轴向右运动，速度为每秒3个单位长度，点Q从点B出发沿数轴向左运动，速度为每秒1个单位长度，P、Q两点同时运动，并且在点C处相遇，试求点C所表示的数。
（3）在（2）的条件下，若点P 运动到达B 点后按原路原速立即返回，点Q 继续按
原速原方向运动，从P 、Q 在点C 处相遇开始，再经过多少秒，P 、Q 两点的距离为4
个单位长度？
解：（1）点A 表示的数为 __16-__，点B 表示的数为___8____
(2) 设P 、Q 同时运动t 秒在点C 处相遇
3t+t=24 解得t=6
此时点C 所表示的数是16+36=2-?
答：点C 所表示的数是2.
（2）再经过a 秒，P 、Q 两点的距离为4个单位长度
分类讨论：① 从点C 处相遇后反向而行，点P 到达B 点前相距4个单位长
度
3a+a=4 解得a=1
② 点P 到达B 点后返回，此时相当于点Q 在P 点前4个单位长度
()a 63a 64+--= 解得a=4
③ 点P 到达B 点后返回，从后追上Q 点后又相距4个单位长度，此时相当
于点P 在点Q 前4个单位长度
()3a 6a 64--+= 解得a=8
答：再经过1秒或4秒或8秒，P 、Q 两点的距离为4个单位长度。
备用图
备用图
2、七年级上学期期中模拟（1）的第10题：数轴上有A、B 两点表示—10，30，有两只蚂蚁P、Q同时分别从A、B 两点相向出发，速度分别是2单位单位长度/秒、3个单位长度/秒，当它们相距10个单位长度时，则蚂蚁P在数轴上表示的数是（）
解：经过t秒，P、Q相距10个单位长度，则P点运动路程为2t,运动后P点表示数为—10+2t，Q点运动路程为3t
分类讨论：①还未相遇前相距10个单位长度
2t+3t=40-10 解得t=6
此时P点表示数为—10+2×6=2
②相遇后又相距10个单位长度
2t+3t=40+10 解得t=10
此时P点表示数为—10+2×10=10
综上所述，蚂蚁P在数轴上表示的数是2或10
挑战题：1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表—24，—10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
⑴问多少秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位？
⑵若乙的速度为6个单位/秒，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A、C两点同时相向而行，问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？
⑶在⑴⑵的条件下，当甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由。
分析：如图1，易求得AB=14，BC=20，AC=34
⑴设x秒后，甲到A、B、C的距离和为40个单位。此时甲表示的数为—24+4x。
①甲在AB之间时，甲到A、B的距离和为AB=14
甲到C的距离为10—（—24+4x）=34—4x
依题意，14+（34—4x）=40，解得x=2
②甲在BC之间时，甲到B、C的距离和为BC=20，甲到A的距离为4x
依题意，20+4x）=40，解得x=5
即2秒或5秒，甲到A、B、C的距离和为40个单位。
⑵是一个相向而行的相遇问题。设运动t秒相遇。
依题意有，4t+6t=34，解得t=3.4
相遇点表示的数为—24+4×3.4=—10.4 （或：10—6×3.4=—10.4）
⑶甲到A、B、C的距离和为40个单位时，甲调头返回。而甲到A、B、C的距离和为40个单位时，即的位置有两种情况，需分类讨论。
①甲从A向右运动2秒时返回。设y秒后与乙相遇。此时甲、乙表示在数轴上为同一点，所表示的数相同。甲表示的数为：—24+4×2—4y；乙表示的数为：10—6×2—6y
依题意有，—24+4×2—4y=10—6×2—6y，解得y=7
相遇点表示的数为：—24+4×2—4y=—44 （或：10—6×2—6y=—44）
②甲从A向右运动5秒时返回。设y秒后与乙相遇。甲表示的数为：—24+4×5—4y；乙表示的数为：10—6×5—6y
依题意有，—24+4×5—4y=10—6×5—6y，解得y=—8（不合题意，舍去）
即甲从A点向右运动2秒后调头返回，能在数轴上与乙相遇，相遇点表示的数为—44。
点评：分析数轴上点的运动，要结合数轴上的线段关系进行分析。点运动后所表示的数，以起点所表示的数为基准，向右运动加上运动的距离，即终点所表示的数；向左运动减去运动的距离，即终点所表示的数。
2．如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为—20，B点对应的数为100。
⑴求AB中点M对应的数；
⑵现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇，求C点对应的数；
⑶若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。
分析：⑴设AB中点M对应的数为x，由BM=MA
所以x—（—20）=100—x，解得 x=40 即AB中点M对应的数为40
⑵易知数轴上两点AB距离，AB=140，设PQ相向而行t秒在C点相遇，
依题意有，4t+6t=120，解得t=12
（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20+4t=100—6t，t=12）
相遇C点表示的数为：—20+4t=28（或100—6t=28）
⑶设运动y秒，P、Q在D点相遇，则此时P表示的数为100—6y，Q表示的数为—20—4y。P、Q为同向而行的追及问题。
依题意有，6y—4y=120，解得y=60
（或由P、Q运动到C所表示的数相同，得—20—4y=100—6y，y=60）
D点表示的数为：—20—4y=—260 （或100—6y=—260）
点评：熟悉数轴上两点间距离以及数轴上动点坐标的表示方法是解决本题的关键。⑵是一个相向而行的相遇问题；⑶是一个同向而行的追及问题。在⑵、⑶中求出相遇或追及的时间是基础。
3．已知数轴上两点A、B对应的数分别为—1，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为x。
⑴若点P到点A、点B的距离相等，求点P对应的数；
⑵数轴上是否存在点P，使点P到点A、点B的距离之和为5？若存在，请求出x的值。若不存在，请说明理由？
⑶当点P以每分钟一个单位长度的速度从O点向左运动时，点A以每分钟5个单位长度向左运动，点B一每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后P点到点A、点B的距离相等？
分析：⑴如图，若点P到点A、点B的距离相等，P为AB的中点，BP=PA。
依题意，3—x=x—（—1），解得x=1
⑵由AB=4，若存在点P到点A、点B的距离之和为5，P不可能在线段AB上，只能在A点左侧，或B点右侧。
①P在点A左侧，PA=—1—x，PB=3—x
依题意，（—1—x）+（3—x）=5，解得x=—1.5
②P在点B右侧，PA=x—（—1）=x+1，PB=x—3
依题意，（x+1）+（x—3）=5，解得x=3.5
⑶点P、点A、点B同时向左运动，点B的运动速度最快，点P的运动速度最慢。故P点总位于A点右侧，B可能追上并超过A。P到A、B的距离相等，应分两种情况讨论。
设运动t分钟，此时P对应的数为—t，B对应的数为3—20t，A对应的数为—1—5t。
①B未追上A时，PA=PA，则P为AB中点。B在P的右侧，A在P的左侧。
PA=—t—（—1—5t）=1+4t，PB=3—20t—（—t）=3—19t
依题意有，1+4t=3—19t，解得 t=
②B追上A时，A、B重合，此时PA=PB。A、B表示同一个数。
依题意有，—1—5t=3—20t，解得t=
即运动或分钟时，P到A、B的距离相等。