离散数学图论课件
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离散数学——图论PPT课件
第19页/共93页
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
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• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
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定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个结点相邻接，记为Kn。 • 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
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定义补图
• 设图G=<V,E> ， G’=<V,E’> ，若G’’=<V,E∪E’> 是完全图，且E∩E’= 空集，则称G’是G的补图。 • 事实上，G与G’互为补图。
正则图
• 所有结点均有相同次数d的图称为d次正则图。 • 如4阶的完全图是3次正则图，是对角线相连的四边形。 • 试画出两个2次正则图。
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两图同构需满足的条件
• 若两个图同构，必须满足下列条件： （1）结点个数相同 （2）边数相同 （3）次数相同的结点个数相同
• 例子
第28页/共93页
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出的特点是直观、形象。图论，顾 名思义是运用数学手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐标系中的函数， 而是由一些点和连接这些点的线组成的结构 。
第8页/共93页
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关心点具体代表哪些对象，也不关 心连线的长短曲直，这就是图的概念。
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E> ， G’=<V’,E’> ，若V’是V的子集， E’是E的子集，则 G’是G的子图。 • 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
第18页/共93页
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图，有n个孤立点。 • 平凡图：n=1,m=0。即只有一个孤立点。
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学课件图论(3)
E1 = {(v1,v1), (v1,v2), (v2,v3), (v2,v3),
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 2. 设那么V2G=1{=a,<bV, 1c,, dE1}, >为一无向图
E2 = {<a,a>, <a,b>,<a,b>,<c,b>,
<c,d>,<d,c>,<a,d>} 那么 G2 = <V2, E2 >为一有向图
14-2 通路与回路
[定义] 给定图G=<V,E>〔无向或有向的〕，G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi 1, vi 是 ei 的端 点。
(1) 通路与回路： 为通路；假设 v0=vl， 为回路，l 为 回路长
度。
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又假设 v0=vl， 为简单回路。
[表示法] ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法〔在简单图中〕 ④ 混合表示法
环〔长为1的圈〕的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长 3，有向简单图中圈的长度 2.
[不同的圈]〔以长度 3的为例〕 ① 定义意义下 无向图：图中长度为l〔l 3〕的圈，定义意义下为2l 个 有向图：图中长度为l〔l 3〕的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度一样的圈均为1个
❖ 多重图与简单图
简单图：不含有环和平行边的图。 多重图：含有平行边的图。
14-1 图
School of Information Science and
14-1 图
[定义]
(1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简
(v2,v5), (v1,v5), (v4,v5)} 2. 设那么V2G=1{=a,<bV, 1c,, dE1}, >为一无向图
E2 = {<a,a>, <a,b>,<a,b>,<c,b>,
<c,d>,<d,c>,<a,d>} 那么 G2 = <V2, E2 >为一有向图
14-2 通路与回路
[定义] 给定图G=<V,E>〔无向或有向的〕，G中顶点与
边的交替序列 = v0e1v1e2…elvl，vi 1, vi 是 ei 的端 点。
(1) 通路与回路： 为通路；假设 v0=vl， 为回路，l 为 回路长
度。
(2) 简单通路与回路：所有边各异， 为简单通路，又假设 v0=vl， 为简单回路。
[表示法] ① 定义表示法 ② 只用边表示法 ③ 只用顶点表示法〔在简单图中〕 ④ 混合表示法
环〔长为1的圈〕的长度为1，两条平行边构成的圈长度为 2，无向简单图中，圈长 3，有向简单图中圈的长度 2.
