圆锥曲线期末复习材料.doc

圆锥曲线1.圆锥曲线的定义：定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。

若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。

例1-1：8=表示的曲线是_____2.圆锥曲线的标准方程标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+bya x（0a b >>）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时 2222bx ay +＝1（0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B 。

例2-1:已知方程12322=-++kykx表示椭圆，则k 的取值范围为____2-2:若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是_________，22y x +的最小值是_________(2)双曲线：焦点在x 轴上：2222b ya x-=1，焦点在y 轴上：2222bx ay-＝1（0,0a b >>）。

方程22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号。

例2-3：12y x =是双曲线的一条渐近线，且与椭圆14922=+yx有公共焦点，则该双曲线的方程_____________________(3)抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时22(0)y p x p =->，开口向上时22(0)x p y p =>，开口向下时22(0)x py p =->。

锥曲线专题训练一、定义【焦点三角形】1、已知椭圆一 +八=1的左右焦点为E、F2, P为椭圆上一点，9 4(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积(2) 若ZF1PF2=60°,求的面积2 22、已知双曲线土-匕=1的左右焦点为E、F2, P为双曲线上一点,(1) 若NRPF2=90°,求△EPF?的面积(2) 若ZF1PF2=60°,求Z^PF?的面积2 23、鸟,氏是椭圆二+七=1(〃＞。

＞0)的两个焦点，以鸟为圆心且过椭圆中心的a~ b~圆与椭圆的一个交点为M。

若直线&M与圆鸟相切，求该椭圆的离心率。

Y2 v24、椭圆瓦+ *_ = 1的焦点为与、「2。

点P为其上的动点，当PF2为钝角时。

点P横坐标的取值范围为多少？V-2 V2V-2 V25、椭圆—+ J(。

＞。

＞0)和双曲线、- —(m, n＞ 0)有公共的焦点F】(-。

,0)、a~ b~〃广F2(C,0),P为这两曲线的交点，求|商|・|户尸2|的值.二、方程已知圆亍+y2=9,从圆上任意一点P向X轴作垂线段PPL点M在PP，上，并且两=2布，求点M的轨迹。

2.3【定义法】(与两个定圆相切的圆心轨迹方程):—动圆与两圆：『+ ,,2 =]和尤2 * ,2 _8x+]2 = 0都外切，#1勃圆的圆心的轨迹方程是什么？AA题型1：求轨迹方程例1. (1) 一动圆与圆J + y2+6x+5 = 0外切，同时与圆x2 + r-6x-91 = 0内切,求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。

.（2）双曲线y-/ =1有动点、P,月,％是曲线的两个焦点，求APgE的重心M的轨迹方程。

3、给出含参数的方程，说明表示什么曲线。

已知定圆G： x2 + y2 =9,圆C2：x2+6x+y2 =0三、直线截圆锥曲线得相交弦（求相交弦长，相交弦的中点坐标）（结合向量）直线与圆锥曲线相交的弦长计算（1）要熟练利用方程的根与系数关系来计算弦长.弦长公式：（2）对焦点弦要懂得用焦半径公式处理；对中点弦问题，还要掌握“点差法”.3. 圆锥曲线方程的求法有两种类型：一种是已知曲线形状，可以用待定系数法求解；另一种是根据动点的几何性质，通过建立适当的坐标系来求解，一般是曲线的类型未知.主要方法有：•直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等.在求轨迹方程中要仔细检查“遗漏”和“多余”.4. 圆锥曲线是用代数方法来研究几何问题，也就是说，它是处于代数与几何的交汇处，因此要处理好其综合问题，不仅要理解和掌握圆锥曲线的有关概念、定理、公式，达到灵活、综合运用，还要善于综合运用代数的知识和方法来解决问题，并注意解析法、数形结合和等价化归的数学思想的应用.1、已知椭圆= i,过左焦点k倾斜角为£的直9 6线交椭圆于A、8两点。

锥曲线专题一、求圆锥曲线的方程【复习要点】求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好I员I锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.-•般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤.定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为/WA-2+/ly2= 1 （/n>0,/2>0）.定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小. 【例题】2 9【例1】双曲线一-三=1（族N）的两个焦点几、F2, P为双曲线上一点，4 b2IOPIV5,IPF]l,IFiF2l,IPF2l成等比数列，则"=.【例2】已知圆G的方程为（》一2）2+侦-1）2=史，椭圆C2的方程为# +、= 1（。

