第八章参数估计(抽样推断)

f
x,
x 1 0
求参数 的极大似然估计.
0 x 1,
其它
解 设 X1, X 2 ,L , X n为来自总体的样本, 则似然函数为
L n x1x2L xn 1 ,
取对数后有:
nபைடு நூலகம்
ln L nln 1ln xi, i1
上式对 求导, 并令其为零, 则有
解之得
dln L
d
n
n i1
h X1, X2,L , Xn , 通过样本观测值 x1, x2,L , xn 所对应的估计值
h x1, x2,L , xn
作为总体参数的估) 计值. 记作
h x1, x2,L , xn .
点估计的意义: 在数轴上表示一个点.
区间估计的含义是: 依据样本来估计未知参数的某一 范围.
区间估计的具体实现: 由样本构造两个统计量:
h1 X1, X2,L , Xn , h2 X1, X2,L , Xn ,
再由观测值 x1, x2 ,L , xn 得到具体的区间
h1 x1, x2,L , xn , h2 x1, x2,L , xn ,
以此区间作为未知参数的区间估计.
二、两种常用点估计
下面讨论两种常用的点估计方法: 矩估计和极大似然 估计.
例5 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, 其中
X : R0, , 因
1
E
X
2
,
因此 21 的矩估计为2 X .
例6 设 X1, X 2 ,L X n 是取自于总体的一个样本, X 的
密度函数为
f
x
1
x
,
0,
求 的矩估计. 这里 1.

单项选择題1. 抽样调查的主要目的在于（A. 计算和控制误差B. 了解总体单位情况C .用样本来推断总体 D.对调查单位作深入的研究2. 抽样调查所必须遵循的基本原则是（ 人 A.随意原则 B. 可比性原则C .准确性原则 D. 随机氐则3. 无偏性是指（ A.抽样指标等于总体指标B. 样本平均数的平均数等于总体平均数C .样本平均数等于总体平均数D.样本成数等于总协成数4. 一致性是指当样本的单位数充分大时，抽样指标（ ）。

A.小于总体指标B.等于总体指标C .大于总体指标D.充分靠近总体指标5. 有效性是指作为优良估计量的方差与其他估计量的方差相比，有（ ）A.前者小于后者B.前者大于后者C.两者相等D.两者不等6. 能够事先加以计算和控制的误差是（ A.抽样误差 B.登记误差C .代表性误差 D. 系统性误差7. 对两个工厂工人平均工资进行不重复的随机抽样调查，抽查的工人人数一样， 但第二个厂工人数比第一个厂工人数整整多一倍。

抽样平均误差（ 人A.第一工厂大B. 第二个工厂大C .两工厂一样大 D.无法做出结论8. 在同样情况下，不重复抽样的抽样平均误差与重复抽样的抽样平均误差相比， 是（ ）。

A.两者相等B.两者不等C .前者小于后者 D.前者大于后者。

9. 反映抽样指标与总体指标之间抽样的可能范围的指标是（第八章 抽样推断两工厂工人工资方差相同,A.抽样平均误差B. 抽样误差系数C.概率度D. 抽样极限逞差.10. 在进行纯随机重复抽样时，为使抽样平均误差减少25%则抽样单位数应（）。

A.增加25%B. 增加78%C. 增加1.78%D. 减少25%11. 在其它同等的条件下，若抽选5%的样本，则重复抽样的平均误差为不重复抽样平均误差的（）倍。

A. 1.03B. 1.05 C . 0.97 D. 95%12. 在总体方差一定的情况下，下列条件中抽样平均误差最小的是（A.抽样单位数为20B. 抽样单位数为40C.抽样单位数为90D.抽样单位数为100 13.通常所说的大样本是指样本容量（人A.小于10B. 不大于10C.小于30D. 不小于3014. 抽样成数指标P值越接近1，则抽样成数平均误差值（）A. 越大B越小C越接近0.5 D越接近115. 对400名大学生抽取19%进行不重复抽样调查，优等生比重为20%概率为0.9545，优等生比重的极限抽样误差为（）。

20 1
20 1
P(57.14 68.86) 0.99
答：该地区这一年高考数学平均分95%和99%的 置 信 区 间 分 别 为 58.72 至 67.28 分 之 间 和 57.14 至 68.86分之间。
3.大样本的情况：
当样本容量比较大，自由度在逐渐增大，这时的t分布 已经非常接近正态分布。这时可把t分布转成标准正态 分布来作处理。然后再作区间估计。
n
n
P( X 1.96 X 1.96 ) 0.95
n
n
要在一定可靠度上求出总体参数的置信区间的 上下限，需要以下条件：
1.要知道与所要估计的参数相对应的样本统计量的 值，以及样本统计量的理论分布；
2.要求出该种统计量的标准误；
3.要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计，再 通过查某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相 对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出总 体参数的置信区间上下限。
三、 σ未知条件下总体平均数的区间估计
1.σ未知条件下总体平均数区间估计的基本原理 （1）当总体σ未知，总体呈正态分布，大样本或小
样本时
（2）或当总体σ未知，总体虽不呈正态分布，大样 本容量较大（n>30）时，样本平均数可以转换成t 值。
总体平均数95%置信区间为：
P(t X t ) 0.95
E(X )
第一节 抽样分布
2、容量为n的平均数在抽样分布上的标准差，等 于总体标准差除以n的方根。
X
n
第一节 抽样分布
3、从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能 样本平均数的分布也呈正态分布。
4、虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大， 反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于 正态分布。

第八章1. 解：（1）假设检验的基本思想是，样本平均数与总体平均数出现差异不外乎两种可能：一是改革后的总体平均长度不变，但由于抽样的随机性使样本平均数与总体平均数之间存在抽样误差；二是由于工艺条件的变化，使总体平均数发生了显著的变化。

因此，可以这样推断：如果样本平均数与总体平均数之间的差异不大，未超出抽样误差范围，则认为总体平均数不变；反之，如果样本平均数与总体平均数之间的差异超出了抽样误差范围，则认为总体平均数发生了显著的变化。

根据样本平均数的抽样分布定理，有x Z σx μ±=或Z /σμx x ≤-。

当0=Z 时，表明样本均值等于总体均值，即μx =；当Z 很大时，表明样本均值离总体均值很远，即∆很大。

后一种情况是小概率事件。

在正常情况下，小概率事件是不会发生的，那么在一次抽样中小概率事件居然发生了，我们就有理由认为样本均值是不正常的，它与原总体相比，性质已经发生变化，应该拒绝接受原假设。

（2）假设检验的一般步骤包括：① 提出原假设和备择假设；对每个假设检验问题，一般可同时提出两个相反的假设：原假设和备择假设。

原假设又称零假设，是正待检验的假设，记为H 0；备择假设是拒绝原假设后可供选择的假设，记为H 1。

原假设和备择假设是相互对立的，检验结果二者必取其一。

接受H 0，则必须拒绝H 1；反之，拒绝H 0则必须接受H 1。

② 选择适当的统计量，并确定其分布形式；不同的假设检验问题需要选择不同的统计量作为检验统计量。

在例中，我们所用的统计量是Z ，在H 0为真时，N Z ~(0，1)。

③选择显著性水平α，确定临界值；显著性水平表示H 0为真时拒绝H 0的概率，即拒绝原假设所冒的风险，用α表示。

假设检验就是应用了小概率事件实际不发生的原理。

这里的小概率就是指α。

但是要小到什么程度才算小概率? 对此并没有统一的标准。

通常取α=0.1，0.05，0.01。

给定了显著性水平α，就可由有关的概率分布表查得临界值，从而确定H 0的接受区域和拒绝区域。