[不同的圈]〔以长度 3的为例〕 ① 定义意义下 无向图：图中长度为l〔l 3〕的圈，定义意义下为2l 个 有向图：图中长度为l〔l 3〕的圈，定义意义下为l个 ② 同构意义下：长度一样的圈均为1个
❖ 多重图与简单图
简单图：不含有环和平行边的图。 多重图：含有平行边的图。
14-1 图
School of Information Science and
14-1 图
[定义]
(1) 设G=<V,E>为无向图, vV, d(v)——v的度数, 简
离散数学图论路与连通PPT课件
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7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
第24页/共26页
3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
7.2.3 图的连通度
定义7-2.4 设无向图G =<V,E>是连通图,若有结点集V1V,使图 G中删除了 V1的所有结点后,所得到的子图是不连通图,而删除了V1的任何真子集后,所
得到的子图仍是连通图,则称V1是G的一个点割集(cut-set of nodes) 。
k(G)=min{|V1|| 是G的点割集} 称为图G的点连通度(nodeconnectivity) 。
现对G的每一条边e＝(u1,u2)，若u1,u2都在 V1上 ，则存 在两条 路P1与P2分别 连接u与 u1和u与u2， 且P1、 P2的长 度均为 偶数， 闭路P1∪P2∪ {e}的 长度为 奇数， 则不难 看出G中 有一条 长为奇 数的圈 ，矛盾 。同样 u1和u2不能同 时含在 V2中。 故e的 两个端 点分别 在V1和 V2中。 因此G是二分 图。
G 定理7.2.1 非平凡图 是二分图当且仅当 中不含长为奇数的回路。
G
证明 必要性是明显的。
充分性：不妨设G中每一对顶点之间有路连接（否则
只需考虑G的每个每一对顶点之间有路连接的极大子
图）。任取G的一个顶点u，由G的假设，对G的每个顶
点v，在G中存在u-v路。现利用u对G的顶点进行分类。
设
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3 v1e1v2e5v5e6v4e4v2e5v5e7v6
…………
初级通路 简单通路 复杂通路
7.2.1 路
例1、(2)
图(2)中过 v2 的回路 (从 v2 到 v2 )有：
第7页/共26页
1 v2e4v4e3v3e2v2
长度3
2 v2e5v5e6v4e3v3e2v2
长度4
3 v2e4v4e3v3e2v2e5v5e6v4e3v3e2v2 长度7
图论离散数学离散数学第四版清华出版社PPT课件
12/19/2020
28
b
e1
e4
a
e2
d
e5
e3
c
e5, e1, e2, e3, e4是简单通路，不是基本通路， 因为c, a, b, c, d, b中b, c均出现了两次。但c,
d, b, c是基本通路，也是基本回路。
12/19/2020
29
[定理] 在一个n阶图中，若从顶点u到v (uv)
❖ 起始状态是“人狼羊菜”，结束状态是“空”。
❖ 问题的解：找到一条从起始状态到结束状态的 尽可能短的通路。
12/19/2020
26
“巧渡河”问题的解
❖ 注意：在“人狼羊菜”的16种组合中允 许出现的只有10种。
人羊狼菜 人狼菜 人羊狼 人羊菜 人羊
狼菜
狼
12/19/2020
菜
羊
空(成功)
27
[定义] 简单通路(Simple Path)
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。
在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
12/19/2020
30
[定义] 连通性(connectivity)
设G=<V，E>，若从vi到vj存在一条通 路，则称vi到vj连通(connective)或可达。
说明：对无向图而言，若vi到vj可达，则 vj到vi也可达。对有向图而言则未必。
《离散数学》课件第14章图的基本概念
像这种形状不同，但本质上是同一个图的现象称 为图同构。
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
11
每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
20
定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
定义14.5（图同构）设两个无向图G1=<V1，E1>， G2=<V2，E2>，如果存在双射函数f：V1→V2，使得对 于 任 意 的 e=（vi，vj）∈E1 当 且 仅 当 e’=（f(vi)， f(vj)）∈E2，并且e与e’的重数相同，则称G1和G2是 同构的，记作G1≌G2。
若vi=vj，则称ek与vi的关联次 数为2；