>/7>0）, C2的离心率为遮，如果C1与C2相交于4、B两点，旦线段他 / 人2 \f 2恰为圆G的直径，求直线AB的方程和椭圆C2的方程。

B【例3】过点(1, 0)的直线/与中心在原点，焦点在工轴上且离心率为亭的椭圆C 相交于A、加点，直线日，过线段"的中点，同时椭圆。

上存在-点与右焦点关于直线I对称，试求直线/与椭圆C的方程.77【例4】如图，已知△ Pg的面积为丁，P为线段P|P2的一个三等分点，求以4直线OP】、。

户2为渐近线n过点p的离心率为业的双曲线方程.- 2【例7】2 /［例5】过椭圆C：土 + 土 = 1(。

＞8＞0)上一动点P引圆0： X2 +/ =b2的两条切线/ b2PA、P8, A、8为切点，直线48与x轴，y轴分别交于M、N两点。

你能够选择这样的“三心二意”：信心恒心决心；创意乐意【知识点梳理】1. 椭圆：则当a >c 时，动点M 的轨迹是_____________；当a = c 时，动点M 的轨迹是_ ___________；当a < c 时，动点M 的轨迹是____________；2.双曲线：12||PF PF -=2a ，| 12F F | = 2c则当c > a 时，动点M 轨迹是________； 当a = c 时，动点M 的轨迹是_________________；当 c <a 时，动点M 的轨迹是______________；等轴双曲线e = 。

2. 抛物线 （ 设),(00y x M 是抛物线上的点，F 为抛物线的焦点）；抛物线e =_______。

典型例题：例1 求适合以下条件的曲线标准方程：（1）设椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，且长轴长是短轴长的2倍．又点P(4,1)在椭圆上，求该椭圆的方程． （2）已知双曲线的渐近线方程为2x ±3y ＝0，且双曲线经过点P (6，2)．（3）已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)、P 2(－3，－2)，求椭圆的方程．（4）抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，已知抛物线与双曲线的一个交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，6，求抛物线与双曲线的方程．例2 如下图，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (2,4)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA 与PB 的斜率存有且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．例3 已知椭圆C 的中心在原点,一个焦点为F (-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶3. (1)求椭圆C 的方程;(2)设点M (m ,0)在椭圆C 的长轴上,点P 是椭圆上任意一点.当|MP |最小时,点P 恰好落在椭圆的右顶点,求实数m 的取值范围.例4 已知椭圆221259x y 的长轴为12A A ，P 为椭圆上一点（不同于12,A A ），直线1A P ，2A P 分别与椭圆的右准线l 交于,M N 两点，F 是其右焦点。

圆锥曲线复习(文科)%1.定义：1.平而内与两定点R, F2的距离之和为常数2a(大于|F,F2|)的点的轨迹叫做椭圆.2.平面内与两定点R, F?的距离之差的绝对值为常数2a(小于”月|大于0)的点的轨迹叫做双曲线3.平面内与一个定点F和一•条定直线/ ( F W I )的距离的点的轨迹叫做抛物线.4.已知\ABC的周长是8, B (-2, 0 ) (2, 0 ),则顶点A的轨迹是5.方程J(X-2)2+)，2-J(X +2)2+)，2 =2,表示的曲线是6.平面上到点A (1, 1)和到直线l:x+2阡3距离相等的点的轨迹是()A.抛物线B.直线C.双曲线D.椭圆2 27.过双曲线三一3 = 1左焦点鸟的弦AB长为6,则△AB灼(灼为右焦点)的周长是%1.标准方程：8.己知椭圆的中心在原点，旦经过点P(3, 0),长轴是短轴的三倍，求椭圆的标准方程9.求两条渐近线方程为y = ±-x,且一个焦点是(0, -2V3)的双曲线标准方程310.己知抛物线经过点A (6, -2),求抛物线标准方程11. ------------------------ 已知方程_________________________________________________ =1表示椭圆，则k的取值范围是9-k k-312.与椭圆4x 2 + 9y 2 =36有相同的焦点,且过点(一3, 2)的椭圆方程为16.且经过点A （2V3,-3）的双曲线的标准方程;13. 已知抛物线焦点到准线的距离是4,焦点在y 轴上•则抛物线标准方程为14. 求经过点（一扼，一占），（垂，V2 ）的双1111线的标准方程为315. 已知点M 与点F （-4,0）的距离比它到直线l:x=2的距离大2,求点M 的轨迹方程是2 2求与双曲线土-匕=1共渐近线, 16 9%1. 几何性质：17：椭圆5x 2+ky 2=5的一个焦点是（0, 2）,那么k 等于；短轴长为18. 双曲线9x 2-16y 2=576的焦点坐标为；渐近线方程是离心率是 _________19. 抛物线y 2 = 16x 的准线方程是 此抛物线上到焦点的距离等于10的点的坐标是20.过抛物线x2=4y焦点的直线交抛物线于两点，若刃+所5,线段AB的长为21.若点P在椭圆土+ y2=］上，F】、尸2分别是柚圆的两焦点，旦/4尸「2= 90。

