解析几何专题含答案
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椭圆专题练习
1.【2017 浙江， 2】椭圆 2 2
x y
9 4 1 的离心率是
A． 13
3 B． 5
3 C． 2
3 D． 5
9
2.【2017 课标 3，理 10】 已知椭圆 C： 2 2
x y
2 2 1
a b ，（a>b>0）的左、右顶点分别为 A1，A2，
且以线段 A1A2 为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C的离心率为
A． 6
3 B． 3
3 C． 2
3 D． 1
3
3.【2016 高考浙江理数】 已知椭圆 C1： 2
x
2
m +y 2=1(m >1)与双曲线
C2： 2=1(m >1)与双曲线
C2： 2
x
2
n –y 2=1(n>0)的焦点重合， 2=1(n>0)的焦点重合，
e1，e2 分别为 C1，C2 的离心率，则（）
A．m>n 且 e1e2>1 B．m>n 且 e1e2<1 C．m1 D．m
4.【2016 高考新课标 3 理数】已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ： 2 2
x y
2 2 1( 0)
a b
a b 的左
焦点，A,B分别为 C 的左，右顶点 . P 为 C 上一点，且 PF x 轴.过点 A的直线与线段 PF
交于点 M ，与 y轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为（）
（A） 1
3 （B） 1
2 （C） 2
3 （D） 3
4
5.【2015 高考新课标 1，理 14】一个圆经过椭圆 2 2
x y
16 4 1 的三个顶点，且圆心在 x 轴的正半
轴上，则该圆的标准方程为 .
6.【2016 高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系 xOy 中， F 是椭圆 2 2
x y
2 2 1( )
a＞b＞0 的
a b
右焦点，直线 b
y 与椭圆交于 B,C 两点，且 BFC 90 ,则该椭圆的离心率是 .
2
7.【2017 课标 1，理 20】已知椭圆 C： 2 2
x y
2 2 =1
（a>b>0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，
a b
1 3
2 ），P4（1， 3
2 ）中恰有三点在椭圆 C 上.
（1）求 C的方程；
（2）设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为 –1，
证明： l 过定点 .
8.【2017 课标 II，理】 设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C： 2
x
2 2 1
y 上，过 M 作 x 轴的垂
线，垂足为 N，点 P 满足 NP 2NM 。
(1) 求点 P的轨迹方程；
(2)设点 Q 在直线 x 3上，且 OP PQ 1。证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦
点 F。
2 2
x y
2 2 1
9【. 2017 山东，理 21】在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：
a b a b 0 的离心率为 2
2 ，
焦距为 .
（Ⅰ）求椭圆 E的方程；
3
（Ⅱ）如图，动直线： y k1 x 交椭圆 E 于 A,B 两点， C 是椭圆 E 上一点，直线 OC 的斜率
2
2
为 k2 ，且 k1k2 ， M 是线段 OC 延长线上一点，且 MC : AB 2:3 ， M 的半径为 MC ，
4
OS, OT 是 M 的两条切线，切点分别为 S,T .求 SOT 的最大值，并求取得最大值时直线的斜
率 .
10.【2017 天津，理 19】设椭圆 2 2
x y
2 2 1(a b 0)
a b 的左焦点为 F ，右顶点为 A，离心率为 1
2 .已知 A是抛物线 2 2 ( 0)
y px p 的焦点， F 到抛物线的准线的距离为 1
2 .
（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；
（II）设上两点 P ，Q 关于轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（ B 异于点 A），直线 BQ 与轴
相交于点 D .若△APD 的面积为 6
2 ，求直线 AP 的方程 .
9.【2017 江苏， 17】如图 ,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 2 2
x y
E : 1(a b 0)
2 2
a b 的左、右焦
点分别为 F , F2 ,离心率为
1 1
2 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，
过点 F 作直线 PF1 的垂线 ,过点 F2 作直线 PF2 的垂线 .
1
（1）求椭圆 E 的标准方程；
（2）若直线 E 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标 .
y
F1 O F2 x
(第 17 题)
10.【2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分 12 分）设圆 2 2 2 15 0
x y x 的圆心为 A,直线 l
过点 B（1,0）且与 x 轴不重合 ,l 交圆 A 于 C,D 两点,过 B 作 AC的平行线交 AD 于点 E.
（I）证明 EA EB 为定值 ,并写出点 E的轨迹方程；
（II）设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M ,N 两点,过 B且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两
点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围 .
11.【2016 高考山东理数】（ 本小题满分 14 分）
平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 2 2
x y
2 2 1 0
a b
＞ ＞ 的离心率是a
b ＞ ＞ 的离心率是
a b 3
2 2 2
，抛物线 E：x y
的焦点 F 是 C的一个顶点 .
（I）求椭圆 C的方程；
（II）设 P 是 E上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线与 C交与不同的两点 A，B，线
段 AB的中点为 D，直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M . （i）求证：点 M 在定直线上 ;
3（ii）直线与 y 轴交于点 G，记 △PFG的面积为 S ，△PDM 的面积为 S2 ，求
1 S
1
S
2 的最大值及
取得最大值时点 P 的坐标 .
S
1
2 y
2
【答案】（Ⅰ） 4 1
x （; Ⅱ）（i）见解析；（ii）
S
2 的最大值为 9
4 2 1
，此时点 P 的坐标为 ( , )
2 4
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程； （Ⅱ）（i）由点 P 的坐标和斜率设出直线 l
的方程和抛物线联立，进而判断点 M 在定直线上； （ii）分别列出 S
1 ， S2 面积的表达式，根据
二次函数求最值和此时点 P 的坐标 .
试题解析：
2
m
2
（Ⅱ）（i）设 P )( 0) ，由 x 2y
(m, m
2 /
可得 y x ，
所以直线的斜率为 m ，
2
m
因此直线的方程为 ( ) y m x m ，即 2
m
y mx . 2 2
4设 ( , ), ( , ), ( , )
A x1 y B x y D x y ，联立方程
1 2 2 0 0
y mx 2
m
2
2 2
x 4y 1
2 x m x m
2 3 4
得 (4 1) 4 1 0
m ，
由 0，得 0 m 2 5 且 3
4m
x x ，
1 2
2
4m 1
因此 3
x x 2m
1 2
x ,
0
2
2 4m 1
将其代入 2
m
y mx 得
2 2
m
y ，
0
2
2(4m 1)
因为 y
0
x
0 1
4m 1 ，所以直线 OD 方程为 y x 4m .
联立方程 y
x
m 1
4m x 1
，得点 M 的纵坐标为 yM ，
4
即点 M 在定直线 1 y 上. 4
（ii）由（ i）知直线方程为 2
m
y mx ，
2
令 x 0得 2 2
m m
y ，所以 G (0, ) ，
2 2
又 2 1 3
2
m 2m m
P (m, ), F (0, ), D ( , )
2 2
2 2 4m 1 2( 4m 1) ，
1 1 2
所以 S1 GF m m(m 1) ，
| |
2 4
2 2
1 m( 2m 1)
S | PM | | m x | ，
2 m
0
2