若vi不是ek的端点，则称ek与vi 的关联次数为0。
无边关联的顶点称为孤立点 （isolated vertex） 。
19
定义(相邻) 设无向图G=<V，E>， 若∃et∈E且et=（vi,vj），则称vi和vj是相邻的 若ek,el∈E且有公共端点，则称ek与el是相邻的。
素称为有向边，简称边。 由定义，有向图的边ek是有序对<vi，vj>，称vi，
vj是ek的端点，其中vi为ek的始点（origin），vj为ek 的终点（terminus）。
当vi=vj时，称ek为环，它是vi到自身的有向边。
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每条边都是无向边的图称为无向图（undirected graph）。
定义(邻接与相邻) 设有向图D=<V，E>， 若∃et∈E且et=<vi,vj>，则称vi邻接到vj，vj邻接 于vi。 若ek,el∈E且ek的终点为el的始点，则称ek与el是相 邻的。
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定义14.4（度） 设G=<V，E>为一无向图，∀v∈V，称 v作为边的端点的次数之和为v的度数，简称为度 （degree），记为d(v)。
定理14.2 （有向图握手定理）设D=<V，E>为任 意的有向图，V={v1,v2,…,vn}，|E|=m，则
离散数学教学图论【共58张PPT】
一 、图的基本概念
• 邻接和关联 • 无向图和有向图 • 零图和平凡图 • 简单图 • 完全图（无向完全图和有向完全图） • 有环图
一 、图的基本概念
• 有限图和无限图 设图G为< V，E，Ψ>
（l）当V和E为有限集时，称G为有限图，否则称G为无限图。 （2）当ΨG为单射时，称G为单图；当ΨG为非单射时，称G为重图，又称满足
二、生成树
1、生成树定义：
若无向图的一个生成子图T是树，则称T 为G的生 成树，T中的边称为树枝，E（G）-E（T）称为树T 的补，其中的每一边称为树T 的弦。
在任何图中，结点v的度（degree）d(v)是v所关联边的数目。
第三节 生成树、最短路径和关键路径 由结点a和它所有的后代导的子图，称为T的子树.
∴ T连通且具有m=n-1的图
{e5,e4,e8} ， {e7，e6，e5，e2，e4} 第四节 欧拉图和哈密顿图
第四节 特殊图（欧拉图和哈密顿图等）
第五节 树、二叉树和哈夫曼树
离散数学教学图论
（优选 欧拉图和哈密顿图
(3)2=>3 ∴W(T)≤W(T1) ∴W(ei+1)≥W(f) 二. 哈密顿图的由来—周游世界问题：
第二节 图的矩阵表示 第四节 欧拉图和哈密顿图
证明：若G中一个边割集和一生成 树无公共边，则表示该边割集所分离的结点不在生成树中，这导致与生成树的定义矛盾。 哈密顿图的由来—周游世界问题： c)对新图向下旋转45度。 ei之后将取f而不是ei+1
为该顶点的度,列之和一定为2. • 有向图的关联矩阵 ----- 以节点数为行,边数为列.节点与边无关系,为0,有关系,则起点为1,
终点为-1;列之和一定为0,每行绝对值之和等于该节点的度数;其 中1的个数为该节点的出度,-1的个数为对应节点的入度;所有元 素的和为0,1的个数等于-1的个数,都等于边数m.
离散数学PPT【共34张PPT】
15
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
18.4 点着色
定义17.9 (1) 图G的一种点着色——给图G的每个顶点涂上一种颜色，
使相邻顶点具有不同颜色 (2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）——能用k种颜色给G
的顶点着色 (3) G的色数(G)=k——G是k-可着色的，但不是(k1)-可着色
的.
16
关于顶点着色的几个简单结果
定理17.19 (G)=1当且仅当G为零图 定理17.20 (Kn)=n 定理17.21 若G为奇圈或奇阶轮图，则(G)=3，若G为偶阶轮 图，则(G)=4. 定理17.22 若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.
路径 (7) M的交错圈——由M与EM中的边交替出现构成的G中圈
上图中，只有第一个图存在完美匹配
8
可增广路径及交错圈
(1)
(2)
(3)
设红色边在匹配M中，绿色边不在M中，则图(1)中的两条路 径均为可增广的交错路径；(2)中的全不是可增广的交错路 径；(3)中是一个交错圈. 不难看出，可增广交错路径中，不在M中的边比在M中的边 多一条. 交错圈一定为偶圈.
立集 (3) 最大点独立集——元素最多的点独立集 (4) 点独立数——最大点独立集中的元素个数，记为0
(1)
(2)
在图中，点独立数依次为2, 2, 3.
(3)
2
极大独立集与极小支配集
定理18.1 设G=<V,E>中无孤立点，则G的极大点独立集都是 极小支配集. 证明线索： (1) 设V*为G的极大点独立集，证明它也是支配集.