高 二 数 学 期 末 复 习 三（圆锥曲线综合问题）一、知识回顾1．直线与圆锥曲线的位置关系：在直线与圆锥曲线的位置关系问题中，有“函数方程思想”和“数形结合思想”两种思路，等价转化求解.注意：①直线与圆锥曲线相交的必要条件是他们构成的方程组有实数解，当出现一元二次方程时，务必“0∆>”，尤其是在应用韦达定理解决问题时，必须先有“0∆>”.②直线与抛物线(相交不一定交于两点)、双曲线位置关系(相交的四种情况)的特殊性，应谨慎处理.2．弦长公式：若直线y kx b =+与圆锥曲线相交于两点A 、B ，且12,x x 分别为A 、B 的横坐标，则22|||AB x x -，若12,y y 分别为A 、B 的纵坐标，则12|||AB y y =-=，若弦AB 所在直线方程设为x ky b =+，则AB 12y -。

注意：焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和，或统一（第二）定义求解。

3．圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在椭圆12222=+by a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k -=；在双曲线22221x y a b-=中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率0202y a x b k =；在抛物线22(0)y px p =>中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率)0(00≠=y y pk 。

注意：如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率”为桥梁转化.4.常见的寻求曲线方程的方法(待定系数法、定义法、直译法、代点法、参数法、交轨法等), 以及如何利用曲线的方程讨论曲线的几何性质，这是解析几何的两类基本问题，也是解析几何的基本出发点.注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化.②在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、“求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.二、典型例题例1．（1）椭圆284722=+y x 上的点到直线01623=--y x 的最短距离为13138； （2）过抛物线x y 22=焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，已知ΔABO 重心的横坐标为3（O 为坐标原点），则|AB|=___10____（3*）已知直线1+-=x y 与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，则此椭圆的离心率为22（4*）若椭圆11022=+m y x 与双曲线122=-b y x 有相同的焦点，且),310(y P 椭圆与双曲线的一个交点，则椭圆与双曲线的方程分别为,11022=+y x 1822=-y x 。

学习必备 欢迎下载高二期末复习圆锥曲线一．轨迹方程1. 到直线 x y 0, 与 2x y 0 的距离相等的点的轨迹方程为 .2. 已知点 M ( 2,0), N(2,0), 以 MN 为斜边的直角三角形的直角顶点P 的轨迹方程为.3. 已知等腰三角形 ABC 的顶点 A （ 4,2 ），底角顶点 B （ -3,5），则点 C 的轨迹方程为. 4. 已知△ ABC 的面积为 10，点 A(-1 ， 0) 、点 B （ 2,4 ），动点 C 的轨迹方程为 . 5.(1) 动点 M 与距离为 4 的两个定点 A,B 满足 MA MB5 ,建立适当的坐标系，求动点 M的轨迹方程。

（ 2）已知定点 M （ 4，3），动点 P 在曲线x 2y 2 1上运动，求线段 MP 的中5 9点 N 的轨迹方程。

二．椭圆1. 动点 P 到两个定点 F 1 （- 4 ， 0） . F 2 （ 4， 0）的距离之和为 8，则 P 点的轨迹为（ ）A. 椭圆B. 线段 F 1F 2C. 直线 F 1F 2D.不能确定2. 已知椭圆 x2y 2 1上一点 P 到椭圆的一焦点的距离为3，则 P 到另一焦点的距离59是.3. 如果x 2y 2 2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则实数 a 的取值范围为（ ）a 2aA.( 2,) B. 2, 1 2, C. ( , 1) (2,) D. 任意实数 R 4．离心率为 2，长轴长为 6 的椭圆的标准方程是.35. 方程 x2y 2（ a ＞ b ＞ 0,k ＞0 且 k ≠1) 与方程 x 2y 2 （ a ＞ b ＞ 0) 表示的椭圆 （）ka 2kb 2 1 a 2 b 2 1A. 有相同的离心率；B. 有共同的焦点；C. 有等长的短轴 . 长轴；D. 有相同的顶点 . 6．若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列， 则该椭圆的离心率是 .7. 已知椭圆 C 与椭圆：x 2y 2 1具有的焦点且经过点 P （4，-2 ），则曲线 C 的方程为。

