初高中数学衔接知识点

分章节突破

1.1 数与式的运算

1.1.1 绝对值

1.1.2 乘法公式

1.1.3 二次根式

1.1.４ 分式

1．2 分解因式

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

2.3 方程与不等式

2.3.1 二元二次方程组解法

2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形

3.1.1．平行线分线段成比例定理

3.1.2相似形

3.2 三角形

3.2.1 三角形的“四心”

3.2.2 几种特殊的三角形

3．3圆

3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系

3.3.2 点的轨迹

1.1 数与式的运算

１

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即

,0,||0,0,,0.aaaaaa

绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．

两个数的差的绝对值的几何意义：ba表示在数轴上，数a和数b之间的距离．

例1 解不等式：13xx＞4．

解法一：由01x，得1x；由30x，得3x；

①若1x，不等式可变为(1)(3)4xx，

即24x＞4，解得x＜0，

又x＜1，

∴x＜0；

②若12x，不等式可变为(1)(3)4xx，

即1＞4，

∴不存在满足条件的x；

③若3x，不等式可变为(1)(3)4xx，

即24x＞4， 解得x＞4．

又x≥3，∴x＞4．

综上所述，原不等式的解为

x＜0，或x＞4．

解法二：如图1．1－1，1x表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，即|PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3|．

所以，不等式13xx＞4的几何意义即为

|PA|＋|PB|＞4．

由|AB|＝2，可知

点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．

x＜0，或x＞4．

练 习

1．填空：

（1）若5x，则x=_________；若4x，则x=_________.

（2）如果5ba，且1a，则b＝________；若21c，则c＝________.

2．选择题：

下列叙述正确的是 （ ）

（A）若ab，则ab （B）若ab，则ab

（C）若ab，则ab （D）若ab，则ab

3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）．

1.1.2. 乘法公式

我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： 1 3 A B

x 0 4 C D

x P

|x－1| |x－3|

图1．1－1

２ （1）平方差公式 22()()ababab；

（2）完全平方公式 222()2abaabb．

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：

（1）立方和公式 2233()()abaabbab；

（2）立方差公式 2233()()abaabbab；

（3）三数和平方公式 2222()2()abcabcabbcac；

（4）两数和立方公式 33223()33abaababb；

（5）两数差立方公式 33223()33abaababb．

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：22(1)(1)(1)(1)xxxxxx．

解法一：原式=2222(1)(1)xxx

=242(1)(1)xxx

=61x．

解法二：原式=22(1)(1)(1)(1)xxxxxx

=33(1)(1)xx

=61x．

例2 已知4abc，4abbcac，求222abc的值．

解： 2222()2()8abcabcabbcac．

练 习

1．填空：

（1）221111()9423abba（ ）；

（2）(4m 22)164(mm )；

（3）2222(2)4(abcabc )．

2．选择题：

（1）若212xmxk是一个完全平方式，则k等于 （ ）

（A）2m （B）214m （C）213m （D）2116m

（2）不论a，b为何实数，22248abab的值 （ ）

（A）总是正数 （B）总是负数

（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数

1.1.3．二次根式

一般地，形如(0)aa的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 232aabb，22ab等是无理式，而22212xx，222xxyy，2a等是有理式．

1．分母（子）有理化

把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数

３ 式互为有理化因式，例如2与2，3a与a，36与36，2332与2332，等等． 一般地，ax与x，axby与axby，axb与axb互为有理化因式．

分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程

在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式(0,0)ababab；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．

2．二次根式2a的意义

2aa,0,,0.aaaa

例1 将下列式子化为最简二次根式：

（1）12b； （2）2(0)aba； （3）64(0)xyx．

解： （1）1223bb；

（2）2(0)abababa；

（3）633422(0)xyxyxyx．

例2 计算：3(33)．

解法一： 3(33)＝333

＝3(33)(33)(33)

＝33393

＝3(31)6

＝312．

解法二： 3(33)＝333 ＝33(31)

＝131

＝31(31)(31)

＝312．

例3 试比较下列各组数的大小：

（1）1211和1110； （2）264和226－.

解： （1）∵1211(1211)(1211)11211112111211，

1110(1110)(1110)11110111101110，

又12111110，

∴1211＜1110．

（2）∵226(226)(226)2226,1226226－－+－++

１ 又 4＞22，

∴6＋4＞6＋22，

∴264＜226－.

例4 化简：20042005(32)(32)．

解：20042005(32)(32)

＝20042004(32)(32)(32)

＝2004(32)(32)(32)

＝20041(32)

＝32．

例 5 化简：（1）945； （2）2212(01)xxx．

解：（1）原式5454

22(5)2252

2(25)

2552． （2）原式=21()xx1xx，

∵01x，

∴11xx，

所以，原式＝1xx．

例 6 已知3232,3232xy，求22353xxyy的值 ．

解： ∵223232(32)(32)103232xy，

323213232xy，

∴22223533()1131011289xxyyxyxy．

练 习

1．填空：

（1）1313＝__ ___；

（2）若2(5)(3)(3)5xxxx，则x的取值范围是_ _ ___；

（3）4246543962150__ ___；

（4）若52x，则11111111xxxxxxxx______ __．

2．选择题：

等式22xxxx成立的条件是 （ ）

（A）2x （B）0x （C）2x （D）02x

１ 3．若22111aaba，求ab的值．

4．比较大小：2－3

5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式

1．分式的意义

形如AB的式子，若B中含有字母，且0B，则称AB为分式．当M≠0时，分式AB具有下列性质：

AAMBBM；

AAMBBM．

上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式

像abcd，2mnpmnp这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．

例1

若54(2)2xABxxxx，求常数,AB的值．

解： ∵(2)()2542(2)(2)(2)ABAxBxABxAxxxxxxxxx，