定理17.28 偶圈边色数为2，奇圈边色数为3. 定理17.29 (Wn) = n1, n4. 定理17.30 二部图的边色数等于最大度. 定理17.31 n为奇数（n1）时，(Kn)=n；
【最新】离散数学之图论ppt模版课件
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
31
[定义] 无向图的连通性
若G=<V，E>中任意两个顶点都连通，则称 此无向图是连通的(connected)。
[定理] 任意一个连通无向图的任意两个不同顶
点都存在一条简单通路。
[定义] 连通分图(connected components)
图G可分为几个不相连通的子图，每一子 图本身都是连通的。称这几个子图为G的连通 分图。
[定义] 通路(path)
给定图G=<V, E>，设图G中顶点和边的交替 序列为T=v0e1v1e2…ekvk，若T满足如下条件：vi-1 和vi是ei的端点(当G为有向图时，vi-1是ei的始点， vi是ei的终点)，i=1,2,…,k，则称T为顶点v0到vk的 通路。此通路的长度为k。也可以用v0, v1, …, vk 表示通路，v0为始点，vk为终点。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
2
§1 无向图及有向图
❖ 本节介绍图的一些最常用的概念,主要有： 无向图，有向图，边，顶点(或结点，点)，
弧(或有向边)，顶点集，边集，n阶图，有限 图，关联，多重图，简单图，完全图，母图, 子图, 生成子图，导出子图，补图，图的同构， 入度，出度，度，孤立点等。
8/13/2020 5:06 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs) (2) 有向完全图 (3) 零图：E=. (4) 平凡图：E=且|V|=1. (5) 正则图：若图G＝<V, E>中每个顶点 的度均为n，称此图G是n-正则图(n-regular graph)。
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离散数学图论
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关 心点具体代表哪些对象，也不关心连线的长短曲直， 这就是图的概念。
• 当研究的对象能被抽象为离散的元素集合和集合上 的二元关系时，用关系图表示和处理十分方便。
离散数学图论
§8.1图的基本概念
• 图论的起源可以追溯到1736年由瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler， 1707-1783)撰写的一篇解决“哥尼斯堡七桥问题”的论文。
离散数学图论
欧拉简介
离散数学图论
图的基本概念
• 定义8.1图（Graph）G包括一个非空的对象的集合 V={v1,v2,…,vn}
与有限的V中两个对象构成的无序对构成的集合 E={e1,e2,…,em}，
前者称为结点集(Vertex set)，后者称为边集（Edge set）。
一般用G=<V，E>表示图。
第四篇图论
本篇包括第八章、第九 章。主要内容有图的基本理 论、欧拉图、哈密尔图、树 等。
离散数学图论
• 图论是一个古老而又年轻的数学分支，它诞生于18 世纪，它是用图的方法研究客观世界的一门科学， 为任何一个包含二元关系的系统提供了一个直观而 严谨的数学模型，因此物理系、化学、生物学、工 程科学、管理科学、计算机科学等各个领域都有图 论的足迹。
• 这是一种全新的思考方式，由此欧拉在他的论文中 提出了一个新的数学分支，即图论，因此，欧拉也 常常被图论学家称为图论之父。
离散数学图论
欧拉
• 欧拉是著作较多的著名数学家之一，曾发表了886篇论文，出版 了近90本书。在数学界的许多分支如数论、几何、组合数学等领 域的很多定理和公式都以欧拉命名的。
离散数学图论
哥尼斯堡七桥问题
• 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表示。
离散数学图论
• 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
• 现在图论的主要分支有图论、超图理论、极值图论、 算法图论、网络图论和随机图论等。
离散数学图论
• 第三阶段是1936年以后。由于生产管理、军事、交 通运输、计算机和通讯网络等方面的大量问题的出 现，大大促进了图论的发展。现代电子计算机的出 现与广泛应用极大地促进了图论的发展和应用。
• 目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电 子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学及经 济管理等几乎所有学科领域都有应用。。