圆锥曲线复习椭圆、双曲线和抛物线的基木知识见下表.\曲椭圆双曲线抛物线轨迹条件图形标准方程顶点对称轴焦点焦距准线离心率二求指定的圆锥曲线的方程是高考命题的重点，主要考查识图、画图、数形结合、等价转化、分类讨论、逻辑推理、合理运算及创新思维能力，解决好这类问题，除要求熟练掌握好圆锥曲线的定义、性质外，命题人还常常将它与对称问题、弦长问题、最值问题等综合在一•起命制难度较大的题，解决这类问题常用定义法和待定系数法.三一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量"的步骤.定形—指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx+ny2=l(m>0,n>0).定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小.椭圆【典型考例】【问题1】求圆锥曲线的标准方程、离心率、准线方程等例1已知椭圆C的焦点是F] （一VL 0）、F2（V3 , 0）,点Fl到相应的准线的距离为亨，过F?点且倾斜角为说角的直线/与椭圆C交于A、B两点，使得IF2BI=3IF2AL （1）求椭圆C的方程；（2）求直线/的方程.例2.设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4^2-4,求此椭圆方程、离心率、准线方程及准线间的距离.例3.（北京卷）椭圆二+ J = l（o,Z?〉0）的两个焦点F】、F2,点P在椭圆C ±,且PF】a bA 14±F1F2,,IPF1l=-,IPF2l= —. （I）求椭圆C 的方程；（II）若直线L 过圆x2+y2+4x-2y=0 的圆心M交椭圆于A、B两点，且A、B关于点M对称，求直线L的方程。

则椭圆离心率的取值范围是（）A. （0,1）B V2C.(0,^-DV2%』3 （上海卷12）设p 2 2是椭圆土+2 = 12516上的点•若％灼是椭圆的两个焦点，则(A)V272 (C72(D)T练习1巳知以Fi（2,0）, F2（2,0）为焦点的椭圆与直线x +尽+ 4 = 0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（）（A） 3扼（B） 2V6 （C） 2^7 （D） 4^22 （江西卷7）已知乌、灼是椭圆的两个焦点，满足福• MF\= 0的点M总在椭圆内部,PR + PF2等于（）A. 4B. 5C. 8D. 10 2 24（天津卷7）设椭圆二+土 = l（m〉0, 〃>0）的右焦点与抛物线），2=8X的焦点相同，离心率为则此椭圆的方程为（）2 o 2 2 2 2 2 2A.三+匕=1B.三+匕=1C.三+二=1D.三+匕=1 12 16 16 12 48 6464 482 2 2 25（辽宁卷）曲线—+旦一=1（〃7<6）与曲线二—+工—=1（5〈,〃<9）的IO-//? 6-m 5-m 9-tn（A）焦距相等（B）离心率相等（C）焦点相同（D）准线相同r26（全国II）已知的顶点8、C在椭圆§+）?=1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（）（A） 2寸（B） 6 （C） 4^3 （。

1、抛物线24x y =的焦点坐标是 . 1、双曲线24x-212y=1的焦点到渐近线的距离为 _2、焦点在直线x －2y －4=0上的抛物线的标准方程是 ．3、设椭圆12222=+ny mx 1(m>0，n>0)的一个焦点与抛物线x 2=4y 的焦点相同，离心率为31，则此椭圆的方程为____________-2．焦点为(06)，，且与双曲线2212xy -=有相同的渐近线的双曲线方程是_____________14．求过点(3-，，离心率为2e =的双曲线的标准方程．3.已知点P 在椭圆14522=+yx上，F 1与F 2是焦点，若∠F 1PF 2=30°,则△PF 1F 2的面积是_________4.已知椭圆的两个端点B 1、B 2与它的焦点F 1、F 2连成的四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则椭圆的离心率为___________5.若双曲线两渐近线相交成60°角，则该双曲线的离心率为___________.6.抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为34，则焦点到AB 的距离为________. 7.方程11422=-+-k ykx表示的曲线为C ，给出下列四个命题：① 曲线C 不可能是圆 ② 若1<k<4则曲线C 为椭圆 ③ 若曲线C 为双曲线，则k<1或k>4④ 若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1<k<25,其中正确的命题是_________.8.双曲线116922=-yx的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为__________________.10．直线y x b =+与双曲线2222x y -=相交于A B ，两点，若以A B 为直径的圆过原点，则b = ．11．若直线y x m =+与曲线y =m 的取值范围为 ．9、A 、B 是双曲线C 的两个顶点，直线l 与实轴垂直，与双曲线C 交于P 、Q 两点，若0=∙AQ PB ，则双曲线C 的离心率e ＝7、如图一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为C D ，设C D 与O M 交于P ，则点P 的轨迹是_______． 14、设椭圆方程为22221(0)xya b a b+=>>,PQ 是过左焦点F 且与x 轴不垂直的弦，若在左准线l 上存在点R ，使PQR ∆为正三角形，则椭圆离心率e 的取值范围是 ．10．命题p ：“方程量12522=-++k yk x表示的曲线是双曲线”，命题q ：“函数xk y )12(-=是R 上的增函数。