离散数学图论
• 在计算机科学中计算机科学的核心之一就是算法的 设计与理论分析，而算法是以图论与组合数学为基 础；图论与组合数学关系也非常密切，已正式成为 计算机诸多分支中一种有力的基础工具。
• 因而，作为计算机专业人员，了解和掌握图论的基 本原理和方法是必要的。
离散数学图论
• 图论交叉地运用了拓扑学、群论和数论知识，其定 理证明难度高低不等，有的简单易懂，有的难于理 解，但其每一步证明都需要技巧，每一个定理都像 艺术平一样值得品味与推敲。
离散数学图论
• 例子：教材116页例8.1，例8.2
离散数学图论
• 根据图中边的方向，分为有向图、无向图。 • 边关联：有向边lk=(vi,vj)，其中vi称为起点，vj称为
终点。无论边是否有向，称lk与vi,vj相关联。 • 邻接：边lk=(vi,vj)，称vi,vj是邻接的点，若干条边关
联同一个结点，则称边是邻接的。 • 环：边lk=(vi,vj)， vi与vj是同一个点。 • 孤立点：不与任何点相邻接的点。
• 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
• 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
离散数学图论
• 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发表了第 一部集图论二百年研究成果于一书的图论专著《有 限图与无限图理论》，这是现代图论发展的里程碑， 标志着图论作为一门独立学科。
• 因此，尽管本教材介绍的是较为基础的图论内容， 但阅读理解与完成习题是学习图论必不可少的步骤。
离散数学图论
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出 的特点是直观、形象。图论，顾名思义是运用数学 手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐 标系中的函数，而是由一些点和连接这些点的线组 成的结构 。
离散数学图论
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E>， G’=<V’,E’>，若V’是V的子集，E’是E的子集， 则G’是G的子图。
• 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
离散数学图论
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图实上，G与G’互为补图。
离散数学图论
图的同构
• 看一下教材120页一个图的几个不同图形。 • 我们常将一个图和它的图形等同起来，但这是两个不同的概念，
离散数学图论
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个 结点相邻接，记为Kn。
• 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
离散数学图论
定义补图
• 设图G=<V,E>， G’=<V,E’>，若G’’=<V,E∪E’>是完全图，且 E∩E’=空集，则称G’是G的补图。
离散数学图论
图论的发展
• 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中 叶是图论发展的第一阶段。
• 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题： 迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
离散数学图论
• 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。
• 在图形中，只关心点与点之间是否有连线，而不关 心点具体代表哪些对象，也不关心连线的长短曲直， 这就是图的概念。
• 当研究的对象能被抽象为离散的元素集合和集合上 的二元关系时，用关系图表示和处理十分方便。
离散数学图论
§8.1图的基本概念
• 图论的起源可以追溯到1736年由瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler， 1707-1783)撰写的一篇解决“哥尼斯堡七桥问题”的论文。
离散数学图论
欧拉简介
离散数学图论
图的基本概念
• 定义8.1图（Graph）G包括一个非空的对象的集合 V={v1,v2,…,vn}
与有限的V中两个对象构成的无序对构成的集合 E={e1,e2,…,em}，
前者称为结点集(Vertex set)，后者称为边集（Edge set）。
一般用G=<V，E>表示图。
第四篇图论
本篇包括第八章、第九 章。主要内容有图的基本理 论、欧拉图、哈密尔图、树 等。
离散数学图论
• 图论是一个古老而又年轻的数学分支，它诞生于18 世纪，它是用图的方法研究客观世界的一门科学， 为任何一个包含二元关系的系统提供了一个直观而 严谨的数学模型，因此物理系、化学、生物学、工 程科学、管理科学、计算机科学等各个领域都有图 论的足迹。
• 这是一种全新的思考方式，由此欧拉在他的论文中 提出了一个新的数学分支，即图论，因此，欧拉也 常常被图论学家称为图论之父。
离散数学图论
欧拉
• 欧拉是著作较多的著名数学家之一，曾发表了886篇论文，出版 了近90本书。在数学界的许多分支如数论、几何、组合数学等领 域的很多定理和公式都以欧拉命名的。
离散数学图论
哥尼斯堡七桥问题
• 把四块陆地用点来表示，桥用点与点连线表示。
离散数学图论
• 欧拉将问题转化为：任何一点出发，是否存在通过 每条边一次且仅一次又回到出发点的路？欧拉的结 论是不存在这样的路。显然，问题的结果并不重要， 最为重要的是欧拉解决这个问题的中间步骤，即抽 象为图的形式来分析这个问题 。
• 现在图论的主要分支有图论、超图理论、极值图论、 算法图论、网络图论和随机图论等。
离散数学图论
• 第三阶段是1936年以后。由于生产管理、军事、交 通运输、计算机和通讯网络等方面的大量问题的出 现，大大促进了图论的发展。现代电子计算机的出 现与广泛应用极大地促进了图论的发展和应用。
• 目前图论在物理、化学、运筹学、计算机科学、电 子学、信息论、控制论、网络理论、社会科学及经 济管理等几乎所有学科领域都有应用。。
离散数学图论
• 在计算机科学中计算机科学的核心之一就是算法的 设计与理论分析，而算法是以图论与组合数学为基 础；图论与组合数学关系也非常密切，已正式成为 计算机诸多分支中一种有力的基础工具。
• 因而，作为计算机专业人员，了解和掌握图论的基 本原理和方法是必要的。
离散数学图论
• 图论交叉地运用了拓扑学、群论和数论知识，其定 理证明难度高低不等，有的简单易懂，有的难于理 解，但其每一步证明都需要技巧，每一个定理都像 艺术平一样值得品味与推敲。
离散数学图论
• 例子：教材116页例8.1，例8.2
离散数学图论
• 根据图中边的方向，分为有向图、无向图。 • 边关联：有向边lk=(vi,vj)，其中vi称为起点，vj称为
终点。无论边是否有向，称lk与vi,vj相关联。 • 邻接：边lk=(vi,vj)，称vi,vj是邻接的点，若干条边关
联同一个结点，则称边是邻接的。 • 环：边lk=(vi,vj)， vi与vj是同一个点。 • 孤立点：不与任何点相邻接的点。
• 1847年德国的克希霍夫(G.R.Kirchoff)将树的概念 和理论应用于工程技术的电网络方程组的研究。
• 1857年英国的凯莱(A.Cayley)也独立地提出了树的 概念，并应用于有机化合物的分子结构的研究中。
离散数学图论
• 1936年匈牙利的数学家哥尼格(D.Konig) 发表了第 一部集图论二百年研究成果于一书的图论专著《有 限图与无限图理论》，这是现代图论发展的里程碑， 标志着图论作为一门独立学科。
• 因此，尽管本教材介绍的是较为基础的图论内容， 但阅读理解与完成习题是学习图论必不可少的步骤。
离散数学图论
• 图是人们日常生活中常见的一种信息载体，其突出 的特点是直观、形象。图论，顾名思义是运用数学 手段研究图的性质的理论，但这里的图不是平面坐 标系中的函数，而是由一些点和连接这些点的线组 成的结构 。
离散数学图论
定义图的子图
• 子图：设G=<V,E>， G’=<V’,E’>，若V’是V的子集，E’是E的子集， 则G’是G的子图。
• 真子图：若V’是V的子集，E’是E的真子集。 • 生成子图：V’=V，E’是E的子集。 • 举例说明一个图的子图。
离散数学图论
定义（n,m）图
• (n,m)图：由n个结点，m条边组成的图。 • 零图：m=0。即（n,0）图实上，G与G’互为补图。
离散数学图论
图的同构
• 看一下教材120页一个图的几个不同图形。 • 我们常将一个图和它的图形等同起来，但这是两个不同的概念，
离散数学图论
• 完全图：一个（n,m）图G，其n个结点中每个结点均与其它n-1个 结点相邻接，记为Kn。
• 无向完全图：m=n(n-1)/2 • 有向完全图：m=n(n-1) • 举例说明以上几种图。
离散数学图论
定义补图
• 设图G=<V,E>， G’=<V,E’>，若G’’=<V,E∪E’>是完全图，且 E∩E’=空集，则称G’是G的补图。
离散数学图论
图论的发展
• 图论的产生和发展经历了二百多年的历史，从1736年到19世纪中 叶是图论发展的第一阶段。
• 第二阶段大体是从19世纪中叶到1936年，主要研究一些游戏问题： 迷宫问题、博弈问题、棋盘上马的行走线路问题。
离散数学图论
• 一些图论中的著名问题如四色问题(1852年)和哈密 尔顿环游世界问题(1856年)也大量出现。同时出现 了以图为工具去解决其它领域中一些问题的成果。